当前位置:首页 >> 数学 >>

上海市黄浦区2016届高考数学一模试卷 理(含解析)


2016 年上海市黄浦区高考数学一模试卷(理科)

一、填空题(共 14 小题,每小题 4 分,满分 56 分) 1.不等式|x﹣1|<1 的解集用区间表示为 2.函数 y=cos2x﹣sin2x 的最小正周期 T= 3.直线 =3 的一个方向向量可以是 . . . . . .

4.两个半径为 1 的铁球,熔化后铸成一个大球,这个大球的半径为 5.若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和,则其公比为 6.若函数 y=a+sinx 在区间[π ,2π ]上有且只有一个零点,则 a= 7.若函数 f(x)= 为 .
x+2

+

为偶函数且非奇函数,则实数 a 的取值范围

8.若对任意不等于 1 的正数 a,函数 f(x)=a 的反函数的图象都经过点 P,则点 P 的坐 标是
n



9.在(a+b) 的二项展开式中,若奇数项的二项式系数的和为 128,则二项式系数的最大 值为 (结果用数字作答). .

10.在△ABC 中,若 cos(A+2C﹣B)+sin(B+C﹣A)=2,且 AB=2,则 BC=

11.为强化安全意识,某学校拟在未来的连续 5 天中随机抽取 2 天进行紧急疏散演练,那么 选择的 2 天恰好为连续 2 天的概率是
2 2 2

(结果用最简分数表示). .

12.已知 k∈Z,若曲线 x +y =k 与曲线 xy=k 无交点,则 k=

13.已知点 M(m,0),m>0 和抛物线 C:y2=4x.过 C 的焦点 F 的直线与 C 交于 A,B 两点, 若 =2 ,且| |=| |,则 m= . .

14. 若非零向量 , , 满足 +2 +3 = , 且 ? = ? = ? , 则 与 的夹角为

二、选择题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 15.已知复数 z,“z+ =0”是“z 为纯虚数”的( A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 )

C.充要条件 D.既非充分也不必要条件 16.已知 x∈R,下列不等式中正确的是( )

1

A.



B.



C.



D.



17.已知 P 为直线 y=kx+b 上一动点,若点 P 与原点均在直线 x﹣y+2=0 的同侧,则 k,b 满 足的条件分别为( A.k=1,b<2 ) C.k≠1,b<2 D.k≠1,b>2

B.k=1,b>2

18.已知 a1,a2,a3,a4 是各项均为正数的等差数列,其公差 d 大于零,若线段 l1,l2,l3, l4 的长分别为 a1,a2,a3,a4,则( )

A.对任意的 d,均存在以 l1,l2,l3 为三边的三角形 B.对任意的 d,均不存在以为 l1,l2,l3 三边的三角形 C.对任意的 d,均存在以 l2,l3,l4 为三边的三角形 D.对任意的 d,均不存在以 l2,l3,l4 为三边的三角形

三、解答题(共 5 小题,满分 74 分) 19.已知三棱柱 ABC﹣A′B′C′的底面为直角三角形,两条直角边 AC 和 BC 的长分别为 4 和 3,侧棱 AA′的长为 10. (1)若侧棱 AA′垂直于底面,求该三棱柱的表面积; (2)若侧棱 AA′与底面所成的角为 60°,求该三棱柱的体积. 20.如图,已知点 A 是单位圆上一点,且位于第一象限,以 x 轴的正半轴为始边,OA 为终 边的角设为 α ,将 OA 绕坐标原点逆时针旋转 (1)用 α 表示 A,B 两点的坐标; (2)M 为 x 轴上异于 O 的点,若 MA⊥MB,求点 M 横坐标的取值范围. 至 OB.

2

21.如图,某地要在矩形区域 OABC 内建造三角形池塘 OEF,E,F 分别在 AB,BC 边上,OA=5 米,OC=4 米,∠EOF= ,设 CF=x,AE=y.

(1)试用解析式将 y 表示成 x 的函数; (2)求三角形池塘 OEF 面积 S 的最小值及此时 x 的值.

