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广东2014届高三下学期十校联考(理数)


广东 2014 届高三下学期十校联考 数学(理科)
本试卷共 6 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题 卡上. 2. 选择题每小题选出答案后, 用黑色字迹钢笔或签字笔将答案填写在答题卡上对应题目的序号下面, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选填其他答

案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要 求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多涂的, 答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知全集 U=R,集合 A ? {x / | x ? 1|? 1} , B ? {x A.(0,1) A 4 . 3、已知 ? ? ( B. [0,1) B.﹣4 C.(1, 2) C.﹣2i

1? x ? 0} ,则 A∩(?U B)=( x
D. (0,2)
x? y

)

2. 已知 x,y∈R,i 为虚数单位,且(x﹣2)i﹣y=1,则 (1 ? i )

的值为(

) D.﹣2+2i

?
2

, ? ) , sin ? ?

A. ? 7

3 ? ,则 tan(? ? ) 的值等于( 5 4 1 B. ? C. 7 7

) D.

1 7


4. 等比数列 {an } 中, a3 ? 9 ,前 3 项和为 S3 ? 3 A. 1 B.-

?

3

0

x2dx ,则公 q 的值是(
1 2

1 2

C. 1 或-

1 2

D. - 1 或-

1 5.定义在 R 上的偶函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数,且 f( )=0, 3 则不等式 xf ( x) ? 0 的解集是( ) 1 1 1 1 1 1 A.(0, ) B.( ,+∞) C.(- ,0)∪( ,+∞) D.(-∞,- )∪(0, ) 3 3 3 3 3 3 6.一个几何体的三视图如右图所示,其中正视图和侧视图是腰长为 1 的 两个全等的等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积 为 ... A. 12? B. 3? C. 4 3? D. 12 3?

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共 12



7.已知双曲线

x2 y2 ,过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 M , N ? ? 1( a ? 0 , b ? 0 ) a 2 b2


两点, O 为坐标原点,若 OM ? ON ,则双曲线的离心率为( A.

1? 3 ?1 ? 5 1? 5 C. D. 2 2 2 8. 已知集合 M={ ( x, y )| y ? f ( x ) },若对于任意 ( x1 , y1 ) ? M ,存在 ( x2 , y2 ) ? M ,使得
B.

?1 ? 3 2

x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立,则称集合 M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合: 1 ①M={ ( x, y )| y ? }; ②M={ ( x, y )| y ? sin x ? 1 }; x x ③M={ ( x, y )| y ? log 2 x }; ④M={ ( x, y )| y ? e ? 2 }.
其中是“垂直对点集”的序号是( ) A.①② B.②④ C.①④ D.②③ 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(8~13 题) 9.下面茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩, 其中一个数字被污损.则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的 概率为 10. 设 (5 x ?
3

1 n ) 的展开式的各项系数之和为 M ,二项式系数之和为 N ,若 M ? N ? 240 ,则展 x

开式中的常数项_________. 11. 下 列 说 法 : ① “ ?x ? R , 2 x ? 3 ” 的 否 定 是 “ ?x ? R , 2 x ? 3 ”; ② 函 数

y ?s i n ( x? 2

? ;③命题“函数 f ( x) 在 x ? x0 处有极值,则 ) s? i nx ( 的最小正周期是 2 ) 3 6 f ?( x0 ) ? 0 ”的否命题是真命题;④ f ( x) 是 (??, 0) ? (0, ??) 上的奇函数, x ? 0 的解析式是
f ( x) ? 2 x ,则 x ? 0 时的解析式为 f ( x) ? ?2? x .其中正确的说法是__________.

?

?

12. 已知向量 a=(2,1),b=(x,y).若 x∈[-1,2],y∈[-1,1],则向量 a,b 的夹角是钝角的概率 是 . 13.右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列,从第三行起, 每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,记第 i 行第 j 列的数 * 为 a ij ( i ? j , i, j ? N ) ,则 a53 等于 , amn ? ______(m ? 3) .

( )



14.在极坐标系中,过点 (3,

) 且垂直于极轴的直线方程的极坐标方程是 3 3 3 3 确标号填空) (1) ? ? sin ? (2) ? ? cos ? (3) ? sin ? ? 2 2 2
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?

(请选择正 (4) ? cos ? ?

