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3北大附中2013届高三数学一轮复习单元综合测试


北大附中集合与函数的概念测试:
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分, 1.设集合 M={x|(x+3)(x-2)<0},N ={x|1≤x≤3},则 M∩N =( ) A.[1,2) B.[1,2] C.(2,3] D.[2,3] ).
x -1 x
2

2.下列四组中的 f(x),g(x),表示同一个函数的是( A.f(x)=1,g(x)=x
2 0

B.f(x)=x-1,g(x)=
4 3

C.f(x)=x ,g(x)=( x )

D.f(x)=x ,g(x)= x9 )

3

3. y ? f ( x) 的图象 g ( x) ? log 2 x( x ? 0) 的图象关于原点对称,则 f ( x) 的表达式为( A. f ( x) ?

1 ( x ? 0) log 2 x

B. f ( x) ? log 2 (? x)( x ? 0) D. f ( x) ? ? log 2 (? x)( x ? 0) )

C. f ( x) ? ? log2 x( x ? 0)

4.已知 A={x| x ? 5 ? ?1 },若 B={x|x+4<-x},则集合 ?A B 等于(

2 A.{x| ?2 ? x ? 3 }
则 M∩N 为(

B.{x| ?2 ? x ? 3 } C.{x|-2<x<3} D.{x| ?2 ? x ? 3 } 5.设函数 f(x)=x2-4x+3,g(x)=3x-2,集合 M={x∈R|f(g(x))>0|,则 N={x∈R|g(x)<2}, )A.(1,+∞) A.P=M∪N
2

B.(0,1)

C.(-1,1)

D.(-∞,1) D.P=M∩N

6.设非空集合 M、N 满足:M={x|f(x)=0},N={x|g(x)=0},P={x|f(x)g(x)=0},则集合 P 恒 满足的关系为( ) A.(1,2) 8.已知集合 A. B.P? (M∪N) ) C.P≠M∪N 7.集合 M={x|lgx>0},N={x|x ≤4},则 M∩N=( B.(1,2) C.(1,2)

D.(1,2)

A ? ? x / x ? 2,x ? R? , B ? x / x ? 4, x ? Z ,
B.

?

? 则A

B?
D.{0,1, 2}

? 0, 2 ?

?0, 2?

C.{0, 2}

9.设全集 U ? R, A ? x 2

?

x ( x ? 2)

? 1 , B ? ?x y ? 1n(1 ? x)?,则下图中阴影部分表示的集合为

?

(



A.

?x x ? 1?

B.

?x 0 ? x ? 1?
C.(1,2)

C.

?x1 ? x ? 2?
D.(1,2)

D.

?x x ? 1?
) )

10.设集合 A={x|-3≤2x-1≤3},集合 B 为函数 y=lg(x-1)的定义域,则 A∩B=( A.(1,2) A.{x|x≥-1} B.(1,2) B.{x|x<1} 11.已知集合 M={x| x+1≥0},集合 N={x|x +x-2<0},则 M∩N=( C.{x|-1<x<1}
2

D.{x|-1≤x<1} )

2 12.集合 P ? {x ? Z 0 ? x ? 3}, M ? {x ? Z x ? 9} ,则 P I M =(

A.{1,2} B.{0,1,2}

C.{1,2,3}

D.{0,1,2,3}

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.已知定义在 R 上的函数 14.已知集合 A ? x ?1 ? x ? 2
1



= .

.

?

? ,集合 B ? ? x ?3 ? x ? 1 ? ,则 A ? B =


15.给定函数①y= x 2 ,②y= log 1 ? x ? 1? ,③y=|x-1|,④y=2x 1,其中在区间(0,1)上单调递减的
2

函数的序号是________. 16.已知集合 A={x|1≤log2x≤2},B=[a,b],若 A? B,则实数 a-b 的取值范围是________. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
?x-a<1 ? 17.已知关于 x 的不等式组? ? ?2x-a>2

的解集为 A.

(1)集合 B=(1,3),若 A? B,求 a 的取值范围;(2)满足不等式组的整数解仅有 2,求 a 的取值范围.