22.已知椭圆 Γ :

+

=1(a>b>0),过原点的两条直线 l1 和 l2 分别与 Γ 交于点 A、

B 和 C、D,得到平行四边形 ACBD. (1)当 ACBD 为正方形时,求该正方形的面积 S; (2) 若直线 l1 和 l2 关于 y 轴对称, Γ 上任意一点 P 到 l1 和 l2 的距离分别为 d1 和 d2, 当 d1 +d2 为定值时,求此时直线 l1 和 l2 的斜率及该定值. (3)当 ACBD 为菱形,且圆 x +y =1 内切于菱形 ACBD 时,求 a,b 满足的关系式. 23.已知 a1,a2,?,an 是由 n(n∈N )个整数 1,2,?,n 按任意次序排列而成的数列.数 列{bn}满足 bk=n+1﹣ak(k=1,2,?,n),c1,c2,?,cn 是 1,2,?,n 按从大到小的顺 序排列而成的数列,记 Sn=c1+2c2+?+ncn. (1)证明:当 n 为正偶数时,不存在满足 ak=bk(k=1,2,?,n)的数列{an}; (2)写出 ck(k=1,2,?,n),并用含 n 的式子表示 Sn; (3)利用(1﹣b1) +(2﹣b2) +?+(n﹣bn) ≥0,证明:b1+2b2+?+nbn≤ n(n+1) (2n+1) 及 a1+2a2+?+nan≥Sn. (参考:12+22+?+n2= n(n+1)(2n+1))
2 2 2 * 2 2 2 2

3

2016 年上海市黄浦区高考数学一模试卷(理科) 参考答案与试题解析

一、填空题(共 14 小题,每小题 4 分,满分 56 分) 1.不等式|x﹣1|<1 的解集用区间表示为 (0,2) 【考点】绝对值三角不等式. 【专题】计算题;转化思想;不等式的解法及应用. 【分析】直接将不等式|x﹣1|<1 等价为:﹣1<x﹣1<1,解出后再用区间表示即可. 【解答】解:不等式|x﹣1|<1 等价为: ﹣1<x﹣1<1,解得,0<x<2, 即原不等式的解集为{x|0<x<2}, 用区间表示为:(0,2), 故答案为:(0,2). 【点评】本题主要考查了绝对值不等式的解法,以及解集的表示方法,属于基础题. .

2.函数 y=cos x﹣sin x 的最小正周期 T= π

2

2



【考点】二倍角的余弦;三角函数的周期性及其求法. 【专题】计算题;三角函数的求值. 【分析】先利用二倍角的余弦化简,再求出函数 y=cos x﹣sin x 的最小正周期. 【解答】解:y=cos2x﹣sin2x=cos2x, ∴函数 y=cos2x﹣sin2x 的最小正周期 T= 故答案为:π . 【点评】本题考查二倍角的余弦公式,考查学生的计算能力,属于基础题. =π .
2 2

3.直线

=3 的一个方向向量可以是 (﹣2,﹣1). .

【考点】二阶矩阵. 【专题】计算题;转化思想;综合法;直线与圆;矩阵和变换.

4

【分析】平面中,直线方程 Ax+By+C=0 它的一个方向向量是(B,﹣A),由此利用二阶行列 式展开式能求出直线的一个方向向量. 【解答】解:∵直线 ∴x﹣2y﹣3=0. ∴直线 =3 的一个方向向量可以是(﹣2,﹣1). =3,

故答案为:(﹣2,﹣1). 【点评】本题考查直线的方向向量的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能 力的培养.

4.两个半径为 1 的铁球,熔化后铸成一个大球,这个大球的半径为 【考点】球的体积和表面积. 【专题】计算题. 【分析】利用熔化前后球的体积的不变性,建立等式关系进行求解即可. 【解答】解:设大球的半径为 r, 则根据体积相同,可知 即 故答案为: . . ,



【点评】本题主要考查球的体积公式的计算和应用,利用体积相等是解决本题的关键,比较 基础.

5.若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和,则其公比为 【考点】等比数列的通项公式. 【专题】计算题;极限思想;数学模型法;等差数列与等比数列.



【分析】设数列中的任意一项为 a,利用无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的 和列方程,即可求得公比. 【解答】解:设数列中的任意一项为 a, 由无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和,

5

得 a= ∴q= .

,即 1﹣q=q

故答案为: . 【点评】本题考查数列的极限,解题的关键是利用无穷等比数列的求和公式,是基础的计算 题.