3 2

15. 如图,在△ABC 和△ACD 中,∠ACB=∠ADC=90° ,∠BAC=∠CAD,⊙O 是以 AB 为直径的 圆,DC 的延长线与 AB 的延长线交于点 E. 若 EB=6,EC=6 2,则 BC 的长为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin ? x cos ? x ? 2 3 sin ? x ? 3 ( ? ? 0 )的最小正
2

周期为 ? . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调增区间; (Ⅱ)将函数 f ( x) 的图象向左平移

? 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象.若 6

y ? g ( x) 在 [0, b](b ? 0) 上至少含有 10 个零点,求 b 的最小值.
17. (本小题满分12分)某高中为了推进新课程改革,满足不同层次学生的需求,决定从高一年级开 始,在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术 辅导讲座,每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座,也可以放 弃任何一门科目的辅导讲座。 (规定:各科达到预先设定的人数时称为满座,否则称为不满座) 统计数据表明,各学科讲座各天的满座的概率如下表:

根据上表: (1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率; (2)设周三各辅导讲座满座的科目数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列和数学期望。

18. (本小题满分 14 分) 在直角梯形 ABCD 中, AD // BC , BC ? 2 AD ? 2 AB ? 2 2 ,AB ? BC , 如图,把 ?ABD 沿 BD 翻折,使得平面 ABD ? 平面 BCD . (I)求证: CD ? AB ; (II)若点 M 为线段 BC 中点,求点 M 到平面 ACD 的距离; (III)在线段 BC 上是否存在点 N , 使得 AN 与平面 ACD 所成角为 60? ?
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若存在,求出

BN 的值;若不存在,请说明理由. BC

19. (本小题满分 14 分) 设椭圆 M :

x2 y 2 ? ? 1 a ? 2 的右焦点为 F1 ,直线 l : x ? a2 2

?

?

a2 a2 ? 2

与 x 轴交于点 A ,若 OF1 ? 2 AF1 ? 0 (其中 O 为坐标原点) . (1)求椭圆 M 的方程; (2)设 P 是椭圆 M 上的任意一点,EF 为圆 N : x ? ? y ? 2 ? ? 1 的任意一条直径( E 、F 为
2 2

????

????

直径的两个端点) ,求 PE ? PF 的最大值.

20. ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列 {an } 满 足 a n ?1 ? 2a n ? a n a n ?1 , 且
2 2

a 2 ? a 4 ? 2a3 ? 4 ,其中 n ? N * .
(1) 求数列 {an } 的通项公式; nan (2) 设数列 {bn } 满足 bn ? ,是否存在正整数 m, n (1 ? m ? n) ,使得 b1 , bm , bn 成等比 (2n ? 1) ? 2 n 数列?若存在,求出所有的 m, n 的值;若不存在,请说明理由。 (3) 令 cn ?

(n ? 1) 2 ? 1 5 1 ,记数列 {c n } 的前 n 项和为 S n ,其中 n ? N * ,证明: ? Sn ? 。 n(n ? 1)an ? 2 16 2

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax(a ? 0) , g ( x) ? ln x , f ( x) 图象与 x 轴异于
2

原点的交点 M 处的切线为 l1 , g ( x ? 1) 与 x 轴的交点 N 处的切线为 l 2 , 并且 l1 与 l 2 平行. (1)求 f (2) 的值;

1, e ? 的取值范围及函数 y ? f [ xg ( x)+t ], x ? ?1, e ? 的最小值; (2)已知实数 t∈R,求 u ? x ln x, x ? ?
(3)令 F ( x) ? g ( x) ? g '( x) ,给定 x 1 , x2 ? (1, ??), x 1 ? x2 ,对于两个大于 1 的正数 ? , ? , 存在实数 m 满足: ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx 2 ,并且使得不等式

| F (? ) ? F ( ? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | 恒成立,求实数 m 的取值范围.

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理科数学参考答案
一、选择题: ADAC CBDB 二、填空题 9. 4 5 10. ?20 11. ①④ 12. 1 3 13.

5 m , n ?1 16 2

14. (4) 15.

2 3.

1. 【答案】A 【解析】由 | x ? 1|? 1 ,得-1<x-1<1,即 0<x<2 , ∴ A=(0,2). 由

1? x ? 0 ,得 x

?(1 ? x ) x ? 0 ?( x ? 1) x ? 0 ?? ? x ? 0, 或x ? 1 ,∴ B= (??,0) ? [1, ??) , ?U B = [0,1) , ? ?x ? 0 ?x ? 0
A∩(?U B)= (0,1). 2. 【答案】D ; 【解析】 (x﹣2)i﹣y=1,即(x﹣2)i=y+1, 所以
x? y

,解得 x=2,y=﹣1,

所以 (1 ? i )

=(1+i)

2+1

=(1+i) =﹣2+2i, 故选 D.

