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高三数学后期复习教案、策略、方法及建议


高三数学后期复习策略及建议
高三数学后期复习教案、策略、方法及建议 免费提供 欢迎下载(共 53 页) 高三数学后期复习究竟怎么搞?抓什么最有效?这是广大高三数学教师和 学生共同关心的问题。我认为,高考就是应试,后期复习说白了,就是能否提 高几分。因此,高三后期复习工作,关键是要充分挖掘高考增长点,寻求短期 见效,急功近利,事半功倍,即时效益的方法、措施和策略。下面就我多年担 任高三数学复习教学工作的体会,谈谈个人对后期复习工作的理解、想法和建 议,与大家做一个交流和探讨,不敢说对大家有什么启发,但请求各位批评指 导!

一、抓“预”

中国有句古话: “凡事预则立,不预则废” 。对每个同学来说,时间是一个 共同的常数。培根说“合理的安排时间,就等于节约时间” 。 解决时间不够用的矛盾,唯一的方法是从本校的实际情况出发,根据高考 要求,制订一个切实可行的后期复习计划。要向时间要效益,向时间要质量。 后期复习将经历 3 个阶段: (一)第一个阶段:第二轮时间 2—4 月份 这阶段要研究如下内容(对二轮的认识) 1、基本原则 一轮复习教学的基本原则是: (1)系统性原则; (2)基础性原则;
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纵向,分块,过关

(3)全面性原则; (4)滚动性原则; (5)规范性原则; 规范要抓早

二轮复习教学的基本原则是: (1)导向性原则;考纲解读。信息:教纲,考纲;考题,样题 (2)专题性原则;横向,整合,浓缩,过关,多少专题为宜?根据各校的时 间实际而定,以知识性为主,不需要单独专搞思想方法方面的专题。 (3)针对性原则;考点,重点,盲点(查漏补缺),弱点,专项 (4)综合性原则; (5)研究性原则;热点,可能热点,冷点,亮点(新教材,平稳过渡问题) 2、呈现形式 (1)专题形式 二轮如下专题可供参考: 函数板块 专题 1:集合与简易逻辑 专题 2:函数的性质与图象 专题 3:二次函数 专题 4:导数及其应用 专题 5:函数的综合应用 三角与向量板块 专题 6:三角函数的定义与公式 专题 7:三角函数的性质与图象 专题 8:三角变换
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专题 9:三角形中的三角函数(含解三角形) 专题 10:平面向量的概念与运算 专题 11:三角与向量 专题 12:平面向量的应用 数列板块 专题 13:等差数列与等比数列 专题 14:数列的通项与求和 专题 15:递推数列 专题 16:数列的综合应用 不等式板块 专题 17:不等式的性质与证明 专题 18:解不等式与线性规划 专题 19:基本不等式的应用 专题 20:不等式的综合应用 立体几何板块 专题 21:直线与平面 专题 22:空间角与距离的计算(至少两课时) 专题 23:立几中的变换(翻折与展开) 专题 24:立体几何的综合应用(含面积与体积) 解析几何板块 专题 25:直线与圆 专题 26:直线与圆锥曲线 专题 27:圆锥曲线间的位置关系
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专题 28:轨迹 专题 29:解析几何的综合应用 排列组合、二项式定理、概率与统计板块 专题 30:排列组合与二项式定理 专题 31:概率与统计 专题 32:排列组合、二项式定理、概率与统计的综合应用 注:每专题课时的设置,可根据学生一轮中复习的情况而定。 (2)专项形式 ①小题训练:客观题:选择,填空。薄弱:填空题 ②错题回访:收集易错、易混错,让学生回味纠正 ③分块过关:每个板块都设置了“综合应用” ,一方面将本块知识、方法进 行综合;另一方面就是进行分块过关训练。 (3)自主形式:每周两节课自主复习。看什么?怎么看?为什么这样看? (4)综合形式:每周一次综合训练,仿高考 3、课堂模式 (1)讲练式:学生层次高点,理化组合,属于专题课。 (2)练讲式:学生层次略低,文科组合,属于讲评课,对成绩好的是浪费, 低效复习 (3)备讲式:介于上述两者之间,如物生、化生组合等。 课堂中注意: 双高:教师高水平,学生高质量。 双主:学生主体,教师主导。 双法:教师的教法,学生的学法。
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双动:师生互动。 双向:横向联系——拓展;纵向提升——升华(提炼,总结,规律,思想, 提高)。 双赢:教师,学生。 (二)第二阶段:第三轮时间 5 月中上旬 这阶段的主要是: 1、模拟训练 2、自主复习 (三)第三阶段 1、回归基础:5 月下旬,基本自主,每天 4 节课,黄金时留给学生。自主 总结,查漏补缺,回访训练,回味错题,回到课本,回归基础。目的是,让学 生有一个消化、感悟、内化的过程,重建学科知识体系,重温学科思想方法, 形成学科整体框架,实现知识到能力的飞跃。 2、全真考试:5 月下。 3、考前指导:指导什么? 二、抓“研” 1、如何研? (1)集体研——备课组活动。 模式:主讲发言——大家讨论——形成共识——模块要求——个体再备 解决:教什么?怎么教?为什么这样教?还可以怎样教?团结协作,资源 共享。 (2)个体研——备课组活动前布置任务,活动时交流。 2、研什么?——导向,信息,课堂,训练
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(1)双纲:考纲解读与教纲的比较。 (2)双题:近几年高考题与考纲样题(考试说明中的“典型题示例” ) 。 (3)双书:教科书与新教材。考试高考平稳过渡,新课程中淡化的内容,不 要求的内容甚至删减的内容,是否是高考的重点?新课程重视什么? (4)双点:热点与冷点。 (5)双案:教案与学案,教学案。 (6)双课:专题复习课与训练讲评课。 “4 讲” :讲什么?怎么讲?为什么这 样讲?还可以怎样讲?防止漫讲与滥讲,要精讲活讲。 “4 度” :师生的互动度, 学生的参与度,思维的发散度,学生的合作度。 三、抓“薄” 1、补薄: 数学学科内的知识、题型、方法等方面的缺陷(漏洞)与不足(薄弱),如薄弱 的知识点、知识块、薄弱题型(如填空题)。有些是班级学生共有的,有些是学生 自己的,因为通过多次训练的搜索,薄弱的点、块就能逐步凸现出来。 2、治薄: 数学瘸腿学科(薄弱学科),争取总分,提高层次,使数学为数学教师争脸, 为学校争光,为社会作贡献! 如何抓薄弱点、块、科?一方面,靠学生自己时间的调配,注意适当倾斜; 另一方面,老师要主动帮助解疑答难,力求使学生弄清基本知识与基本方法, 理顺知识关系,纠正模糊认识。使学生扬长补差(补薄,补漏),提高总分,争取 提升升学层次。 3、变薄: (1)华罗庚“薄厚互变”读书法
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华罗庚是誉满全球的著名数学家。仅有初中学历的他之所以能够卓然成家, 与他在读书时创造性地运用了“薄—厚—薄”的“薄厚互变”读书法有着密切 的关系。有句成语:厚积薄发。 “薄厚互变”法是分两个阶段进行的: 第一阶段是由薄到厚。这是说,在读一本书的时候,一定要扎扎实实,每 一个概念都要彻底地搞清楚。例如,一条定理,已知条件是什么,结论什么, 在证明中是否涉及到另外的概念和结论等,都要一一弄明白。如果遇到了别的 概念和结论,就应该把它的来龙去脉搞清楚。不懂就追,追根求源,不搞清楚, 决不收兵。这样一来,本来一本不太厚的书,追到后来,内容不知道增加了多 少,可能就变得相当厚了。这就是由薄到厚。 第二阶段是由厚到薄。由薄到厚,这仅是读书的第一步,此外还有更重要 的一步,就是再由厚到薄。读一本书,不是仅仅把个别的概念、个别的定理弄 明白就可以了,还要能够进行分析归纳,抓住主要的本质东西,做到融会贯通。 通过自己的深入分析后,就会感到,真正要记住的东西并不多,原先很厚的一 本书,到这时候,就像变得相当薄了。譬如读了高中以后,再回过头想想以前 学过的小学算术、初中代数,虽然也有那么几本,但现在经过一归纳,还有那 么厚吗?没有了。这就是由厚到薄。 由薄到厚和由厚到薄这两者并非不相关涉,而是相辅相成的。没有由薄到 厚这一步,就不可能有由厚到薄的进一步。反过来,如果只做到由薄到厚,而 不能做到由厚到薄,那么书读得越多就会越麻烦,就会附入书堆的烟海之中而 茫茫然毫无头绪,同样不可能真正把书读懂读通。 由薄到厚,由厚到薄,这样不断地“薄厚互变”的读书,速度是不是太慢 了一点?不错,这么读开头也许要慢一点,但如果经过一段时间的训练,当练
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就一套由薄到厚再由厚到薄的硬工夫,那么看同类书时,在认真攻读一本之后, 再读其余的几本,就会发现,这部分原来自己已经十分明白了,那部分实际和 第一本书上读到的完全一样,其中真正新的、需要学的东西就剩下那么一点点 了。这么去读。不就快得多了么?所以,用这种“薄厚互变”法读书,乃是先 慢后快,慢中藏快,往往可以收到事半功倍之效。 (2)高三学生如何将数学学科变薄? 利用高三的第三轮及回归基础阶段的自主时间,通过看讲义、看练卷、看 考题、看课本、看笔记,进行由厚到薄的收缩性复习,对每一个板块的主要知 识(定理、性质、公式等)、规律、方法,误区(易错点)等整理成几张纸。学生在 自己头脑中构建学科体系、结构、框架和网络。好象形成了学科地图,加强了 知识与方法的记忆,初步形成了解决问题的系统。 在此基础上,安排时间让学生之间进行一次相互交流。同时,备课组分工 落实,拿出一份具有指导价值的考前指导资料。 这样,经过学生回味、矫正,整理,通过学生间的交流,启发,补充,再 由教师引领,指导,点拨,学生那厚厚的书本,高高的讲义,沉沉的负担,能 不变“薄”吗? 此时,学生会感到,原来高中数学就这么回事,没有什么了不得,从而鼓 舞学生高考斗志,增强学生必胜信心。在战略上藐视“敌人” ,但在战术上要重 视“敌人” ! (3)“高中数学知识回味”参考

高 中 数 学 知 识 回 味 回味即归纳整理,通过归纳,可以使人透过现象看本质,找到知识的精
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华;通过归纳,可以使所学内容条理清晰,用起来得心应手;通过归纳,可 以找到致错根源,避免再犯同样的错误 。 第一部分:函数 一、考试内容及要求 1.集合、简易逻辑 考试内容:集合:子集、补集、交集、并集;逻辑联结词,四种命题,充要 条件 . 考试要求:⑴理解集合、子集、补集、交集、并集的概念,了解空集和全集 的意义,了解属于、包含、相等关系的意义 ,掌握有关的术语和符号,并会用 它们正确表示一些简单的集合 . ⑵理解逻辑联结词“或” 、 “且” 、 “非”的含义,理解四种命题及其相互关系, 掌握充要条件的意义 . 2.函数 考试内容:映射,函数,函数的单调性;反函数,互为反函数的函数图像间 的关系;指数概念的扩充,有理指数幂的运算性质,指数函数 .;对数、对数 的运算性质,对数函数 . 函数的应用举例 . 考试要求:⑴了解映射的概念,理解函数的概念 . ⑵了解函数的单调性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性的方法 . ⑶了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系,会求一些简单函数 的反函数 . ⑷理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图 像和性质. ⑸理解对数的概念,掌握对数的运算性质,掌握对数函数的概念、图像和性
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质. ⑹能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问 题. 二、重要知识、技能技巧(省略的部分自己填写) 1.函数是一种特殊的映射: f: A→ B (A、 B 为非空数集 ), 定义域:
自然定义域: 给解析式, 常涉及分母 , 开方, 指数幂, 对数或三角函数 , 复合函数 ? ? 加条件的制约 ?限定定义域, : 应用条件的限制或有附

