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2007年普通高等学校招生全国统一考试(福建


2007 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷) 数学(理科)试卷

第 I 卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.复数

1 等于 (1 ? i) 2
1 2 1 2

/>
A.

B.-

C.

1 i 2 1 i 2

D.-

2.数列{ an }的前 n 项和为 SL,若 an ?

1 ,则 S5 等于 n(n ? 1)

A. 1 B.

5 6 1 6 1 30

C.

D.

3.已知集合 A= {x | x ? a} ,B= {x |1 ? x ? 2} ,且 A ? (?R B) ? R ,则实数 a 的取值范围是 A.a≤1 B.a<1 C.a≥2 D.a>2 4.对于向量,a 、b、c 和实数 ? ,下列命题中真命题是 A.若 a·b=0,则 a=0 或 b=0 B.若 ? a=0,则 ? =0 或 a=0 C.若 a2=b2,则 a=b 或 a=-b D.若 a·b=a·c,则 b=c 5.已知函数 f ( x) ? sin(? x ?

?
3

)(? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则该函数的图象

A.关于点(

? ,0)对称 3
? =对称 4

B.关于直线 x

C.关于点(

? ,0)对称 4 ? =对称 3

D.关于直线 x

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是 6.以双曲线 9 26
A.x2+y2-10x+9=0 B.x2+y2-10x+16=0 C.x2+y2+10x+16=0 D.x2+y2+10x+9=0 7.已知 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f (| A. (-1,1) B. (0,1) C. (-1,0) ? (0,1) D. (-∞,-1) ? (1,+∞) 8.已知 m、n 为两条不同的直线,a、β 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是 A. m ? ? , n ? ? , m∥β ,n∥β ? a∥β B.a∥β , m ? ? , n ? ? ? m∥n C.m⊥a,m⊥n ? n∥a D.n∥m,n⊥a ? m⊥a 9.把 1 ? (1 ? x) ? (1 ? x)2 ? ??? ? (1 ? x)n 展开成关于 x 的多项式,其各项系数和为 an ,则 lim
n ??

1 |) ? f (1) 的实数 x 的取值范围是 x

2an ? 1 等于 an ? 1

A.

1 4 1 2

B.

C .1 D.2 10.顶点在同一球面上的正四棱柱 ABCD - A ' B ' C ' D ' 中,AB=1, AA ' ? 2 ,则 A、C 两点间的球面距离为 A.

? 4

B.

? 2
2 ? 4 2 ? 2

C.

D.

11.已知对任意实数 x 有 f(-x)=-f(x) ,g(-x)=g(x) ,且 x>0 时, f '( x) ? 0 , g '( x) ? 0 ,则 x<0 时 A. f '( x) ? 0 , g '( x) ? 0 B. f '( x) ? 0 , g '( x) ? 0 C. f '( x) ? 0 , g '( x) ? 0 D. f '( x) ? 0 , g '( x) ? 0 12.如图,三行三列的方阵有 9 个数 aij (i=1,2,3;j=1,2,3) ,从中任取三个数,则至少有两个数位于同行或同列的概 率是

? a11 ? ? a21 ?a ? 31

a12 a22 a32

a13 ? ? a23 ? a33 ? ?

A.

3 7 4 7 1 14 13 14

B.

C.

D.

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置。

?x ? y ? 2 ? 13.已知实数 x、y 满足 ? x ? y ? 2 ,则 z=2x-y 的取值范围是__________。 ?0 ? y ? 3 ?
14.已知正方形 ABCD,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的离心率为_______。 15.两封信随机投入 A、B、C 三个空邮箱,则 A 邮箱的信件数 ? 的数学期望 E? =_______。

16.中学数学中存在许多关系,比如“相等关系” 、 “平行关系”等等,如果集合 A 中元素之间的一个关系“~”满足以下三个 条件: (1)自反性:对于任意 a ? A,都有 a~a; (2)对称性:对于 a,b ? A,若 a~b,则有 b~a; (3)传递性:对于 a,b,c ? A,若 a~b,b~c 则有 a~c 则称“ ? ”是集合 A 的一个等价关系,例如: “数的相等”是等价关系,而“直线的平行”不是等价关系(自反性不成立) ,请 你再列出三个等价关系:___________________。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中, tan A ?