3

3.答案:D ? ? ? (

?
2

, ? ) , sin ? ?
?

4 sin ? 3 3 2 , ? cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? , tan ? ? ?? 5 5 cos ? 4

3 ? ?1 4 tan(? ? ) ? ?? 4 ? ?7 。 4 ? 3 1 ? tan ? tan 1? 4 4

?

tan ? ? tan

2 3 3 4. 【答案】C 【解析】S3 ? ? 3x dx ? x 0 ? 27 ? 0 ? 27 , 设公比为 q , 又 a3 ? 9 , 则 0

3

9 9 ? ? 9 ? 27 , q2 q

即 2q 2 ? q ? 1 ? 0 ,解得 q ? 1 或 q ? ?

1 ,故选 C . 2

1 5. 【答案】 C 【解析】 ∵偶函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,又 f( )=0, 3 1 1 所以函数 f(x)的代表图如图, xf ( x) ? 0 解集是(- ,0)∪( ,+∞),选 C 3 3 6.【答案】B 【解析】由三视图可得,该几何体为一条侧棱垂直于底面的四棱锥, 如下图中 C1 ? ABCD ,其中底面 ABCD 为边长为 1 的正方形, C1C ? 1 由图可知,该四棱锥的外接球球心即该四棱锥所在的正方体的中心, 由此可得球半径 R ?

3 ,所以其表面积为 S ? 4? R2 ? 3? ,故选 B 2

7. 【答案】D. 【解析】 :画出图形,根据双曲线的对称性及 OM ? ON

OF2 平分角 ?MON , 可得 ?OMN 是等腰直角三角形 (不妨设点 M 在第一象限) , 所以 OF2 ? MF2 ,
即c ?

b2 c2 y 2 c2 ? a 2 y 2 b2 y ? ? ? (因为由 2 ? 2 ? 1 得到 ,所以 ) ,所以 ca ? c 2 ? a 2 ,整理得 2 2 a a a b a b

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1? 5 1? 5 .由双曲线 e ? 1 ,可得 e ? ,故选 D. 2 2 8. 【答案】 B【解析】 :依题意:要使得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立,只需过原点任作一直线 l1 与该函数
e2 ? e ? 1 ? 0 ,解得 e ?

l2 : y ? ? x 的图象相交, 再过原点作与 l1 垂直的直线 l 2 也与该函数的图象相交即可。 对①取 l1 : y ? x ,
与函数 y ?

1 图象没有交点,①中 M 不是“垂直对点集”; ③中取 l1 : y ? 0 , l2 : x ? 0 与函数 x

y ? log 2 x 图象没有交点,③中 M 不是“垂直对点集”;作出②、④中两个函数图象知:过原点任
作一直线 l1 与该函数的图象相交,再过原点作与 l1 垂直的直线 l 2 也与该函数的图象相交。故②④ 中 的集合 M 是“垂直对点集”

4 【解析】 由茎叶图中的数据,可求出甲 5 次的平均值为 90;而乙 4 次的平均值 5 为 88,若乙中污损的数为 9,8 时,甲的平均值不会超过乙的平均值;其他值时都会超过,所以甲的 8 4 平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 = . 10 5 9. 【答案】 10. 【答案】 ?20 . 【解析】 :依题意, M ? N ? (5 ? 1) ? 2 ? 240 ,解得 n ? 4 ,
n n

Tr ?1 ? C (5x)
r 4

4? r

(? x

?

1 3 r

) ? C ?5
r 4

4? r

? (?1) x
r

4 4? r 3

.令 4 ?

4 r ? 0 得 r ? 3. 3

3 故常数项为 T4 ? C4 ? 5 ? (?1)3 ? ?20 .

11. 【答案】①④. 【解析】①对,特称命题的否定为全称命题; ②错,因为 y ? sin(2 x ? 故其周期为

?

