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高一数学(人教B版必修2)复习题(一)


高一数学(必修 2)综合练习(一)
一. 选择题 1. 直线 x ? A. 30
?

的倾斜角的大小是 3 y ? a ? 0( a 为实常数) B. 60
?

( D. 150
?



C. 120

?

2. 到直线 3 x ? 4 y ? 1 ? 0 的距离为 2 的直线方程是 A. 3 x ? 4 y ? 11 ? 0 C. 3 x ? 4 y ? 9 ? 0 3. 下列说法正确的是 A. 经过定点 P0 ( x 0 , y 0 ) 的直线都可以用方程 y ? y 0 ? k ( x ? x 0 ) 表示 B. 经过不同两点 P1 ( x 1 , y 1 ), P2 ( x 2 , y 2 ) 的直线都可以用方程
y ? y1 y 2 ? y1 ?





B. 3 x ? 4 y ? 11 ? 0 或 3 x ? 4 y ? 9 ? 0 D. 3 x ? 4 y ? 11 ? 0 或 3 x ? 4 y ? 9 ? 0 ( )

x ? x1 x 2 ? x1

表示

C. 经过定点 P0 ( 0 , b ) 且斜率存在的直线都可以用方程 y ? kx ? b 表示 D. 不过原点的直线都可以用方程
x a ? y b ? 1 表示

4.直线 y ? 1 ? m ( x ? 2 ) 总过一个定点,其中 m ? R ,该定点坐标为 A. (1, ? 2 ) B. ( ? 1, 2 ) C. ( ? 2 , ? 1) D. ( 2 , ? 1)





5. 若直线 l 1 : ( m ? 3 ) x ? 4 y ? 5 ? 0 l1 : l 2 : 2 x ? ( m ? 5 ) y ? 8 ? 0 平行, m ?( 与 则 A. ? 7 B. ? 1 或 ? 7 C. ? 6 D. ?
13 3



6. 对两条不相交的空间直线 a 和 b , 必定存在平面 ? , 使得 A. a ? ? , b ? ? B. a ? ? , b // ? C. a ? ? , b ? ?

( D. a ? ? , b ? ? (



7. 下列四个命题中错误的个数是



① 垂直于同一条直线的两条直线相互平行;② 垂直于同一个平面的两条直线相互平行; ③ 垂直于同一条直线的两个平面相互平行;④ 垂直于同一个平面的两个平面相互垂直. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8. 半径为 R 的球内接一个正方体,则该正方体的体积是 A. 2 2 R
3

( D.
3 9
3



B.

4 3

?R

3

C.

8 9

3R

3

R

9. 设 a , b 是两条直线, ? , ? 是两个平面,则 a ? b 的一个充分条件是 A. a ? ? , b // ? , ? ? ? C. a ? ? , b ? ? , ? // ? B. a ? ? , b ? ? , ? // ? D. a ? ? , b // ? , ? ? ?

10.已知点 P 为 ? ABC 所在平面外一点,且 PB ? PC ,则 P 在平面 ABC 上的射影必在
? ABC 的

( B. BC 边的高线上 D. ? BAC 的角平分线上
2 2



A. BC 边的垂直平分线上 C. BC 边的中线上
2 2

11. 圆 C 1 : x ? y ? 2 x ? 8 y ? 8 ? 0 与圆 C 2 : x ? y ? 4 x ? 4 y ? 2 ? 0 的位置关系 是 A. 相交 B. 外切
2 2

( C. 内切 D. 相离 (



12. 直线 (1 ? a ) x ? y ? 1 ? 0 与圆 x ? y ? 2 x ? 0 相切,则 a 的值为 A. 1 或 ? 1 二. 填空题 B. ? 2 C. ? 1 D. 1



13. 圆 C 2 : x ? y ? 4 x ? 4 y ? 6 ? 0 截直线 x ? y ? 5 ? 0 所得的弦长为__________.
2 2

14. 过点 (1, 2 ) 且与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 平行的直线的方程是 ______________. 15. 过点 A ( 0 ,1), B ( 2 , 0 ) 的直线的方程为 ________.
D1

16. 已知各面均为等边三角形的四面体的棱长 为 2 ,则它的表面积是____________.
A1 B1

C1

17. 如图,在正方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中,异面 直线 A 1 D 与 D 1 C 所成的角为_______度;直线
A 1 D 与平面 AB 1 C 1 D 所成的角为_______度.
A D

C B

三. 解答题 18. 求经过两条直线 l 1 : 3 x ? 4 y ? 2 ? 0 与 l 2 : 2 x ? y ? 2 ? 0 l 2 :的交点 P ,且垂直于 直线 l 3 : x ? 2 y ? 1 ? 0 直线 l 的方程.

19.求经过两点 A ( 0 , ? 6 ), B (1, ? 5 ) ,且圆心在直线 l : x ? y ? 1 ? 0 上的圆的标准方程.

20. 已知直线 l 过点 P (1,1 ) , 并与直线 l 1 : x ? y ? 3 ? 0 和 l 2 : 2 x ? y ? 6 ? 0 分别交于点
A 、 B 若线段 AB 被点 P 平分,求:

(Ⅰ)直线 l 的方程; (Ⅱ)以 O 为圆心且被 l 截得的弦长为
8 5 5

的圆的方程.

