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东北三省四市教研联合体2016届高三数学第三次模拟考试试题 文


2016 年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷(三) 文 科 数 学
1. 若集合 A ? {1,2} , B ? {1,3} ,则集合 A ? B =( A. ) C. {1,2,3} D. {x | 1 ? x ? 3} ) D. 2 ? i ) D. ) D.15

?

B. {1}

2. 设复数 z

1 , z 2 在复平面内对应的点关于虚轴对称, z1 ? 2 ? i ,则 z2 =( A. 2 ? i 3. 已知函数 f ( x) ? ? A.2016 B. ? 2 ? i C. ? 2 ? i

? x( x ? 4), x ? 0 ,则 f ( a ) 的值不可能为( ? x( x ? 4) , x ? 0
B.0 C.-2

1 2016

4. 设等比数列 {an } 的公比 q ? A.5

1 S ,前 n 项和为 Sn ,则 3 =( 2 a3
C.8

B.7

5. 已知 m, n 是两条不重合的直线, ? , ? 是两个不重合的平面,给出下列四个命题:其中正确命题的个 数是( ) (1)若 m // ? , ? ? ? ,则 m ? ? ; (2) 若n ? ? , m ? ? , 且n ? m, 则? ? ? ; (3)若 ? ? ? , m ? ? , m ? ? ,则 m // ? ; ( 4 )若 m, n 是 异面直 线, m ? ? , m // ? , n ? ? , n // ? , 则
开始

? // ? .
A.1 B.2 C.3 D.4 6. 在边长为 2 的等边三角形 ?ABC 中,点 M 在边 AB 上,且 满足 AM A.3 C.0

输入 a

???? ? ??? ? ? MB ,则 CM ? CB ? (
B. 3 D. ? 3

b=0

) [来源:学科网]
i=1

把 a 的右数第 i 位数字赋给 t

7. 若输入 a=110011,则输出结果是( A.51 B.49 D.45

) C.47
b ? b ? t ? 2i ?1

i=i+1

否 i>6? 是 输出 b

结束

1

8. 在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 对应的边.已知 a cos A ? b cos B ,则 ?ABC 的形状为( A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形



D.等腰三角形或直角三角形

2 9. 已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,直线 y ? ?3 与抛物线交于点 M , | MF |? 5 ,则抛物线的

标准方程是( A. y ? 2 x
2

) B. y ? 18x
2

C. y ? x
2

D. y ? 2 x 或 y ? 18x
2

2

10. 已知长方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 中, AB ? 2, BC ? BB 1 ? 2 ,在长方体的外接球内随机取一点 M , 则落在长方体外的概率为( A. )[来源:学+科网ZXK]

3 2 4?

B.

4? ? 3 2 4?

C.

1 2?

D.

2? ? 1 2?

11. 已知双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F ,以 F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双 a 2 b2


曲线的一个交点为 M ,且 MF 与双曲线的实轴垂直,则双曲线 C 的离心率是( A.

5 2

B. 5
2

C. 2

D. 2 )

12.已知函数 f ( x) ?| ln | x ? 1 || ? x 与 g ( x) ? 2 x 有 n 个交点,它们的横坐标之和为( A.0 B.2 C.4 D.8

?0 ? x ? 2, ? 13. x , y 满足约束条件 ?0 ? y ? 2, ? x ? 3 y ? ?2, ?

则 z ? x ? y 的最小值为____________.

14. 已知三棱锥的三视图的正视图是等腰三角形,俯视图是边长为 3 的等边三角形,侧视图是等腰直角 三角形,则三棱锥的四个面中面积的最大值为为 . 15. 在 椭 圆

x2 y2 ? ? 1 上 有 两 个 动 点 M , N , K (3,0) 为 定 点 , 36 27 ???? ? ???? ? . KM ? KN ? 0 ,则 KM ? NM 最小值为

16. 已 知数 列 {2n ? an } 的前 n 项 和为

n( n ? 3) ? , 若 存在 n ? N , 使得 2
.

an ? m 成立,则 m 的取值范围是

2

[来源:学.科网ZXK] 17. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? 4, | ? |? 函数 f ( x) 取得最大值 1.