2? ? ? ;③错,原命题的逆命题为“若 f ?( x0 ) ? 0 ,则函数 f ( x) 在 x ? x0 处有极值” 4 2 为假命题,由逆命题和否命题同真同假知否命题为假命题;④对,当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,所以 f (? x) ? 2? x ,又 f ( x) 为奇函数,所以 x ? 0 时, f ( x) ? ? f (? x) ? ?2? x .
1 12. 【答案】 【解析】设“a,b 的夹角是钝角”为事件 B,由 a,b 的夹角是钝角,可得 a· b<0,即 3 2x+y<0,且 x≠2y.基本事件空间为 Ω= ? (x,y) ?

? ? ? ? 1 2? )sin( ? 2 x) y ? sin(2 x ? )sin[ ? (2 x ? )] ? sin(4 x ? ), 3 6 3 2 3 2 3

? ?

? ?1 ? x ? 2 ? ? ? ?1 ? y ? 2 ?

? ? ? B= ? ( x , y ) ? ? ?

? ?1 ? x ? 2 ? ?1 ? y ? 2 ? ? ?2 x ? y ? 0 ? ?x ? 2 y

? 1 1 3 ? ( ? )?2 uB 2 2 2 1 ? ,则 P(B) = = = , ? 3 u? 2?3 ? ? ?

1 即向量 a, b 的夹角是钝角的概率是 . 3 13. 【答案】

5 1 1 1 1 m , n ?1 【解析】由题意可知第一列首项为 ,公差 d ? ? ? ,第二列的首项 16 2 4 2 4 4
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1 3 1 1 1 1 5 1 1 5 ,公差 d ? ? ? ,所以 a51 ? ? 4 ? ? , a52 ? ? 3 ? ? ,所以第 5 行的公 4 8 4 8 4 4 4 4 8 8
a5 2 1 5 1 5 1 1 m 。 由 题 意 知 am1 ? ? (m ? 1) ? ? , ? , 所 以 a53 ? a52 q ? ? ? a5 1 2 8 2 16 4 4 4

比为 q ?

am 2 ?

a 1 1 1 m , 所 以 第 m 行 的 公 比 为 q ? m2 ? , 所 以 ? (m ? 2) ? ? am1 2 4 8 8

amn ? am1q n ?1 ?

m 1 n ?1 m ? ( ) ? n?1 , m ? 3. 4 2 2

14. 【答案】 (2) 【解析】 ( ? ,? ) 为垂线上任一点,则 ? cos ? ? 3cos 15. 【答案】2 3. 【解析】∵AB 是⊙O 的直径,∠ACB=90° , ∴点 C 在⊙O 上.连接 OC,可得∠OCA=∠OAC=∠DAC, ∴OC∥AD.又∵AD⊥DC,∴DC⊥OC. ∵OC 为⊙O 半径,∴DC 是⊙O 的切线. ∵DC 是⊙O 的切线,∴EC2=EB· EA.又∵EB=6,EC=6 2, ∴EA=12,AB=6.又∠ECB=∠EAC,∠CEB=∠AEC, BC EC 2 ∴△ECB∽△EAC,∴ = = ,即 AC= 2BC. AC EA 2 又∵AC2+BC2=AB2=36,∴BC=2 3. 三、解答题: 16.解: (Ⅰ)由题意得 f ( x) ? 2sin ? x cos ? x ? 2 3 sin ? x ? 3
2

?
3

?

3 , 2

? sin 2? x ? 3 cos 2? x ? 2sin(2? x ? ) ????2 分 3
由周期为 ? ,得 ? ? 1 . 由正弦函数的单调增区间得 得 f ? x ? ? 2sin(2 x ?

?

?

3

)

??????4 分

2k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2k? ?

?
2

,得 k? ?

?
12

? x ? k? ?

所以函数 f ( x) 的单调增区间是 [k? ? (Ⅱ)将函数 f ( x) 的图象向左平移

?
12

, k? ?

? 个单位,再向上平移 1 个单位, 6

5? ] , k ? Z ??????6 分 12

5? ,k ?Z 12

得到 y ? 2sin 2 x ? 1 的图象,所以 g ( x) ? 2sin 2 x ? 1 ??????????8 分

7? 11? 或 x ? k? ? (k ? Z) ???????10 分 12 12 所以在每个周期上恰好有两个零点,若 y ? g ( x) 在 [0, b] 上有 10 个零点,
令 g ( x) ? 0 ,得: x ? k? ?

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则 b 不小于第 10 个零点的横坐标即可,即 b 的最小值为 4? ?

11? 59? ? 12 12

??12 分

17、解(I)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件 A, 则 P( A) ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ?

