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导数知识点总结


导 数
考试内容: 导数的背影. 导数的概念. 多项式函数的导数. 利用导数研究函数的单调性和极值.函数的最大值和最小值. 考试要求: (1)了解导数概念的某些实际背景. (2)理解导数的几何意义. (3)掌握函数,y=c(c 为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式,会求多项式函数的导数. (4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念,并会用导数求多项式函数的 单调

区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值. (5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值. 知识要点

导数的概念

导数的几何意义、物理意义 常见函数的导数

导 数

导数的运算 导数的运算法则 函数的单调性 导数的应用 函数的极值 函数的最值

一、导数的概念 1.平均变化率

f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) ?y ?f ? ? ? ?x ?x x2 ? x1 ?x
注 1:其中 ?x 是自变量的改变量,可正,可负,可零。 2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2. 导数的概念
函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的瞬时变化率是,

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim ?x?0 ?x ?x?0 ?x lim
-1-

我们称它为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数,记作 f ?( x0 ) 或 y? |x? x0 ,即

f ?( x0 ) = lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

3. 平均变化率的几何意义 平均变化率的几何意义是割线的斜率; 4. 导数的几何意义 函数 y ? f (x) 在点 x 0 处的导数的几何意义就是曲线 y ? f (x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的 切线的斜率,也就是说,曲线 y ? f (x) 在点 P ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率是 f ' ( x0 ) ,
' 切线方程为 y ? y 0 ? f ( x)( x ? x0 ).

5. 导数的背景 (1)切线的斜率 6. 导函数

(2)瞬时速度

(3)边际成本

当 x 变化时, f ?( x ) 便是 x 的一个函数,我们称它为 f ( x ) 的导函数. y ? f ( x) 的导函数有 时也记作 y? , 即

f ?( x) ? lim

?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x

二. 导数的计算
1. 基本初等函数的导数公式: 1)若 f ( x) ? c (c 为常数),则 f ?( x) ? 0 ;
? ? ?1 2)若 f ( x) ? x ,则 f ?( x) ? ? x ;

3)若 f ( x) ? sin x ,则 f ?( x) ? cos x 4)若 f ( x) ? cos x ,则 f ?( x) ? ? sin x ; 5)若 f ( x) ? a ,则 f ?( x) ? a ln a
x x

6)若 f ( x) ? e ,则 f ?( x) ? e
x

x

1 x ln a 1 8)若 f ( x) ? ln x ,则 f ?( x) ? x
x 7)若 f ( x) ? loga ,则 f ?( x ) ?

2. 导数的运算法则

-2-

1) [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x) 2) [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ?( x)

3) [

f ( x) f ?( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ?( x) ]? ? g ( x) [ g ( x)]2

3. 复合函数求导

y ? f (u ) 和 u ? g ( x) ,称则 y 可以表示成为 x 的函数,即 y ? f ( g ( x)) 为一个复合函数 y? ? f ?( g ( x)) ? g ?( x)
三、导数在研究函数中的应用 1. 函数的单调性与导数 一般地,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间 ( a, b) 内, 如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间单调递增; 如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间单调递减. 2. 函数的极值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数 y ? f ( x) 的极值的方法是: (1) 如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值; (2) 如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极小值; 3.函数的最大(小)值与导数

极值与最值的区别: 极值是在局部对函数值进行比较, 最值是在整体区间上对函 数值进行比较.
求函数 y ? f ( x) 在 [ a, b] 上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数 y ? f ( x) 在 ( a, b) 内的极值; (2)将函数 y ? f ( x) 的各极值与端点处的函数值 f ( a ) , f (b) 比较,其中最大的是一个最大 值,最小的是最小值. 四、生活中的优化问题 利用导数的知识,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题

-3-


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