18.已知

A ? {x | x 2 ? 9}, B ? {x |

x?7 ? 0}, C ? {x || x ? 2 |? 4} (1)求A ? B;(2)求A ? ?U ( B ? C) 。 x ?1

x2+1 19.已知函数 f(x)= 是奇函数,f(1)=2.(1)求 f(x)的解析式;(2)判断函数 f(x)在(0,1)上的单调 bx+c 性.

20.设全集 U ? R ,集合 A ? {x | 6 ? x ? x2 ? 0} ,集合 B ? {x | (Ⅰ)求集合 A 与 B ; (Ⅱ)求 A

2x ?1 ? 1} x?3

B 、 (CU A)

B.

21.设函数 f(x)与 g(x)的定义域是{x|x∈R 且 x≠±1},f(x)是偶函数, g(x)是奇函数,且 f(x)+g(x)=

1 ,求 f(x)和 g(x)的解析式. x ?1

2a-x 22.已知集合 A={x|(x-2)·(x-3a-1)<0},函数 y=lg 的定义域为集合 B. x-(a2+1) (1)若 a=2,求集合 B; (2)若 A=B,求实数 a 的值.

1.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( A.y=-x3,x∈R B.y=sin x,x∈R C.y=x,x∈R

) 1?x D.y=? ?2? ,x∈R )

2.(2011· 陕西高考)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),则 y=f(x)的图像可能是(
? ?1,x为有理数, 3.(2012· 福建高考)设函数 D(x)=? 则下列结论错误的是( ?0,x为无理数, ?

)

A.D(x)的值域为{0,1} C.D(x)不是周期函数

B.D(x)是偶函数 D.D(x)不是单调函数

4.(2013· 考感统考)设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时, 5? f(x)=2x(1-x),则 f? ?-2?=( 1 A.- 2 1 B.- 4 ) 1 C. 4 1 D. 2

5.已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数,且 f(x+1)=-f(x),若 f(x)在[-1,0]上是减少的,那么 f(x)在[1,3]上 是( ) A.增加的 B.减少的 C.先增后减的 D.先减后增的

2 ? ?-x +x?x>0?, 6.(2012· 吉林模拟)已知函数 f(x)=|x+a|-|x-a|(a≠0),h(x)=? 2 则 f(x),h(x)的奇偶性依次为 ?x +x?x≤0?, ?

(

)

A.偶函数,奇函数 B.奇函数,偶函数

C.偶函数,偶函数

D.奇函数,奇函数

7.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是. -x +2x,x>0, ? ? 10.已知函数 f(x)=?0,x=0, ? ?x2+mx,x<0
2

是奇函数.(1)求实数 m 的值;

(2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围. a 11.已知函数 f(x)=x2+ (x≠0,常数 a∈R).(1)判断 f(x)的奇偶性,并说明理由; x (2)若 f(1)=2,试判断 f(x)在[2,+∞)上的单调性. 12.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且它的图像关于直线 x=2 对称. (1)求证:f(x)是周期函数;(2)若 f(x)= x(0<x≤2),求 x∈[-12,-10]时,函数 f(x)的解析式.

北大附中测试:集合与函数的概念
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分, 1.设集合 M={x|(x+3)(x-2)<0},N ={x|1≤x≤3},则 M∩N =( ) A.[1,2) 【答案】A 2.下列四组中的 f(x),g(x),表示同一个函数的是( A.f(x)=1,g(x)=x
2 0

B.[1,2] ).
x -1 x
2

C.(2,3]

D.[2,3]

B.f(x)=x-1,g(x)=
4 3

C.f(x)=x ,g(x)=( x ) 【答案】D

D.f(x)=x ,g(x)= x9

3

3. y ? f ( x) 的图象 g ( x) ? log 2 x( x ? 0) 的图象关于原点对称,则 f ( x) 的表达式为( A. f ( x) ?

