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上海市黄浦区2016届高考数学一模试卷 理(含解析)


2016 年上海市黄浦区高考数学一模试卷(理科)

一、填空题(共 14 小题,每小题 4 分,满分 56 分) 1.不等式|x﹣1|<1 的解集用区间表示为 2.函数 y=cos2x﹣sin2x 的最小正周期 T= 3.直线 =3 的一个方向向量可以是 . . . . . .

4.两个半径为 1 的铁球,熔化后铸成一个大球,这个大球的半径为 5.若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和,则其公比为 6.若函数 y=a+sinx 在区间[π ,2π ]上有且只有一个零点,则 a= 7.若函数 f(x)= 为 .
x+2

+

为偶函数且非奇函数,则实数 a 的取值范围

8.若对任意不等于 1 的正数 a,函数 f(x)=a 的反函数的图象都经过点 P,则点 P 的坐 标是
n



9.在(a+b) 的二项展开式中,若奇数项的二项式系数的和为 128,则二项式系数的最大 值为 (结果用数字作答). .

10.在△ABC 中,若 cos(A+2C﹣B)+sin(B+C﹣A)=2,且 AB=2,则 BC=

11.为强化安全意识,某学校拟在未来的连续 5 天中随机抽取 2 天进行紧急疏散演练,那么 选择的 2 天恰好为连续 2 天的概率是
2 2 2

(结果用最简分数表示). .

12.已知 k∈Z,若曲线 x +y =k 与曲线 xy=k 无交点,则 k=

13.已知点 M(m,0),m>0 和抛物线 C:y2=4x.过 C 的焦点 F 的直线与 C 交于 A,B 两点, 若 =2 ,且| |=| |,则 m= . .

14. 若非零向量 , , 满足 +2 +3 = , 且 ? = ? = ? , 则 与 的夹角为

二、选择题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 15.已知复数 z,“z+ =0”是“z 为纯虚数”的( A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 )

C.充要条件 D.既非充分也不必要条件 16.已知 x∈R,下列不等式中正确的是( )

1

A.



B.



C.



D.



17.已知 P 为直线 y=kx+b 上一动点,若点 P 与原点均在直线 x﹣y+2=0 的同侧,则 k,b 满 足的条件分别为( A.k=1,b<2 ) C.k≠1,b<2 D.k≠1,b>2

B.k=1,b>2

18.已知 a1,a2,a3,a4 是各项均为正数的等差数列,其公差 d 大于零,若线段 l1,l2,l3, l4 的长分别为 a1,a2,a3,a4,则( )

A.对任意的 d,均存在以 l1,l2,l3 为三边的三角形 B.对任意的 d,均不存在以为 l1,l2,l3 三边的三角形 C.对任意的 d,均存在以 l2,l3,l4 为三边的三角形 D.对任意的 d,均不存在以 l2,l3,l4 为三边的三角形

三、解答题(共 5 小题,满分 74 分) 19.已知三棱柱 ABC﹣A′B′C′的底面为直角三角形,两条直角边 AC 和 BC 的长分别为 4 和 3,侧棱 AA′的长为 10. (1)若侧棱 AA′垂直于底面,求该三棱柱的表面积; (2)若侧棱 AA′与底面所成的角为 60°,求该三棱柱的体积. 20.如图,已知点 A 是单位圆上一点,且位于第一象限,以 x 轴的正半轴为始边,OA 为终 边的角设为 α ,将 OA 绕坐标原点逆时针旋转 (1)用 α 表示 A,B 两点的坐标; (2)M 为 x 轴上异于 O 的点,若 MA⊥MB,求点 M 横坐标的取值范围. 至 OB.

2

21.如图,某地要在矩形区域 OABC 内建造三角形池塘 OEF,E,F 分别在 AB,BC 边上,OA=5 米,OC=4 米,∠EOF= ,设 CF=x,AE=y.

(1)试用解析式将 y 表示成 x 的函数; (2)求三角形池塘 OEF 面积 S 的最小值及此时 x 的值.