解决函数问题必须树立“定义域优先”的观点 . 2.函数值域、最值的常用解法 ⑴观察法;⑵配方法;⑶反表示法;如 y= cx ? d 或y ?
ax ? b sin 2 x ? 1 2 ? cos 2 x

⑷△法;适用于经过去分母、平方、换元等变换后得到关于 y 的一元二次方 程的一类函数;⑸基本不等式法;⑹单调函数法;⑺数形结合法;⑻换元法; ⑼导数法 . 3.关于反函数 ⑴求一个函数 y=f(x)(定义域 A,值域 D)的反函数步骤; (略) ⑵互为反函数的两函数的定义域、值域、图象间关系; ⑶分段函数的反函数分段求解; ⑷有关性质:定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;单调函数必有反 函数,且两函数单调性相同;奇函数的反函数仍为奇函数; 周期函数不存在反函数; f- 1(a)=b ? f(b)=a. 4.函数奇偶性 ⑴判断
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?定义域关于原点对称 ? ? f (? x) ? f ( x) ? 0 ? ? ①解析式 ? ? ? f ( x ) ? f ( ? x ) 或 f ( ? x ) ? ? f ( x ) f ( ? x ) ? ? ? ? f ( x) ? ?1, f ( x) ? 0 ? ? ? ? ?

②图象(关于 y 轴或坐标原点对称) ⑵性质:如果 f(x)是奇函数且在 x=0 有定义,则 f(0)=0;常数函数 f(x)=0 定 义域 ( - l,l) 既是奇函数也是偶函数;在公共定义域上,两个奇、偶函数的运 算性质 .(略) 5.函数单调性 ⑴定义的等价形式如:
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) >0 ? (x1- x2)[f(x1)- f(x2)]>0 x1 ? x 2

⑵判断:①定义法;②导数法;③结论法(慎用) . 奇偶函数在对称区间上的单调性;互为反函数的两函数单调性;复合函数的 单调性(同增异减) ;常见函数的单调性(如 y=x+ a ,a∈ R) .
x

6.函数周期性 ⑴f(x)=f(x+a)对定义域中任意 x 总成立,则 T=a.如果一个函数是周期函数,则其周期 有无数个. ⑵ f(x+a)=f(x - a),则 T=2a. ⑶ f(x+a)=-
1 ,则 T=2a. f ( x)

⑷ f(x)图象关于 x=a 及 x=b 对称, a≠ b,则 T=2(b- a). ⑸ f(x)图象关于 x=a 及点 (b,c) (b≠ a)对称,则 T=4(b- a). 7.函数图象的对称性 ⑴若 f(a+x)=f(a - x) 或 [f(x)=f(2a - x)] ,则 f(x) 图象关于 x=a 对称,特别地 f(x)=f(- x)则关于 x=0 对称; ⑵若 f(a+x)+f(b - x)=2c ,则 f(x)图象关于 (
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a?b ,c)中心对称,特别地 f(x)+f(- 2

x)=0,则关于 (0,0)对称; ⑶若 f(a+x)=f(b - x),则 y=f(x)关于 x= a ? b 对称;
2

⑷ y=f(x)与 y=f(2a- x)关于 x=a 对称; y=f(x)与 y=- f(x)+2b 关于 y=b 对称; y=f(x)与 y=- f(2a- x)+2b,关于 (a,b)对称 . ⑸ y=f(a+x)与 y=f(b- x),关于 x= b ? a 对称 .
2

8.⑴要熟练掌握和二次函数有关的方程不等式等问题,并能结合二次函数的 图象进行分类讨论;结合图象探索综合题的解题切入点。 ⑵抽象函数未给出函数解析式,但给出函数的一些性质来探讨它的其他性 质,这样的题目常以具体的函数为背景,处理时要用广义的定义、性质、定 理去处理,不能用具体函数去论证 . 9.指数对数函数 ⑴对数恒等式 a log x =x
a

(a>0 且 a≠ 1,x>0).

⑵对数运算性质( M>0, N>0, p∈ Q) ① loga(MN)=logaM+log aN;② loga M =logaM- logaN;③ logaNp=plogaN.
N

⑶ y=logax 与 y=log 1 x; y=ax 与 y=( 1 )x; y=ax 与 y=b x (a>b)
a

a

y=log ax 与 y=logbx 图象间关系: (略 ) 10.逻辑联结词,四种命题 ⑴且、或、否可理解为与交、并、补对应 . ⑵非 p 即 ? p 是对 p 的否定,而 p 的否命题,则是否定条件,否定结论 . 例: p:如果 x=1,那么 x2- 1=0; 则 ? p:如果 x=1,那么 x2- 1≠ 0.

而命题 p 的否命题是:如果 x≠ 1,那么 x2- 1≠ 0. ⑶原命题和它的逆否命题、逆命题与否命题都互为逆否命题,互为逆否的两
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个命题真假性一致, 因此一个命题的真假性难以判断或一个命题难以证明时, 可以判断或证明它的逆否命题 . 11.充要条件 ⑴充分条件,必要条件,充要条件的等价叙述,如, p 是 q 的充分条件 ? 若 p,则 q ? p ?q ? q 的一个充分条件是 p. ⑵关于充要条件的几个结论: ①“定义域关于原点对称”是“函数为奇或偶函数”的必要不充分条件 . ②在△ ABC 中, A>B ? a>b. ③“ | a |=| b |”是“ a ? b ”的必要不充分条件 ④“ {an}既是等差,又是等比数列”是“ {an}是常数数列”的充分不必要条 件. ⑤“方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 ”是“该方程表示圆方程”的必要不充分条件 . ⑥ f′ (x)=0 是 x 为极值点的必要不充分条件 . ⑶证明充要条件的命题要证明两个方面,首先必须找准一个命题的条件和结 论 .. 12.反证法 反证法就是假设命题的结论不成立, 从这个假定出发, 经过推理证出其矛盾, 然后推翻假设肯定原来命题正确。推出矛盾常见以下几种: ⑴与公理、定理、定义矛盾; ⑵与熟知的事实矛盾; ⑶与已知矛盾; ⑷与不同方向推出的其他结论矛盾。 以下情形适宜用反证法证明:
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⑴难以甚至无法由已知条件直接证明结论的; ⑵“至多” 、 “至少”型问题; ⑶唯一性的证明; ⑷问题的结论本身以否定形式给出的; ⑸要证命题的逆命题是正确的。 注意若命题结论的反面情况有多种,则必须将每一种反面情况都驳倒。 13.解答函数应用题的基本步骤为: ⑴审题:审题是解题的基础,它包括阅读、理解、翻译、挖掘等,通过阅读, 理解问题的类型、内涵、实质,以及应建立的数学模型; ⑵建模:在细心阅读,深入理解题意的基础上,引进数学符号,将题目中的 非数学语言转化成数学语言,然后,根据题意,列出数量关系——建立函数 模型,注意字母为取值范围应符合实际事实。 ⑶解模:通过函数的有关性质的运用,进行推理、运算,使问题得到解决;

⑷还原评价:应用问题不是单纯的数学问题,对于理论的推导结果,要代入 原问题中进行检验、评价,判断是否符合实际情况。 分析、解决应用问题的思维过程:
实际问题





数学问题

(审题、转化、抽象)
实际问题结论
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数学问题结果

问题解决 还 原

解模推算

(检验、评价)

三 .易错点提示 ⑴多变量问题注意主元与辅助元的转换 如 p∈(
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,4) 时 , 不 等 式 px+1>2x - p 恒 成 立 , 可 看 成 关 于 p 的 函 数

? 1 g ( ) ? 0, 1 g(p)=(x+1)p+1 - 2x>0,在 ( ,4)上恒成立 ? (等号不同时取) ? 4 4 ? g ( 4 ) ? 0 . ?

⑵单调函数要与区间对应 . ⑶关于范围的结论的书写注意端点的“开闭” ⑷ y=
bx ? c 的中心 (a,b),渐近线 x=a,y=b,单调区间 (-∞ ,a),(a,+∞ ) (ab+c≠ 0) x?a

⑸图象信息题注意观察:对称性、特殊点、升降情况、图象位置、变化率、最高、 最低点等. 如: y=
ax ? b 图象 x2 ? c

则 a>c>b. 则 a>0,b>0,c<0.

y=ax3+bx2+cx+d ⑹复合函数要注意定义域的作用

如求 y=log2(x2- 3x+2)的单调区间,已知 f(x+ )=x2+ 定义域 . ⑺解决映射的有关问题,注意分类讨论 .

1 x

1 ,求 f(x)均须考虑 x2

如 M={x,y,z}, N={1,0,- 1}, f: M→ N 满足 f(x)- f(y)=f(z)的映射个数 (7). ⑻注意代表元素的不同对集合意义的影响。 如 {y|y=x2}、 {x|y=x2}、 {(x,y)|y=x2} 就表示完全不同的三个集合, 它们分别表示 [0,+∞ ) ,R 两个数集及抛物线 y=x2
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上的点集。避免如下错误: {y|y=x2}∩ {y|y=2 x}={(2,2)、 (4,4)}。 ⑼用列举法表示集合时 ,元素既不能遗漏 ,又不能违反互异性原则 ,如方程 (x- 1)2 (x+2)=0 的解集表示为 {1,1,- 2}是错误的,作为集合只能表示为 {1,- 2}. 另外注意 (1,2),{1,2},{(1,2)} 的区别 . ⑽一般来说图象直观不能代替代数论证 . 四 .自我查找 请结合你自己学习函数这部分内容的实际情况 ,列举你自己认为的易错点、 难 点、疑点 .