1 3 , tan B ? 。 4 5

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若△ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长。

18. (本小题满分 12 分)

如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都为 2,D 为 CC1 中点。 (Ⅰ)求证:AB1⊥面 A1BD; (Ⅱ)求二面角 A-A1D-B 的大小; (Ⅲ)求点 C 到平面 A1BD 的距离。

19. (本小题满分 12 分) 某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交 a 元(3≤a≤5)的管理费,预计当每 件产品的售价为 x 元(9≤x≤11)时,一年的销售量为(12-x)2 万件。 (Ⅰ)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (Ⅱ)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值 Q(a) 。

20. (本小题满分 12 分)

如图,已知点 F (1,0) ,直线 l:x=-1,P 为平面上的动点,过 P 作直线 l 的垂线,垂足为点 Q ,且 QP ?QF ?FP FQ ? (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A、B 两点,交直线 l 于点 M,已知 MA ? ?1 AF , AF ? ?2 BF ,求 ?1 ? ?2 的值。

??? ? ??? ? ?? ? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

21. (本题满分 12 分) 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 ? 2 , S3 ? 9 ? 3 2 。 (I)求数列{ an }的通项 an 与前 n 项和为 Sn ; (II)设 bn ?

Sn ( n? N * ) ,求证:数列{ bn }中任意不同的三项都不可能成为等比数列。 n

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e ? kx ,x∈R
x

(Ⅰ)若 k=e,试确定函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 k>0,且对于任意 x ? R, f ( x ) ? 0 恒成立,试求实数 k 的取值范围;
n 2

(Ⅲ)设函数 F(x)=f(x)+f(x)+f(-x) ,求证: F (1) F (2) ??? F (n) ? (e

n ?1

? 2) ( n ? N * )

2007 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷) 数学(理科)试卷

参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.D 7.C 2.B 8.D 3.C 9.D 4.B 10.B 5.A 11.B 6.A 12.D

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置。 13.[-5,7] 14. 2 ? 1 15.

2 3

16.答案不唯一,如“图形的全等” 、 “图形的相似” 、 “非零向量的共线” 、 “命题的充要条件”等等。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵C=π -(A+B),

1 3 ? ∴tanC=-tan(A+B)=- 4 5 ? ?1 1 3 1? ? 4 5
又∵0<C<π , ∴C= ? 。 (Ⅱ)∵C= ? ,

3 4

3 4

∴AB 边最大,即 AB= 17 . 又∵tanA<tanB, A、B ? (0,

?
2

)

∴角 A 最小,BC 边为最小边。

sin A 1 ? ? ? ? tan A ? 由? cos A 4 , 且 A ? (0, ) , 2 2 2 ? ?sin A ? cos A ? 1,
17 17

得 sin A ?



AB BC ? 得: sin C sin A

sin A BC ? AB ? ? 2, sin C
所以,最小边 BC ? 2 .

18. (本小题满分 12 分) 本小题主要考查直线与平面的位置关系,二面角的大小,点到平面的距离等知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运 算能力。满分 12 分。 解法一:

(Ⅰ)取 BC 中点 O,连结 AO ∵△ABC 为正三角形,∴AO⊥BC. ∵正三棱柱 ABC-A1BC1 中,平面 ABC⊥平面 BCC1B1, ∴AO⊥平面 BCC1B1 连结 B1O,在正方形 BB1C1C 中,O、D 分别为 BC、CC1 的中点, ∴B1O⊥BD, ∴AB1⊥BD. 在正方形 ABB1A1 中,AB1⊥A1B, ∴AB1⊥平面 A1BD. (Ⅱ)设 AB1 与 A1B 交于点 G1 在平面 A1BD 中,作 GF⊥A1D 于 F,连结 AF,由(Ⅰ)得 AB1⊥平面 A1BD, ∴AF⊥A1D, ∴∠AFG 为二面角 A-A1D-B 的平面角. 在△AA1D 中,由等面积法可求得 AF ?

4 5 , 5

又∵ AG ?

1 AB1 ? 2 , 2

∴ sin ?AFG ?

AG 2 10 , ? ? AF 4 5 4 5

(Ⅲ)△A1BD 中, BD ? A1D ? 5, A1B ? 2 2,? S?A BD ? 6 . 1

S△BCD=1 在正三棱柱中,A1 到平面 BCC1B1 的距离为 3 . 设点 C 到平面 A1BD 的距离为 D. 由 VA1 ?BCD ? VC ? A 1BD 得 S ?BCD ? 3 ?

1 3

1 S ?A1BD?d , 3

∴d ?

3S ?BCD 2 ? . S ?A1BD 2

∴点 C 到平面 A1BD 的距离为 解法二:

2 , 2

(Ⅰ)取 BC 中点 O,连结 AO. ∵△ABC 为正三角形,∴AO⊥BC. ∵在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,平面 ABC⊥平面 BCC1B1, ∴AO⊥平面 BCC1B1. 取 B1C1 中点 O1,以 O 为原点, OB, OO1, OA 的方向为 x、y、z 轴的正方面建立空间直角坐标系,则 B(1,0) ,D(-1, 1,0) ,A1(0,2, 3 ) ,B1(1,2,0) , ∴ AB1 ? (1,2, ? 3) , BD ? (?2,1,0) , BA 1 ? (?1,2, 3) . ∵ AB1 ? BD ? ?2 ? 2 ? 0 ? 0 , AB1 ?BA1 ? ?1? 4 ? 3 ? 0 , ∴ AB1 ? BD, AB1 ? BA 1, ∴AB1⊥平面 A1BD. (Ⅱ)设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z).