1 ? ? ) 过点 (0, ) ,且当 x ? 时, 2 6 2

(1) 将函数 f ( x) 的图象向右平移

? 个单位得到函数 g ( x) ,求函数 g ( x) 的表达式; 6
2

(2) 在(1)的条件下,函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 2 cos x ?1,求函数 h( x) 的单调递增区间. 18. (本小题满分 12 分)以下为甲、乙两位同学在最近五次模拟考试中的数学成绩(单位:分) 甲 乙 102 96 126 117 131 120 118 119 127 135

(1)试判断甲、乙两位同学哪位同学的数学考试成绩更稳定?(不用计算,给出结论即可) (2)若从甲、乙两位同学的数学考试成绩中各随机抽取 1 次成绩进行分析,设抽到的成绩中 130 分以上 的次数恰好为 1 次的概率. 19.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形, PA ? PD ,且 PA ? CD. (1)求证:平面 PAD ? 底面ABCD;

(2)设 PA ? ? ,当 ? 为何值时异面直线 PA 与 BC 所成的角为

? ? 3

求并此时棱锥 B ? PCD 的体积. 20. (本小题满分 12 分)已知 A(?2,0), B(2,0),| AP |? 2, D为线段BP的中点 . (1)求点 D 的轨迹 E 的方程; (2)抛物线 C 以坐标原点为顶点,以轨迹 E 与 x 轴正半轴的交点 F 为焦点,过点 B 的直线与抛 物线 C 交于 M , N 两点,试判断坐标原点与以 MN 为直径的圆的位置关系. 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln(x ? 1) ? ax, x ? 0 是极值点. (1)求实数 a 的值;[来源:学科网] (2) 设g ( x) ?

f ( x ? 1) ? x ? 1 , 试比较 g (6) ? g (12) ? ? ? ? ? g[n(n ? 1)] x

3



2n 2 ? n ? 1 (n ? Z , n ? 2)的大小. 2(n ? 1)

22.(本小题满分 10 分).选修 4-1 几何证明选讲 如图所示, AB 是⊙ O 的直径,点 C 在⊙ O 上, CD 为⊙ O 的切线,过 A 作 CD 的垂线,垂足为 D , 交⊙ O 于 F . (1) 求证: AC 为 ? DAB 的角平分线; (2)过 C 作 AB 的垂线,垂足为 M ,若⊙ O 的直径为 8,且
F D

C

OM : MB ? 3 : 1 ,求 DF ? AD 的值.

A

O

M

B

23. (本小题满分 10 分).选修 4-4 坐标系与参数方程 经过抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 外的点 A(?2,?4) ,且倾斜角为
2

? 的直线 l 与抛物线 C 交于 M , N 两点, 4

且 | AM | 、 | MN | 、 | AN | 成等比数列. (1)求抛物线 C 的方程;

) ,求 ?OEF 的面积的最小值. (2) E , F 为抛物线 C 上的两点,且 OE ? OF (O为坐标原点
24(本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? m( ,若 f ( x) 的最小值为 1. | m ? 2) (1)试求实数 m 的值;
a b (2)求证: log 2 ( 2 ? 2 ) ? m ?

a?b . 2

4

2016 年三模文科数学答案 1 C 13、-2 14、 2 C 3 C 4 B 5 C 6 A 7 A 8 D 9 D 10 B 11 C 12 C

3 6 4

15、9 16、 m ?

1 8 1 2 1 ? , ?? 6 2
…………(2 分)

17. (I)由题意 A ? 1 …………(1 分) 将点 (0, ) 代入解得 sin ? ? 且? ?

? 2k? , k ? Z 6 6 2 因为 0 ? ? ? 4 所以? ? 2 ,…………(4 分) ? f ( x) ? sin( 2 x ? ) .…………(5 分) 6 ? ?
g ( x) ? sin( 2 x ?

?

?

?

?

6

) …………(7 分)

(II) h( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ,…………(9 分)

2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

, k ? Z …………(10 分)

所以所求单调增区间为 [k? ?

?
3

, k? ?

?
6

], k ? Z …………(12 分)

18.解:(I)甲同学的数学考试成绩更稳定. …………(4 分) (II)从甲、乙两位同学的数学考试成绩各随机抽取 1 次共有 25 种 (102,96),(102,117),(102,120),(102,119),(102,135), (126,96),(126,,117),(126,120),(126,119),(126,135), (131,96),(131,,117),(131,120),(131,119),(131,135), (118,96),(118,,117),(118,120),(118,119),(118,135), (127,96),(127,,117),(127,120),(127,119),(118,135),…………(7 分) 其中抽到的成绩中 130 分以上的次数恰好为 1 次的有 (102,135),(126,135),(131,96),(131,,117),(131,120),(131,119) (118,135),(127,135),共 8 种…………(10 分) 所以所求事件的概率为 P ?

8 …………(12 分) 25

19. (Ⅰ)因为 CD ? AD, , CD ? PA, PA ? AD ? A, 所以 CD ? 平面PAD, …………(2 分)

5

又 CD ? 平面ABCD 所以 平面PAD ? 平面ABCD …………(4 分) (Ⅱ)由题意 ?PAD ?

?
3

…………(5 分)

所以 PA ? ? ? 1 …………(6 分) 取 AD的中点O, 连接PO ,则 PO ? 因为 平面PAD ? 平面ABCD

3 2

平面PAD ? 平面ABCD ? AD , PO ⊥ AD , PO ? 平面PAD
所以 PO ⊥ 平面ABCD …………(8 分) 所以 VB ? PCD ? VP ? BCD ?