1 2

2 3

2 3

1 ????3 分 18

(II) ? 的可能值得为 0,1,2,3,4,5

1 2 1 1 1 2 1 1 1 p(? ? 0) ? (1 ? )4 (1 ? ) ? p(? ? 1) ? C4 (1 ? )3 ? (1 ? ) 4 ? ? 2 3 48 2 2 2 3 8 1 1 2 1 1 2 7 2 1 p(? ? 2) ? C4 ( )2 (1 ? )2 (1 ? ) ? C4 ? ? (1 ? )3 ? ? 2 2 3 2 2 3 24 1 2 1 1 2 1 3 1 3 2 p(? ? 3) ? C4 ( ) (1 ? )1 (1 ? ) ? C4 ? ( ) 2 ? (1 ? ) 2 ? ? 2 2 3 2 2 3 3 2 1 1 2 3 1 2 1 4 1 4 3 p(? ? 4) ? C4 ( ) (1 ? ) ? C4 ? ( )3 ? (1 ? )1 ? ? p(? ? 5 )? ( 4 ) ? ? ??9 分 2 3 2 2 3 16 2 3 24
所以随机变量 ? 的分布列如下:

?
P

0

1

2

3

4

5

1 48

1 8

7 24

1 3

3 16

1 24
??10 分

1 1 7 1 1 1 8 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? ??11 分 48 8 24 3 16 24 3 1 答: 数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率为 ,周三各辅导讲座满座的科目数的数 18 8 学期望为 。?????12 分 3 18.解: (I)证明:因为 AD // BC ,
故 E? ? 0 ?

BC ? 2 AD ? 2 AB ? 2 2 , AB ? BC ,所以 AD ? AB ? 2 , BD ? AB 2 ? AD 2 ? 2 , ?1 分 ?DBC ? ?ADB ? 450
CD ? 22 ? (2 2) 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 cos 45? ? 2 , ?2 分
??3 分. BD2 ? AC 2 ? BC 2 ,所以 CD ? BD 因为平面 ABD ? 平面 BCD ,平面 ABD ? 平面 BCD ? BD , 所以 CD ? 平面 ABD ??4 分. 又 AB ? 平面 ABD ,所以 CD ? AB ??5 分. (II) 解法 1: 因为 CD ? 平面 ABD , 所以 CD ? BD . 以点 D 为原点,DB 所在的直线为 x 轴, DC 所在直线为 y 轴,过点 D 作垂直平面 BCD 的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 D ? xyz ,如 ??? ? 图.由已知,得 A(1, 0,1) , B(2, 0, 0) , C (0, 2,0) , D(0,0,0) , M (1,1, 0) .所以 CD ? (0, ?2, 0) , ??? ? ???? ???? ? AD ? (?1, 0, ?1) ,MC ? (?1,1, 0) . ??7 分. 设平面 ACD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , 则 CD ? n ? 0 , ???? ??2 y ? 0, AD ? n ? 0 ,所以 ? 令 x ? 1 ,得平面 ACD 的一个法向量为 n ? (1,0, ?1) ?9 分 ?? x ? z ? 0.

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???? ? 1 2 | n ? MC | ? ? ? 所以点 M 到平面 ACD 的距离为 d ? ???? 2 | MC | 2
解法 2:由已知条件可得 AB ? AD , AB ? AD ?

??10 分.

2 ,所以 S?ABD ?

由(I)知 CD ? 平面 ABD ,即 CD 为三棱锥 C ? ABD 的高, 又 CD ? 2 ,所以 VC ? ABD ?

1 AB ? AD ? 1 . 2

1 2 ??7 分. S?ABD ? CD ? 3 3 由 CD ? 平面 ABD 得到 CD ? AD ,设点 C 到平面 ADC 的距离为 h , 2 1 1 则 VB ? ACD ? ? ( ? 2 ? 2)h ? ??8 分. h 3 3 2 2 2 所以 ??9 分. h ? ,h ? 2 , 3 3 2 因为点 M 为线段 BC 中点,所以点 M 到平面 ACD 的距离为 ??10 分. 2 解法 3:因为点 M 为线段 BC 的中点,所以点 M 到平面 ACD 的距离等于点 C 到平面 ACD 的 1 距离的 .??6 分 由已知条件可得 AB ? AD ,由(I)知 CD ? AB ,又 AD ? DC ? D , 2 所以 AB ? 平面 ACD , ??8 分 所以点 B 到平面 ACD 的距离等于线段 AB 的长. ??9 分 2 因为 AB ? 2 ,所以点 M 到平面 ACD 的距离等于 .??10 分 2 (III)假设在线段上存在点 N ,使得 AN 与平面 ACD 所成角为 60? ??11 分. ???? ??? ? 设 BN ? ? BC , 0 ? ? ? 1 , N (a, b, c) , 则 (a ? 2,b ,c )? ? ? ( 2, 2,, 0 )所 以 N (2 ? 2?, 2?,0) , ???? AN ? (1 ? 2? , 2? , ?1) . ??12 分
又平面 ACD 的一个法向量为 n ? (1,0, ?1) ,且直线 AN 与平面 ACD 所成的角为 60? ,