22.已知椭圆 Γ :

+

=1(a>b>0),过原点的两条直线 l1 和 l2 分别与 Γ 交于点 A、

B 和 C、D,得到平行四边形 ACBD. (1)当 ACBD 为正方形时,求该正方形的面积 S; (2) 若直线 l1 和 l2 关于 y 轴对称, Γ 上任意一点 P 到 l1 和 l2 的距离分别为 d1 和 d2, 当 d1 +d2 为定值时,求此时直线 l1 和 l2 的斜率及该定值. (3)当 ACBD 为菱形,且圆 x +y =1 内切于菱形 ACBD 时,求 a,b 满足的关系式. 23.已知 a1,a2,?,an 是由 n(n∈N )个整数 1,2,?,n 按任意次序排列而成的数列.数 列{bn}满足 bk=n+1﹣ak(k=1,2,?,n),c1,c2,?,cn 是 1,2,?,n 按从大到小的顺 序排列而成的数列,记 Sn=c1+2c2+?+ncn. (1)证明:当 n 为正偶数时,不存在满足 ak=bk(k=1,2,?,n)的数列{an}; (2)写出 ck(k=1,2,?,n),并用含 n 的式子表示 Sn; (3)利用(1﹣b1) +(2﹣b2) +?+(n﹣bn) ≥0,证明:b1+2b2+?+nbn≤ n(n+1) (2n+1) 及 a1+2a2+?+nan≥Sn. (参考:12+22+?+n2= n(n+1)(2n+1))
2 2 2 * 2 2 2 2

3

2016 年上海市黄浦区高考数学一模试卷(理科) 参考答案与试题解析

一、填空题(共 14 小题,每小题 4 分,满分 56 分) 1.不等式|x﹣1|<1 的解集用区间表示为 (0,2) 【考点】绝对值三角不等式. 【专题】计算题;转化思想;不等式的解法及应用. 【分析】直接将不等式|x﹣1|<1 等价为:﹣1<x﹣1<1,解出后再用区间表示即可. 【解答】解:不等式|x﹣1|<1 等价为: ﹣1<x﹣1<1,解得,0<x<2, 即原不等式的解集为{x|0<x<2}, 用区间表示为:(0,2), 故答案为:(0,2). 【点评】本题主要考查了绝对值不等式的解法,以及解集的表示方法,属于基础题. .

2.函数 y=cos x﹣sin x 的最小正周期 T= π

2

2



【考点】二倍角的余弦;三角函数的周期性及其求法. 【专题】计算题;三角函数的求值. 【分析】先利用二倍角的余弦化简,再求出函数 y=cos x﹣sin x 的最小正周期. 【解答】解:y=cos2x﹣sin2x=cos2x, ∴函数 y=cos2x﹣sin2x 的最小正周期 T= 故答案为:π . 【点评】本题考查二倍角的余弦公式,考查学生的计算能力,属于基础题. =π .
2 2

3.直线

=3 的一个方向向量可以是 (﹣2,﹣1). .

【考点】二阶矩阵. 【专题】计算题;转化思想;综合法;直线与圆;矩阵和变换.

4

【分析】平面中,直线方程 Ax+By+C=0 它的一个方向向量是(B,﹣A),由此利用二阶行列 式展开式能求出直线的一个方向向量. 【解答】解:∵直线 ∴x﹣2y﹣3=0. ∴直线 =3 的一个方向向量可以是(﹣2,﹣1). =3,

故答案为:(﹣2,﹣1). 【点评】本题考查直线的方向向量的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能 力的培养.

4.两个半径为 1 的铁球,熔化后铸成一个大球,这个大球的半径为 【考点】球的体积和表面积. 【专题】计算题. 【分析】利用熔化前后球的体积的不变性,建立等式关系进行求解即可. 【解答】解:设大球的半径为 r, 则根据体积相同,可知 即 故答案为: . . ,



【点评】本题主要考查球的体积公式的计算和应用,利用体积相等是解决本题的关键,比较 基础.