6.若函数 y=a+sinx 在区间[π ,2π ]上有且只有一个零点,则 a= 1 . 【考点】函数零点的判定定理. 【专题】计算题;作图题;数形结合;数形结合法;函数的性质及应用. 【分析】作函数 y=sinx 在区间[π ,2π ]上的图象,从而结合图象解得. 【解答】解:作函数 y=sinx 在区间[π ,2π ]上的图象如下,



结合图象可知, 若函数 y=a+sinx 在区间[π ,2π ]上有且只有一个零点, 则 a﹣1=0, 故 a=1; 故答案为:1. 【点评】本题考查了学生对三角函数的掌握情况及数形结合的思想应用.

7. 若函数 f (x) =

+

为偶函数且非奇函数, 则实数 a 的取值范围为 a>1 .

【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】综合题;方程思想;综合法;函数的性质及应用.

6

【分析】利用函数 f(x)= 即可求出实数 a 的取值范围. 【解答】解:∵函数 f(x)=

+

为偶函数且非奇函数,结合函数的定义域,

+

为偶函数且非奇函数,

∴f(﹣x)=f(x),且 f(﹣x)≠﹣f(x), 又 ,∴a≥1.

a=1,函数 f(x)= 故答案为:a>1.

+

为偶函数且奇函数,

【点评】本题考查函数的奇偶性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

8.若对任意不等于 1 的正数 a,函数 f(x)=a 的反函数的图象都经过点 P,则点 P 的坐 标是 (1,﹣2) . 【考点】指数函数的单调性与特殊点. 【专题】数形结合;数形结合法;函数的性质及应用. 【分析】由指数函数可知图象经过点(﹣2,1),再由反函数可得. 【解答】解:∵当 x+2=0,即 x=﹣2 时,总有 a =1, ∴函数 f(x)=a 的图象都经过点(﹣2,1), ∴其反函数的图象必经过点 P(1,﹣2) 故答案为:(1,﹣2) 【点评】本题考查指数函数的单调性和特殊点,涉及反函数,属基础题.
x+2 0

x+2

9.在(a+b)n 的二项展开式中,若奇数项的二项式系数的和为 128,则二项式系数的最大 值为 70 (结果用数字作答). 【考点】二项式定理的应用. 【专题】计算题;转化思想;综合法;二项式定理. 【分析】利用二项展开式的二项式系数的性质:二项式系数和为 2 ,展开式中中间项的二项 式系数最大. 【解答】解:在(a+b)n 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的 和,
7
n

∴2 =256, 解得 n=8, 展开式共 n+1=8+1=9 项, 据中间项的二项式系数最大, 故展开式中系数最大的项是第 5 项,最大值为 故答案为:70. 【点评】本题考查二项展开式的二项式系数的性质:二项式系数和是 2n;展开式中中间项的 二项式系数最大.在(a+b) 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系 数的和.
n

n

=70.

10.在△ABC 中,若 cos(A+2C﹣B)+sin(B+C﹣A)=2,且 AB=2,则 BC= 2 【考点】两角和与差的余弦函数;两角和与差的正弦函数.



【专题】计算题;转化思想;数形结合法;三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 【分析】由 cos(A+2C﹣B)+sin(B+C﹣A)=2,可得 cos(A+2C﹣B)=1,sin(B+C﹣A)=1,

由范围 A, B, C∈ (0, π) , 结合三角形内角和定理, 三角函数的图象和性质可得:

①,或

②,可解得 A,B,C,利用正弦定理可得 BC 的值.

【解答】解:∵cos(A+2C﹣B)+sin(B+C﹣A)=2,cos(A+2C﹣B)≤1,sin(B+C﹣A)≤1, ∴cos(A+2C﹣B)=1,sin(B+C﹣A)=1, ∵A,B,C∈(0,π ), ∴A+2C﹣B∈(﹣π ,3π ),B+C﹣A∈(﹣π ,2π ), ∴由正弦函数,余弦函数的图象和性质可得:A+2C﹣B=0 或 2π ,B+C﹣A= ,

∴结合三角形内角和定理可得:

①,或

②,

由①可得:A=

,B=

,C=

,由②可得:A=

,B=﹣

,C=

,(舍去),

8

∴由 AB=2,利用正弦定理可得: 故答案为:2 .