21. 如图:在三棱锥 S ? ABC 中,已知点 D , E , F 分别为棱 AC , SA , SC 的中点. (Ⅰ)求证: EF // 平面 ABC . (Ⅱ)若 SA ? SC , BA ? BC ,求证:平面 SBD ? 平面 ABC .
E D A B S

F C

22.如图,在正三棱柱 ABC ? A1 B 1 C 1 中, AB ? 2 , A A 1 ? 2 ,由顶点 B 沿棱柱侧面经 过棱 A A 1 到顶点 C 1 的最短路线与 A A 1 的交点记为 M , 求: (Ⅰ)三棱柱的侧面展开图的对角线长 (Ⅱ)该最短路线的长及
A1 M AM

A1 M A B B1 C

C1

的值

(Ⅲ)平面 C 1 M B 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的大小

A1 M D A B B1

C1

C

高一数学(必修 2)综合练习(一) 参考答案 一、选择题
题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 D 5 A 6 D 7 B 8 C 9 C 10 A 11 A 12 C

二. 填空题
0 0 13、 6 ;14、 x ? 2 y ? 5 ? 0 ;15、 x ? 2 y ? 2 ? 0 ;16、 4 3 ;17、 6 0 , 3 0 .

三. 解答题 18.解:由 ?
?3 x ? 4 y ? 2 ? 0 ?2x ? y ? 2 ? 0

解得 ?

? x ? ?2 ?y ? 2

∴ 点 P 的坐标是( ? 2 ,2). ∵ 所求直线 l 与 l 3 垂直, ∴ 设直线 l 的方程为 2 x ? y ? C ? 0 把点 P 的坐标代入得 2 ? ? ? 2 ? ? 2 ? C ? 0 ,得 C ? 2 . ∴ 所求直线 l 的方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 .
?1 ?2 11 ? ?, 2 ?

19. 解:因为 A (0, ? 6 ) B (1, ? 5 ) , ,所以线段 A B 的中点 D 的坐标为 ?
?5 ? ? ?6 ? 1? 0

,?

直线 A B 的斜率

k AB ?

?1,

因此线段 A B 的垂直平分线 l 的方程是
y? 11 1? ? ? ??x? ?, 2 2? ?
x? y?5? 0

'



圆心 C 的坐标是方程组

?x ? y ? 5 ? 0 ,的解. ? ?x ? y ?1 ? 0
? x ? ?3 , ? ? y ? ?2

解此方程组,得

所以圆心 C 的坐标是( ? 3 , ? 2 ). 圆心为 C 的圆的半径长 r ? A C ?

?1 ? 3 ?
2

2

? ?1 ? 2 ?
2

2

?5

所以,圆心为 C 的圆的标准方程是 ? x ? 3 ? ? ? y ? 2 ? ? 2 5 20.解: (Ⅰ)依题意可设 A ( m , n ) 、 B ( 2 ? m , 2 ? n ) ,则
?m ? n ? 3 ? 0 ?m ? n ? 3 , ? ,解得 m ? ? 1 , n ? 2 .分 ? ?2(2 ? m ) ? (2 ? n ) ? 6 ? 0 ?2m ? n ? 0

即 A ( ? 1, 2 ) ,又 l 过点 P (1,1) ,易得 AB 方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 .
4 5 5 3 5

(Ⅱ)设圆的半径为 R,则 R

2

? d

2

? (

) ,其中 d 为弦心距, d ?
2



可得 R 2 ? 5 ,故所求圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 5 . 21.解: (Ⅰ)证明:∵ E F 是 ? S A C 的中位线,∴ E F ∥ A C , 又∵ E F ? 平面 A B C , A C ? 平面 A B C ,∴ E F ∥平面 A B C . (Ⅱ)证明:∵ S A ? S C , A D ? D C , ∵ BA ? BC , AD ? DC , ∴ SD ? A C .

∴ BD ? AC ,

又∵ S D ? 平面 S B D , B D ? 平面 S B D , S D ? D B ? D ,∴ A C ? 平面 S B D . 又∵ A C ? 平面 A B C ,∴平面 S B D ⊥平面 A B C . 22.解: (Ⅰ)正三棱柱 A B C ? A 1 B 1 C 1 的侧面展开图是长为 6,宽为 2 的矩形,其对角线 长为 6 ? 2
2 2

? 2 10
?

(Ⅱ) 如图, 将侧面 A A 1 B 1 B 绕棱 A A 1 旋转 1 2 0 使其与侧面 A A 1 C 1 C 在同一平面上, 点 B 运动到点 D 的位置,连接 D C 1 交 A A 1 于 M,则 D C 1 就是由顶点 B 沿棱柱侧

面经过棱 A A 1 到顶点 C1 的最短路线, 其长为 D C ? C C 1 ?
2

2

4

2

? 2

2

? 2 5

? ? DMA ≌ ? C 1 MA 1 , ? A M ? A 1 M

. 故

A1 M AM

? 1

(Ⅲ)连接 DB, C 1 B ,则 DB 就是平面 C 1 M B 与平面 ABC 的交线 在 ? D C B 中 ? ? D BC ? ? C BA ? ? ABD ? 60 ? 30 ? 90 ? C B ? D B 又 C1C ? 平 面 C B D , ∴CC1⊥DB. ∴DB⊥面 BCC1,∴ C 1 B ? D B .
? ? ?

? ? C 1 B C 就是平面 C 1 M B 与平面 ABC 所成二面角的平面角(锐角)
? 侧面 C 1 B 1 B C 是正方形,? ? C 1 B C ? 4 5
?

故平面 C 1 M B 与平面 ABC 所成的二面角(锐角)为 4 5

?

A1 M D A B B1

C1

C


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