第二部分:导数

一、考试要求: 1、了解导数概念的实际背景。 2、理解导数的几何意义。 3、掌握函数 y=xn (n∈N+)的导数公式,会求多项式函数的导数。 4、理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念,并会用导数求多项式函数的 单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。 5、会利用导数求最大值和最小值的方法,解决科技、经济、社会中的某些简单 实际问题。 二、知识与方法 1、导数的定义 设函数 y=f(x)在点 x0 及其近旁有定义,当自变量 x 在 x0 处有增量(或称改为量) △x,那么函数 y 相应的有增量(或称改变量)△y,
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△y=f(x0+△x)-f(x0) 比值 ?y 就叫做函数 y=f(x)在 x0 到 x0+△x 之间的平均变化率.
?x f ( x ? ?x) ? f ( x0 ) = 0 . ?x 如果当△x→0 时, ?y ?x ?y ?x

有极限,我们就说函数 y=f(x)在 x0 处可导,并把这个极

限值叫做函数 f(x)在 x0 处的导数(或称变化率) ,记作 f′(x0)或 y′|x=x0 或 f′ (x)|x=x0.即:
?y f′(x0)= ? lim ? lim x ?0 ?x ?0 ?x f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x
0

这里须指出:f′(x0)是函数 y=f(x)在 x0 点的导数值,瞬时速度 vt 就是位移函数 s(t)在点 t0 处的导数,即:S′(t0)=
vt
0

2、求函数 y=f(x)在 x0 点处的导数的步骤 ⑴求函数的增量△y=f(x0+△x)-f(x0) ⑵求平均变化率: ?y =
?x f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

.
?x

?y ⑶取极限,求函数在 x0 点的变化率,即导数:f′(x0)= ? . lim x ?0

3、 “函数 f(x)在点 x0 处的导数” 、 “导函数”及“导数”的概念间的区别与联系: ⑴函数在一点处的导数, 就是在该点的函数增量△y=f(x0+△x)-f(x0)与自变量的 增量△x 之比的极限。它是一个常数,不是变量。 ⑵如果函数 y=f(x)在区间(a,b)内每一点处均可导,这时称 y=f(x)在区间(a,b)内可 导,对于区间(a,b)内一个确定的值 x0,都对应着一个确定的导数 f′(x0),这样 的对应就构成了以区间(a,b)为定义域的一个新函数,称为函数 f(x)的导函数,简 称导数,所以函数的导数是对某一区间内任意一点 x 而言的。 ⑶y=f(x)在 x=x0 处的导数 f′(x0)就是导函数 f′(x)在 x=x0 处的函数值, 即 f′(x)| x ? x =f′(x0),值得注意的是:f′(x0)≠[f(x0)]′
0

4、导数的几何意义
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⑴函数 f(x)在点 x0 处有导数,则函数 f(x)的曲线在该点处必有切线,且导数值是 该切线的斜率;但函数 f(x)的曲线在点 x0 处有切线,函数 f(x)在该点处不一定可 导。如 f(x)=
x在

x=0 有切线,但不可导。

⑵函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意义是指:曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切 线的斜率,即曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率是 f′(x0),切线方程为 y- f(x0)=f′(x0)(x-x0) 5、常见函数的导数公式 ⑴C′=0 (C 为常数) 6、可导函数四则运算法则 设函数 f(x)、g(x)都是可导函数,则: (f(x)±g(x))′=f′(x)±g′(x) 三、导数的应用 1、利用导数判断函数的单调性 设函数 y=f(x)在某区间内可导,并且在该区间内,f′(x)>0,则 f(x)在该区间内 为增函数;若在该区间内,f′(x)<0,则 f(x)在该区间内为减函数. 指出:若可导函数只有某区间的个别点处导数等于零,不影响函数在该区间内 的单调性,如 y=x3,在(-∞,+∞)内,y=3x2≥0(只在 x=0 处 y′=0)不影响 y=x3 在(-∞,+∞)内为单调增加. 2、求可导函数 f(x)单调区间的一般方法和步骤如下: ⑴确定函数 f(x)的定义区间; ⑵求函数 f(x)的导数 f′(x); ⑶令 f′(x)>0,所得 x 的范围(区间)为函数 f(x)的单调增区间;令 f′(x)<0, 得单调减区间.
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⑵(xn)′=nxn-1 (n∈Q)

3、利用导数求函数的极值 ⑴极值的定义:设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,如果对 x0 左右近旁的所有 x 值, 都有 f(x)<f(x0) 我们就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值,记作 y 极大值=f(x0), 如果对 x0 左右近旁的所有 x 值,都有 f(x)>f(x0) 我们就说 f(x0)是 f(x)的一个极小值,记作 y 极小值=f(x0) 极大值、极小值统称为 f(x)的极值. 指出:一个函数在给定区间上的极小值不一定小于极大值.(即极小值可以大于或 等于极大值);极值是函数的局部性质,它仅与左右近旁的函数值进行比较;极 值点一定是区间的内点。导数为零的点是该点为极值点的必要条件,不是充分 条件。 ⑵极值的判定方法。 当函数 f(x)在 x0 处连续时,判别 f(x0)是极大(小)值的方法是: ①如果在 x0 在左侧近旁 f′(x0)>0,右侧近旁 f′(x0)<0,那么 f(x0)是极大值; ②如果在 x0 在左侧近旁 f′(x0)<0,右侧近旁 f′(x0)>0,那么 f(x0)是极小值. ⑶求函数的极值的步骤: ①求函数的定义域 ②求导数 f′(x) ③求导数 f′(x)=0 的根. ④检查 f′(x)在方程 f′(x)=0 的根的左右的符号,如果左正、右负,那么 f(x)在 这个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值. 4、函数的最大值与最小值
19

⑴闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值 .(开区间上的连续函数不一定有 最大值和最小值). ⑵求闭区间[a,b]上的连续函数 f(x)的最大值和最小值的步骤: ①求 f(x)在(a,b)内的极值; ②将 f(x)的各极值与端点函数值 f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最 小的一个是最小值. ⑶如果函数 f(x)在开区间(a,b)或(-∞,+∞)内可导且有惟一的极值点 x0,那么当 f(x0)是极大值时,f(x0)就是 f(x)在该区间上的最大值;当 f(x0)是极小值时,f(x0) 就是 f(x)在该区间上的最小值. ⑷对于实际问题,如果连续函数 f(x)在区间(a,b)内只有一个点使 f′(x)=0,而 且实际问题本身又可以知道 f(x)在(a,b)内必定取得最大值或最小值, 则 f(x0)就是 所求的最大值或最小值,这时也就无须判断是极大值还是极小值.

第三部分 三角函数 一、重点突破 1、关于任意角的概念 角的概念推广后,任意角包括、正角、负角、零角;象限角、轴上角、区间角 及终边相同的角 2、角的概念推广后,注意“0°到 90°的角” 、 “第一象限角” 、 “钝角”和“小于 90°的角”这四个概念的区别 3、两个实用公式:弧度公式:l=|α |r,扇形面积公式:S= 1 |α |r2
2

4、三角函数曲线即三角函数的图像,与三角函数线是不同的概念 5、利用任意角的三角函数及同角三角函数的基本关系式,诱导公式可以解决证
20

明、化简、求值问题,而求值有“给角求值” 、 “给值求值” 、 “给值求角”三类。 6、应用两角和与差的三角函数公式应注意: ⑴当α ,β 中有一个角为 ? 的整数倍时,利用诱导公式较为简便。
2

⑵善于利用角的变形,如β =(α +β )-α ,2α =(α +β )+(α -β ),? +2α =2(α + ? )
2 4

等 ⑶倍角公式的变形——降幂公式:sin2α = 1 ? cos 2? ,cos2α = 1 ? cos 2? ,sinα cos
2 2

α = 1 sin2α 应用十分广泛.
2

7、三角函数的图像和性质,重点掌握: , ⑴周期性的概念; ⑵y=Asin(ω x+ ? )的图像是由 y=sinx 的图像经过怎样的变换得 到 ⑶五点法作图. 8、三角求值问题的解题思路: ⑴三种基本变换:角度变换、名称变换、运算结构的变换 ⑵给值求角问题的基本思路 ①先求出该角的一个三角函数值;②再根据角的范围与函数值定角,要注意角 的范围对三角函数值的影响。 9、注意活用数学思想方法:方程思想、数形结合,整体思想、向量方法 二、注意点 ㈠三角函数 y=Asin(ω x∈ ? ) (A,ω >0)的性质 1、奇偶性:当 ? =kπ + ? 时是偶函数,当 ? =kπ 时是奇函数,当 ? ≠ k? 时是非奇
2 2

非偶函数(k∈Z) 2、对称性:关于点( k? ? ? ,0)中心对称,关于直线 ?
21

x=

k? ?

? ?? 2 ?

(k∈Z)轴对称.

㈡任意角三角函数 1、当α 为第一象限角时,sinα +cosα >1 2、当α ∈(- 3? +2kπ ,
4 ? +2kπ 4

),k∈Z 时,sinα -cosα <0 (点在 x-y=0 下方)

当α ∈( ? +2kπ ,
4

3? +2kπ 4

),k∈Z 时,sinα -cosα >0 (点在 x-y=0 上方)

总之,可归纳为“成上大于 0,成下小于 0”.

第四部分

平面向量

一、知识方法与技巧 ㈠向量的概念及运算 1、向量的有关概念 向量—既有大小又有方向的量

向量的长度(模)—向量的大小 平行向量(共线向量)—方向相同或相反的非零向量,并且规定零向量与任何向 量均平行. 相等向量—长度相等且方向相同的向量。 2、向量运算 ⑴加法运算 加法法则:①三角形法则;②平行四边形法则 平面向量的坐标运算:设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则 a + b =(x1+x2,y1+y2). ⑵减法运算 减法法则,平面向量的坐标运算: 设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则 a - b =(x1-x2,y1-y2). 设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), AB =(x2-x1,y2-y1).
22

⑶实数与向量的积 定义:λ a ,其中λ >0 时,λ a 与 a 同向,|λ a |=λ | a |; 当λ <0 时,λ a 与 a 反方向,|λ a |=|λ || a |. 0? a = 0 平面向量的坐标运算:设 a =(x,y),则:λ a =λ (x,y)=(λ x, λ y). 3、向量的几何运算和坐标运算 向量的几何运算是向量知识的基础,本类题是向量加减法、数乘的运算定义和 运算法则的基本练习,以向量运算图或向量运算式给出,并通过图解或式解来 完成,设问形式有求解、作图、化简、证明等,解题方法比较直接。 向量的坐标运算包括直接利用坐标法运算法则计算向量的和、差、数乘积。 4、两个向量平行的充要条件
a ∥ b ? a =λ b ;设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则 a ∥ b ? x1y2-x2y1=0.

㈡平面向量的数量积 1、平面向量的数量积 定义:a ?b =| a || b |cosθ (a≠ 0 , b≠ 0 , 0°≤θ ≤180°) 几何表示
0 ? a =0

坐标表示 运算律

a ? b =x1x2+y1y2 a? b =b ? a

(λ a )? (λ b ); ( a + b )? c =a? c b =a? b +b ?

2、平面向量数量积的重要性质 几何表示 ⑴| a |= a ? a = ⑴| a |= x12 ? y12 坐标表示
| a |2

⑵cosθ =

a?b | a | |b |

⑶| a ? b |≤| a || b |

⑵cosθ =

x1 x2 ? y1 y 2
2 2 x ? y12 ? x2 ? y2 2 1

⑶|x1x2+y1y2|≤ x12 ? y12 ? x22 ? y22

23

3、两个向量垂直的充要条件
a ⊥ b ? a ? b =0 ( a 、 b 均 为 非 零 向 量 ) 设 a =(x1,y1) , b =(x2,y2) , 则 a ⊥ b ? x1x2+y1y2=0.

4、常用的模的等式和不等式 | a |2= a ? a 或| a |= a ? a ; | a ? b |≤| a |?| b |; | a |2-| b |2=( a + b )( a - b ) | a ? b |=
a 2 ? b 2 ? 2 | a | ? | b | cos ?