,解得:BC=2



【点评】本题主要考查了正弦定理,正弦函数,余弦函数的图象和性质,三角形内角和定理 的综合应用, 考查了转化思想和计算能力, 利用三角函数的图象和性质求三角形的三个内角 是解题的关键,属于中档题.

11.为强化安全意识,某学校拟在未来的连续 5 天中随机抽取 2 天进行紧急疏散演练,那么 选择的 2 天恰好为连续 2 天的概率是 (结果用最简分数表示).

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计. 【分析】 某学校拟在未来的连续 5 天中随机抽取 2 天进行紧急疏散演练, 先求出基本事件总 数, 再求出选择的 2 天恰好为连续 2 天包含的基本事件个数, 由此能求出选择的 2 天恰好为 连续 2 天的概率. 【解答】解:某学校拟在未来的连续 5 天中随机抽取 2 天进行紧急疏散演练, 基本事件总数为 n= =10,

选择的 2 天恰好为连续 2 天包含的基本事件个数 m=4, ∴选择的 2 天恰好为连续 2 天的概率 p= 故答案为: . 【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公 式的合理运用. .

12.已知 k∈Z,若曲线 x2+y2=k2 与曲线 xy=k 无交点,则 k= ±1 . 【考点】直线与圆锥曲线的关系. 【专题】计算题;函数思想;方程思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用三角代换化简表达式,转化方程无解,通过 k 是整数求解即可. 【解答】解:曲线 x2+y2=k2,令 x=kcosθ ,y=sinθ , 代入曲线 xy=k,曲线 x2+y2=k2 与曲线 xy=k 无交点,

9

可得 k sinθ cosθ =k,不成立. 即 sin2θ = 不成立, 可得 k=±1. 故答案为:±1. 【点评】本题考查曲线与方程的关系,考查分析问题解决问题的能力. 1,k∈Z,

2

13.已知点 M(m,0),m>0 和抛物线 C:y2=4x.过 C 的焦点 F 的直线与 C 交于 A,B 两点, 若 =2 ,且| |=| |,则 m= .

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】计算题;方程思想;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】画出图形,利用已知条件求出 A,B 的坐标,通过向量关系求出 m 值即可. 【解答】解:由题意可知:F(1,0),由抛物线定义可知 A(x1,y1), 可知 B(x2,y2), ∵ =2 ,可得:2(x2﹣1,y2)=(1﹣x1,﹣y1), ,x2= ,

可得 y2=﹣



解得 x1=2,y1=±2 | |=| |,



可得|m﹣1|= 解得 m= . .



故答案为:

10

【点评】本题考查直线与抛物线方程的综合应用,考查分析问题解决问题的能力.

14.若非零向量 , , 满足 +2 +3 = ,且 ? = ? = ? ,则 与 的夹角为 【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】计算题;转化思想;向量法;平面向量及应用. 【分析】由 +2 +3 = ,把 用含有 , 【解答】解:由 +2 +3 = ,得 代入 ? = ? ,得 再代入 ? = ? ,得 的式子表示,结合 ? = ? = ? ,可得



.然后代入数量积求夹角公式求解. , ,即 ,即 . .

∴cos

=

=

=﹣



∴ 与 的夹角为 故答案为: .



【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查了数学转化思想方法,是中档题.

二、选择题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 15.已知复数 z,“z+ =0”是“z 为纯虚数”的( A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
11



C.充要条件 D.既非充分也不必要条件 【考点】复数的基本概念;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】阅读型;对应思想;分析法;数系的扩充和复数. 【分析】由充分必要条件的判断方法,结合两复数和为纯虚数的条件判断. 【解答】解:对于复数 z,若 z+ =0,z 不一定为纯虚数,可以为 0,反之,若 z 为纯虚数, 则 z+ =0. ∴“z+ =0”是“z 为纯虚数”的必要非充分条件. 故选:B. 【点评】本题考查复数的基本概念,考查了充分必要条件的判断方法,是基础题.

16.已知 x∈R,下列不等式中正确的是( A. > B. >



C.



D.



【考点】不等式比较大小. 【专题】函数思想;综合法;不等式的解法及应用. 【分析】举反例可排除 A、B、D,再证明 C 正确即可. 【解答】解:取 x=0 可得 =1= ,故 A 错误;

取 x=0 可得

=1=

,故 B 错误;

取 x=1 可得

= =

,故 D 错误; > ,故正确.

