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2016年高三数学(理)创新设计资料包2-9


第9讲
最新考纲

函数模型及其应用

1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特

征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增
长的含义;2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函 数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛 应用.

基础诊断


考点突破

课堂总结

知 识 梳 理
几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型
函数模型 一次函数型 反比例 函数型 二次函数模型 函数解析式 f(x)=ax+b(a,b 为常数,a≠0) k f(x)=x+b(k,b 为常数且 k≠0) f(x)=ax2+bx+c (a,b,c 为常数,a≠0)

基础诊断

考点突破

课堂总结

指数函数型

f(x)=bax+c (a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) f(x)=blogax+c (a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) f(x)=axn+b(a,b为常数,a≠0)

对数函数型 幂函数型

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考点突破

课堂总结

(2)指数、对数、幂函数模型性质比较
函数 性质 在(0,+∞) 上的增减性 增长速度 图象的变化 值的比较 y=ax (a>1) 递增 单调_____ 越来越快 y=logax (a>1) 递增 单调_____ 越来越慢 y=xn (n>0)

单调递增
相对平稳

随x的增大 逐渐表现为 y轴 平行 与_____

随x的增大逐 随n值变化 x轴 渐表现为与____ 而各有不同 平行

存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<ax
基础诊断 考点突破 课堂总结

诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(× ) (×) (×) (√ )

(1)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大. 增长速度越来越快的形象比喻. (3)幂函数增长比直线增长更快. 恒有h(x)<f(x)<g(x).

(2)“指数爆炸”是指数型函数y=abx+c(a≠0,b>0,b≠1)

(4)f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,

基础诊断

考点突破

课堂总结

2.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留 了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶,与以上事件 吻合得最好的图象是 ( )

基础诊断

考点突破

课堂总结

解析

小明匀速运动时,所得图象为一条直线,且距离学校

越来越近,排除A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距 离不变,排除D.后来为了赶时间加快速度行驶,排除B.故选C.

答案

C

基础诊断

考点突破

课堂总结

3.(2014· 深圳模拟)用长度为24的材料围一矩形场地,中间 加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为( ) A.3 B.4
解析 x (0<x<6),矩形面积为 y,则 y=x× C.6 设隔墙的长为 D. 12 24-4x =2x(6-x)=-2(x-3)2+18,∴当 x=3 时,y 最大. 2

答案

A

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课堂总结

4.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍,且知病毒的繁殖规 律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:小时,y表 示病毒个数),则k=________,经过5小时,1 个病毒能 繁殖为________个.
解析 当 t=0.5 时,y=2,∴2= ∴k=2ln 2,∴y=e2tln 2,当 t=5 时,y=e10ln 2=210=1 024.

答案

2ln 2

1 024

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考点突破

课堂总结

5.(人教A必修1P104例5改编)某桶装水经营部每天的房租、
人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元,销 售单价与日均销售量的关系如表所示: 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12

日均销售量/桶 480 440

400

360

320

280

240

请根据以上数据作出分析,这个经营部为获得最大利
润,定价应为________元.

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考点突破

课堂总结

解析

设在进价基础上增加x元后,日均销售利润为y元,

日均销售量为480-40(x-1)=520-40x(桶), 则y=(520-40x)x-200=-40x2+520x-200,0<x<13. 当x=6.5时,y有最大值.所以只需将销售单价定为11.5元,

就可获得最大的利润.
答案 11.5

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考点突破

课堂总结

考点一

二次函数模型

【例1】 A,B两城相距100 km,在两城之间距A城x(km)处 建一核电站给A,B两城供电,为保证城市安全,核电站

距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离
(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍,若A城供电量 为每月20亿度,B城供电量为每月10亿度. (1)求x的取值范围; (2)把月供电总费用y表示成x的函数;

(3)核电站建在距A城多远,才能使供电总费用y最少?

基础诊断

考点突破

课堂总结



(1)x 的取值范围为 10≤x≤90. 5 (2)y=5x2+ (100-x)2(10≤x≤90). 2 100?2 5 15 2 15? 2 2 (3)因为 y=5x + (100-x) = x -500x+25 000= ?x- 3 ? + 2 2 2? ? 50 000 100 50 000 100 , 所以当 x= 时, ymin= .故核电站建在距 A 城 km 3 3 3 3 处,能使供电总费用 y 最少.

规律方法

实际生活中的二次函数问题(如面积、利润、产量

等),可根据已知条件确定二次函数模型,结合二次函数的图
象、单调性、零点解决,解题中一定注意函数的定义域.

基础诊断

考点突破

课堂总结

【训练1】 (2014· 武汉高三检测)某汽车销售公司在A,B两地
销售同一种品牌的汽车,在A地的销售利润(单位:万元) 为y1=4.1x-0.1x2,在B地的销售利润(单位:万元)为y2 =2x,其中x为销售量(单位:辆),若该公司在两地共销 售16辆该种品牌的汽车,则能获得的最大利润是 ( )

A.10.5万元
C.43万元

B.11万元
D.43.025万元

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考点突破

课堂总结

解析 设公司在 A 地销售该品牌的汽车 x 辆,则在 B 地销售 该品牌的汽车(16-x)辆,所以可得利润 y=4.1x-0.1x2+2(16 2 21 21 - x) =- 0.1x2 + 2.1x+ 32=- 0.1(x- )2 + 0.1× + 32.因为 2 4 x∈[0,16]且 x∈N,所以当 x=10 或 11 时,总利润取得最大 值 43 万元.