??? ? ???? ? ??? ?

????

??? ?

????

???? ??? ? ????

???? ????

??? ? ????

????

???? ???? AD ? (?1,1, ? 3) , AA1 ? (0, 2,0) .
∵ n ? AD, n ? AA 1

??? ?

????

???? ? n ? ? AD ? 0, ∴ ? ???? ? ?n?AA1 ? 0,
∴?

? ? x ? y ? 3 z ? 0, ? ? ?2 y ? 0,

∴?

? ? y ? 0, ? ? x ? ? 3x.

令 z=1 得 n ? (? 3,0,1) 为平面 A1AD 的一个法向量. 由(Ⅰ)知 AB1⊥平面 A1BD, ∴ AB1 为平面 A1BD 的法向量.

????

???? ???? n?AB1 ? 3? 3 6 cos ? n, AB1 ?? ?? . ???? ? 4 2?2 2 n ? AB1

∴二面角 A-A1D-B 的大小为 arccos

6 . 4

(Ⅲ)由(Ⅱ) , AB1 为平面 A1BD 法向量. ∵ BC ? (?2,0,0), AB1 ? (1,2, ? 3) ,

????

??? ?

????

??? ? ???? BC ?AB1 ?2 2 ∴点 C 到平面 A1BD 的距离 d ? ???? . ? ? 2 2 2 AB1

19. (本小题满分 12 分) 本小题考查函数、导数及其应用等知识,考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。 解: (Ⅰ)分公司一年的利润 L(万元)与售价 x 的函数关系式为: L=(x-3-a) (12-x)2,x∈[9,11] (Ⅱ) L? ? x ? ? ?12 ? x ? ? 2 ? x ? 3 ? a ??12 ? x ?
2

=(12-x) (18+2a-3x) 令 L? ? 0 得 x ? 6 ?

2 a 或 x=12(不合题意,舍去). 3 2 28 a? 3 3

∵3≤a≤5,∴ 8 ? 6 ? 在x ? 6?

2 a 两侧 L? 的值由正变负. 3 2 9 a ? 9 即 3 ? a ? 时, 3 2

所以(1)当 8 ? 6 ?

Lmax ? L(9) ? (9 ? 3 ? a)(12 ? 9)2 ? 9(6 ? a)

(2) 9 ? 6 ?

2 28 9 a? 即 ?a?5时 3 3 2

2 2 2 1 Lmax ? L(6 ? a) ? (6 ? a ? 3 ? a)[12 ? (6 ? a)]2 ? 4(3 ? a)3 3 3 3 3

? 9(6 ? a), ? 所以 Q (a ) ? ? 1 4(3 ? a )3 , ? 3 ?
答:若 3 ? a ?

3? a ?

9 2

9 ?a?5 2

9 9 ,则当每件售价为 9 元时,分公司一年的利润 L 最大,最大值 Q(a)=9(6-a) (万元) ;若 ? a ? 5 , 2 2 2 1 3 则当每件售价为 (6 ? a ) 元时,分公司一年的利润 L 最大,最大值 Q ( a ) ? 4(3 ? a ) (万元) 3 3

20. (本小题满分 12 分) 本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识,考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法,考查运算能力和综 合解题能力.满分 14 分. 解法一:

,y) ,由 QP? (Ⅰ)设点 P( x,y ) ,则 Q(?1 QF ? FP?FQ 得: ( x ? 1, 0)? (2, ? y) ? ( x ?1,y)? (?2,y) ,化简得 C : y 2 ? 4x .
(Ⅱ)设直线 AB 的方程为:

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

x ? my ? 1(m ? 0) .

设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) ,又 M ? ?1 , ?

? ?

2? ?, m?

? y 2 ? 4 x, 联立方程组 ? ,消去 x 得: ? x ? my ? 1,

y 2 ? 4my ? 4 ? 0 , ? ? (?4m)2 ? 12 ? 0 ,故

? y1 ? y2 ? 4m, ? ? y1 y2 ? ?4.

由 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF 得:

????

??? ?

????

??? ?

y1 ?

2 2 ? ??1 y1 , y2 ? ? ??2 y2 ,整理得: m m

?1 ? ?1 ?

2 2 , ?2 ? ?1 ? , my1 my2
2?1 1 ? ? ? ? m ? y1 y2 ?