)

1 ( x ? 0) log 2 x

B. f ( x) ? log 2 (? x)( x ? 0) D. f ( x) ? ? log 2 (? x)( x ? 0)

C. f ( x) ? ? log2 x( x ? 0)

【答案】D 4.已知 A={x| x ? 5 ? ?1 },若 B={x|x+4<-x},则集合 ?A B 等于(

2 A.{x| ?2 ? x ? 3 }

)

C.{x|-2<x<3} 【答案】A 5.设函数 f(x)=x2-4x+3,g(x)=3x-2,集合 M={x∈R|f(g(x))>0|,则 N={x∈R|g(x)<2}, 则 M∩N 为( A.(1,+∞) C.(-1,1) 【答案】D 6.设非空集合 M、N 满足:M={x|f(x)=0},N={x|g(x)=0},P={x|f(x)g(x)=0},则集合 P 恒 满足的关系为( A.P=M∪N C.P≠ 【答案】B 7.集合 M={x|lgx>0},N={x|x2≤4},则 M∩N=( A.(1,2) 【答案】C 8.已知集合 A. ) ) B.P? (M∪N) D.P= )

B.{x| ?2 ? x ? 3 } D.{x| ?2 ? x ? 3 }

B.(

D.(

B.1,2) C.(

A ? ? x / x ? 2,x ? R? , B ? x / x ? 4, x ? Z ,
B.

?

? 则A

B?
D.{0,1, 2}

? 0, 2 ?

?0, 2?

C.{0, 2}

【答案】D 9.设全集 U ? R, A ? x 2 ( )

?

x ( x ? 2)

? 1 , B ? ?x y ? 1n(1 ? x)?,则下图中阴影部分表示的集合为

?

A. B. C. D.

?x x ? 1? ?x 0 ? x ? 1? ?x1 ? x ? 2? ?x x ? 1?
)

【答案】 C 10.设集合 A={x|-3≤2x-1≤3},集合 B 为函数 y=lg(x-1)的定义域,则 A∩B=( A.(1,2) C.1,2) 【答案】D 11.已知集合 M={x| x+1≥0},集合 N={x|x2+x-2<0},则 M∩N=( )

B.1

D.(

A.{x|x≥-1} C.{x|-1<x<1} 【答案】D
2 12.集合 P ? {x ? Z 0 ? x ? 3}, M ? {x ? Z x ? 9} ,则 P I M =(

B.{

D.{



A.{1,2} B.{0,1,2} 【答案】B

C.{1,2,3}

D.{0,1,2,3}

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.已知定义在 R 上的函数 则 = .

【答案】 14.已知集合 A ? x ?1 ? x ? 2 【答案】 {x | ?1 ? x ? 1} 15.给定函数①y= x ,②y= log 1 ? x ? 1? ,③y=|x-1|,④y=2x 1,其中在区间(0,1)上单调递减的


?

? ,集合 B ? ? x ?3 ? x ? 1 ? ,则 A ? B =

.

1 2

2

函数的序号是________. 【答案】②③ 16.已知集合 A={x|1≤log2x≤2},B=[a,b],若 A? B,则实数 a-b 的取值范围是________. 【答案】(-∞,-2]

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
? ?x-a<1 17.已知关于 x 的不等式组? ?2x-a>2 ?

的解集为 A.

(1)集合 B=(1,3),若 A? B,求 a 的取值范围; (2)满足不等式组的整数解仅有 2,求 a 的取值范围.
? ?x-a<1 【答案】(1)由不等式组? ?2x-a>2 ?

x<a+1 ? ? 得? a+2 ? ?x> 2



a+2 当 a+1≤ ,即 a≤0 时 A=?,满足 A? B. 2 a+2 a+2 当 a+1> ,即 a>0 时,A=( ,a+1),A? B, 2 2 a+1≤3 ? ? 所以?a+2 ? ? 2 ≥1 , 解得 0≤a≤2,所以 0<a≤2.

综述上面情况,a 的取值范围是 a≤2. (2)满足不等式组的整数解仅有 2,A≠?, 2<a+1≤3 ? ? 所以 a>0 且? a+ 2 1≤ <2, ? 2 ? 所以 a 的取值范围是(1,2).
2 18.已知 A ? {x | x ? 9}, B ? {x |

解得 1<a<2,

x?7 ? 0}, C ? {x || x ? 2 |? 4} x ?1

(1)求A ? B;(2)求A ? ?U ( B ? C) 。
【答案】

A ? {x | x2 ? 9} ? (??, ?3] ?[3, ??)