选项 C,∵x2+2>x2+1>0,∴ 故选:C

【点评】本题考查不等式比较大小,举反例是解决问题的关键,属基础题.

17.已知 P 为直线 y=kx+b 上一动点,若点 P 与原点均在直线 x﹣y+2=0 的同侧,则 k,b 满 足的条件分别为( A.k=1,b<2 ) C.k≠1,b<2 D.k≠1,b>2

B.k=1,b>2

12

【考点】二元一次不等式(组)与平面区域. 【专题】转化思想;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】设出 P 的坐标,根据点与直线的位置关系转化为二元一次不等式的关系,结合不等 式恒成立进行求解即可. 【解答】解:∵P 为直线 y=kx+b 上一动点, ∴设 P(x,kx+b), ∵点 P 与原点均在直线 x﹣y+2=0 的同侧, ∴(x﹣kx﹣b+2)(0﹣0+2)>0, 即 2[(1﹣k)x+2﹣b]>0 恒成立, 即(1﹣k)x+2﹣b>0 恒成立, 则 1﹣k=0,此时 2﹣b>0, 得 k=1 且 b<2, 故选:A. 【点评】 本题主要考查二元一次不等式表示平面区域, 利用条件转化为不等式关系是解决本 题的关键.

18.已知 a1,a2,a3,a4 是各项均为正数的等差数列,其公差 d 大于零,若线段 l1,l2,l3, l4 的长分别为 a1,a2,a3,a4,则( )

A.对任意的 d,均存在以 l1,l2,l3 为三边的三角形 B.对任意的 d,均不存在以为 l1,l2,l3 三边的三角形 C.对任意的 d,均存在以 l2,l3,l4 为三边的三角形 D.对任意的 d,均不存在以 l2,l3,l4 为三边的三角形 【考点】等差数列的通项公式;三角形中的几何计算. 【专题】转化思想;等差数列与等比数列;解三角形;不等式的解法及应用. 【分析】 利用等差数列的通项公式及其性质、 三角形两边之和大于第三边, 即可判断出结论. 【解答】解:A:对任意的 d,假设均存在以 l1,l2,l3 为三边的三角形,∵a1,a2,a3,a4 是各项均为正数的等差数列,其公差 d 大于零,∴a2+a3>a1,a3+a1=2a2>a2, 而 a1+a2﹣a3=a1﹣d 不一定大于 0,因此不一定存在以为 l1,l2,l3 三边的三角形,故不正确; B:由 A 可知:当 a1﹣d>0 时,存在以为 l1,l2,l3 三边的三角形,因此不正确;

13

C:对任意的 d,由于 a3+a4,>a2,a2+a4=2a1+4d=a1+2d+a3>0,a2+a3﹣a4=a1>0,因此均存在 以 l2,l3,l4 为三边的三角形,正确; D.由 C 可知不正确. 故选:C. 【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、三角形两边之和大于第三边,考查了推 理能力与计算能力,属于中档题.

三、解答题(共 5 小题,满分 74 分) 19.已知三棱柱 ABC﹣A′B′C′的底面为直角三角形,两条直角边 AC 和 BC 的长分别为 4 和 3,侧棱 AA′的长为 10. (1)若侧棱 AA′垂直于底面,求该三棱柱的表面积; (2)若侧棱 AA′与底面所成的角为 60°,求该三棱柱的体积. 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】整体思想;定义法;空间位置关系与距离. 【分析】(1)根据直三棱柱的表面积公式进行求解即可. (2)作出棱柱的高,结合三棱柱的体积公式进行求解即可. 【解答】解:(1)因为侧棱 AA′⊥底面 ABC,所以三棱柱的高 h 等于侧棱 AA′的长, 而底面三角形 ABC 的面积 S= AC?BC=6, 周长 c=4+3+5=12, 于是三棱柱的表面积 S 全=ch+2S△ABC=132. (2)如图,过 A 作平面 ABC 的垂线,垂足为 H,A′H 为三棱柱的高. 因为侧棱 AA′与底面 ABC 所长的角为 60°, 所以∠A′AH=60°, 又底面三角形 ABC 的面积 S=6,故三棱柱的体积 V=S?A′H=6× =30 .