? ?1 ? ?2 ? ?2 ?

? ?2 ?

2 y1 ? y2 ? m y1 y2
2 4m ? m ?4

? ?2 ?
?0
解法二:

(Ⅰ)由 QP? QF ? FP?FQ 得: FQ? ( PQ ? PF ) ? 0 ,

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ?( PQ ? PF )? ( PQ ? PF ) ? 0 ,

??? ? 2 ??? ?2 ? PQ ? PF ? 0 ,
??? ? ??? ? ? PQ ? PF
所以点 P 的轨迹 C 是抛物线,由题意,轨迹 C 的方程为: y ? 4 x .
2

(Ⅱ)由已知 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF ,得 ?1 ? ?2 ? 0 .

????

??? ?

????

??? ?

???? MA ?1 则: ???? ? ? MB ?2

??? ? AF ??? ? .????① BF

过点 A,B 分别作准线 l 的垂线,垂足分别为 A 1, B 1,

???? ???? ??? ? MA AA1 AF 则有: ???? ? ???? ? ??? ? .????② MB BB1 BF ??? ? AF 由①②得: ? ??? ? ? ??? ? ,即 ?1 ? ?2 ? 0 . ?2 BF BF

?1 AF

??? ?

21. (本题满分 12 分) 本小题考查数列的基本知识,考查等差数列的概念、通项公式与前 n 项和公式,考查等比数列的概念与性质,考查化归的数学 思想方法以及推理和运算能力。满分 12 分

解:

(Ⅰ)由已知得 ?

? ?a1 ? 2 ? 1, ? ?3a1 ? 3d ? 9 ? 3 2

,? d ? 2 ,

故 an ? 2n ?1 ? 2,Sn ? n(n ? 2) . (Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ?

Sn ? n? 2 . n

2 假设数列 {bn } 中存在三项 bp,bq,br ( p, q, r 互不相等)成等比数列,则 bq ? bpbr .

即 (q ? 2)2 ? ( p ? 2)(r ? 2) .

?(q2 ? pr ) ? (2q ? p ? r ) 2 ? 0
? p,q,r ? N? ,

?q 2 ? pr ? 0, ? p?r ? ?? ?? ( p ? r )2 ? 0, ?p?r. ? ? pr, 2 2 q ? p ? r ? 0 , ? ? ?
2

与 p ? r 矛盾. 所以数列 {bn } 中任意不同的三项都不可能成等比数列.

22. (本小题满分 14 分) 本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识,考查运用导数研究函数性质的方法,考查分类讨论、化归以 及数形结合等数学思想方法,考查分析问题、解决问题的能力,满分 14 分。 解: (Ⅰ)由 k=e 得 f ( x) ? e ? ex ,所以 f ?( x) ? e ? e .
x x

, ? ?) , 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x ) 的单调递增区间是 (1 1) . 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x ) 的单调递减区间是 (??,
(Ⅱ)由 f ( ? x ) ? f ( x ) 可知 f ( x ) 是偶函数. 于是 f ( x ) ? 0 对任意 x ? R 成立等价于 f ( x) ? 0 对任意 x ≥ 0 成立. 由 f ?( x) ? e ? k ? 0 得 x ? ln k .
x

1] 时, f ?( x) ? e ? k ? 1 ? k ≥ 0( x ? 0) . ①当 k ? (0,
x

? ?) 上单调递增. 此时 f ( x ) 在 [0,

故 f ( x) ≥ f (0) ? 1 ? 0 ,符合题意. ②当 k ? (1 , ? ?) 时, ln k ? 0 . 当 x 变化时 f ?( x),f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )

(0, ln k )

ln k

(ln k, ? ?)

?
单调递减

0
极小值

?
单调递增

f ( x)

由此可得,在 [0, ? ?) 上, f ( x) ≥ f (ln k ) ? k ? k ln k .

, ?1 ? k ? e . 依题意, k ? k ln k ? 0 ,又 k ? 1
综合①,②得,实数 k 的取值范围是 0 ? k ? e . (Ⅲ)? F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ? e x ? e? x ,

? F ( x1 ) F ( x2 ) ? e x1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? ex1 ? x2 ? e? x1 ? x2 ? ex1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? 2 ? ex1 ? x2 ? 2 , ? F (1) F (n) ? en?1 ? 2 ,
F (2) F ( n ? 1) ? e n ?1 ? 2 ?? F ( n) F (1) ? e n ?1 ? 2.
由此得,

[ F (1) F (2)?F (n)]2 ? [ F (1) F (n)][ F (2) F (n ?1)]?[ F (n) F (1)] ? (en?1 ? 2) n
故 F (1) F (2)? F (n) ? (e
n ?1

? 2) 2 ,n ? N? 。

n


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