???? |1 ? 2? ? 1| 3 | AN ? n | ? 所以 sin 60 ? ???? , 即 , 2 2 2 2 | AN | ? | n | (1 ? 2? ) ? (2? ) ? ( ?1) ? 2
?

1 1 或 ? ? ? (舍去) . ??13 分 4 2 综上所述,在线段 BC 上是否存在点 N ,使得 AN 与平面 ACD 所成角为 60? , BN 1 此时 ??14 分. ? . BC 4
可得 8? 2 ? 2? ? 1 ? 0 , 解得 ? ? 19.解: (1)由题设知, A ? ?
? , 0 ? , F1 ? a ?2 ? a2
2

?

a 2 ? 2, 0 ,??1 分

?

???? ???? 2 ? ? 2 由 OF1 ? 2 AF1 ? 0 ,得 a 2 ? 2 ? 2? a ? .??2 分 ? a ? 2 ? ? 2 ? a ?2 ?
解得 a ? 6 .
2

??3 分

所以椭圆 M 的方程为 M :
2

x2 y2 ? ?1. 6 2
2

????4 分

(2)方法 1:设圆 N : x ? ? y ? 2 ? ? 1 的圆心为 N ,
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则 PE ? PF ? NE ? NP ? NF ? NP ?5 分

???? ??? ? ???? ??? ? ? ? NF ? NP ? NF ? NP ?6 分 ??? ? 2 ???? 2 ??? ?2 ? NP ? NF ? NP ? 1 .?7 分

?

?

??

??

?

?

从而求 PE ? PF 的最大值转化为求 NP 的最大值.? 8 分 因为 P 是椭圆 M 上的任意一点,设 P?x0 , y 0 ? ,??9 分

2

所以

x0 y 2 2 ? 0 ? 1,即 x0 ? 6 ? 3 y 0 .????10 分 6 2
2 2 2 2

2

2

因为点 N ?0,2? ,所以 NP ? x 0 ? ? y 0 ? 2 ? ? ?2? y 0 ? 1? ? 12 .?????11 分 因为 y0 ? ? ? 2, 2 ? ,所以当 y 0 ? ?1 时, NP 取得最大值 12.?????13 分
2

?

?

所以 PE ? PF 的最大值为 11.????????????????????14 分 方法 2:设点 E ( x1 , y1 ), F ( x2 , y2 ), P( x0 , y0 ) , 因为 E , F 的中点坐标为 (0, 2) ,所以 ?

? x2 ? ? x1 , ?????????5 分 ? y2 ? 4 ? y1.

所以 PE ? PF ? ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )( y2 ? y0 ) ??????????6 分
2 2 ? x12 ? y0 ? y12 ? 4 y1 ? 4 y0 ? ( x1 ? x0 )(? x1 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )(4 ? y1 ? y0 ) ? x0 2 2 ? x0 ? y0 ? 4 y0 ? ( x12 ? y12 ? 4 y1 ) .????????8 分

??? ? ??? ?

因为点 E 在圆 N 上,所以 x1 ? ( y1 ? 2) ? 1 ,即 x1 ? y1 ? 4 y1 ? ?3 .??9 分
2 2 2 2

因为点 P 在椭圆 M 上,所以

2 x0 y2 2 2 ? 6 ? 3 y0 .??????10 分 ? 0 ? 1 ,即 x0 6 2
2

所以 PE ? PF ? ?2 y0 ? 4 y0 ? 9 ? ?2( y0 ? 1) ? 11.?????????12 分
2

??? ? ??? ?

因为 y0 ? [? 2 ,

??? ? ??? ? 2] ,所以当 y0 ? ?1 时, PE ? PF

?