5.若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和,则其公比为 【考点】等比数列的通项公式. 【专题】计算题;极限思想;数学模型法;等差数列与等比数列.



【分析】设数列中的任意一项为 a,利用无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的 和列方程,即可求得公比. 【解答】解:设数列中的任意一项为 a, 由无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和,

5

得 a= ∴q= .

,即 1﹣q=q

故答案为: . 【点评】本题考查数列的极限,解题的关键是利用无穷等比数列的求和公式,是基础的计算 题.

6.若函数 y=a+sinx 在区间[π ,2π ]上有且只有一个零点,则 a= 1 . 【考点】函数零点的判定定理. 【专题】计算题;作图题;数形结合;数形结合法;函数的性质及应用. 【分析】作函数 y=sinx 在区间[π ,2π ]上的图象,从而结合图象解得. 【解答】解:作函数 y=sinx 在区间[π ,2π ]上的图象如下,



结合图象可知, 若函数 y=a+sinx 在区间[π ,2π ]上有且只有一个零点, 则 a﹣1=0, 故 a=1; 故答案为:1. 【点评】本题考查了学生对三角函数的掌握情况及数形结合的思想应用.

7. 若函数 f (x) =

+

为偶函数且非奇函数, 则实数 a 的取值范围为 a>1 .

【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】综合题;方程思想;综合法;函数的性质及应用.

6

【分析】利用函数 f(x)= 即可求出实数 a 的取值范围. 【解答】解:∵函数 f(x)=

+

为偶函数且非奇函数,结合函数的定义域,

+

为偶函数且非奇函数,

∴f(﹣x)=f(x),且 f(﹣x)≠﹣f(x), 又 ,∴a≥1.

a=1,函数 f(x)= 故答案为:a>1.

+

为偶函数且奇函数,

【点评】本题考查函数的奇偶性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

8.若对任意不等于 1 的正数 a,函数 f(x)=a 的反函数的图象都经过点 P,则点 P 的坐 标是 (1,﹣2) . 【考点】指数函数的单调性与特殊点. 【专题】数形结合;数形结合法;函数的性质及应用. 【分析】由指数函数可知图象经过点(﹣2,1),再由反函数可得. 【解答】解:∵当 x+2=0,即 x=﹣2 时,总有 a =1, ∴函数 f(x)=a 的图象都经过点(﹣2,1), ∴其反函数的图象必经过点 P(1,﹣2) 故答案为:(1,﹣2) 【点评】本题考查指数函数的单调性和特殊点,涉及反函数,属基础题.
x+2 0

x+2

9.在(a+b)n 的二项展开式中,若奇数项的二项式系数的和为 128,则二项式系数的最大 值为 70 (结果用数字作答). 【考点】二项式定理的应用. 【专题】计算题;转化思想;综合法;二项式定理. 【分析】利用二项展开式的二项式系数的性质:二项式系数和为 2 ,展开式中中间项的二项 式系数最大. 【解答】解:在(a+b)n 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的 和,
7
n

∴2 =256, 解得 n=8, 展开式共 n+1=8+1=9 项, 据中间项的二项式系数最大, 故展开式中系数最大的项是第 5 项,最大值为 故答案为:70. 【点评】本题考查二项展开式的二项式系数的性质:二项式系数和是 2n;展开式中中间项的 二项式系数最大.在(a+b) 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系 数的和.
n

n

=70.

10.在△ABC 中,若 cos(A+2C﹣B)+sin(B+C﹣A)=2,且 AB=2,则 BC= 2 【考点】两角和与差的余弦函数;两角和与差的正弦函数.



【专题】计算题;转化思想;数形结合法;三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 【分析】由 cos(A+2C﹣B)+sin(B+C﹣A)=2,可得 cos(A+2C﹣B)=1,sin(B+C﹣A)=1,

由范围 A, B, C∈ (0, π) , 结合三角形内角和定理, 三角函数的图象和性质可得:

①,或

②,可解得 A,B,C,利用正弦定理可得 BC 的值.

