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高一数学第二学期期末试题


命题人:*** 温馨提示:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分, 满分 150 分,考试时间 120 分钟,答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡。 第I 卷

数 学

2012——2013 学年度第二学期期末试题

高一

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的。
1.化简 AC ? BD ? CD ? AB ? ( A. AB B. 0 C. ) D. BC )

DA

2. cos 20 cos 40 ? sin 20 sin 40 的值等于( A.

1 4

B.

3 2

C.

1 2

D.

3 4

3.已知向量 a ? (2, t ) ,b ? (1,2) ,若 t ? t1 时,a // b ;若 t ? t 2 时,a ? b ,则 t1 ,t 2 的值分别为( ) A. ? 4,?1 B.

? 4 ,1

C.

4 ,?1

D. 4 , 1

4.如果点 P(2cos ? ,sin 2? ) 位于第三象限,那么角 ? 所在的象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ( D.1 )

5.已知向量 a, b 的夹角为 A. 2 3

?
3

,且 a ?

1 , b ? 4 ,则 a ? b 的值是 2
C. 2

B. 3

6.某大学中文系共有本科生 5000 人,其中一、二、三、四年级的学生比为 5:4:3:1,要用分层抽 样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为 260 的样本,则应抽二年级的学生( A、100 人 B、80 人 C、60 人 D、20 人 ) )

7.从装有 2 个红球和 2 个白球的红袋内任取两个球,那么下列事件中,对立事件的是( A.至少有一个白球;都是白球 C.恰好有一个白球;恰好有 2 个白球 B.至少有一个白球;至少有一个红球 D.至少有 1 个白球;都是红球 )

8.算法如图,若输入 m=210,n= 117,则输出的 n 为 (
第 1 页 共 8 页

A.2

B.3

C.7

D.11

9.从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如 图所示) ,设甲乙两组数据的平均数分别为 x甲 , x乙 ,中位数分别为 m甲 , m乙 ,则( )

A. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 C. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 10.已知 sin ? ? A. ?

B. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 D. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 )

4 3

4 ,并且 ? 是第二象限的角,那么 tan ? 的值等于( 5 3 3 4 B. ? C. D. 4 3 4

11.在 △ ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,且 AD:BD=2:1,若 CD ? A.

1 CA ? ? CB ,则 ? ? ( 3



1 3

B. ?

1 3

C.

2 3

D. ?

2 3

12.已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ( a 、 b 为常数, a ? 0 , x ? R)在 x ? 函数 y ? f (

?
4

处取得最小值,则

3? ? x) 是( 4

) B.偶函数且它的图象关于点 (
第 2 页 共 8 页

A.偶函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称

3? ,0) 对称 2

3? D.奇函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称 ,0) 对称 2 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,将答案写在答题卡对应的横线上。
C.奇函数且它的图象关于点 ( 13.化简

sin 400 sin( ?230 ) cos850 tan( ?50 )

的结果为



14.一个扇形的面积是 1cm 2 ,它的周长是 4cm ,则圆心角的弧度数是 15 .设 m=

e1 , e2

是两个不共线的向量,已知 .

AB ? 2e1 ? me2 , BC ? e1 ? 3e2 ,

若 A , B , C 三点共线,则实数

16.计算下列几个式子,结果为 3 的序号是 ① tan 25 ? tan 35 ? 3 tan 25 tan 35 ,
? ? ? ?





1 ? tan 15 ? 1 ? tan 15 ?
tan

?
6

③2(sin35?cos25?+sin55?cos65?),



1 ? tan 2

?
6

三、解答题: (本大题共 6 小题,共计 70 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出

文字说明、证明或演算步骤) .
17.已知角 ? 终边上一点 P(?4,3) ,求

3? cos( ? ? ) sin(?5? ? ? ) 2 cos(6? ? ? ) sin( ? ? ) tan(?3? ? ? ) 2

的值。 (10 分)

?

18.设 OA ? (2, ?1), OB ? (3,1), OC ? (m,3) . (12 分) (1)当 m ? 2 时,将 OC 用 OA 和 OB 表示; (2)若 AB ? BC ,求实数 m 的值. 19.一个盒子中装有 4 个编号依次为 1、2、3、4 的球,这 4 个球除号码外完全相同,先从盒子中随机 取一个球,该球的编号为 X,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为 Y(12 分) (1)列出所有可能结果。 (2)求事件 A=“取出球的号码之和小于 4”的概率。 (3)求事件 B=“编号 X<Y”的概率 20.已知非零向量 ? 、 b 满足 b ? (Ⅰ)求 a ;
第 3 页 共 8 页
?

2 ,且 (a ? b) ? (a + b) ?

1 .(12 分) 4

? 3 时,求向量 ? 与 b 的夹角 ? 的值。 2 1 13 ? 21.已知 cos ? ? , cos( ? ? ? ) ? ,且 0 ? ? ? ? ? (12 分) 7 14 2

(Ⅱ)当 a ? b =

(1)求 tan 2? 的值

(2)求 ?

22. 设函数 f ( x) ? a cos2 ? x ? 3a cos ? x sin ? x ? b(0 ? ? ? 2, a ? 0) ,x ? (12 分) (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)若 f ( x) 的定义域为 ??

?
6 是其函数图象的一条对称轴.

? ? ?? ,值域为 [ ?1,5] ,求 a , b 的值. , ? 3 3? ?