?

min

? 11.??????14 分

方法 3:①若直线 EF 的斜率存在,设 EF 的方程为 y ? kx ? 2 ,?????5 分 由?

?y ? kx? 2 ? x ? ( y ? 2) ? 1
2 2

,解得 x ? ?

1 k 2 ?1

.????????????6 分
2 2

x y 2 2 因为 P 是椭圆 M 上的任一点,设点 P?x0 , y 0 ? ,所以 0 ? 0 ? 1,即 x 0 ? 6 ? 3 y 0 ?7 分 6 2
所以 PE ? ?

??? ? ?

1

2 ? k ?1

? x0 ,

? ???? ? ? 1 k ? 2 ? y0 ? , PF ? ? ? ? x0 , ? ? 2 ? y0 ? 2 k 2 ?1 k 2 ?1 ? ? k ?1 ? k

8分

所以 PE ? PF ? x0 ?

2

1 k2 2 2 ? ( 2 ? y ) ? ? x0 ? (2 ? y0 ) 2 ? 1 ? ?2( y0 ? 1) 2 ? 11 .?9 分 0 2 2 k ?1 k ?1
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因为 y0 ? ? ? 2, 2 ? ,所以当 y 0 ? ?1 时, PE ? PF 取得最大值 11.???11 分

?

?

②若直线 EF 的斜率不存在,此时 EF 的方程为 x ? 0 , 由?

?x ? 0
2 2 ? x ? ( y ? 2) ? 1

,解得 y ? 1或 y ? 3 .不妨设, E ? 0, 3 ? , F ? 0,1? .??12 分
2 2

x y 2 2 因为 P 是椭圆 M 上的任一点,设点 P?x0 , y 0 ? ,所以 0 ? 0 ? 1,即 x 0 ? 6 ? 3 y 0 . 6 2 ??? ? ??? ? 所以 PE ? ? ? x0 ,3 ? y0 ? , PF ? ? ? x0 ,1 ? y0 ? . ??? ? ??? ? 2 2 2 所以 PE ? PF ? x0 ? y0 ? 4 y0 ? 3 ? ?2( y0 ? 1) ? 11 .
因为 y0 ? ? ? 2, 2 ? ,所以当 y 0 ? ?1 时, PE ? PF 取得最大值 11.????13 分

?

?

综上可知, PE ? PF 的最大值为 11.????????????????14 分 20.解:(1) 因为
2 2 an ?1 ? 2a n ? a n a n ?1

,即

(a n?1 ? a n )( 2a n ? a n?1 ) ? 0

??1 分

又 a n ? 0 ,所以有 2a n ? a n ?1 ? 0 ,即 2a n ? a n ?1 所以数列 ?a n ?是公比为 2 的等比数列.?2 分 由 a 2 ? a 4 ? 2a3 ? 4 得 2a1
n 从而,数列 ?a n ?的通项公式为 a n ? 2 (n ? N ? ) 。??4 分

? 8a1 ? 8a1 ? 4 ,解得 a1 ? 2 。??3 分

(2) bn ?

nan m 2 1 n n ) ? ( ) ,??5 分 ,若 b1 , bm , bn 成等比数列,则 ( n = (2n ? 1) ? 2 2n ? 1 2m ? 1 3 2n ? 1 m2 n m2 n 3 ?2m2 ? 4m ? 1 即 .由 2 ,可得 ? ,??6 分 ? ? 2 n m2 4m ? 4m ? 1 6n ? 3 4m ? 4m ? 1 6n ? 3
6 6 。??7 分 ? m ? 1? 2 2 又 m ? N* ,且 m ? 1,所以 m ? 2 ,此时 n ? 12 .

所以 ?2m2 ? 4m ? 1 ? 0 ,解得: 1 ?

故当且仅当 m ? 2 , n ? 12 .使得 b1 , bm , bn 成等比数列。??8 分

? 1 ? n2 ? n n?2 (n ? 1) 2 ? 1 1 n 2 ? 2n ? 2 ? ? ? ? ? (3) cn ? n ?1 n ?1 ? n?2 n ?1 2 ? n(n ? 1)2 n(n ? 1) ? 2 ? n(n ? 1)2 2 n(n ? 1) ? 2 ? 1? 1 1 1 ? ? n ?1 ? ? ??10 分 n n ?1 ? 2 ?2 n ? 2 (n ? 1)2 ?
∴ Sn ?