答案

C

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课堂总结

考点二

指数函数、对数函数模型

【例2】 (2014· 青岛模拟)世界人口在过去40年翻了一番,则
每年人口平均增长率是(参考数据lg 2≈0.301 0,100.007 5≈ 1.017) A.1.5% C.1.7%
解析

( B.1.6% D.1.8%

)

设每年人口平均增长率为 x,则(1+x)40=2,两边取 lg 2 以 10 为底的对数,则 40 lg(1+x)=lg 2,所以 lg(1+x)= 40 ≈0.007 5,所以 100.007 5=1+x,得 1+x=1.017,所以 x= 1.7%.

答案

C
基础诊断 考点突破 课堂总结

规律方法

在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞

分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为 y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形 式.解题时,往往用到对数运算,要注意与已知表格中给定 的值对应求解.

基础诊断

考点突破

课堂总结

【训练2】 某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间 内,他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经

历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这支股票的盈亏情
况(不考虑其他费用)为 A.略有盈利 C.没有盈利也没有亏损 解析 ( B.略有亏损 D.无法判断盈亏情况 )

设该股民购这支股票的价格为a元,则经历n次涨停

后的价格为a(1+10%)n=a×1.1n元,经历n次跌停后的价
格为a×1.1n×(1-10%)n=a×1.1n×0.9n=a×(1.1×0.9)n =0.99n· a<a,故该股民这支股票略有亏损.

答案

B
基础诊断 考点突破 课堂总结

考点三 分段函数模型 【例 3】 某旅游景点预计 2015 年 1 月份起前 x 个月的旅游人 1 数的和 p(x)(单位:万人)与 x 的关系近似地满足 p(x)= x(x 2 +1)(39-2x)(x∈N*,且 x≤12).已知第 x 个月的人均消费 额 q(x)(单位:元)与 x 的近似关系是 q(x)= 35-2x (x∈N*,且1≤x≤6), ? ? ?160 * ( x ∈ N ,且7≤x≤12). ? ? x

(1)写出2015年第x个月的旅游人数f(x)(单位:人)与x的函 数关系式; (2)试问2015年第几个月旅游消费总额最大?最大月旅游 消费总额为多少元?
基础诊断 考点突破 课堂总结

解 (1)当 x=1 时,f(1)=p(1)=37, 当 2≤x≤12,且 x∈N*时, f(x)=p(x)-p(x-1) 1 1 = x(x+1)(39-2x)- (x-1)x(41-2x)=-3x2+40x, 2 2 验证 x=1 也满足此式, 所以 f(x)=-3x2+40x(x∈N*,且 1≤x≤12).
(2)第 x 个月旅游消费总额为 (-3x2+40x)(35-2x)(x∈N*,且1≤x≤6), ? ? g(x)=? 160 2 (- 3 x + 40 x ) · (x∈N*,且7≤x≤12), ? x ? 即
3 2 * ? ?6x -185x +1 400x(x∈N ,且1≤x≤6), g(x)=? * ? - 480 x + 6 400 ( x ∈ N ,且7≤x≤12). ?

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①当 1≤x≤6,且 x∈N*时,g′(x)=18x2-370x+1 400, 140 令 g′(x)=0,解得 x=5 或 x= (舍去). 9 当 1≤x<5 时,g′(x)>0, 当 5<x≤6 时,g′(x)<0, ∴当 x=5 时,g(x)max=g(5)=3 125(万元). ②当 7≤x≤12,且 x∈N*时,g(x)=-480x+6 400 是减函数, ∴当 x=7 时,g(x)max=g(7)=3 040(万元). 综上,2015 年 5 月份的旅游消费总额最大,最大旅游消费总额 为 3 125 万元.

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考点突破

课堂总结

规律方法

(1)很多实际问题中,变量间的关系不能用一个关

系式给出,这时就需要构建分段函数模型,如出租车的票价

与路程的函数就是分段函数.(2)求函数最值常利用基本不等
式法、导数法、函数的单调性等方法.在求分段函数的最值 时,应先求每一段上的最值,然后比较得最大值、最小值.

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课堂总结

【训练3】 某建材商场国庆期间搞促销活动,规定:顾客购 物总金额不超过800元,不享受任何折扣,如果顾客购物 总金额超过800元,则超过800元部分享受一定的折扣优 惠,按下表折扣分别累计计算. 可以享受折扣优惠金额 折扣率

不超过500元的部分
超过500元的部分

5%
10%

某人在此商场购物总金额为x元,可以获得的折扣金额为
y元,则y关于x的解析式为

基础诊断

考点突破

课堂总结

?0,0<x≤800, ? y=?5%(x-800),800<x≤1 300, ?10%(x-1 300)+25,x>1 300. ? 若 y=30 元,则他购物实际所付金额为________元.

解析

若x=1 300元,则y=5%(1 300-800)=25(元)<30(元),

因此x>1 300. ∴由10%(x-1 300)+25=30,得x=1 350(元). 答案 1 350

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考点突破

课堂总结

[思想方法]

解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系, 初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化 为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;

(3)解模:求解数学模型,得出数学结论;
(4)还原:将数学结论还原为实际问题的意义.

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考点突破

课堂总结

以上过程用框图表示如下:

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课堂总结

[易错防范] 1.解应用题思路的关键是审题,不仅要明白、理解问题讲 的是什么,还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与 “第几年后”),学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读, 导致题目不会做或函数解析式写错,故建议复习时务必 养成良好的审题习惯. 2.在解应用题建模后一定要注意定义域,建模的关键是注

意寻找量与量之间的相互依赖关系.
3.解决完数学模型后,注意转化为实际问题写出总结答案.

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课堂总结


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