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平面向量数量积的坐标表示、模、夹角


2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
一、预习目标: 预习平面向量数量积的坐标表达式, 会进行数量积的运算。 了解向量的模、 夹角等公式。 二、预习内容: 1.平面向量数量积(内积)的坐标表示 2.引入向量的数量积的坐标表示,我们得到下面一些重要结论: (1)向量模的坐标表示: 能表示单位向量的模吗? (2)平面上两点间的距离公式:

? 向量 a 的起点和终点坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2)

AB =
(3)两向量的夹角公式 cos? = 3. 向量垂直的判定(坐标表示)

4.向量平行的判定(坐标表示)

三、提出疑惑 一、学习目标 学会用平面向量数量积的坐标表达式,会进行数量积的运算。掌握两个向量共线、垂直 的几何判断,会证明两向量垂直,以及能解决一些简单问题. 学习重难点:平面向量数量积及运算规律.平面向量数量积的应用 二、学习过程 (一)创设问题情景,引出新课

? ? a 与 b 的数量积 的定义?⑵向量的运算有几种?应怎样计算?

(二)合作探究,精讲点拨 探究一:已知两个非零向量 a =(x1,x2), b =(x2,y2),怎样用 a 与 b 的坐标表示数量积

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? ? a · b 呢?

探究二:探索发现向量的模的坐标表达式

若 a =(x,y),如何计算向量的模| a |呢?

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若 A(x1,x2),B(x2,y2),如何计算向量 AB 的模两点 A、B 间的距离呢?

??? ?

例 1、以原点和 A(5, 2)为顶点作等腰直角△OAB,使?B = 90?,求点 B 和向量 AB 的 坐标.

变式:已知 a+b=2i-8j,a ? b= ? 8i+16j,则a? b

? ?

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探究三:向量夹角、垂直、坐标表示 设 a , b 都是非零向量,a=(x1,y1), b =(x2,y2),如何判定 a ⊥ b 或计算 a 与 b 的夹角 < a , b >呢?

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1、向量夹角的坐标表示

2、 a ⊥ b <=>

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<=>x1x2+y1y2=0

3、 a ∥ b <=>X1y2-x2y1=0

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例 2 在△ABC 中, AB =(2, 3), AC =(1, k), 且△ABC 的一个内角为直角, k 值. 求

变式:已知, a ? (1,2),b ? (?3,2) 当 k 为何值时, (1) ka ? b与 ? 3b 垂直? , a (2) ka ? b与 ? 3b 平行吗?平行时它们是同向还是反向? a

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(三)反思总结

(四)当堂检测 1.已知| a |=1,| b |= 2 ,且( a - b )与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角是( A.60°

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B.30°

C.135°

D.45° )

2.已知| a |=2,| b |=1, a 与 b 之间的夹角为 A.2

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? ? ? ,那么向量 m= a -4 b 的模为( 3
D.12

B.2 3

C.6

3、 a a=(5,-7), b =(-6,-4),求 a 与 b 的 数量积

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4、设 a =(2,1), b =(1,3),求 a · b 及 a 与 b 的夹角

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5、已知向量 a =(-2,-1), b =(λ ,1)若 a 与 b 的夹角为钝角,则λ 取值范围是多少?

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课后练习与提高 1.已知 a ? (?4,3), b ? (5,6) 则 3 a ? 4a ? b= ( A.23 B.57 C.63 D.83 )

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?2

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2.已知 a ? 3,4 ? ,b= ? ?5,12 ? 则 a与 b 夹角的余弦为( A.

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63 13 B. 65 C. D. 13 65 5? ? ? ? ? ? 3. a= ? 2,3? ,b=( ? 2,4), 则 a+b ? a-b = __________。 ? ? ? ? 4.已知 a= ? 2,1? ,b= ? ?,? 且a ? b 则 ?= __________。 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2a ? 3b ? a+2b = _______ 5. a=( ? 4,7);b=(5,2) 则 a ? b= _______ a =_____ ? 6.与 a= ? 3,4 ? 垂直的单位向量是__________ 4 3 4 3 4 3 4 3 ( C.( , )或(- ,) ? A. , ) B.(? ? ) 5, 5 5 5 5 5 5 5 4 3 4 3 ( D. , )或(- ,- ) 5 5 5 5 ? ? ? 7. a=(2,3),b=(-3,5) 则 a在b 方向上的投影为_________

? ?? ?

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??

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8.A(1,2),B(2,3),C(2,0)所以 ? ABC 为( A.直角三角形 C.钝角三角形 B.锐角三角形 D.不等边三角形

)

9.已知 A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D.(4.6)则四边形 ABCD 为( A.正方形 B.菱形 C.梯形 D. 矩形



10.已知点 A(1,2) ,B(4,-1),问在 y 轴上找点 C,使∠ABC=90?若不能,说明理由;

若能,求 C 坐标。


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