? 1 1 1 1? 1 1 1 1 1 1 ( 2 ? ? ? n ?1 ) ? ?( ? )?( ? ) ??? ( ? ) 2 2 3 n n ?1 ? 2 2 2 2 ? 1? 2 2 ? 2 2 ? 2 3? 2 n ? 2 ( n ? 1) ? 2 ? 1 1 (1 ? n ) ? 1? 1 22 1 1 n ? 2? 2 ? 1 ?1 ? ??12 分 ? ?1 ? ( ) n ?1 ? ? ? ? n ?1 ? 1 2? 2 n ?1 ? 2 2 2 ( n ? 1) ? 2 ? ? ? 1? 2 1 n?1 n ? 2 1 n?1 1 1 n ? 2 1 1?1 1 ? 2 3 易知 ( ) ? ? ( ) (1 ? ) 递减,∴0< ( )n?1 ? ?( ) ? ? ??13 分 2 n ?1 2 n ?1 2 n ?1 2 1?1 8

5 1 1 n?2 1 5 1 ? [1 ? ( )n?1 ? ]? ? Sn ? 2 n ? 1 2 ,即 16 2 。??14 分 ∴ 16 2
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21 解.(1) y ? f ( x) 图象与 x 轴异于原点的交点 M (a, 0) , f '( x) ? 2 x ? a ??1 分 1 ??2 分 y ? g ( x ? 1) ? ln( x ? 1) 图象与 x 轴的交点 N (2, 0) , g '( x ? 1) ? x ?1 1 由题意可得 kl1 ? kl2 , 即 2a ? a ? ???3 分 ?1 ?a ? 1 , 2 ?1 ∴ f ( x) ? x 2 ? x, , f (2) ? 22 ? 2 ? 2 ?????4 分 2 2 (2) y ? f [ xg ( x)+t ] ? [ x ln x+t ] ? ( x ln x+t ) = ( x ln x) ? (2t ? 1)( x ln x) ? t 2 ? t ?5 分 令 u ? x ln x ,在 x ? ?1, e ? 时, u ' ? ln x ? 1 ? 0 , ∴ u ? x ln x 在 ?1, e ? 单调递增, 0 ? u ? e,
y ? u 2 ? (2t ? 1)u ? t 2 ? t 图象的对称轴 u ?

????6 分
1 ? 2t ,抛物线开口向上 2

1 ? 2t 1 ???7 分 ? 0 即 t ? 时, ymin ? y |u ?0 ? t 2 ? t 2 2 1 ? 2t 1 ? 2e ②当 u ? 时, ymin ? y |u ?e ? e2 ? (2t ? 1)e ? t 2 ? t ??8 分 ? e 即t ? 2 2 1 ? 2t 1 ? 2e 1 ③当 0 ? ? e即 ? t ? 时, 2 2 2 1 ? 2t 2 1 ? 2t 2 1 ymin ? y | 1?2t ? ( ) ? (2t ? 1) ? t ? t ? ? ??9 分 u? 2 2 4 2 1 1 1 x ?1 (3) F ( x) ? g ( x) ? g '( x) ? ln x ? , F '( x) ? ? 2 ? 2 ? 0 得x ? 1 x x x x 所以 F ( x) 在区间 (1, ??) 上单调递增 ∴ 当x ? 1 时, F(x) ????10 分 ? F(1) ?0 ①当 m ? (0,1) 时,有 ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx1 ? (1 ? m) x1 ? x1 ,

①当 u ?

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 , 得 ? ? ( x1 , x2 ) ,同理 ? ? ( x1 , x2 ) , ∴ 由 f ( x) 的单调性知 0 ? F ( x1 ) ? F (? ) ? F ( x2 ) 、 0 ? F ( x1 ) ? F ( ? ) ? F ( x2 ) 从而有 | F (? ) ? F ( ? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | ,符合题设. ??11 分 ②当 m ? 0 时, ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ? (1 ? m) x1 ? mx1 ? x1 , 由 f ( x) 的单调性知 0 ? F ( ? ) ? F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? F (? ) , ∴ | F (? ) ? F ( ? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | ,与题设不符??12 分 ③当 m ? 1 时,同理可得 ? ? x1 , ? ? x2 , 得 | F (? ) ? F ( ? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | ,与题设不符. ???13 分 ∴综合①、②、③得 m ? (0,1) ???14 分 说明:各题如有其它解法,按照相应的步骤给分.

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