x?7 ? 0} ? (??, ?1) ? [7, ??) C ? {x || x ? 2 |? 4} ? (?2, 6) x ?1 (1) A ? B ? (??, ?3] ? [7, ??), A ? C ? (??, ?3] ? (?2, ??) B ? {x | (2) B ? C ? (?2, ?1), ?U ( B ? C ) ? (??, ?2] ? [?1, ??) ? A ? ?U ( B ? C ) ? (??, ?3] ? [3, ??)
x2+1 19.已知函数 f(x)= 是奇函数,且 f(1)=2. bx+c (1)求 f(x)的解析式; (2)判断函数 f(x)在(0,1)上的单调性. 【答案】∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x) x2+1 x2+1 即 =- , -bx+c bx+c

比较系数得:c=-c,∴c=0 12 + 1 又∵f(1)=2,∴ =2,b=1 b+ 1

x2+1 1 ∴f(x)= 即 f(x)=x+ . x x (2)任取 x1,x2∈(0,1),且 x1<x2 1? ? 1? ? 则 f(x1)-f(x2)= x1+x - x2+x

?

1

? ?

2

?

1 ? ? =(x1-x2) 1-x ·x ? 1 2? ∵0<x1<x2<1. 1 ∴x1-x2<0,1- <0 x1·x2 1 ? ? ∴(x1-x2) 1-x x >0 即 f(x1)>f(x2). ? 1 2? f(x)在(0,1)上为减函数. 20.设全集 U ? R ,集合 A ? {x | 6 ? x ? x2 ? 0} ,集合 B ? {x | (Ⅰ)求集合 A 与 B ; 【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)求 A

2x ?1 ? 1} x?3

B 、 (CU A)

B.

6 ? x ? x2 ? 0,? x2 ? x ? 6 ? 0 ,

不等式的解为 ?3 ? x ? 2 ,? A ? {x | ?3 ? x ? 2}

2x ?1 2x ?1 x?4 ? 1,? ? 1 ? 0,即 ? 0,? x ? ?3或x ? 4 , x?3 x?3 x?3

? B ? {x | x ? ?3或x ? 4}
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 A ? {x | ?3 ? x ? 2} , B ? {x | x ? ?3或x ? 4} ,

?A

B??

CU A ? {x | x ? ?3或x ? 2} ,?(CU A) B ? {x | x ? ?3或x ? 2}.
21.设函数 f(x)与 g(x)的定义域是{x|x∈R 且 x≠±1},f(x)是偶函数, g(x)是奇函数,且 f(x)+g(x)=

1 ,求 f(x)和 g(x)的解析式. x ?1
【答案】∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数, ∴f(-x)=f(x),且 g(-x)=-g(x).

1 1 ,得 f(-x)+g(-x)= , x ?1 ?x ?1 1 即 f(x)-g(x)=, x+1 1 x ∴f(x)= 2 ,g(x)= 2 . x ?1 x ?1
而 f(x)+g(x)= 2a-x 22.已知集合 A={x|(x-2)·(x-3a-1)<0},函数 y=lg 的定义域为集合 B. x-(a2+1) (1)若 a=2,求集合 B; (2)若 A=B,求实数 a 的值. 【答案】(1)当 a=2 时,lg 2a-x 4-x =lg . 2 x-(a +1) x-5



4 -x >0,得 4<x<5, x-5

故集合 B={x|4<x<5}. (2)由题可知,B={x|2a<x<a2+1}, 1 ①若 2<3a+1,即 a> 时,A={x|2<x<3a+1}, 3
? ?2a=2, 又因为 A=B,所以? 2 ?a +1=3a+1, ?

无解;

②若 2=3a+1 时,显然不合题意; 1 ③若 2>3a+1,即 a< 时,A={x|3a+1<x<2}, 3
? ?2a=3a+1, 又因为 A=B,所以? 2 ?a +1=2, ?

解得 a=-1.

综上所述,a=-1.

