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洛阳市2015届高三第二次统一考试数学理试题 (2)


2014—2015 学年高中三年级第二次统一考试

数学试卷(文)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分 钟.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名,考号填写在答题卷上. 2.考试结束,将答题卷交回. 一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中.只有 一项是符合题目要求的. 1.已知 i 是虚数单位,若复数 z 满足 zi=1+i,则复数 z 的实部与虚部之和为 A.0 B.1
2

C.2 2

D.4

2.已知集合 A={1, m +1},B={2,4},则“m= 3 ”是“A∩B={4}”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.若α ∈[0,2π ) ,则满足 1 +sin 2? =sinα +cosα 的α 的取值范围是

? ] 2 3? C.[0, ] 4
A.[0, 4.曲线 f(x)=

B.[0,π ] D.[0,

3? 7? ]∪[ ,2π ) 4 4

x 2+a 在点(1,f(1) )处切线的倾斜角为 x+1

3? ,则实数 a= 4
A.1 C.7
2

B.-1 D.-7

5.过抛物线 y =4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点, 若|AF|=5,则|BF|= A.

1 4

B.1

C.
1

5 4

D.2

6.已知圆 C: x2+y 2=4 ,若点 P( x0 , y0 )在圆 C 外,则直线 l: x0 x+y0 y=4 与圆 C 的 位置关系为 A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定 7.执行下面的程序,若输入的 x=2,则输出的所有 x 的值的和为 A.6 B.21 C.101 D.126

? x+y≤2, x+y+2 ? 8.已知不等式 ? x≥0, 表示的平面区域的面积为 2,则 的最小值为 x+1 ? y≥m ?
A.

3 2

B.

4 3 1 2

C.2

D.4

9.若函数 y=f(2x+1)是偶函数,则函数 y=f(2x)的图象的对称轴方程是

1 D.x=1 2 r 2 uur uuu r 3 uuu 10.已知 P 是△ABC 所在平面内一点,若 AP = BC - BA ,则△PBC 与△ABC 的面积 4 3
A.x=-1 B.x=- C.x= 的比为 A.

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

11.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某多面体 的三视图,则该几何体的各个面中最大面的面积为 A.1 B.

5 2

C. 6

D.2 3

?e x , x≤1, 12.已知函数 f(x)= ? 若方程 f(x)-kx=1 有两个不同实根,则实数 k f x-1),x>1. ?(
的取值范围为

e-1 ,e) 3 e-1 C. ( ,1)∪(1,e) 3
A. (

e-1 ,1)∪(1,e-1] 2 e-1 D. ( ,e-1] 2
B. (

2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13 .双曲线

y2 x 2 - = 1 ( b > 0 )的离心率为 2 ,则此双曲线的焦点到渐近线的距离为 4 b2

__________。 14.等比数列{ an }中,a1=1,a10=2,则 log 2 a1 + log 2 a2 +?+ log2 a10 =_________. 15.已知点 A、B、C、D 均在球 O 上,AB=BC= 6 ,AC= 2 3 ,若三棱锥 D-ABC 体积 的最大值为 3,则球 O 的表面积为___________.
2 16 . 已 知 正 项 数 列 { an } 的 前 n 项 和 为 Sn , 对 ? n ∈ N ﹡ 有 2 S n = an +an . 令

bn=

an

1 ,设{ bn }的前 n 项和为 Tn ,则在 T1,T2,T3,?,T100 中有理 an+1+an+1 an

数的个数为_____________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,已知 sin(A+B)=sinB+sin(A-B) . (1)求∠A; (2)若 AB · AC =20,求| BC |的最小值. 18. (本小题满分 12 分) 有 2000 名网购者在 11 月 11 日当天于某购物网站进行网购消费(消费金额不超过 1000 元) ,其中有女士 1100 名,男士 900 名.该购物网站为优化营销策略,根据性别采用分 层抽样的方法从这 2000 名网购者中抽取 200 名进行分析,如下表: (消费金额单位:元) 女士消费情况: 消费金额 人数 男士消费情况: 消费金额 人数 (0,200) [200,400) [400,600) [600,800) [800,1000] 15 30 25 y 5 (0,200) [200,400) [400,600) [600,800) [800,1000] 10 25 35 30 x

uuu r

uuu r

uuu r

(1)计算 x,y 的值;在抽出的 200 名且消费金额在[800,1000](单位:元)的网购者 中随机选出两名发放网购红包,求选出的两名网购者都是男士的概率;
3