【解答】解:∵cos(A+2C﹣B)+sin(B+C﹣A)=2,cos(A+2C﹣B)≤1,sin(B+C﹣A)≤1, ∴cos(A+2C﹣B)=1,sin(B+C﹣A)=1, ∵A,B,C∈(0,π ), ∴A+2C﹣B∈(﹣π ,3π ),B+C﹣A∈(﹣π ,2π ), ∴由正弦函数,余弦函数的图象和性质可得:A+2C﹣B=0 或 2π ,B+C﹣A= ,

∴结合三角形内角和定理可得:

①,或

②,

由①可得:A=

,B=

,C=

,由②可得:A=

,B=﹣

,C=

,(舍去),

8

∴由 AB=2,利用正弦定理可得: 故答案为:2 .

,解得:BC=2



【点评】本题主要考查了正弦定理,正弦函数,余弦函数的图象和性质,三角形内角和定理 的综合应用, 考查了转化思想和计算能力, 利用三角函数的图象和性质求三角形的三个内角 是解题的关键,属于中档题.

11.为强化安全意识,某学校拟在未来的连续 5 天中随机抽取 2 天进行紧急疏散演练,那么 选择的 2 天恰好为连续 2 天的概率是 (结果用最简分数表示).

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计. 【分析】 某学校拟在未来的连续 5 天中随机抽取 2 天进行紧急疏散演练, 先求出基本事件总 数, 再求出选择的 2 天恰好为连续 2 天包含的基本事件个数, 由此能求出选择的 2 天恰好为 连续 2 天的概率. 【解答】解:某学校拟在未来的连续 5 天中随机抽取 2 天进行紧急疏散演练, 基本事件总数为 n= =10,

选择的 2 天恰好为连续 2 天包含的基本事件个数 m=4, ∴选择的 2 天恰好为连续 2 天的概率 p= 故答案为: . 【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公 式的合理运用. .

12.已知 k∈Z,若曲线 x2+y2=k2 与曲线 xy=k 无交点,则 k= ±1 . 【考点】直线与圆锥曲线的关系. 【专题】计算题;函数思想;方程思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用三角代换化简表达式,转化方程无解,通过 k 是整数求解即可. 【解答】解:曲线 x2+y2=k2,令 x=kcosθ ,y=sinθ , 代入曲线 xy=k,曲线 x2+y2=k2 与曲线 xy=k 无交点,

9

可得 k sinθ cosθ =k,不成立. 即 sin2θ = 不成立, 可得 k=±1. 故答案为:±1. 【点评】本题考查曲线与方程的关系,考查分析问题解决问题的能力. 1,k∈Z,

2

13.已知点 M(m,0),m>0 和抛物线 C:y2=4x.过 C 的焦点 F 的直线与 C 交于 A,B 两点, 若 =2 ,且| |=| |,则 m= .

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】计算题;方程思想;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】画出图形,利用已知条件求出 A,B 的坐标,通过向量关系求出 m 值即可. 【解答】解:由题意可知:F(1,0),由抛物线定义可知 A(x1,y1), 可知 B(x2,y2), ∵ =2 ,可得:2(x2﹣1,y2)=(1﹣x1,﹣y1), ,x2= ,

可得 y2=﹣



解得 x1=2,y1=±2 | |=| |,



可得|m﹣1|= 解得 m= . .



故答案为:

10

【点评】本题考查直线与抛物线方程的综合应用,考查分析问题解决问题的能力.

14.若非零向量 , , 满足 +2 +3 = ,且 ? = ? = ? ,则 与 的夹角为 【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】计算题;转化思想;向量法;平面向量及应用. 【分析】由 +2 +3 = ,把 用含有 , 【解答】解:由 +2 +3 = ,得 代入 ? = ? ,得 再代入 ? = ? ,得 的式子表示,结合 ? = ? = ? ,可得



.然后代入数量积求夹角公式求解. , ,即 ,即 . .