14

【点评】 本题主要考查三棱柱的表面积和体积的计算, 根据直三棱柱和斜三棱柱的特点和性 质,结合棱柱的表面积和体积公式进行计算是解决本题的关键.

20.如图,已知点 A 是单位圆上一点,且位于第一象限,以 x 轴的正半轴为始边,OA 为终 边的角设为 α ,将 OA 绕坐标原点逆时针旋转 (1)用 α 表示 A,B 两点的坐标; (2)M 为 x 轴上异于 O 的点,若 MA⊥MB,求点 M 横坐标的取值范围. 至 OB.

【考点】平面向量数量积的运算;任意角的三角函数的定义. 【专题】计算题;规律型;数形结合;转化思想;三角函数的求值. 【分析】(1)利用三角函数的定义直接表示 A,B 坐标; (2)设出 M,利用向量的数量积为 0,得到关系式,然后求解点 M 横坐标的取值范围. 【解答】解:(1)点 A 是单位圆上一点,且位于第一象限,以 x 轴的正半轴为始边,OA 为 终边的角设为 α , 可得 A(cosα ,sinα ),将 OA 绕坐标原点逆时针旋转 sin( )), 至 OB.可得 B(cos( ),

即 B(﹣sinα ,cosα ). (2)设 M(x,0),x≠0, =(cosα ﹣x,sinα ), MA⊥MB, 可得(cosα ﹣x)(﹣sinα ﹣x)+sinα cosα =0. xsinα ﹣xcosα +x2=0, =(﹣sinα ﹣x,cosα ).

15

可得﹣x=sinα ﹣cosα = 综上 x∈[﹣

sin( ].

)∈[﹣



].

,0)∪(0,

点 M 横坐标的取值范围:[﹣

,0)∪(0,

].

【点评】本题考查平面向量的数量积,三角函数定义的应用,考查转化思想以及计算能力.

21.如图,某地要在矩形区域 OABC 内建造三角形池塘 OEF,E,F 分别在 AB,BC 边上,OA=5 米,OC=4 米,∠EOF= ,设 CF=x,AE=y.

(1)试用解析式将 y 表示成 x 的函数; (2)求三角形池塘 OEF 面积 S 的最小值及此时 x 的值.

【考点】根据实际问题选择函数类型. 【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用;不等式的解法及应用.

【分析】(1)由∠EOF=

,可得∠COF+∠AOE=

,则 tan(∠COF+∠AOE)=

=1,化

简可得函数的解析式,由 0≤y≤4 求得 x 的范围; (2) 三角形池塘 OEF 面积 S=S 矩形 OABC﹣S△AOE﹣S△COF﹣S△BEF, 运用三角形的面积公式, 设 t=x+4, 求得 S 的表达式,运用基本不等式可得最小值和 x 的值. 【解答】解:(1)由∠EOF= ,可得∠COF+∠AOE= ,

即有 tan∠COF= ,tan∠AOE= ,

则 tan(∠COF+∠AOE)=

=1,

即有 y=

,由 y≤4,解得 x≥ ,

16

则函数的解析式为 y=

,( ≤x≤4);

(2)三角形池塘 OEF 面积 S=S 矩形 OABC﹣S△AOE﹣S△COF﹣S△BEF =4×5﹣ ×5y﹣ ×4x﹣ ×(4﹣y)(5﹣x) =20﹣ ? ﹣2x﹣ (5﹣x)?

=20+

( ≤x≤4),

令 t=x+4(

≤t≤8), ﹣80) ﹣80)=20 即 t=4 ﹣20. ﹣4,

即有 S=20+ (5t+ ≥20+ (2 当且仅当 5t=

,此时 x=4

△OEF 的面积取得最小值,且为 20

﹣20.

【点评】本题考查函数的解析式的求法,注意运用两角和的正切公式,考查三角形的面积的 最小值,注意运用间接法求面积,再由换元法和基本不等式,属于中档题.