课时跟踪检测(七) A级 1.A 2.选 B 由 f(-x)=f(x)知 f(x)是偶函数,由 f(x+2)=f(x)知 f(x)是周期为 2 的函数,再结合图像可知 B 正 确. 3.选 C 若 x 为无理数,则 x+1 也是无理数,故有 D(x+1)=0=D(x);若 x 为有理数,则 x+1 也是有理 数,故有 D(x+1)=1=D(x).综上,1 是 D(x)的周期,故 D(x)不是周期函数的结论是错误的,应选 C. 5? 1 ? 1? 1 ?5? ?5 ? ?1? 4.选 A 由题意得 f? ?-2?=-f?2?=-f?2-2?=-f?2?=-2×2×?1-2?=-2. 5.选 D 由 f(x)在[-1,0]上是减少的,又 f(x)是 R 上的偶函数,所以 f(x)在[0,1]上是增加的. 由 f(x+1)=-f(x), 得 f(x+2)=f[(x+1)+1]=-f(x+1)=f(x),故 2 是函数 f(x)的一个周期. 结合以上性质,模拟画出 f(x)部分图像的变化趋势,如下图.

由图像可以观察出,f(x)在[1,2]上是减少的,在[2,3]上为增加的. 6.选 D f(-x)=|-x+a|-|-x-a|=|x-a|-|x+a|=-f(x),故 f(x)为奇函数. 画出 h(x)的图像可观察到它关于原点对称或当 x>0 时,-x<0,则 h(-x)=x2-x=-(-x2+x)=-h(x),当 x<0 时-x>0,则 h(-x)=-x2-x=-(x2+x)=-h(x). x=0 时,h(0)=0,故 h(x)为奇函数.

7.解析:当 x∈(-∞,0)时,
? ? ?x>0, ?x<0, f(x)=-f(-x)=-lg(-x),f(x)>0?? 或? ?x∈(-1,0)∪(1,+∞). ?lg x>0, ? ? ?-lg?-x?>0,

答案:(-1,0)∪(1,+∞) 8.解析:∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数, ∴f(-x)=f(x),且 g(-x)=-g(x). 1 而 f(x)+g(x)= , x-1 1 得 f(-x)+g(-x)= , -x-1 1 1 即 f(x)-g(x)= =- , -x-1 x+1 1 x ∴f(x)= 2 ,g(x)= 2 . x -1 x -1 1 x 答案:f(x)= 2 g(x)= 2 x -1 x -1 9.解析:依题意,画出 y=f(x)与 y=x 的图像,如图所示,注意到 y=f(x)的图像与 2 2? ? 2 2? 2 直线 y=x 的交点坐标是? ?3,3?和?-3,-3?,结合图像可知,f(x)>x 的解集为-2,-3 2? ∪? ?0,3? 2? ? 2? 答案:? ?-2,-3?∪?0,3? 10.解:(1)设 x<0,则-x>0, 所以 f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. 又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x), 于是 x<0 时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以 m=2. (2)要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增,
?a-2>-1, ? 结合 f(x)的图像知? ?a-2≤1, ?

所以 1<a≤3,故实数 a 的取值范围是(1,3]. 11.解:(1)当 a=0 时,f(x)=x2, f(-x)=f(x),函数是偶函数. a 当 a≠0 时,f(x)=x2+ (x≠0,常数 a∈R),取 x=± 1, x 得 f(-1)+f(1)=2≠0; f(-1)-f(1)=-2a≠0, 即 f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1). 故函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)若 f(1)=2,即 1+a=2,解得 a=1,

1 这时 f(x)=x2+ . x 任取 x1,x2∈[2,+∞),且 x1<x2, 1? ? 2 1? 2 则 f(x1)-f(x2)=? ?x1+x ?-?x2+x ?
1 2

x2-x1 =(x1+x2)(x1-x2)+ x1x2 1 ? =(x1-x2)? ?x1+x2-x1x2?. 由于 x1≥2,x2≥2,且 x1<x2. 故 x1-x2<0,x1+x2> 所以 f(x1)<f(x2), 故 f(x)在[2,+∞)上是增加的. 12.解:(1)证明:由函数 f(x)的图像关于直线 x=1 对称,得 f(x+1)=f(1-x), 即有 f(-x)=f(x+2). 又函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 故有 f(-x)=-f(x). 故 f(x+2)=-f(x). 从而 f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 即 f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)由函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,有 f(0)=0. x∈[-1,0)时,-x∈(0,1], f(x)=-f(-x)=- -x,又 f(0)=0, 故 x∈[-1,0]时, f(x)=- -x. x∈[-5,-4],x+4∈[-1,0], f(x)=f(x+4)=- -x-4. 从而,x∈[-5,-4]时, 函数 f(x)=- -x-4. 1 , x1x2


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