∴cos

=

=

=﹣



∴ 与 的夹角为 故答案为: .



【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查了数学转化思想方法,是中档题.

二、选择题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 15.已知复数 z,“z+ =0”是“z 为纯虚数”的( A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
11



C.充要条件 D.既非充分也不必要条件 【考点】复数的基本概念;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】阅读型;对应思想;分析法;数系的扩充和复数. 【分析】由充分必要条件的判断方法,结合两复数和为纯虚数的条件判断. 【解答】解:对于复数 z,若 z+ =0,z 不一定为纯虚数,可以为 0,反之,若 z 为纯虚数, 则 z+ =0. ∴“z+ =0”是“z 为纯虚数”的必要非充分条件. 故选:B. 【点评】本题考查复数的基本概念,考查了充分必要条件的判断方法,是基础题.

16.已知 x∈R,下列不等式中正确的是( A. > B. >



C.



D.



【考点】不等式比较大小. 【专题】函数思想;综合法;不等式的解法及应用. 【分析】举反例可排除 A、B、D,再证明 C 正确即可. 【解答】解:取 x=0 可得 =1= ,故 A 错误;

取 x=0 可得

=1=

,故 B 错误;

取 x=1 可得

= =

,故 D 错误; > ,故正确.

选项 C,∵x2+2>x2+1>0,∴ 故选:C

【点评】本题考查不等式比较大小,举反例是解决问题的关键,属基础题.

17.已知 P 为直线 y=kx+b 上一动点,若点 P 与原点均在直线 x﹣y+2=0 的同侧,则 k,b 满 足的条件分别为( A.k=1,b<2 ) C.k≠1,b<2 D.k≠1,b>2

B.k=1,b>2

12

【考点】二元一次不等式(组)与平面区域. 【专题】转化思想;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】设出 P 的坐标,根据点与直线的位置关系转化为二元一次不等式的关系,结合不等 式恒成立进行求解即可. 【解答】解:∵P 为直线 y=kx+b 上一动点, ∴设 P(x,kx+b), ∵点 P 与原点均在直线 x﹣y+2=0 的同侧, ∴(x﹣kx﹣b+2)(0﹣0+2)>0, 即 2[(1﹣k)x+2﹣b]>0 恒成立, 即(1﹣k)x+2﹣b>0 恒成立, 则 1﹣k=0,此时 2﹣b>0, 得 k=1 且 b<2, 故选:A. 【点评】 本题主要考查二元一次不等式表示平面区域, 利用条件转化为不等式关系是解决本 题的关键.

18.已知 a1,a2,a3,a4 是各项均为正数的等差数列,其公差 d 大于零,若线段 l1,l2,l3, l4 的长分别为 a1,a2,a3,a4,则( )

A.对任意的 d,均存在以 l1,l2,l3 为三边的三角形 B.对任意的 d,均不存在以为 l1,l2,l3 三边的三角形 C.对任意的 d,均存在以 l2,l3,l4 为三边的三角形 D.对任意的 d,均不存在以 l2,l3,l4 为三边的三角形 【考点】等差数列的通项公式;三角形中的几何计算. 【专题】转化思想;等差数列与等比数列;解三角形;不等式的解法及应用. 【分析】 利用等差数列的通项公式及其性质、 三角形两边之和大于第三边, 即可判断出结论. 【解答】解:A:对任意的 d,假设均存在以 l1,l2,l3 为三边的三角形,∵a1,a2,a3,a4 是各项均为正数的等差数列,其公差 d 大于零,∴a2+a3>a1,a3+a1=2a2>a2, 而 a1+a2﹣a3=a1﹣d 不一定大于 0,因此不一定存在以为 l1,l2,l3 三边的三角形,故不正确; B:由 A 可知:当 a1﹣d>0 时,存在以为 l1,l2,l3 三边的三角形,因此不正确;

13

C:对任意的 d,由于 a3+a4,>a2,a2+a4=2a1+4d=a1+2d+a3>0,a2+a3﹣a4=a1>0,因此均存在 以 l2,l3,l4 为三边的三角形,正确; D.由 C 可知不正确. 故选:C. 【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、三角形两边之和大于第三边,考查了推 理能力与计算能力,属于中档题.