(2) 若消费金额不低于 600 元的网购者为 “网 购达人” ,低于 600 元的网购者为“非网 购达人” ,根据以上统计数据填写右面 2×2 列联表,并回答能否在犯错误的概 率不超过 0.05 的前提下认为“是否为 ‘网购达人’与性别有关?” 附: P(K2≥k0) k0 0.10 2.706
2

女士 网购达人 非网购达人 总计

男士

总计

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

n(ad-bc) (K2= ,n=a+b+c+d) (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 19. (本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=2AB=4,E,F 分别在 BC, AD 上,EF∥AB.现将四边形 ABCD 沿 EF 折起,使平面 ABEF⊥平面 EFDC.

(1)若 BE=1,是否在折叠后的线段 AD 上存在一点 P,且 AP =λ PD ,使得 CP∥平 面 ABEF?若存在,求出λ 的值;若不存在,说明理由; (2)求三棱锥 A-CDF 的体积的最大值,并求此时点 F 到平面 ACD 的距离.

uuu r

uuu r

20. (本小题满分 12 分) 设 M 是焦距为 2 的椭圆 E:

x 2 y2 + = 1 (a>b>0)上一点,A、B 是椭圆 E 的左、右 a 2 b2
1 . 2

顶点,直线 MA 与 MB 的斜率分别为 k1,k2,且 k1k2=- (1)求椭圆 E 的方程; (2) 已知椭圆 E:

xx y y x 2 y2 1, + 2= 1 (a>b>0) 上点 N ( x0 ,y0 ) 处切线方程为 02 + 02 = 2 a b a b
4

若 P 是直线 x=2 上任意一点,从 P 向椭圆 E 作切线,切点分别为 C,D,求证直线 CD 恒过定点,并求出该定点坐标.

21. (本小题满分 12 分) 已知 f(x)= xe - ax - x . (1)若 f(x)在(-∞,-1]上递增,[-1,0]上递减,求 f(x)的极小值; (2)若 x≥0 时,恒有 f(x)≥0,求实数 a 的取值范围. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,答 题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
x 2

22. (本小题满分 10 分) (选修 4—1 几何证明选讲) 如图,⊙O1 与⊙O2 相交于 A,B 两点.点 P 在线段 BA 延长线上,T 是⊙O2 上一点,PT⊥O2T,过 P 的直线交 ⊙O1 于 C,D 两点. (1)求证:

PT PD = ; PC PT

(2)若⊙O1 与⊙O2 的半径分别为 4,3,其圆心距 O1O2 =5,PT=

24 2 ,求 PA 的长. 5

23. (本小题满分 10 分) (选修 4-4 坐标系与参数方程) 在平面直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为: ?
5

? x=4cos? , ( ? 为参数) ,以坐标原点 ?y=3sin ?.

O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为ρ =2cosθ . (1)求曲线 C2 的直角坐标方程; (2) 已知点 M 是曲线 C1 上任意一点, 点 N 是曲线 C2 上任意一点,求|MN|的取值范围.

24. (本小题满分 10 分) (选修 4—5 不等式选讲) 已知 a,b∈R+,a+b=1, x1 , x2 ∈R+. (1)求

x1 x2 2 的最小值; + + a b x1 x2

(2)求证: (ax1+bx2 ) (ax2+bx1 )≥x1x2 .

6

7

8

9

10


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