第 4 页 共 8 页

高一数学答案
一、选择题:1.B

2.C 3.C 4.B 5.D 8.B 9.B 14. 2

6.B 12.D

7.D

10.A 11. C 15.6

二、填空题:13. sin 40? 三、解答题:

16.(1) 、 (2) 、 (3)

17.解:原式=

sin ? [? sin( 4? ? ? ? ? )] sin ? [? sin(? ? ? )] sin ? sin ? ? ? ? tan ? -----5 分 sin ? cos( ?? ) cos ? tan ? cos ? sin ? cos( ?? ) cos ? cos ?
?t an ? ?? 3 4

? 角 ? 终边上一点 P(?4,3)

? 原式= ?

3 4

----------10 分

18.解:(1)当 m=2 时,设 OC ? xOA ? yOB ,
7 ? x?? , ? 2 x ? 3 y ? 2, ? ? 5 则有 ? 解之得 ? ? x ? y ? 3. 8 ? ?y ? . ? 5 ?

7 8 即 OC ? ? OA ? OB . 5 5
(2) AB ? OB ? OA ? (1, 2) ,

----------6 分

BC ? OC ? OB ? (m ? 3,2) ,
因为 AB ? BC ,所以 AB ? BC ? 0 , 即 1? (m ? 3) ? 2 ? 2 ? 0 ,解得 m ? ?1 . ----------12 分

19.解: (1)列出所有可能的结果(1,1) , (1,2) , (1,3) , ( 1, 4 ) , ( 2, 1 ) , (2,2) , (2 ,3 ) ,
(2,4) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4)共有 16 种。--4 分 (2)取出球的号码之和小于 4 共含有: (1,1) , (1,2) , (2,1)3 种, P ( A) ? (3)编号“ X ? Y ”共含有(1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,3) , (2,4) , (3,4)6 种 P(B)=

3 16

------8 分

6 3 ? 16 8
? ? ? ?

----------12 分
?2 ?2 ? ? 1 1 1 1 9 a ? b ? ,所以 a ? b ? ? 2 ? = ,故 ,即 4 4 4 4 4

2

2

20 . 解 : ( 1 ) 因为 ( a ? b ) ? ( a ? b ) ?

第 5 页 共 8 页

?

a ?

3 ----------6 分 2
? ?

(2)因为 cos? ?

a? b

?

a?b

?

?

2 ? ,故 ? ? 45 2

----------12 分

21.解:(Ⅰ)因为 ? , ? ? (0, ) ,所以 ? ? ? ? (? , ) ,
2
2 2
所以 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? ?

?

? ?

----------2 分

2 5 , 5 3 10 , 10
----------5 分

cos(? ? ? ) ? 1 ? sin 2 (? ? ? ) ?
cos(2? ? ? ) ? cos[? ? (? ? ? )]

? cos ? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? ) 5 3 10 2 5 10 ? ? ? 5 10 5 10 2 ? 10 ?
(2) ; ----------8 分

cos ? ? cos[? ? (? ? ? )] ? cos ? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? ) ? 5 3 10 2 5 10 2 ? ? ? ? 5 10 5 10 2
?
2 ),
----------12 分 ----------10 分

又因为 ? ? (0, 所以 ? ?

?
4

.

22.解: (Ⅰ)因为

a cos 2 ? x ? 3a cos ? x sin ? x ? b a(1 ? cos 2? x) 3a ? sin 2? x ? b 2 2 ? a ? a sin(2? x ? ) ? ? b 6 2 ?

第 6 页 共 8 页

所以 f ( x) ? a sin(2? x ? 6 ) ? 2 ? b , 又因为 x ?

?

a

----------3 分

?
6 是其函数图象的一条对称轴,

所以 2? ? 6 ? 6 ? k? ? 2 , k ? Z ,即 ? ? 3k ? 1 , 又因为 0 ? ? ? 2 ,所以 k ? 0 , 故 ? ?1 ; ----------6 分

?

?

?

a ?b, 6 2 ? ? 5? ? ? 又因为 x ?[? 3 , 3 ] ,所以 2 x ? 6 ?[? 2 , 6 ] ,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? a sin(2 x ? ) ? 所以当 2 x ? 6 ? ? 2 ,即 x ? ? 3 时, sin(2 x ? 6 ) ? sin(? 2 ) ? ?1 , min

?

?

?

?

?

?

? sin ? 1 , 所以当 2 x ? 6 ? 2 ,即 x ? 6 时, sin(2 x ? 6 ) 2 max
所以当 a ? 0 时,

?

?

?

?

?

----------8 分

f ( x) min ? ?a ?

a a a 3a ? b ? ? ? b , f ( x) max ? a ? ? b ? ? b , 2 2 2 2
----------10 分

? a ? ? b ? ?1 ?a ? 3 ? ? 2 ? 所以 ? 3a ,解得 ?b ? 1 , ? ? ?b?5 2 ? ? ? 2
所以当 a ? 0 时,

f ( x) max ? ?a ?

a a a 3a ? b ? ? ? b , f ( x) min ? a ? ? b ? ? b , 2 2 2 2
----------12 分

? a ? ?b?5 ? a ? ?3 ? ? 2 ? 所以 ? 3a ,解得 ?b ? ? 13 , ? ? b ? ?1 ? 2 ? ? ?2

? a ? 3 ? a ? ?3 ? ? 综上所述 ?b ? 1 或 ?b ? ? 13 . ? 2 ? ? 2 ?

第 7 页 共 8 页

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