三、解答题(共 5 小题,满分 74 分) 19.已知三棱柱 ABC﹣A′B′C′的底面为直角三角形,两条直角边 AC 和 BC 的长分别为 4 和 3,侧棱 AA′的长为 10. (1)若侧棱 AA′垂直于底面,求该三棱柱的表面积; (2)若侧棱 AA′与底面所成的角为 60°,求该三棱柱的体积. 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】整体思想;定义法;空间位置关系与距离. 【分析】(1)根据直三棱柱的表面积公式进行求解即可. (2)作出棱柱的高,结合三棱柱的体积公式进行求解即可. 【解答】解:(1)因为侧棱 AA′⊥底面 ABC,所以三棱柱的高 h 等于侧棱 AA′的长, 而底面三角形 ABC 的面积 S= AC?BC=6, 周长 c=4+3+5=12, 于是三棱柱的表面积 S 全=ch+2S△ABC=132. (2)如图,过 A 作平面 ABC 的垂线,垂足为 H,A′H 为三棱柱的高. 因为侧棱 AA′与底面 ABC 所长的角为 60°, 所以∠A′AH=60°, 又底面三角形 ABC 的面积 S=6,故三棱柱的体积 V=S?A′H=6× =30 .

14

【点评】 本题主要考查三棱柱的表面积和体积的计算, 根据直三棱柱和斜三棱柱的特点和性 质,结合棱柱的表面积和体积公式进行计算是解决本题的关键.

20.如图,已知点 A 是单位圆上一点,且位于第一象限,以 x 轴的正半轴为始边,OA 为终 边的角设为 α ,将 OA 绕坐标原点逆时针旋转 (1)用 α 表示 A,B 两点的坐标; (2)M 为 x 轴上异于 O 的点,若 MA⊥MB,求点 M 横坐标的取值范围. 至 OB.

【考点】平面向量数量积的运算;任意角的三角函数的定义. 【专题】计算题;规律型;数形结合;转化思想;三角函数的求值. 【分析】(1)利用三角函数的定义直接表示 A,B 坐标; (2)设出 M,利用向量的数量积为 0,得到关系式,然后求解点 M 横坐标的取值范围. 【解答】解:(1)点 A 是单位圆上一点,且位于第一象限,以 x 轴的正半轴为始边,OA 为 终边的角设为 α , 可得 A(cosα ,sinα ),将 OA 绕坐标原点逆时针旋转 sin( )), 至 OB.可得 B(cos( ),

即 B(﹣sinα ,cosα ). (2)设 M(x,0),x≠0, =(cosα ﹣x,sinα ), MA⊥MB, 可得(cosα ﹣x)(﹣sinα ﹣x)+sinα cosα =0. xsinα ﹣xcosα +x2=0, =(﹣sinα ﹣x,cosα ).

15

可得﹣x=sinα ﹣cosα = 综上 x∈[﹣

sin( ].

)∈[﹣



].

,0)∪(0,

点 M 横坐标的取值范围:[﹣

,0)∪(0,

].

【点评】本题考查平面向量的数量积,三角函数定义的应用,考查转化思想以及计算能力.

21.如图,某地要在矩形区域 OABC 内建造三角形池塘 OEF,E,F 分别在 AB,BC 边上,OA=5 米,OC=4 米,∠EOF= ,设 CF=x,AE=y.

(1)试用解析式将 y 表示成 x 的函数; (2)求三角形池塘 OEF 面积 S 的最小值及此时 x 的值.

【考点】根据实际问题选择函数类型. 【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用;不等式的解法及应用.