3 …………(12 分) 12

20. (Ⅰ) 解:设 D( x, y ), P(m, n)

2?m ? x? ? ? 2 …………(1 分) ? ?y ? n ? 2 ? ?m ? 2 x ? 2 所以 ? …………(2 分) ?n ? 2 y 又 (m ? 2) 2 ? n 2 ? 4 …………(3 分)
所以所求方程为 x 2 ? y 2 ? 1 …………(4 分) (Ⅱ)轨迹 E 与 x 轴正半轴的交点 F (1,0) …………(5 分) 抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4 x …………(6 分) 设M(

y12 y2 , y1 ) , N ( 2 , y 2 ) ,设直线 MN 的方程为 x ? ty ? 2 4 4
2

联立得 y ? 4ty ? 8 ? 0 , 则?

? y1 ? y 2 ? 4t …………(8 分) ? y1 y 2 ? ?8

2 y12 y 2 OM ? ON ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? ? ? y1 y 2 ? ?4 ? 0 …………(10 分) 4 4

所以坐标原点在以 MN 为直径的圆内…………(12 分) 21. 解:(I) f ?( x) ?

1 ? a …………(2 分) x ?1
6

由题意因为 f ?(0) ? 1 ? a ? 0 …………(3 分

所以 a ? 1 …………(4 分) (II) g ( x ) ?

ln x . …………(5 分) x 先证当 x ? 1 时, ln x ? x ? 1
令 h( x) ? ln x ? x ? 1

h , ( x) ?

1 ? 1 ? 0 .…………(6 分) x

所以 h( x) 在(1,+∞)上单调递减 所以 h( x) ? h(1) ? 0 所以当 x ? 1 时 g ( x) ?

x ?1 1 ? 1 ? .…………(8 分) x x

所以 g (6) ? g (12) ? ? ? ? ? g[n(n ? 1)]

? 1?

1 1 1 1 .…………(10 分) ?1? ?1? ? ??? ?1? 2?3 3? 4 4?5 n ? (n ? 1)

1 1 2n 2 ? n ? 1 ……………………12 分 ? n ?1? ( ? )? 2 n ?1 2(n ? 1)
22. (Ⅰ)连接 OC , 由题意可知 OC ∥ AD ,…………(1 分) 所以 ?CAD ? ?ACO …………(2 分) 又 OC ? OA ,所以 ?CAO ? ?ACO ,…………(3 分) 所以 ?CAO ? ?CAD 所以原题得证. …………(4 分) (Ⅱ)由题意 OM ? 3, MB ? 1 . …………(4 分)
2 . CM ? AM ? MB ? 7 …………(5 分)

又 AC ? AC, ?CAO ? ?CAD , 所以 Rt ?ACB ≌ Rt ?ACD .. …………(6 分) 所以 CD ? CM , . …………(7 分)
2 又 CD ? DF ? DA ,. …………(8 分) 2 而 CD ? 7 . …………(9 分)

所以 DF ? DA ? 7 . …………(10 分) 23. 解:(I)

7

? ? x ? ?2 ? ? 直线 MN 的参数方程是 ? ? y ? ?4 ? ? ?
2

2 t 2 ( t为参数 )…………(1 分) 2 t 2

代入抛物线方程得 t ? (8 2 ? 2 2 p)t ? 32 ? 8 p ? 0 所以 | AM | ? | AN |? 32 ? 8 p …………(2 分)

| MN |2 ? (8 2 ? 2 2 p) 2 ? 4(32 ? 8 p) …………(3 分)
解得 p ? 1 所以抛物线方程为 y 2 ? 2 x …………(4 分) (Ⅱ) 抛物线的极坐标方程为 ? sin 2 ? ? 2 cos? ,…………(5 分) 设 E ( ?1 , ? ), F ( ? 2 , ? ? ? ) ,

3 2

?1 ?

2 cos ? …………(6 分) sin 2 ? 2 sin ? …………(7 分) cos 2 ?
1 2 cos ? 2 sin ? 4 …………(8 分) ? ? ? 2 2 2 sin ? cos ? sin 2?

?2 ?

所以 S ? 当 2? ?

? ? ? 2k? 时,即 ? ? ? k? , k ? Z 所求面积取得最小值 4…………(10 分) 2 4
当 且 仅 当 ( x ? 2)(x ? m) ? 0 时 取 等

24. 解 析 : (I) f ( x) ?| 2 ? m | 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 , 号…………(2 分) 所以 | 2 ? m |? 1 , …………(3 分) 解得 m ? 1 …………(4 分) (Ⅱ) 因为 2 a ? 0,2b ? 0 …………(5 分)

8


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