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同角三角函数基本关系第一课时PPT课件-人教A版数学高二必修4第一章1.2.2


第一章三角函数 1. 2任意角的三角函数
1.2.2同角三角函数的基本关系

学习目标
【课标要求】 1.理解同角三角函数的基本关系式. 2.会运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明. 【核心扫描】 1.同角三角函数基本关系式.(重点) 2.基本关系式的变形及其应用.(难点)

计算下列各式的值:
(1)sin 30 ? cos 30 ;
2 ? 2 ?

1 1

(2)sin 2 90? ? cos2 90? ;

sin 30? (3) ; ? cos 30 ? sin 60 (4) . ? cos 60



3 3

3

你发现了什么?能否由此得到一些一般性的结论?

【复习】单位圆内任意角的三角函数是怎样定义的?

探究: sin ?, cos ?, tan ?之间有何关系?
在直角三角形OMP中由勾股定理得
y

MP ? OM ? OP ? 1
2 2 2

P(x,y)
M

?
O

x

y ? x ?1
2 2

A(1,0)

sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1
由正切函数定义很容易得到:

sin ? tan? ? cos ?

(1) sin ? ? y; (2) cos ? ? x; y (3) tan ? ? ? x ? 0 ? ; x

同角三角函数的基本关系
平方关系: 商数关系:

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1

sin ? ? tan ? cos ?

(? ?

?
2

? k? , k ? Z )

同一个角 ? 的正弦、余弦的平方和等于1,商等 ? 的正切. 于角

“同角”二层含义:一是”角相同”,
二是”任意”一个角.

P?x,y ? ,它与原点的距离 在? 的终边上任取一点

是 r ?r ? 0? ,则角 ? 的三角函数的值是:
y ; sin ? ? r
y tan ? ? ; x

x cos ? ? r



由三角函数定义我们可以看到:
2 2 2 y x y ? x r ? ? ? ? 2 2 sin ? ? cos ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?1 2 r r ?r? ?r? y y r sin ? tan? ? ? ? x x cos? r 2 2

同角三角函数的基本关系式总结如下:
2 2 ①平方关系: sin ? ? cos ? ? 1

sin ? ②商数关系: tan ? ?

cos ?

例1

题型一、求值 3 已知 sin ? ? ? ,且 ? 是第三象限角,
5
求cos? , tan ? ,的值.

解 因为sin 2? ? cos2 ? ? 1,
3 2 16 所以 cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? (? ) ? 5 25 因为? 在第三象限,cos ? ? 0 4 2 所以 cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 5 sin ? 3 4 3 tan ? ? ? ? ? (? ) ? cos ? 5 5 4
2 2

12 变式1.已知 cos ? ? 13

,求sin ? 和 tan?

12 解 因为 cos ? ? ? 0, 且 cos ? ? 1 13 所以? 是第一象限或第四象限的角.
sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? ? 12 13

当? 是第一象限角时 sin ? ? 0

?

2

?

5 13

sin ? 5 13 5 ? ? ? cos ? 13 12 12 当? 是第四象限角时 sin ? ? 0 tan ? ? sin ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? 1 ? ? 12 13

?

2

??

5 13

sin ? 5 13 5 tan ? ? ?? ? ?? cos ? 13 12 12

变式2.已知 tan ? ? m ? 0 ,求 sin ? 和 cos?

解 因为sin 2? ? cos2 ? ? 1,
所以sin 2 ? ? 1 ? cos2 ?
sin ? 又 ? tan ?, cos ?
2 2 sin ? 1 ? cos ? 1 2 所以 tan ? ? ? ? ?1 2 2 2 cos ? cos ? cos ? 1 2 cos ? ? 1 ? tan 2 ?

因为tan? ? m ? 0, 故?终边不在x轴上,

1
所以 cos ? ?

?

1? m 1

2

当? 是第一,四象限角时;
2

1? m

当? 是第二,三象限角时;

m
sin ? ? cos ? ? tan ? ?

?

1? m m

2

当? 是第一,四象限角时;

1 ? m2

当? 是第二,三象限角时;

sin ? ? 4 cos ? 例2、已知 sin ? ? 2 cos ? ,求(1) 5 sin ? ? 2 cos ?

(2) 2sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ? cos2 ?
解:(1) ? sin ? ? 2 cos?
?