【分析】(1)由∠EOF=

,可得∠COF+∠AOE=

,则 tan(∠COF+∠AOE)=

=1,化

简可得函数的解析式,由 0≤y≤4 求得 x 的范围; (2) 三角形池塘 OEF 面积 S=S 矩形 OABC﹣S△AOE﹣S△COF﹣S△BEF, 运用三角形的面积公式, 设 t=x+4, 求得 S 的表达式,运用基本不等式可得最小值和 x 的值. 【解答】解:(1)由∠EOF= ,可得∠COF+∠AOE= ,

即有 tan∠COF= ,tan∠AOE= ,

则 tan(∠COF+∠AOE)=

=1,

即有 y=

,由 y≤4,解得 x≥ ,

16

则函数的解析式为 y=

,( ≤x≤4);

(2)三角形池塘 OEF 面积 S=S 矩形 OABC﹣S△AOE﹣S△COF﹣S△BEF =4×5﹣ ×5y﹣ ×4x﹣ ×(4﹣y)(5﹣x) =20﹣ ? ﹣2x﹣ (5﹣x)?

=20+

( ≤x≤4),

令 t=x+4(

≤t≤8), ﹣80) ﹣80)=20 即 t=4 ﹣20. ﹣4,

即有 S=20+ (5t+ ≥20+ (2 当且仅当 5t=

,此时 x=4

△OEF 的面积取得最小值,且为 20

﹣20.

【点评】本题考查函数的解析式的求法,注意运用两角和的正切公式,考查三角形的面积的 最小值,注意运用间接法求面积,再由换元法和基本不等式,属于中档题.

22.已知椭圆 Γ :

+

=1(a>b>0),过原点的两条直线 l1 和 l2 分别与 Γ 交于点 A、

B 和 C、D,得到平行四边形 ACBD. (1)当 ACBD 为正方形时,求该正方形的面积 S; (2) 若直线 l1 和 l2 关于 y 轴对称, Γ 上任意一点 P 到 l1 和 l2 的距离分别为 d1 和 d2, 当 d12+d22 为定值时,求此时直线 l1 和 l2 的斜率及该定值. (3)当 ACBD 为菱形,且圆 x +y =1 内切于菱形 ACBD 时,求 a,b 满足的关系式. 【考点】直线与圆锥曲线的关系. 【专题】计算题;数形结合;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)通过 ACBD 为正方形可知直线 l1 和 l2 的方程为 y=x 和 y=﹣x,进而联立直线与 椭圆方程,利用对称性即得结论;
2 2

17

(2)通过妨设直线 l1 的方程为 y=kx,则直线 l2 的方程为 y=﹣kx,设 P(x0,y0),利用点 到直线的距离公式及 算即得结论; (3)通过设 AC 与圆 x +y =1 相切的切点坐标为(x0,y0),联立切线 AC 的方程与椭圆方程, 分 x0=0 或 y0=0、x0≠0 或 y0≠0 两种情况讨论即可. 【解答】解:(1)∵ACBD 为正方形, ∴直线 l1 和 l2 的方程为 y=x 和 y=﹣x, 设点 A、B 的坐标为(x1,y1)、(x2,y2),
2 2

+

=1,整理可知

+

的表达式,进而利用 d12+d22 为定值计

解方程组

,得

=

=



由对称性可知,S=4

=



(2)由题意,不妨设直线 l1 的方程为 y=kx,则直线 l2 的方程为 y=﹣kx, 设 P(x0,y0),则 + =1,

又∵d1=

,d2=





+

=

+

=





=b2(1﹣

)代入上式,



+

=



∵d1 +d2 为定值, ∴k2﹣ =0,即 k=± ,

2

2

18

于是直线 l1 和 l2 的斜率分别为 和﹣ ,此时

+

=



(3)设 AC 与圆 x2+y2=1 相切的切点坐标为(x0,y0), 则切线 AC 的方程为:x0x+y0y=1,

点 A、C 的坐标为(x1,y1)、(x2,y2)为方程组

的实数解.

①当 x0=0 或 y0=0 时,ACBD 均为正方形, 椭圆均过点(1,1),于是有 + =1;

②当 x0≠0 或 y0≠0 时,将 y=

(1﹣x0x)代入

+

=1,

整理得:(a2

+b2

)x2﹣2a2x0x﹣a2(1+b2

)=0,

由韦达定理可知 x1x2=



同理可知 y1y2= ∵ACBD 为菱形, ∴AO⊥CO,即 x1x2+y1y2=0, ∴ +



=0,

整理得:a +b =a b ( 又∵
2 2

2

2

2 2

+

),

+
2 2

=1, + =1; + =1.

∴a +b =a b ,即

综上所述,a,b 满足的关系式为

【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查分类讨论的思想,考查运算求解能力, 注意解题方法的积累,属于中档题.

19

23.已知 a1,a2,?,an 是由 n(n∈N )个整数 1,2,?,n 按任意次序排列而成的数列.数 列{bn}满足 bk=n+1﹣ak(k=1,2,?,n),c1,c2,?,cn 是 1,2,?,n 按从大到小的顺 序排列而成的数列,记 Sn=c1+2c2+?+ncn. (1)证明:当 n 为正偶数时,不存在满足 ak=bk(k=1,2,?,n)的数列{an}; (2)写出 ck(k=1,2,?,n),并用含 n 的式子表示 Sn; (3)利用(1﹣b1)2+(2﹣b2)2+?+(n﹣bn)2≥0,证明:b1+2b2+?+nbn≤ n(n+1) (2n+1) 及 a1+2a2+?+nan≥Sn. (参考:12+22+?+n2= n(n+1)(2n+1)) 【考点】数列的求和. 【专题】转化思想;综合法;等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 【分析】(1)可用反证法证明,假设存在满足 ak=bk(k=1,2,?,n)的数列{an},由条件 结合奇数、偶数的概念即可得证; (2)由题意可得{ck}:n,n﹣1,n﹣2,?,1,再由累加法即可得到 Sn; (3)由(1﹣b1)2+(2﹣b2)2+?+(n﹣bn)2≥0,展开即可证得 b1+2b2+?+nbn≤ n(n+1) (2n+1);再由排序定理:乱序之和不小于倒序之和. 【解答】解:(1)证明:当 n 为正偶数时, 存在满足 ak=bk(k=1,2,?,n)的数列{an}, 由 bk=n+1﹣ak(k=1,2,?,n),可得 ak= ,由 n 为正偶数,可得 n+1 为奇数, 不为整数,ak 为整数,故不成立, 则当 n 为正偶数时, 不存在满足 ak=bk(k=1,2,?,n)的数列{an}; (2){ck}:n,n﹣1,n﹣2,?,1, 由 S1=1,S2﹣S1=3,S3﹣S2=6,S4﹣S3=10,?,Sn﹣Sn﹣1=3+ 累加可得,Sn=1+3+6+10+?+[3+ ,n>1.

*

]= (12+22+?+n2)+(1+2+?+n)]

= × n(n+1)(2n+1)+ n(n+1)= n(n+1)(n+2); (3)证明:由(1﹣b1)2+(2﹣b2)2+?+(n﹣bn)2≥0,可得
20

1 +2 +?+n ﹣2(b1+2b2+?+nbn)+(b1 +b2 +?+bn )≥0, 即有 b1+2b2+?+nbn≤ [(12+22+?+n2)+(b12+b22+?+bn2)]

2

2

2

2

2

2

=12+22+?+n2= n(n+1)(2n+1); 由排序定理可得,乱序之和不小于倒序之和, 由 a1+2a2+?+nan 为乱序之和,Sn=c1+2c2+?+ncn 为倒序之和. 即可得到 a1+2a2+?+nan≥Sn. 【点评】本题考查数列的求和方法,以及数列不等式的证明,考查反证法的运用和综合法的 运用,考查推理能力,属于中档题.

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