(θ 为 a 、 b 夹角). || a |-| b ||≤| a ± b |≤| a |+| b |.

特别是| a |2= a 2 及其变式应用最为广泛. ㈢线段的定比分点及平移 1、线段的定比分点及平移的基础知识 ⑴线段的定比分点
x ? ?x 2 ? x? 1 , ? 1? ? 线段的定比分点坐标公式: ? [P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y), P1 P =λ PP2 ] ? ? y ? y1 ? ?y 2 . ? 1? ? ? x ? x2 ? x? 1 , ? ? 2 中点坐标公式: ? 三角形重心坐标公式:设△ABC 的三个项点为 ? y ? y1 ? y 2 . ? 2 ? x ?x ?x y ?y ?y A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3), 则重心 G(x,y)的坐标为: x= 1 2 3 , y= 1 2 3 3 3

⑵图形变换公式 平移公式: 若点 P0(x,y)按向量 a =(h,k)平移至 P(x′,y′),则 ? 2、平移公式的三类运用 ⑴已知平移前后的解析式,求平移向量;⑵已知平移向量及解析式,求平移后 的解析式; ⑶已知平移向量及平移后的解析式,求平移前的解析式. 说明:三类问题主要是运用平移公式及待定系数法.
24

? x ? ? x ? h, . ? y ? ? y ? k.

㈣正余弦定理的运用 1、关于三角形边、角的主要关系式 ⑴三角形内角和等于 180° ⑵三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. ⑶三角形中大边对大角,小边对小角. ⑷正弦定理
a b c ? ? sin A sin B sin C

=2R.

⑸勾股定理 c2=a2+b2 (其中 c 为直角三角形的斜边) ⑹余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC;cosC= ⑺射影定理:a=bcosC+ccosB. ⑻三角形的面积公式:S△= 1 ah(其中 h 是 a 边上的高). S△= 1 absinC.
2 2
a2 ? b2 ? c2 2ab

.

⑼由 A+B+C=π ,易推出 ①sinA=sin(B+C),cosA=-cos(B+C),tanA=-tan(B+C) ②sin A =cos B ? C , cos A = B ? C ,tan A =cot B ? C .
2 2 2 2 2 2

⑽a>b ? A>B ? sinA>sinB. ⑾锐角△ABC 中,A+B> ? ,A> ? -B,sinA>cosB,cosA<sinB,a2+b2>c2,同样
2 2

可类比锐角△ABC 中结论. 2、利用正、余弦定理判断三角形的形状 由已知,利用三角形中的主要知识点,特别是角的关系和边角关系,推出满足 题设条件的三角形的形状。 3、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解三角形. ⑴正弦定理反映了三角形的边角关系,它可以用来解决两类解斜三角形的问题. ①已知两角和一边,求其他边和角. ②已知两边和其中一边的对角, 求另一边的对角 (可进一步求出其他的边和角) . ⑵余弦定理也反映了三角形的边角关系,它是勾股定理的进一步推广,它可以
25

解决以下三类有关斜三角形问题. ①已知三边,求三个角. ②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.

③已知两边和其中一边的对角,求第三边和其他两个角,此类问题需要讨论. 二、易错点提示 1.向量的数量积不满足结合律,即 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) . 2. 零 向 量 与 任 何 向 量 的 数 量 积 等 于 0 , 故 平 行 向 量 不 具 有 传 递 性 即
a. // b, b // c推不出 a // c .

3.平面向量数量积的消去律不成立,即若 c 是非零向量,且 a ? c ? b ? c 并不能得到
a ? b,

只可得到 a 、 b 在 c 上的投影相等. 4. a 2= a ? a =| a || a |cos0=| a |2.故 a 2 是一个实数. 5. a 、 b 的夹角为锐角 ? ? ?
?a ? b ? 0 ? ?a ? b ?| a || b | ? ?a ? b ? 0 a 、 b 的夹角为钝角 ? ? ? ?a ? b ? ? | a || b |

6.向量 OA 、 OB 不共线, OP ? mOA ? nOB ,则 A、P、B 三点共线的充要条件是 m+n=1. 7.在应用正弦定理解决“已知两边和其中一边的对角,求解三角形”时应注意解 的个数. 8.在应用平移公式 ?
? x? ? x ? h 时,一定要分清 P(x,y)为平移前的点,P’(x’,y’)为平 ? y? ? y ? k

移后的点, a =(h,k)为平移向量,否则会出现方向性错误.

第五部分:数列

一、 考试要求
26

⑴理解数列的概念,了解数列通项公式的意义。了解递推公式是给出数 列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项。 ⑵理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前几项和公式,并 能解决简单的实际问题。 ⑶理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式,并 能解决简单的实际问题。 二、知识方法与技巧 1. 根据数列的前几项写出它的通项公式时,其通项公式不唯一 . 例如: 1 , 2 , 4 ,?? . 通项 a n =2 n - 1 或 a n = ?
?1 ?2n ? 2 n ?1 n?2

1. 数列通项公式 a n =f(n) ,其图象是 y 轴右侧的坐标为 (n,a n ) 的一系列孤立 点. 2. 由于数列是特殊的函数,所以判断数列的单调性与判断函数的单调性 方法基本是相同的,只需比较 a n 与 a n+1 的大小即可 . ①利用递推公式或者 a n 与 S n 的关系式解题时, 一般要验证初始值 n 是否 适合所求的式子,即 a n = ?
? S1 ? S n ? S n ?1 n ?1 ; n?2

②涉及 a n - 1 或 S n - 1 时,应分 n=1 和 n ≥ 2 两种情况考虑; ③等比数列求和时,要考虑公比 q 是否为 1. 3. 若三数成等差数列,则可设三数为 a - d,a,a+d ;若三数成等比数列,则 可设 ,a,aq. 4. 证明数列 {a n } 是等差数列(等比数列) ,必须根据等差数列(等比数列) 的定义加以证明 .
27

a q

证明数列 {a n } 不是等差数列(等比数列) ,只须说明 a 1 ,a 2 ,a 3 不成等差数列 (等比数列)即可 . 5. 数列 {a n } 为等差数列的充要条件的几种表示 (即等差数列的判定方法) : ① a n+1 - a n =d( 常数 );② 2a n+1 =a n +an+2 ;③ a n =kn+b (k 、 b 为常数 ) ,其中公差 d=k. ④ S n =An 2 +Bn.

数列 {a n } 为等比数列的充要条件的几种表示(即等比数列的判定方法) : ①
a n ?1 =q( 常数 ) ;② a n+1 2 =a n a n+2 ;③ an =aq n(aq ≠ 0 ,且 a 、 q 为常数 ) an

6. 当公差 d ≠ 0 时, 等差数列的前 n 项和 S n 方可表示为关于 n 的不含常数 项的二次函数,且二次项系数的 2 倍就是公差 . 11. 求等差数列前 n 项和 S n 最值的方法:⑴可转化为二次函数,求最值; ⑵应用以下结论:①当公差 d<0 时, S n 最大 ? a n ≥ 0 且 a n+1 ≤ 0 ;②当公差 d>0 时,S n 最小 ? a n≤ 0 且 a n+1 ≥ 0. ③利用 f(n)=S n 的抛物线特征解小题 (d ≠ 0). 12. ①等比数列的任一项及公比都不能为 0 ;②常数数列不一定是等比数 列;③ G 2 =ab 是 a 、 G 、 b 成等比数列的必要条件而非充分条件 . 13. ①若 {a n } 是等差数列,则 { a a } 是等比数列 (a ≠ 0 的常数 ) ;
n

②若 {a n } 是等比数列,且 a n >0 ,则 {log a a n } 是等差数列 (a 为常数 ). 14. 求数列 {a n } 的最值常见方法:①利用通项公式 a n 的本身特征求解;② 若 {a n } 是单调数列,则可利用单调性求解;③若对一切 n ∈ N * 都有, a n >0 (a n <0) ,则 a n 最大 ? ?
?a n ? a n ?1 ?a ? a n ?1 ; a n 最小 ? ? n . ?a n ? a n ?1 ?a n ? a n ?1

15. 求数列 {a n } 前 n 项和 S n ,关键是根据通项 a n 的特征,去寻求求和的方
28

法,常见几种方法:⑴通项裂项法;⑵错位相差法;⑶累加(累乘)法; ⑷逆项相加法 . 16. 分期付款中,要弄清商品售价到贷款全部付清时增值到多少;各期所 付款额到贷款全部付清时分别增值到多少;如何利用分期付款中的有关规 定列出方程;解方程时,如何利用等比数列的知识进行有关计算。 17.a n =a 1 +(a2 - a 1 )+(a 3 - a 2 )+ ? +(a n - an- 1 ) ,a n =a 1 ? 等比中项 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项 . 如果 G 是 a 与 b 的等比中项,那么 G =
a b G
a 2 a3 ? a1 a 2

??

an a n ?1

( an≠ 0)

,即 G 2 =ab ,因此,

G= ±

ab ab ) ,其中

G 是 a,b 的等比中项的充要条件是 G 2 =ab(或 G= ±

ab>0 ,条

件 ab>0 不能少,如果 ab=0 ,a,b 中至少有一个为 0 ,那么 a,g,b 就不为等比 数列,只有同号的两个数才有等比中项,等比中项有两个,它们互为相反 数,这一点与等差中项不同 . 一个等比数列从第 2 项起,每一项(有穷等比数列的末项除外)是它的 前一项与后一项的等比中项。 2. 等比数列性质 ⑴若首项 a 1 >0 ,公比 q>1 ,或首项 a 1<0 ,公比 0<q<1 ,则数列为递增数 列;若首项 a 1 >0 ,公比 0<q<1 或首项 a 1 <0 ,公比 q>1 ,则数列为递减数列; 公比 q=1 ,数列为常数列;公比 q<0 ,数列为摆动数列,公比不等于零是一 大特色 .
29

⑵有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项积相等,并且等于首末两 项之积;特别地,若项数为奇数,还等于中间项的平方,即:
2 a 1 ? a n =a 2 ?a n - 1 =a 3 ? a n - 2 = ? = a中 .

⑶若 m,n,p,k ∈ N* ,且 m+n=p+k ,则 a m? a n =a p ? a k,其中 a m, a n , a p , ak 是数列中的项,特别地,当 m+n=2p 时,有 a m? a n = a 2 p 类似于等差数列,在使用该性质时,不仅应注意等式两边下标和相等, 也应要求等式两边作积的项数应是一样多的 . ⑷若数列 {a n } 与 {b n } 均为等比数列,则 {m?a n ?b n } 与 | 其中 m 是不为零的常数 . ⑸等比数列 {a n } ,通项公式 a n =a 1 ?q n- 1 = 其中 C=
a1 q a1 q ma n bn

| 仍为等比数列,

?q n ,则 a n 可表示为 a n =c ?q n ,

, q 为公比 .
a1 (1 ? q n ) a a ? 1 ? 1 ? q n (q ≠ 1) ,则 1? q 1? q 1? q
a1 1? q

⑹等比数列 {a n } 的前 n 项和 S n =

S n 可表示

为 S n =k - k ?q n ,其中 q 为公比, q ≠ 0 , q ≠ 1 , k= 等差中项

.