22.已知椭圆 Γ :

+

=1(a>b>0),过原点的两条直线 l1 和 l2 分别与 Γ 交于点 A、

B 和 C、D,得到平行四边形 ACBD. (1)当 ACBD 为正方形时,求该正方形的面积 S; (2) 若直线 l1 和 l2 关于 y 轴对称, Γ 上任意一点 P 到 l1 和 l2 的距离分别为 d1 和 d2, 当 d12+d22 为定值时,求此时直线 l1 和 l2 的斜率及该定值. (3)当 ACBD 为菱形,且圆 x +y =1 内切于菱形 ACBD 时,求 a,b 满足的关系式. 【考点】直线与圆锥曲线的关系. 【专题】计算题;数形结合;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)通过 ACBD 为正方形可知直线 l1 和 l2 的方程为 y=x 和 y=﹣x,进而联立直线与 椭圆方程,利用对称性即得结论;
2 2

17

(2)通过妨设直线 l1 的方程为 y=kx,则直线 l2 的方程为 y=﹣kx,设 P(x0,y0),利用点 到直线的距离公式及 算即得结论; (3)通过设 AC 与圆 x +y =1 相切的切点坐标为(x0,y0),联立切线 AC 的方程与椭圆方程, 分 x0=0 或 y0=0、x0≠0 或 y0≠0 两种情况讨论即可. 【解答】解:(1)∵ACBD 为正方形, ∴直线 l1 和 l2 的方程为 y=x 和 y=﹣x, 设点 A、B 的坐标为(x1,y1)、(x2,y2),
2 2

+

=1,整理可知

+

的表达式,进而利用 d12+d22 为定值计

解方程组

,得

=

=



由对称性可知,S=4

=



(2)由题意,不妨设直线 l1 的方程为 y=kx,则直线 l2 的方程为 y=﹣kx, 设 P(x0,y0),则 + =1,

又∵d1=

,d2=





+

=

+

=





=b2(1﹣

)代入上式,



+

=



∵d1 +d2 为定值, ∴k2﹣ =0,即 k=± ,

2

2

18

于是直线 l1 和 l2 的斜率分别为 和﹣ ,此时

+

=



(3)设 AC 与圆 x2+y2=1 相切的切点坐标为(x0,y0), 则切线 AC 的方程为:x0x+y0y=1,

点 A、C 的坐标为(x1,y1)、(x2,y2)为方程组

的实数解.

①当 x0=0 或 y0=0 时,ACBD 均为正方形, 椭圆均过点(1,1),于是有 + =1;

②当 x0≠0 或 y0≠0 时,将 y=

(1﹣x0x)代入

+

=1,

整理得:(a2

+b2

)x2﹣2a2x0x﹣a2(1+b2

)=0,

由韦达定理可知 x1x2=



同理可知 y1y2= ∵ACBD 为菱形, ∴AO⊥CO,即 x1x2+y1y2=0, ∴ +



=0,

整理得:a +b =a b ( 又∵
2 2

2

2

2 2

+

),

+
2 2

=1, + =1; + =1.

∴a +b =a b ,即

综上所述,a,b 满足的关系式为

【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查分类讨论的思想,考查运算求解能力, 注意解题方法的积累,属于中档题.

19

23.已知 a1,a2,?,an 是由 n(n∈N )个整数 1,2,?,n 按任意次序排列而成的数列.数 列{bn}满足 bk=n+1﹣ak(k=1,2,?,n),c1,c2,?,cn 是 1,2,?,n 按从大到小的顺 序排列而成的数列,记 Sn=c1+2c2+?+ncn. (1)证明:当 n 为正偶数时,不存在满足 ak=bk(k=1,2,?,n)的数列{an}; (2)写出 ck(k=1,2,?,n),并用含 n 的式子表示 Sn; (3)利用(1﹣b1)2+(2﹣b2)2+?+(n﹣bn)2≥0,证明:b1+2b2+?+nbn≤ n(n+1) (2n+1) 及 a1+2a2+?+nan≥Sn. (参考:12+22+?+n2= n(n+1)(2n+1)) 【考点】数列的求和. 【专题】转化思想;综合法;等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 【分析】(1)可用反证法证明,假设存在满足 ak=bk(k=1,2,?,n)的数列{an},由条件 结合奇数、偶数的概念即可得证; (2)由题意可得{ck}:n,n﹣1,n﹣2,?,1,再由累加法即可得到 Sn; (3)由(1﹣b1)2+(2﹣b2)2+?+(n﹣bn)2≥0,展开即可证得 b1+2b2+?+nbn≤ n(n+1) (2n+1);再由排序定理:乱序之和不小于倒序之和. 【解答】解:(1)证明:当 n 为正偶数时, 存在满足 ak=bk(k=1,2,?,n)的数列{an}, 由 bk=n+1﹣ak(k=1,2,?,n),可得 ak= ,由 n 为正偶数,可得 n+1 为奇数, 不为整数,ak 为整数,故不成立, 则当 n 为正偶数时, 不存在满足 ak=bk(k=1,2,?,n)的数列{an}; (2){ck}:n,n﹣1,n﹣2,?,1, 由 S1=1,S2﹣S1=3,S3﹣S2=6,S4﹣S3=10,?,Sn﹣Sn﹣1=3+ 累加可得,Sn=1+3+6+10+?+[3+ ,n>1.