? tan? ? 2 化弦为切

sin ? ? 4 cos ? tan ? ? 4 ? 2 1 ? ? ?? 5 sin ? ? 2 cos ? 5 tan ? ? 2 12 6

(2) 2sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ? cos 2 ? 2sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ? cos 2 ? = sin 2 ? + cos 2 ? 2 tan 2 ? ? 2 tan ? ? 1 = tan 2 ? ? 1 3 ? 5

1换为sin 2 ? ? cos2 ?

题型二、化简
例3 化简 1 ? cos2 620?

解 因为cos620? ? cos(360? ? 260?)

? cos 260?
? cos(180? ? 80?) ? ? cos80?
所以, 原式 ? 1 ? cos2 80? ? sin 80?

变式、化简

1 ? cos 2 ? ? 2 cos ? 1 ? sin ?

sin ?

解 因为cos ? ? 0 sin ? | sin ? | 所以, 原式 ? ? | cos ? | cos ?

? 2 tan ? , 当2k? ? ? ? 2k? ? ; 2 ? 0, 当2k? ? ? ? ? 2k? ? ? ; 2 k ?Z ? 3? ?2 tan ? ,当2k? ? ? ? ? ? 2k? ? ; 2 3? ? ? ? 2k? ? 2? ; 0, 当2k? ? 2

cos ? 1 ? sin ? ? 例4 求证 1 ? sin ? cos ? cos ? 1 ? sin ? ? 证法1 1 ? sin ? cos ?

题型三、证明

cos 2 ? ? (1 ? sin ? )(1 ? sin ? ) ? (1 ? sin ? ) cos ? cos 2 ? ? (1 ? sin 2 ? ) ? (1 ? sin ? ) cos ? 2 2 cos ? ? cos ? ? (1 ? sin ? ) cos ? ?0

cos ? ? cos ? 证法2 左边 ? (1 ? sin ? ) cos ? 1 ? sin 2 ? ? (1 ? sin ? ) cos ?
(1 ? sin ? )(1 ? sin ? ) ? (1 ? sin ? ) cos ?

1 ? sin ? ? cos ? ? 右边

证法3

因为(1 ? sin ? )(1 ? sin ? ) ? 1 ? sin 2 ? ? cos 2 ?

又1 ? sin ? ? 0

且cos? ? 0
将上式等号两边同除以(1 ? sin ? )cos ? , 得
cos ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? cos ?

题型四 利用 sin α ±cos α 与 sin α cos α 的关系解题

例5 已知0<α<π,sin α+cos α=,求tan α的值.

1 解: 由 sin α+cos α= 5 12 得 sin αcos α=- <0, 25



又 0<α<π,∴sin α>0,cos α<0,则 sin α-cos α<0, ∴sin α-cos α= ?sin α-cos α?2= 1-2sin αcos α =
? 12? 7 1-2×?-25?= ? ? 5



4 3 由①②解得 sin α= ,cos α=- , 5 5 sin α 4 所以 tan α=cos α=-3.

变式 4 已知 sin θ、cos θ 是关于 x 的方程 x2-ax+a=0 的两个 根(a∈R). 求 sin3θ+cos3θ 的值. 解 依题意,方程判别式 Δ≥0, 即(-a)2-4a≥0, ∴a≤0 或 a≥4,
? ?sin 且? ? ?sin

θ+cos θ=a, θ· cos θ=a,

∴(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=a2,

即 a2-2a-1=0, ∴a=1- 2或 a=1+ 2(舍去), 即 sin θ+cos θ=sin θ· cos θ=1- 2. sin3θ+cos3θ=(sin θ+cos θ)(sin2θ-sin θcos θ+cos2θ) =(1- 2)[1-(1- 2)]= 2-2.

【题后反思】 (1)sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α 三个式 子中,已知其中一个,可以求其他两个,即“知一求二”.它 们的关系是:(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α; (sin α-cos α)2=1-2sin αcos α. (2)求 sin α+cos α 或 sin α-cos α 的值, 要注意判断它们的符号.

(1)同角三角函数的三组关系式的前提是“同角”, sin ? 2 2 因此 sin ? ? cos ? ? 1 , tan? ? ……. cos ? sin ? tan ? ? cot ? ? 1 ,……它们 (2)诸如 tan ? ? , cos ? 都是条件等式,即它们成立的前提是表达式有意义.
(3)利用平方关系时,往往要开方,因此要先根

据角所在象限确定符号,即要就角所在象限进行 分类讨论.

当堂检测
tan θ-sin θ sin θ 1. 若 sin θ>0,化简: · 1-cos θ tan θ+sin θ
解 ∵ tan θ-sin θ = tan θ+sin θ sin θ cos θ-sin θ sin θ cos θ+sin θ 1-cos θ 1+cos θ ?1-cos θ?2 1-cos θ sin2θ = sin θ



sin θ-sin θcos θ = sin θ+sin θcos θ ?1-cos θ?2 = ?1+cos θ??1-cos θ?



sin θ 1-cos θ ∴原式= · =1. 1-cos θ sin θ

5sin A+8 4 2. 若 sin A=5,且 A 是三角形的一个内角,求 的值. 15cos A-7
4 解: ∵sin A=5>0, ∴A 为锐角或钝角, 3 当 A 为锐角时,cos A= 1-sin A=5,∴原式=6.
2

3 当 A 为钝角时,cos A=- 1-sin A=-5,
2

4 5×5+8 3 ∴原式= =-4. ? 3? 15×?-5?-7 ? ?

3 ? sin ? 3. 已知 tan? ? 2,180? ? ? ? 270 ,求 ? 1 ? 2 cos ?
解 因为180? ? ? ? 270?, 所以? 是第三象限角. 故 cos ? ? 0,

1 ? ? 1 ? tan 2 ? ? ? 1 ? 22 ? ? 5 cos ?

原式的分子,分母同除以cos ? 得 3 ? tan ? ?3 5 ? 2 cos ? 原式 ? ? ? 19 ? 8 5 1 ? 5?2 ?2 cos ?

课后思考题
4.已知sin ? ? cos ? ? 2(0 ? ? ? ? ), 求 (1)sin ? ?cos ?;(2) sin ? ? cos ?;(3)tan? .
解:由sin ? ? cos ? ? 2, 等式两边平方得

sin2 ? ? cos2 ? ? 2sin ? cos ? ? ( 2)2 1 ? (1) sin ? ?cos ? ? ? 2 又(sin ? ? cos ? )2 ? 1 ? 2sin ? cos ? ? 0
? (2) sin ? ? cos ? ? 0
.

? 2 sin ? ? ? ? ?sin ? ? cos ? ? 2 ? 2 联立 ? 得? ? ? sin ? ? cos ? ? 0 ?cos ? ? ? 2 ? ? 2 ? (3) tan ? ? ?1

解:(1)方法①? tan ? ?

5.已知 tan ? ? 3, 求下面各式的值. sin ? ? cos ? () 1 sin ? ? cos ? sin ?
cos ? 3cos ? ? cos ? 4cos ? ? 原式 ? ? ?2 3cos ? ? cos ? 2cos ?

? 3 ? sin ? ? 3cos ?

方法② ? cos ? ? 0 ?原式分子分母同除以cos ?
sin ? cos ? ? 原式 ? cos ? cos ? sin ? cos ? ? cos ? cos ?

tan ? ? 1 ? ?2 tan ? ? 1

5.已知 tan ? ? 3 ,求下面各式的值. sin ? cos? ( 2) 2 sin ? ? cos2 ?
3cos ? cos ? 方法1: 将 sin ? ? 3cos ? 代入原式 ? 9 cos 2 ? ? cos 2 ?

sin ? cos? 2 2 cos ? 方法2 : 分子分母同除以cos ?原式 ? sin 2 ? cos2 ? ? 2 cos ? cos2 ?
tan ? 3 3 ? ? 3 ? 2 tan ? ? 1 3 ? 1 8

3cos 2 ? ? 8cos 2 ?

?

3 8

5.已知 tan ? ? 3 ,求下面各式的值。 1 (3) sin ? cos ?
sin 2 ? ? cos 2 ? 解:原式 ? sin ? cos ?

分子分母同除以cos2 ?

sin 2 ? cos 2 ? ? 2 2 cos ? cos ? 原式 ? sin ? cos ? cos 2 ?

tan 2 ? ? 1 32 ? 1 10 ? ? ? tan ? 3 3

5.已知 tan ? ? 3,求下面各式的值。

(4)sin ? cos ? ? sin ?
2
2 sin ? cos ? ? sin ? 2 解: sin ? cos ? ? sin ? ? 1

sin ? cos ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? cos 2 ?
tan ? ? tan 2 ? 6 ? ? 2 tan ? ? 1 5

sin ? cos ? sin 2 ? ? 2 2 cos ? cos ? ? sin 2 ? cos 2 ? ? 2 cos ? cos 2 ?

作业: 1.课本P21 A组10、11、12 2.优化设计本节


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