任意两个数 a,b 有且只有一个等差中项,即 A= a ? b .
2

A= a ? b 是 a,A,b 成等差数列的充要条件,因此,两个数的等差中项就是
2

这两个数的算术平均数 . 在一个等差数列中,从第 2 项起,每一项(有穷数列的末项除外) ,都是 它的前一项与后一项的等差中项 . 2 、等差数列的性质
30

⑴若公差 d>0 ,则此数列为递增数列;若 d<0 ,则此数列为递减数列;若 d=0 ,则此数列为常数列 . ⑵有穷等差数列中,与首末两项距离相等的两项和相等,并且等于首末 两项之和;特别地,若项数为奇数,还等于中间项的 2 倍,即 a 1 +a n =a 2 +an - 1 =a 3 +an - 2 = ? =2a


⑶若 m,n,p,k ∈ N* ,且 m+n=p+k ,则 a m+a n =a p +a k,其中 a m,a n ,a p ,a k,是数 列中的项,特别地,当 m+n=2p 时,有 a m+a n =2a p . 这条性质,还可以推广到有三项、四项??等情形,使用该性质时,一 要注意等式两边下标和相等,二要注意等式两边和的项数应是一样多的 . ⑷在等差数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列,构成的 新数列仍然是等差数列,但剩下的项按原顺序构成的数列不一定是等差数 列. ⑸等差数列中连续几项之和构成的新数列仍然是等差数列 . ⑹若数列 {a n } 与 {b n } 均为等差数列, 则 {ma n +kb n } 仍为等差数列, 其中 m,k 均为常数 . ⑺等差数列 {a n } 通项公式 a n =a 1 +(n - 1)d=dn+(a 1 - d) ,则 a n 可表示为: a n =kn+b , (其中 k 为等差数列的公差,它可以是任意实数) . ⑻等差数列的前 n 项和 S n =na 1 + n (n - 1)d= d n 2 +(a 1 - d ) ,则 S n 表示为:
2 2 2

S n =an 2 +bn ,其中 a,b 也可以是任意实数,常数项为 0 是一大特色 . 另外,等差数列中还有以下性质须注意: ⑼等差数列 {a n } 中,若 a n =m, a m=n , (m≠ n) 则 a m+n =0. ⑽等差数列 {a n } 中,若 S n =m, S m=n, ( m≠ n_ ,则 S m+n = - (m+n). ⑾等差数列 {a n } 中,若 S n =S m (m≠ n) ,则 S m+n =0.
31

⑿若 {a n } 与 {b n } 均为等差数列,且前 n 项和分别为 S n 与 S n? ,则 ⒀项数为偶数 2n 的等差数列 {a n } ,有 S 2n =n(a 1+a 2n )= ? =n(a n +a n+1 )(a n 与 a n+1 为中间的两项 ) ; S 偶 - S 奇 =nd ;
S奇 S偶 ? an a n ?1

a m S 2 m ?1 ? ? m ?1 bm S 2

.

.

项数为奇数 (2n - 1) 的等差数列 {a n } ,有 S 2n - 1 =(2n - 1)an(a n 为中间项 ) ; S


- S 偶 =a n ;

S奇 S偶

?

n . n ?1

S 奇 、 S 偶 分别为数列中所有奇数项的和与所有偶数项的和 . 等差数列 {a n } 的一些性质 ⑴对于任意正整数 n ,都有 a n+1 - a n =a 2 - a 1 ⑵ {a n } 的通项公式: a n =(a 2 - a 1 )n+(2a 1 - a 2 ) ⑶对于任意正整数 p 、 q 、 r 、 s ,如果 p+q=r+s ,则 a p+a q =a r +a s ⑷对于任意正整数 p 、 q 、 r ,如果 p+r=2q ,则有 a p +ar =2a q ⑸对于任意正整数 n>1 ,有 2a n =an- 1 +a n+1 ⑹对于任意非零实数 b ,数列 {ba n } 是等差数列,则数列 {a n } 是等差数列 ⑺已知数列 {b n } 是等差数列,则 {a n ± b n } 也是等差数列 ⑻ {a 2n } , {a 2n - 1 } , {a 3n - 1 } , {a 3n - 2 } 等都是等差数列 ⑼ S 3m=3(S 2m- S m ). ⑽若 S n =S m (m≠ n) ,则 S m+n =0 ⑾若 S p =q , S q =p ,则 S p+q = - (p+q) (p ≠ q) ⑿ S n =an 2 +bn ,反之亦成立 . 等比数列
32

⑴定义:

a n ?1 an

=q ( 常数 q 为公比 )

⑵通项公式: a n =a 1 q n - 1 ⑶前 n 项和公式
?na1 n Sn= ? ? a1 (1 ? q ) ? 1? q ? q ?1 q ?1

⑷通项公式推广: a n =a m? q n - m 等比数列 {a n } 的一些性质 ⑴对于任意正整数 n ,均有
a n ?1 a 2 ? an a1

⑵对于任意正整数 p 、 q 、 r 、 s ,只要满足 p+q=r+s ,则 a p ? a q =a r ? a s ⑶对于任意正整数 p 、 q 、 r ,如果 p+r=2q ,则 a p ? a r= aq2 ⑷对任意正整数 n>1 ,有 an2 =a n - 1 ? a n+1 ⑸对于任意非零实数 b , {ba n } 也是等比数列 ⑹已知 {b n } 是等比数列,则 {a n b n } 也是等比数列

33

第六部分:不等式 一、知识结构 比较法 不等式的证明 反证法 实数的 性 质 一元一次(二次)不等式(组) 数学归纳法 综合法 分析法

简单的高次不等式 不等式 的性质 不等式的解法 分式不等式

含有绝对值的不等式

求函数的定义域、值域、最值

判断函数的单调性 不等式的应用 处理“范围问题”

一元二次方程根的 讨论、含参数问题 二、知识要求
34

解决实 际问题

㈠不等式的证明 比较法:作差——分解因式、配方等——判断符号——结论(也可作商与 比较) 综合法:利用不等式性质、定理证明不等式 分析法:从欲证不等式出发,寻找它成立的充分条件.注意书写的规范性, 否则可能不得分。 反证法:反设→推出矛盾→否定假设→得出结论 ㈡不等式的解法 重点是一元一次、二次不等式、分式不等式、绝对值不等式的解法. 1.一元一次不等式:一般形式 ax>b; 若 a=0,则当 b<0 时,x∈R;当 b≥0 时,x∈ ? . 2.一元二次不等式 ax 2 +bx+c>0 若 a>0,△<0,则 x∈R 若 a<0,△<0,则 x∈ ?

注意点:⑴二次项系数 a 是否大于 0; ⑵若没有强调是二次函数,则需考虑 a=0 的情形. 3.分式不等式和高次不等式: 注意:
f ( x) ?f ( x ).g( x ) ? 0 ≥0 ? ? . g ( x) ?g( x ) ? 0 f ( x) >0 ? f(x)g(x)>0. g ( x)

㈢基本不等式
2 1 1 ? a b



ab

≤a?b≤
2

a 2 ? b2 2

.

在用基本不等式求极值时,注意:⑴“正数” ,二“定值” ,三“相等” ⑵等号是否取到,若不能取到,常常应用函数的单调性求解;
35

⑶注意挖掘应用问题中变量的范围。 ⑷如果连续运用基本不等式时要注意取等号时的情况也就是所有取到 等号时,极值点相同 . 三、能力要求 1、正确理解和应用不等式的性质,注意到性质中条件减弱和加强时,条件 和结论之间的关系。掌握判断已给不等式是否成立,比较大小,判断不等式中 条件和结论之间充分性的方法。 2、证明不等式要根据待证不等式的结构特点,灵活地选用恰当的方法。 3、熟练掌握有理不等式的解法,这是解不等式的基础。对含参数的不等式 的求解,要充分理解为什么要分类,这是探索分类的标准和正确分类的前提。 4、对于不等式的应用,要掌握把实际问题转化为函数式、代数式的处理方 法,提高实际问题数学化的能力。这类问题大致上可以分为两类:一类是建立 不等式,解不等式;另一类是建立函数式求最大值或最小值。利用平均值不等 式求函数的最值时,要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可。 4、本章内容较多地体现了四种数学思想,即“等价转化”的思想; “分类 讨论”的思想; “数形结合”的思想; “函数与方程”的思想。 四、易错点提示 1、不等式的解一般都要用解集表示:特别是填空题。 2、 在解不等式的过程中要注意, 自变量的约束范围要准确表示区间的开闭。 3、在不等式的传递过程中,要注意的传递性。 放缩中:如果是“放” ≤ 如果是“缩” ≤ ≤??

≥ ≥ ≥??

4、在分离变量的变形过程中,两边同乘除以一个因式要注意被除因式的符
36

号 例:
3 2 ? x13 ? ax12 ? x 2 ? ax2 2 +a(x 1+x 2 )<1 ? 1 ? - x12 - x 1 x 2 - x2 x1 ? x 2

当 x1+x2>0 时,a< 当 x1+x2<0 时,a>

2 x12 ? x1 x 2 ? x 2 ?1 x1 ? x 2

2 x12 ? x1 x 2 ? x 2 ?1 x1 ? x 2

用分离变量恒成立是常见的求范围的方法

第七部分:立体几何

一.直线与平面 1.空间直线: ⑴判定空间两直线是异面直线的常用方法是反证法;⑵对异直线所成的角 的问题,要注意:①异面直线所成角的范围为: (0, ] ;②求异面直线所成的角
2

?

的大小问题通常分为:找角(证角) 、求角两步,而找角通常是利用直线的平移 把角纳入平面图形中,利用平几及代数知识求解;⑶异面直线间距离是通过异 面直线上两点间所有线段的长度的最小值 . ... 2.直线与平面平行、垂直 判定定理是由低一级的位置关系判定高一级的位置关系,而性质定理往往 是高一级的位置关系推出低一级的关系,如对直线与平面平行的判定,就可以 通过直线与直线,直线与平面,平面与平面的三个不同层次予以考虑.也可以通
37

过计算来证明垂直. 3.三垂线定理 三垂线定理及逆定理实际上是线面垂直的简化模型,主要作用是:⑴证明 异面直线垂直;⑵求二面角的平面角;⑶确定点到面的距离. 4.平面与平面平行 两平行平面间的距离,除了求夹在平行平面间的垂线段这一方法外,还可 转化为求线面距离、点面距离. 5.平面与平面垂直 ⑴利用平面与平面垂直的条件,通常在一个面内作棱的垂线,转化为线面 垂直.进而利用解三角形解决空间角、距离、面积、体积的计算.⑵两个平面互相 垂直,3 个平面两两互相垂直的常用模型是长方体(正方体) ,因此与 3 个平面 两两垂直有关的问题,可通过构造长方体的相交于同一顶点的 3 个面来处理. 6.空间角 ⑴求空间角大小的一般步骤是“作、证、求” ,三种角都是转化为相交直线 所成的角或所夹的角,计算过程中要注意角的范围 . 也可用空间向量来求. ...... ⑵二面角的大小是通过其平面角来度量的,求二面角时首先搞清(或作出) 棱,求作二面角的平面角常见的方法有:①定义法;②垂面法:过棱上一点 O 作棱的垂面γ ,与两个半平面的交线为 AO、BO,则∠AOB 就是二面角的平面 角;③利用三垂线定理及逆定理作角;④利用面积射影法:cosθ = ,其中θ 是 二面角的大小,S 是在其中一个面上图形的面积,S’是该图形在另一个半平面上 的射影的面积.⑤用空间向量来求. 7.空间距离 常见的求空间距离的方法有:⑴直接法.按“一作、二证、三计算”的步骤
38

s? s

完成,⑵转化法.在直接法不易求解时,可考虑以下转化法:①点面距离、线面 距离、面面距离间的互相转化;②利用三棱锥的等积变换.

点、面

线、面

面、面

8.平面图形的翻折 ⑴在平面图形翻折中,位于棱的两侧的同一半平面内的元素相对位置关系 和数量关系在翻折前后不变,尤其是垂直于棱的直线翻折后仍垂直于棱;⑵不 变量一般是结合原图形来求、证;变化了的量应在折后的立体图形中来求、证, 注意将空间问题转化为平面问题;⑶多面体表面上两点间最近距离常转化为表 面展开图上距离. 二.简单几何体 1.柱体、锥体 ⑴定义及性质;⑵特殊的多面体:直棱柱、平行面体、长方体、正方体;⑶ 正方体的体对角线与不相交的面对角线互相垂直;⑷长方体的体对角线与棱长 关系;⑸几种特殊三棱锥的顶点在底面上的射影;⑹侧面积:①S
1 2
直棱柱侧

=c?l;

②S 正棱锥侧= ch′;③S 斜棱柱侧=c 直 l;其中 h′为斜高,l 为侧棱长;⑺平行于棱锥 的底面的截面积与底面积之比等于对应高的平方米,对应边的平方比,对应侧 棱的平方比. 2.⑴球既是中心对称,又是轴对称的几何体,它的任何截面均为圆,且过球心的 截面是大圆也是轴截面,因此球的问题经常转化为圆的有关问题来解决.⑵球的 任一截面为圆,圆心与球心的连线垂直于该平面,且球半径 R,截面半径 r,球
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心到截面的距离 d 满足:r= R 2 ? d 2 ;⑶求球面上两点 A、B 间的距离的步骤为: ①求线段 AB 长;②求 A、B 到球心 O 的张角,即∠AOB;③计算球大圆在 A、 B 两点间所夹的劣弧长;⑷长方体的对角线长是它外接球的直径. 3.体积 ⑴对三棱锥注意顶点与底面的转换,常用换顶点方法求体积; ⑵体积法可以用来求点到面的距离,多面体内切球半径; ⑶较复杂的几何体的体积可分为一些较简单的柱体、锥体求体积.

第八部分:解析几何

一 . 主要结论 1. 倾斜角与斜率的关系 ⑴倾斜角 α 的取值范围: 0 °≤ α <180 ° ⑵ k=tan α ( α ≠ ) ⑶当 k>0 时, α =arctank (锐角) ; k=0 时, α =0 ;当 k<0 时, α = π - arctank (钝角) ⑷直线 y=kx+b 的方向向量为 (1,k) ,直线 Ax+By+C=0 的方向向量为 ( - B,A) ,法向量为 (A,B).
? 2

2. 焦半径 ⑴椭圆 ① |MF|=a ± ex 0 ( 焦点在 x 轴上 ) 或 a ± ey0 (焦点在 y 轴上) ②焦点弦长 |AB|=2a ± e(x 1 +x 2 ) 或 |AB|=2a ± e(y1 +y2 )
40

⑵双曲线 |MF|=ex 0 ± a 或 ey0 ± a
p p 或 |y0 |+ 2 2

⑶抛物线 |MF|=|x 0 |+

焦点弦长 |AB|=p+x 1 +x2 3. 曲线系

(y2 =2px)

⑴共焦点 F 1 (c,0),F 2 ( - c,0) 的椭圆或双曲线 ⑵共渐近线 y= ± b x 的双曲线系
a

y2 x2 ? k k ? c2

=1 ;

x2 y2 ? =λ ( λ ≠ 0) a2 b2

4. 弦长公式 |AB|= (1 ? k 2 )[(x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ? 1 ? k 2 = (1 ? 二 . 注意点 ⑴设直线方程时,应注意对斜率 k 是否存在进行讨论,有时为避免讨论 或方便起见,可设直线方程为 x=my+n ,但应注意此时直线不可能垂直于 y 轴. ⑵判断两直线位置关系时,要注意对系数是否可能为零的情况进行讨论 . 例如直线 mx+y=6 与 x+my+1=0 垂直 . ⑶直线与双曲线右支(或左支)相交于两点时,联立它们的方程,消 y 得关于 x 的一元二次方程,此方程应满足:
?二次项系数 ? 0 ?二 次 项 系 数? 0 ? ? ?? ? 0 ?? ? 0 (或 ) ? ? x ? x ? 0 x ? x ? 0 1 2 1 2 ? ? ? ? x x ? 0 ? 1 2 ? x1 x 2 ? 0

? = 1 ? k 2 | x1 ? x2 | |a|

1 )[(y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ] 2 k

⑷直线与圆相交时弦长问题用勾股定理解较简单 .
41

x2 y2 c b ⑸椭圆 2 ? 2 =1 中, a 2 - b 2 =c 2 (a 最大 ),e= ? 1 ? ( ) 2 . ; a a a b

双曲线

x2 y2 c b 2 2 2 ? 2 =1 中, a +b =c (c 最大 ),e= ? 1 ? ( ) 2 2 a a a b a2 b2 2b 2 - c|= ,通径 = . c c a

相同的有:焦准距 |

⑹直线与圆锥曲线位置关系的题型,一般是先联立它们的方程,然后消 y(或 x )得 x( 或 y) 的一元二次方程,要考虑到判别式△,要注意有意识地 应用距离公式,夹角(或方向角)公式, 韦 达定理 、定比分点公式、三角 . ... 形面积公式等,有时还需要要用基本量思想设参数等等。有时要注意对向 量条件如 AM ? BM =0 即 M 为 AB 中点,AM ? BM =0 即∠ AMB=90 °;AM // BM 即 A 、 M 、 B 共线等的转化 . ⑺涉及焦点、准线问题可考虑用第一或第二定义解题,有时还可考虑焦 准距、心准距、顶准距等;涉及焦点三角形问题可考虑用解三角形知识解 题;涉及顶点三角形问题可考虑用斜率公式或方向角公式解题;涉及圆锥 曲线上两点的对称、弦的中点问题可考虑用韦达定理或代点相减法解题 . ⑻圆的参数方程: ?
? x ? R cos ? ? y ? R sin? ? x ? a cos ? ? y ? b sin? (?为参数, R ? 0)

椭圆的参数方程: ?

(?为参数, a ? b ? 0)

第九部分

排列组合与二项式定理

[ 知识点 ] 一 . 排列与组合 1. 基本原理:分类计数原理 N=m1 +m2 + ? +mn
42

分步计数原理 N=m1 m2 ? mn 2. 定义与公式 排列 组合

从 n 个不同元素中取出 从 n 个不同元素中取出 m 个元 m 个元素,按照一定的 素并成一组,叫从 n 个不同元 顺序排成一列,叫从 n 素 中 取 出 m 个 元 素 的 一 个 组 个不同元素中取出 m 个 合 。 所有组合的个数叫 组合数 , 定义 元素的一个 数列 . 记为 C n m .

所有排列的个数叫 排列 m、 n ∈ N *且 m≤ n. 数 ,记为 A n m。 m 、 n ∈ N *且 m≤ n. A n m=n(n - 1)(n - 2)? (n - m+1) 公式 A n =n!, A n m=
n

C n m= C n m=

m An n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) ? m m! Am

0!=1

n! , m!(n ? m)!

C n 0 =1

n! (n ? m)!

性质 排列与元素顺序有关 区别 排列先取后排 二 . 二项式定理

C n m=C n n - m C n+1 m=C n m+C n m - 1 组合与元素顺序无关 组合只取不排

1. 定理: (a+b) n =C n 0a n +C n 1 a n - 1b+ ? +C n ra n - r b r + ? +C n n b n , n∈ N *
43

2. 二项式系数: C n r , r=0,1,2,, ? n. 3. 通项 T r+1 =C n r a n - r b r (r=0,1,2 ? n) 4. 二项式系数性质 ⑴对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。 即 C n 0 =C n n , C n1 =Cn n - 1 ,C n 2 =C n n - 2 , ? ⑵增减性: f(r)=C n r ,当 r< ⑶最大值: 二项式系数最大 幂指数 n 偶数 奇数 ⑷ C n 0 +C n 1 +Cn 2 + ? +C n n =2n C n 0 +C n 2 +C n 4 +? =2 n - 1 C n 1 +C n 3 +C n 5 +? =2 n - 1 另:⑴二项式系数表(杨辉三角)略。
m m m m m?1 ⑵ Cm ? Cm ?1 ? Cm?2 ? ? ? Cm? n ? Cm?n?1

n ?1 n ?1 时, C n r 递增,当 r ≥ 时, C n r 递减 2 2

展开式项数 n+1 项 ( 中间项 ) 奇数 偶数
2


n 2 Cn n ?1

Tn
2

?1

T n?1 、T n?1
2

?1

C n2

= Cn2

n ?1

⑶ (a - b) n =C n0 a n - C n 1 a n - 1 b+Cn 2 a n - 2 b2-? +( - 1) n C n nb n ⑷ (1+x) n =Cn 0 +C n1 x+C n 2 x2 + ? +C n nx n [ 易错点提示 ] 1. 应用两个基本原理解题时,应正确区分是分类还是分步 . 2. 解排列组合应用题时, 应注意方法及分类标准的选择, 并做到层次清晰, 不重不漏。 3. 在二项式定理中,注意系数与二项式系数、奇数项与偶数项、奇次项与
44

偶次项的区别 . C n r a n - r b r 是第 r+1 项 . 4. 多项式展开通常化为二项式展开处理,求展开式中某些项的系数 ( 值 ) 关 系时,常用赋值法 . 5. 用二项式定理计算余数问题时,余数不能为负数 . 如:∵ 2 33 =8 11 =(9 - 1) 11 =9k - 1 ∴ 2 33 被 9 除余数为 8. 6. 证明形如: 2 n >2n (n ≥ 3 且 n ∈ N) , 比较 2 n 与 n 2 (n ∈ N*) 大小,此类问题常用二项式定理 .

第十部分 概率与统计

一.随机事件的概率 1、事件的分类:必然事件、不可能事件、随机事件 2、概率定义:在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率 m 总是接近
n

于某个常数,在它附近摆动, 这个常数叫事件 A 的概率.记为 P(A), 范围: 0≤P(A) ≤1. 3、等可能性事件的概率:如果一次试验由 n 个基本事件组成,而且所有结 果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是 ,如果某个事件 A 包含的结果有 m 个,那么事件 A 的概率 P(A)= m .
n

1 n

[注意]: ①应明确,等可能事件概率的前提是:a.试验的结果数 n 是有限的;b.每种 结果发生的可能性是相等的;c.事件 A 所包含的结果数 m 是可以确定的. ②P(A)=
m 既是等可能事件概率的定义,又是计算这种概率的基本方法,求 n
45

P(A)时,要首先判定是否满足等可能事件的特征,其计算步骤是: a.算出基本事件的总个数 n;b.算出事件 A 中包含的基本事件的个数 m;c. 算出 A 的概率,即 P(A)=
m . n

[例题]将三个不同的小球随意放入 4 个不同的盒子中,求 3 个小球恰好在 3 个不同盒子中的概率.(P(A)=
3 A4 3

4

?

3 ) 8

二、互斥事件有一个发生的概率 1、互斥事件,对立事件定义 2、互斥事件的充要条件 A、B 互斥 ? P(A+B)=P(A)+P(B) A1,A2,?,An 彼此互斥 ? P(A1+A2+?+An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An). 3、对立事件的概率:P(A)+P( A )=P(A+ A )=1 ∴P(A)=1-P( A ). [注意] ①互斥事件是对立事件的必要不充分条件; ②如果 A、B 互斥,则 A 与 B , A 与 B,A 与 B 不一定互斥; ③把一个复杂事件分解成几个彼此互斥事件时要做到不重复不遗漏; ④计算稍复杂事件的概率通常有两种方法:a.将所求事件化成彼此互斥事件 和;b.先去求事件的对立事件概率,然后再求所求事件概率. [例题]从一副扑克牌(52 张)抽出 1 张,放回后重新洗牌,再抽出 1 张,前 后两次所抽的牌为同花的概率.(P=
1 1 C13 C13 1 ?4= ) 2 4 52

三、相互独立事件同时发生的概率 1、相互独立事件定义. ⑵两个相互独立事件的充要条件:A、B 相互独立 ? P(A?B)=P(A)?P(B). ⑶独立重复试验:如果一次试验中某事件发生的概率为 P,那么在 n 次独立
46

重复试验中这个事件恰好发生 K 次的概率是 Pn(k)=CnkPk (1-P)n-k. [注意]①如果 A、B 相互独立,那么 A 与 B , A 与 B, A 与 B 也是相互独立 的。 ②独立重复试验应满足条件:a.每次试验之间是相互独立的;b.试验结果 只有发生与不发生两种之一;c.每次试验过程重复,且发生的机会是均等的. [例题]某人向某个目标射击, 直至击中为止, 每次射击击中目标的概率为 , 求在第 n 次才击中目标的概率并证明,这样无限继续下去,目标迟早被击中. 略解:第 n 次才击中目标,Pn=(1- )n-1?( ),??,如此下去,
2 1 ? ( )n 1 2 1 2 1 2 1 1 3 →1. 得 P= + ? +( )2? +?+( )n-1? = ? 2 3 3 3 3 3 3 3 3 1? 3
1 3 1 3 1 3

四、统计 ⑴总体、个体、样本、样本容量、频数、频率、平均数、方差、标准 差. x ?
x1 ? x 2 ? ? ? x n 1 ;S2= [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] n n
1 n
2

2 2 ? ? ? xn ? nx ) . 或 S2= ( x12 ? x2

例如:已知数据 x1,x2??xn,其平均数为 x ,方差为 S2. 则:kx1+m,kx2+m,?kxn+m 的平均数为 k x +m.方差为 k2S2. ⑵抽样方法:①简单随机抽样;②系统抽样(了解) ;③分层抽样的各自特 点及适用范围;它们的共同点都是等概率抽样.对于简单随机抽样的概念中, “每 次抽取时的各个个体被抽到的概率相等” 。如从含有 N 个个体的总体中,采用随 机抽样法,抽取 n 个个体,则每个个体第一次被抽到的概率为 到的概率为
n N

1 ,第二次被抽 N

1 ,??故每个个体被抽到的概率为 n ,即每个个体入样的概率为 N N

.
47

⑶总体分布的估计 用样本去估计总体。用样本平均数估计总体平均数,用样本方差估计总体 方差;平均数反映了一组数据的平均水平,而方差(标准差)是描述一组数据 的波动情况,即偏离平均数的大小,或者说数据的稳定性. ⑷频率分布直方图 频率分布直方图就是以图形面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率 大小 .频率 =
频数 频率 . 小长方形面积 =组距? = 频率 .所有小长方形面积的和 = 样本容量 组距

各组频率和=1. 四、抓“题”
高考最终是“做题” ,通过题目考察学生对知识的掌握和运用情况,据此反映学生的水平和态度、智 力和能力。 我们平时常说, “高考试题以能力立意。 ”但仔细看看每年的高考试题,真正能力意义上的难题究竟占 多少分?而大量的是中等及中等以下难度的题目,为什么?我认为有两点:

第一,教育部的原则: “3 个有助于” 。
“有助于高考选拔新生,有助于中学实施素质教育,有助于高校扩大办学自主权。 ”事实上即有利于 选拔,有利于教学,有利于招生。高校层次很多,试题的区分度就很重要,不可避免的要有大量的基本题 和中档题。

第二,学科的原则:高考数学卷说明
一个是命题的指导思想: “(1)突出对基础知识、基本技能、基本数学思想方法的考查;(2)强调能力立 意,重视对数学能力的考查;(3)注重创新,加强试题的开放性、探究性” 。我认为,这里的第(1)点是非常 重要的,重视了这一点,就有“大面积”和“大幅度” 。 另一个是对试题难易比例的规定: “试题由容易题、中等题和难题组成。容易题、中等题、难题在试 题中所占的比例大致为 3:5:2。 ”这说明,难题以下的题目占 80%。教育部考试中心对试题难易度是这样 说的: “试卷应由容易题,中等题和难题组成,总体难度要适当,并以中等题为主。 ”

如何抓“题”呢? 1、选题:
48

以陈为主,精选。 (1)课本题型: (2)基本题型: (3)易错题型:突出纠错,关键是做错的不能再错第二次,不能再出现类似 的错误。因此,要分析错误的原因,错在哪里?为什么会错?要将学生经常犯 错的问题进行专项治理,以防再错,再错就是低级错误。 可以给出一些易混题对,进行对比分析。 易混题对举例: 1、定义域、值域问题 (1) 若函数 y=lg(ax2+ax+1)的定义域为 R,求 a 的取值范围; (2) 若函数 y=lg(ax2+ax+1)的值域为 R,求 a 的取值范围. 简解: (1)由题意,ax2+ax+1>0 恒成立. 1°当 a=0 时,适合. 2°当 a>0 时, í ? 0<a<4. 2 ? ? ? D =a - 4a < 0, 综上,a∈[0,4). (2)由题意,μ =ax2+ax+1 的μ 值可取遍(0,+∞)内的所有值.
ì a>0, ? ? í 显然 a≠0,则 ? D =a 2 - 4a ? 0, ? a≥4. ? ?
ì ? ? a>0,

2、单调性问题 (1)若函数 f(x)=x3+ax2+bx+1 的减区间为(- ,1),求 b 的值; (2)若函数 f(x)=x3+ax2+bx+1 在区间 (- ,1)内递减,求 b 的范围;
49

5 3

5 3

简解: (1)由题意, f ?(x)=3x2+2ax+b<0 的解集是(- ,1),
ì 5 2a ? ? - + 1= , ì ? ? a = 1, ? 3 3 镲 ? 眄 ∴镲 5 b ? b = - 5. 镱 - ?1 , ? ? 3 3 ? ?

5 3

经检验知,a=1. (2) 由题意, f ?(x)=3x2+2ax+b<0 在 x∈(- 5 ,1)内恒成立,
3

ì 5 25 10 ? ? ì (- )= a + b < 0, 25 - 10a + 3b < 0, ? ?f? ? 3 3 3 í ? ∴í ? a<-5. ? ? 15+10a+5b<0, ? ? ? ? f (1)=3+2a+b<0, ? ?

(4)重点题型:可以从各地模拟试题中筛选:立几、解几、函数、数列、不 等式、三角、概率等等。 2、编题: 以新为主,使学生适应新情境下,知识的迁移,方法的运用,思想的指导。 (1)改编题——变题 (2)原创题——创新 对于数学基础好的同学,准备考名校,冲刺清华北大的同学,建议让他们 适当做点难题,啃点硬骨头,以增强报考名校的冲击力。 例:求下列图中的三角形面积最大值。
y A y A

F1

O

F2

x

O F

x

B

50

图(1)
y A

图(2)
y A

O B

x

F1

O

F2

x

图(3)
y A

图(4)
y A

O F C

x B

F1

O

F2 C

x

B

图(5)
y B A

图(6)
y B A θ

O

x
51

O

x

图(7)

图(8)

3、组题: 以真为主,仿高考(仿真),像高考题。每一份模拟题都要精心设计,真正像 高考试卷。 4、练题 以能为主 (1)心理素质的训练:应试能力,适应能力 要认真组织好模拟训练(热身),要有实战性(仿真)和独立性(监督)。注意解 题速度的训练,速度既决定质量也决定分数。可按高考规定时间少 10 分钟,以 训练考试的节奏,训练应试的灵感,让考试的感觉成为学生学习生活中的常态, 不仅可以缓解高考时的紧张压力,而且能以一颗平常心对待高考。如果将平常 的综合训练当成高考看待,那么高考就如同平常的综合训练。真正的高考就不 仅能发挥正常,而且常常能超常发挥。 (2)解题能力训练:抓好两个环节 ①审题 许多同学考试后总认为自己感觉很好,以为自己做得不错,可成绩一揭晓, 分数却不高,这往往是因为没有把握好题意。审题关键是要反复“看”题。
52

初看——了解大意,笔尖指着题目看。 细看——理解题意,设计(构思)解题框架。 解题过程中对照看。充分利用题设条件,快捷完成解题过程。 解题结束时回头看。 俗说, 有钱难买回头看, 你的解答是否满足(符合)题意, 往往是得高分的关键。 某个题目不会做怎么办? 题目反复看——抓信息:关键词、关键语、限定语,寻找关系和联系。 动手试着看——找突破:探索、探路,挖掘隐含条件。 换向比较看——选思路:怎么切入最佳?换个方向、换个角度看问题。常 常换一个角度就是一种思路,一种方法、一种解法。 ②反思 解题后反思:成功在哪里?失败在哪里? 教师分析后,自己有什么收获?对自己有什么提高?特别是分析对照自己 的解法与老师讲评的解法差别在哪里? 解题总结:这类题型有什么规律?本质是什么?有什么体会? 五、抓“矫” 第三轮的综合训练,有一项主要工作是对学生的错误问题、不清的思路、 不规范的解题过程以及解题的技术性问题,进行自我矫正。 1、循环矫正 订正是深刻理解和掌握知识与方法的主要环节,是再思考、再认识、再反 思、再提高的过程。因此,要特别重视订正这一环节,而且要注意加强作业的 反馈速率。 提倡循环矫正法:练—批—评—矫—批—矫—批—??直至该份试卷全部
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矫正到位。 2、规范矫正 ①书写能力的培养:既要工整又要完整。 。 ②解题规范的培养: 按照教师提出的要求,再对照比较规范的试题答案, 力求使解题规范化。不但不失分,而且还能增加分。 3、技术矫正:答题技巧训练 考试中时间分配及处理技巧非常重要,有几点需要必须提醒同学们注意: ①按序答题,先易后难。一定要选择熟题先做、有把握的题目先做。 ②不能纠缠在某一题、某一细节上,该跳过去就先跳过去,千万不能感觉 自己被卡住,这样会心慌,影响下面做题的情绪。 ③避免“回头想”现象,一定要争取一步到位,不要先做一下,等回过头 来再想再检查,高考时间较紧张,也许待会儿根本顾不上再来思考。 ④做某一选择题时如果没有十足的把握,初步答案或猜估的答案必须先在 卷子上做好标记,有时间再推敲,不要空答案,否则要是时间来不及瞎写答案 只能增加错误的概率。 六、抓“导” 在高三后期复习中,要十分注意学生的情绪变化,这不仅是班主任的事情, 作为我们学科老师来讲,对学生的教育引导、心理疏导、学科指导,可能更有 针对性和实效性。 1、教育引导: 数学的重要性;数学反应智力(数学是思维的体操);数学需要态度;数学高 考目标等。 “知道不足是成功的一半” 。 2、心理疏导:
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某种程度上讲,高考打的既是知识战,也是心理战,是一场没有硝烟的战 争,要想打赢这场战场,就必须要有良好的心理状态和冷静的头脑。学生经历 了大大小小无数场考试,面对考试,有的同学能泰然自若,发挥出自己最佳的 水平,有的同学则高度紧张,发挥失常,没有考出真实的成绩。所以高考不仅 是一场知识战,也是一场心理战,所以我们数学老师有义不容辞的责任,帮助 学生克服复习过程中可能产生的“高原现象” ,为学生调适心理,减轻压力,放 下包袱,使学生能以良好的心态迎接高考。科学进行心理疏导,可以开发学生 的情商。重点是针对数学薄弱学科或数学成绩不稳定的学生,做好心理疏导。 要求抓好基本题、中等题、常规题。人不可能在各方面都达到世界之最,但都 可以达到自我之最。能在现在的基础上向前跨一步就是进步,就是胜利! 附:高原现象。 高考复习过程中,大约是每年四月份左右,不少同学都会发生这样的现象: 原先记住的定理、定义、公式、概念等回忆不起来了,越复习越糊涂,感觉到 什么都不会了。心理学将这一现象称为“高原现象” 。 “高原现象”是高考复习中普遍存在的,严重影响学生的复习的进度和效 果。有的学生由于“高原现象”的发生,产生畏难情绪,甚至丧失高考的自信 心。其实复习中的“高原现象”并不可怕,它只是黎明前的黑暗,只要锲而不 舍,用顽强的毅力克服这种暂时现象, “柳暗花明又一村”就会很快到来。一位 清华大学的高材生以自己切身的经历对高中学生建议: “许多同学在高三下学期 时都会经历那样一个阶段,无论怎么学,成绩都上不去,似乎没有任何进展, 甚至越学成绩越差,这时候只有一办法:挺住!能挺多久就挺多久,最终就会 看到转机和希望” !的确,此时不仅是复习进展程度的竞争,更是耐挫能力的竞 争!能挺过去这一天,你的复习自然地会从“糊涂”走向“明晰” 。
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3、学科指导: ㈠导师指导: 有目的地带几个研究生,做导师,交朋友。零距离指导,作业可面批。要 鼓励学生敢于问疑、质疑,教师回答不要急躁,要耐着性子,面带微笑,启发 学生解决疑难问题,使学生在高考之前不留知识的疑点、难点、弱点。只要学 生觉得高考之间没有什么不懂的问题,他就会带着信心和勇气走进考场,就一 定能在高考中提高得分率,也不为高考留下遗憾。 ㈡考前指导: 除了一些鼓励的话以外,如何做好考前指导? 最后的几节课,究竟讲什么?讲什么最有效,对学生最有启发性? Ⅰ.展望: ⑴真练+讲评: ⑵练笔+展望: 猜题押宝.按“七大板块” ,每块选编至少 10 道题,约 80 道题。注意“三为 主” :以中下等难度为主,以客观题为主,以 5 个大题的类型为主。关注“新定 义”题(或称信息题)。分 3 天让学生练笔,最后大题要给出答案。 立体几何在高考 5 个主观题中,往往处于中间位置的一题,它具有承前启 后的作用,它前面的是容易题或中等题,它后面的是难题,而立体几何本身可 能是中等题也可能是难题。 下面谈谈立体几何主观题的题型与解题策略。 1°题型:定性+定量。 定性指点、线、面的位置关系,如平行,垂直等;定量指角、距离、面积 与体积的计算。
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2°策略: ①几何法:定性证明:辅助面;定量计算:作—证—算。注意:应用降维 思想——空间问题平面化。 ②向量法:建系—坐标—向量计算。 a.角的计算:
? ? | a ?b | 线线角:cosθ = ? ? . | a |? |b| ? ? | a ?n | 线面角:sinθ = ? ? . | a |? |n| ?? ? ?? ? n1 ?n 2 ? ?? ? . 二面角:cosθ = ?? | n1 |? | n2 |
? n
A

? a
O B

α

b.距离的计算:
???? ? ???? ? ???? ???? | BA?n | 点面距:d= | OA |?| BA | ? | cos ? BA, n ?|? ? . |n|

Ⅱ.提醒: ⑴知识性提醒: 1°集合与命题 设命题 p,q 形成的集合分别为 P,Q,则 p 是 q 的充分条件 ? P ? Q;P 是 Q 的必要条件 ? P ? Q;p 是 q 的充要条件 ? P=Q。 2°各种角 ①平面上两直线所成的角(即夹角)的范围[0, 范围(0,π ); ②空间两异面直线所成的角的范围(0,

p ],直线 L1 到直线 L2 的角的 2

p ]; 2

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③直线与平面所成角的范围[0, ④二面角的范围(0,π ]; ⑤直线倾斜角的范围[0,π ); ⑥向量夹角的范围[0,2π )。 3°用定义证明的问题

p ]; 2

①奇偶性;②单调性(也可用导数证明,单调区间应写成区间形式);③周期 性;④等差数列;⑤等比数列。 4°参数问题 ①方程、函数、不等式的最高次项系数应考虑是否为零,如对 ax2+bx+c 的 二次项系数要注意到 a>0,a=0,a<0 的情况. ②二次函数在某区间上的最值,可考虑对称轴的情况。 ③在一元二次方程的实根分布讨论中,当方程的两根分别在两个区间内时, 仅列出端点函数值符号不等式组即可;当方程的两根同在一个区间内时还须考 虑△与对称轴(一般成对出现)的情况。 ④圆锥曲线与直线的位置关系,可考虑判别式的情况。但圆与直线的位置 关系利用点到直线的距离 d 与半径 r 的大小关系解较简单。 ⑤动曲线(含直线)恒过定点可采用集项法。 ⑥含参数的不等式恒成立问题,可考虑用分离变量法,或变换主元法,或 数形结合法,或分类讨论法等。含参数的非基本初等函数在某区间上具有某单 调性问题,可先用单调性定义,然后考虑用分离变量法。 5°应用题 ①应用题该设要设(可设出一些常量或变量),注意量的单位及单位的统一,
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注意答案与实际相符。 ②若问题与函数、方程、不等式、数列有关。应注明定义域或注意其具有 实际意义的字母的取值范围。 ③对于涉及幂的计算, 如果题目后面已提供参考信息(如幂的值、 根式的值、 对数的值或有关计算公式),则按题目要求。如果没有提供,当指数为较小的自 然数时,可直接计算;当指数为较大的自然数时,可考虑用二项式定理求近似 值。特别地,当 n∈N,|x| = 1 时,(1+x)n≈1+nx。 (2)易错点提醒 1°集合是否有空集:如 A ? B 中,要注意到 A= f ,A≠ f ;函数的定义域、 值域均非空。 2°运用均值不等式 —定—等” 。 3°数列问题 ①已知 Sn,求 an 时,an= ?s ? s (n ? 2). ? n n ?1 若能合并,则尽量合并成一个式子(能合并的充要条件是 S0=0)。 ②求等比数列{an}的前 n 项和 Sn 时,必须考虑 q=1 与 q≠1 两种情况。即
? na1 (q ? 1), ?na1 (q ? 1), ? ? n Sn= ? a1 (1 ? q ) (q ? 1); 或 Sn= ? a1 ? a n q (q ? 1). ? 1? q ? 1? q ? ?
?a1 (n ? 1),

a+b ≥ ab (a,b>0)求最值时, 要注意取得最值的条件 “正 2

③等比数列的公比和任一项都不为 0,即 q≠0,an≠0。有时对等比数列的 公比分 q=1,q>1,0≠q<1 三种情况讨论。 ④在等差或等比数列中,注意基本量思想(用 a1,d 或 q 表示),或基本性质 解题(有时特别是小题)。
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4°应用点斜式 y=kx+b 设直线方程时,应注意对斜率 k 是否存在要进行讨 论。有时为避免讨论或方便起见,设直线方程为 x=my+n,应注意此时直线不可 能垂直于 y 轴。 (3)规范化提醒 这是取得高分的基本保证。规范化包括:解题过程有必要的文字说明或叙 述,注意解完后再看一下题目,看你的解答是否符合题意,谨防因解题不全或 失误,答题或书写不规范而失分。总之,要吃透题“情” ,合理分配时间,做到 一准、二快、三规范。特别是要注意解题结果的规范化。 1°解与解集:方程的结果一般用解表示(除非强调求解集);不等式、三角 方程的结果一般用解集(集合或区间)表示,三角方程的通解中必须加 k∈Z。在 写区间或集合时,要正确地书写圆括号、方括号或花括号,区间的两端点之间、 集合的元素之间用逗号隔开。 2°带单位的计算题或应用题,最后结果必须带单位,特别是应用题解题结 束后一定要写符合题意的“答” 。 3°分类讨论题,一般要写综合性结论。

2 1 1 2 = 4°任何结果要最简。如 = , 等。 4 2 2 2
5°排列组合题,无特别声明,要求出数值。 6°函数问题一般要注明定义域(特别是反函数)。 7°参数方程化普通方程,要考虑消参数过程中最后的限制范围。 8°轨迹问题 ①注意轨迹与轨迹方程的区别。轨迹方程一般用普通方程表示,轨迹还需 要说明图形情况。
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②有限制条件的必须注明轨迹中图形的范围或轨迹方程中 x 或 y 的范围。 9°分数线要划横线,不用斜线。 (4)考前寄语 先易后难,先熟后生。 一慢一快:审题要慢,做题要快。 不能小题难做,小题大做,而要小题小做,小题巧做。 我易人易我不大意,我难人难我不畏难。 考试不怕题不会,就怕会题做不对。 基础题拿满分,中档题拿足分,难题力争多得分,似曾相识题力争不失分。 对数学不够好的同学的建议:立足中下题目,力争高上水平。放弃是一种 策略。

各位老师,实践使我们深切感受到:高考没有奇招,怪招,只有真招,实 招。只要我们勤勤恳恳,真真实实,积极研究高考,主动应对高考,静心做题 思考,不断反思教学,狠抓措施落实(思考、思路、思想),就一定能使我们的高 三数学后期复习工作发挥最大的效益,就一定能实现我们高考数学的高远目标!

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