*

]= (12+22+?+n2)+(1+2+?+n)]

= × n(n+1)(2n+1)+ n(n+1)= n(n+1)(n+2); (3)证明:由(1﹣b1)2+(2﹣b2)2+?+(n﹣bn)2≥0,可得
20

1 +2 +?+n ﹣2(b1+2b2+?+nbn)+(b1 +b2 +?+bn )≥0, 即有 b1+2b2+?+nbn≤ [(12+22+?+n2)+(b12+b22+?+bn2)]

2

2

2

2

2

2

=12+22+?+n2= n(n+1)(2n+1); 由排序定理可得,乱序之和不小于倒序之和, 由 a1+2a2+?+nan 为乱序之和,Sn=c1+2c2+?+ncn 为倒序之和. 即可得到 a1+2a2+?+nan≥Sn. 【点评】本题考查数列的求和方法,以及数列不等式的证明,考查反证法的运用和综合法的 运用,考查推理能力,属于中档题.

21


赞助商链接
相关文章:
上海市黄浦区2016届高三数学4月模拟(二模)试卷 文(含解...
上海市黄浦区2016届高三数学4月模拟(二模)试卷(含解析)_数学_高中教育_教育专区。2016 年黄浦区高考数学(文科)二模卷考生注意: 1.每位考生应同时收到试卷和...
上海市闵行区2016届高考数学一模试卷(理科)(解析版)
上海市闵行区2016届高考数学一模试卷(理科)(解析版)_数学_高中教育_教育专区。2016 上海市闵行区高考数学一模试卷(理科)一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共...
上海市黄浦区2016届高三数学上学期期末调研测试试题 文...
2016 年上海市黄浦区高考数学一模试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、填空题(...考查了推 理能力与计算能力,属于中档题. 三、解答题(本大题共 74 分,共有...
2016年上海市黄浦区高考数学二模试卷(理科)(解析版)
上海市黄浦区 2016 年高考数学二模试卷(理科)(解析版)一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题卷的相应编号的空格内 直接填写结果,每...
上海市嘉定区2016届高考数学一模试卷(理科)(解析版)
(共 24 页) 2016 年上海市嘉定区高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格...
2016届上海黄浦区初三数学一模试卷+答案(word版)
2016届上海黄浦区初三数学一模试卷+答案(word版)_初三数学_数学_初中教育_教育...y ,求 y 关于 x 的函数解析式及 其定义域; ②若 ?DON 的面积为 3 3 ...
黄浦区2016年高三数学理科一模试卷
黄浦区2016年高三数学理科一模试卷_高三数学_数学_...y 设,.(1)试用解析式将 y 表示成 x 的函数; ...a x0 同理可得 y1 y2 ? ??? ??? ? 因为 ...
上海市黄浦区2017年高考数学一模试卷(解析版)
上海市黄浦区2017年高考数学一模试卷(解析版) _高三数学_数学_高中教育_教育...请说明理 由; (3)若 cn=an+2an+1(n=1,2,3,…) ,求证:“数列{an}...
2016届上海市黄浦区高三一模(理科)数学试题及答案
2016届上海市黄浦区高三一模(理科)数学试题及答案_...x , AE ? y .(1)试用解析式将 y 表示成 x ...a x0 同理可得 y1 y2 ? ??? ??? ? 因为 ...
2016年上海市黄浦区中考数学一模试卷
2016年上海市黄浦区中考数学一模试卷_初三数学_数学_...求 y 关于 x 的函数解析式及其定义 域; ②若△...熟练掌握平行线分线段成比例定 理,证明 AB∥CF 是...
更多相关标签: