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2016届上海市黄浦区高三一模(理科)数学试题及答案


黄浦区 2015 学年度第一学期高三年级期终调研测试 数学试卷(理科)
2016 年 1 月

考生注意: 1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料,解答必须在答题卷上进行并在规定的 位置书写,写在试卷、草稿纸上的解答一律无效; 2.答卷前,考生务必将学校、姓名、准考证号等相关信息填写清楚,并贴好条形码; 3.本试卷共 23 道试题,满分 150 分;考试时间 120 分钟. 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题卷的相应编号的空格内 直 接填写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分. 1.不等式 | x ? 1|? 1 的解集用区间表示为 . (0, 2) 2.函数 y ? cos2 x ? sin 2 x 的最小正周期是 . ? . (2,1)

3.直线

x y ? 3 的一个方向向量可以是 2 1

4.若将两个半径为 1 的铁球熔化后铸成一个球,则该球的半径为

.3 2 .

5.若无穷等比数列中的任意一项均等于其之后所有项的和,则其公比为 6.若函数 y ? a ? sin x 在区间 [?, 2?] 上有且只有一个零点,则 a ? .1

1 2

7 . 若 函 数 f ( x) ? x2 ? 1 ? a ? x2 为 偶 函 数 且 非 奇 函 数 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 为 . (1, ??)

8.若对任意不等于 1 的正数 a ,函数 f ( x) ? a x ? 2 的反函数的图像都过点 P ,则点 P 的坐标 是 . (1, ?2)

9.在 (a ? b)n 的二项展开式中,若奇数项的二项式系数的和为 128 ,则二项式系数的最大值 为 (结果用数字作答) . 70

10. 在△ ABC 中, 若 cos( A ? 2C ? B) ? sin( B ? C ? A) ? 2 , 且 AB ? 2 , 则 BC ? .2 2 11.为强化安全意识,某学校拟在未来的连续 5 天中随机抽取 2 天进行紧急疏散演练,那么 选择的 2 天恰好为连续 2 天的概率是 (结果用最简分数表示) .

12.已知 k ? Z ,若曲线 x2 ? y 2 ? k 2 与曲线 xy ? k 无交点,则 k ?

2 5 . ?1

13.已知点 M (m,0) ( m ? 0 )和抛物线 C : y 2 ? 4 x ,过 C 的焦点 F 的直线与 C 交于 A 、 ??? ? ??? ? ???? ? ???? 11 . B 两点,若 AF ? 2 FB ,且 | MF |?| MA | ,则 m ?

? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? b, c 满足 a ? 2b ? 3c ? 0 , ? ? bc ? ? c? a 14. 若非零向量 a , 且 ab

2

? ? , 则 b 与 c 的夹角为



?? 4

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.

15.已知复数 z , “ z ? z ? 0 ”是“ z 为纯虚数”的 [答] ( B A.充分非必要条件 C.充要条件 16.已知 x ? R ,下列不等式中正确的是 [答] (

).

B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件 C ).

1 1 ? x x 2 3 1 1 C. 2 ? 2 x ?1 x ? 2
A.
b 满足的条件分别为 [答] ( A

1 1 ? 2 x ? x ?1 x ? x ?1 1 1 ? 2 D. 2 | x | x ?1
B.
2

17.已知 P 为直线 y ? kx ? b 上一动点,若点 P 与原点均在直线 x ? y ? 2 ? 0 的同侧,则 k 、 ). B. k ? 1 , b ? 2 D. k ? 1 , b ? 2 A. k ? 1 , b ? 2 C. k ? 1 , b ? 2

18.已知 a1 ,a2 ,a 3 ,a4 是各项均为正数的等差数列,其公差 d 大于零.若线段 l1 ,l2 ,l3 ,

l4 的长分别为 a1 , a2 , a 3 , a4 ,则 [答] ( C

).

A.对任意的 d ,均存在以 l1 , l2 , l3 为三边的三角形 B.对任意的 d ,均不存在以 l1 , l2 , l3 为三边的三角形 C.对任意的 d ,均存在以 l2 , l3 , l4 为三边的三角形 D.对任意的 d ,均不存在以 l2 , l3 , l4 为三边的三角形 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题卷的相应编号 规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 已知三棱柱 ABC ? A?B?C ? 的底面为直角三角形, 两条直角边 AC 和 BC 的长分别为 4 和 3,侧棱 AA? 的长为 10. (1)若侧棱 AA? 垂直于底面,求该三棱柱的表面积. (2)若侧棱 AA? 与底面所成的角为 60 ? ,求该三棱柱的体积. [解](1)因为侧棱 AA? ? 底面 ABC ,所以三棱柱的高 h 等于侧棱 AA? 的长, 而底面三角形 ABC 的面积 S ?
A?
C?

B?

周长 c ? 4 ? 3 ? 5 ? 12 , (4 分) 于是三棱柱的表面积 S全 ? ch ? 2S?ABC ? 132 . (6 分)

1 (2 分) AC ? BC ? 6 , 2
CH
A

B (2)如图,过 A? 作平面 ABC 的垂线,垂足为 H , A?H 为三棱柱的高. (8 分) 因 为 侧 棱 AA? 与 底 面 所 成 的 角 为 60 ? , 所 以 ?A?AH ? 60? , 可 计 算 得 A?H ? AA? ? sin 60? ? 5 3 . (9 分)

又底面三角形 ABC 的面积 S ? 6 ,故三棱柱的体积 V ? S ? A?H ? 6 ? 5 3 ? 30 3 . (12 分) 20. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分.

如图,已知点 A 是单位圆上一点,且位于第一象限,以 x 轴的 正半轴为始边、 OA 为终边的角设为 ? ,将 OA 绕坐标原点逆时针旋 转

y
B A
O

? 至 OB . 2
(1)用 ? 表示 A 、 B 两点的坐标; (2) M 为 x 轴上异于 O 的点,若 MA ? MB ,求点 M 横坐标

1 x

的取值范围. [解](1)由题设, A 点坐标为 (cos ? ,sin ? ) , (2 分)

? (k ?Z) . (3 分) 2 ? ?? ? ?? ? ? ? 因为 ?AOB ? ,所以 B 点坐标为 ? cos ? ? ? ? ,sin ? ? ? ? ? ,即 (? sin ? ,cos ? ) . (5 分) 2? 2 ?? 2 ? ? ? ???? ???? (2)设 M (m,0) ( m ? 0 ) ,于是 MA ? (cos? ? m ,sin ? ) , MB ? (? sin ? ? m ,cos? ) , ???? ???? 因为 MA ? MB ,所以 MA ? MB ? 0 ,即 (cos ? ? m)(? sin ? ? m) ? sin ? cos ? ? 0 , (8 分)
其中 2k ? ? ? ? 2k ? ?

?? ? 整理得 m2 ? m(cos? ? sin ? ) ? 0 ,由 m ? 0 ,得 m ? cos ? ? sin ? ? 2 cos ? ? ? ? , (10 分) 4? ?

? ? ? ? ?? , 且 ? ? 2k ? ? , 于 是 2k ? ? ? ? ? ? 2k ? ? , 且 2 4 4 4 4 ?? 2 ?? 2 ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? ,且 cos ? ? ? ? ? 0 . ? ? ? 2k ? ? ( k ? Z )得 ? 4? 2 4? 2 4 2 ? ? 因此,点 M 横坐标的取值范围为 (?1,0) ? (0,1) . (12 分)
此 时 2k ? ? ? ? 2k ? ? 21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 如图, 某地要在矩形区域 OABC 内建造三角形池塘 OEF , E、

? F 分别在 AB 、 BC 边上. OA ? 5 米, OC ? 4 米, ?EOF ? , 4 设 CF ? x , AE ? y .
(1)试用解析式将 y 表示成 x 的函数; (2)求三角形池塘 OEF 面积 S 的最小值及此时 x 的值.

C

F

B E

O

A

y x ,直角三角形 COF 中, tan ?COF ? . 5 4 ? ? 正方形 OABC 中,由 ?EOF ? ,得 ?AOE ? ?COF ? ,于是 tan(?AOE ? ?COF ) ? 1 , 4 4 5(4 ? x) 代入并整理得 y ? . (4 分) 4? x 5(4 ? x) 4 因为 0 ≤ x ≤ 5 , 0 ≤ y ≤ 4 ,所以 0 ≤ (6 分) ≤ 4 ,从而 ≤ x ≤ 4 . 4? x 9 5(4 ? x) 4 因此, y ? ( ≤ x≤4 ) . 4? x 9 1 1 (2)S ? SOABC ? (S?OAE ? S?OCF ? S?EBF ) ? 5 ? 4 ? [5 y ? 4 x ? (4 ? y)(5 ? x)] ? (20 ? xy) , (8 2 2
[解](1)直角三角形 AOE 中, tan ?AOE ? 分)

5( x 2 ? 16) 5 ? 32 5(4 ? x) ? 代入上式,得 S ? (10 分) ? ?( x ? 4) ? ? 8? , 2( x ? 4) 2 x ? 4 4? x ? ? 4 32 当 ≤ x ≤ 4 时, x ? 4 ? (12 分) ≥8 2 ,当且仅当 x ? 4( 2 ? 1) 时,上式等号成立. 9 x?4 因此,三角形池塘 OEF 面积的最小值为 20( 2 ? 1) 平方米,此时 x ? 4( 2 ?1) 米. (14 分)
将y? 22. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知椭圆 ? :

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) , 过原点的两条直线 l1 和 l2 分别与 ? 交于点 A 、B a2 b2

和 C 、 D ,得到平行四边形 ACBD . (1)当 ACBD 为正方形时,求该正方形的面积 S . (2)若直线 l1 和 l2 关于 y 轴对称, ? 上任意一点 P 到 l1 和 l2 的距离分别为 d 1 和 d2 ,当
2 为定值时,求此时直线 l1 和 l2 的斜率及该定值. d12 ? d 2

(3)当 ACBD 为菱形,且圆 x2 ? y 2 ? 1 内切于菱形 ACBD 时,求 a ,b 满足的关系式. [解](1)因为 ACBD 为正方形,所以直线 l1 和 l2 的方程为 y ? x 和 y ? ?x . (1 分)

? y ? x, ? 点 A 、 B 的坐标 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) 为方程组 ? x 2 y 2 的实数解, ? 2 ? 2 ?1 b ?a 2 2 ab 2 ? 2 将 y ? x 代入椭圆方程,解得 x12 ? x2 . a ? b2 4a 2 b 2 根据对称性,可得正方形 ACBD 的面积 S ? 4 x12 ? 2 . (4 分) a ? b2 (2)由题设,不妨设直线 l1 的方程为 y ? kx ( k ? 0 ) ,于是直线 l2 的方程为 y ? ? kx .
设 P( x0 , y0 ) ,于是有
2 d12 ? d 2 ?
2 2 x0 y0 | kx0 ? y0 | | kx0 ? y0 | ? ? 1 ,又 d1 ? , d2 ? , (6 分) 2 a2 b2 k ?1 k2 ?1

2 2 2 ? (kx0 ? y0 ) 2 (kx0 ? y0 )2 2k 2 x0 ? 2 y0 x0 2 2? ? ? ,将 代入上式, y ? b 1 ? ? 0 2 2 2 2 ? k ?1 k ?1 k ?1 ? a ?

? x2 2 2k 2 x0 ? 2b 2 ?1 ? 0 a2 ? 2 2 得 d1 ? d 2 ? k2 ?1

? ? 2 b2 ? 2 2 ? 2 ? k ? 2 ? x0 ? 2b a ? ?? ? , (8 分) k2 ?1 b2 b 对于任意 x0 ?[?a, a] ,上式为定值,必有 k 2 ? 2 ? 0 ,即 k ? ? , (9 分) a a 2a 2 b 2 b b 2 ? 2 因此,直线 l1 和 l2 的斜率分别为 和 ? ,此时 d12 ? d 2 . (10 分) a ? b2 a a (3) 设 AC 与圆 x2 ? y 2 ? 1 相切的切点坐标为 ( x0 , y0 ) , 于是切线 AC 的方程为 x0 x ? y0 y ? 1 .

? x0 x ? y0 y ? 1 ? 点 A 、 C 的坐标 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) 为方程组 ? x 2 y 2 的实数解. ? 2 ? 2 ?1 b ?a

① 当 x0 ? 0 或 y0 ? 0 时, ACBD 均为正方形,椭圆均过点 (1,1) ,于是有 分) ② 当 x0 ? 0 且 y0 ? 0 时,将 y ?

1 1 (11 ? ?1. a 2 b2

x2 y2 1 (1 ? x0 x) 代入 2 ? 2 ? 1 , a b y0
2 a 2 (1 ? b 2 y0 ) , (13 分) 2 2 2 2 b y0 ? a x0

2 2 2 整理得 (b2 y0 ? a2 x0 ) x2 ? 2x0 a2 x ? a2 (1 ? b2 y0 ) ? 0 ,于是 x1 x2 ?
2 b 2 (1 ? a 2 x0 ) . (15 分) 2 2 2 2 b y0 ? a x0

同理可得 y1 y2 ?

???? ??? ? 因为 ACBD 为菱形,所以 AO ? CO ,得 AO ? CO ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , (16 分)
于是
2 2 a 2 (1 ? b 2 y0 ) b 2 (1 ? a 2 x0 ) 2 2 2 2 ? ? 0 ,整理得 a2 ? b2 ? a2b2 ( x0 ? y0 ) ,由 x0 ? y0 ?1, 2 2 2 2 2 2 2 2 b y0 ? a x0 b y0 ? a x0

得 a 2 ? b2 ? a 2b2 ,即

1 1 1 1 (18 分)综上, a , b 满足的关系式为 2 ? 2 ? 1 . ? 2 ?1. 2 a b a b

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知 a1 , a2 ,?, an 是由 n ( n ? N* )个整数 1 , 2 ,?, n 按任意次序排列而成的数 列,数列 {bn } 满足 bk ? n ? 1 ? ak ( k ? 1, 2,?, n ) , c1 , c 2 ,?, c n 是 1 , 2 ,?, n 按从大 到小的顺序排列而成的数列,记 Sn ? c1 ? 2c2 ? ? ? ncn . (1)证明:当 n 为正偶数时,不存在满足 ak ? bk ( k ? 1, 2,?, n )的数列 {an } . (2)写出 c k ( k ? 1, 2,?, n ) ,并用含 n 的式子表示 Sn . (3)利用 (1 ? b1 )2 ? (2 ? b2 )2 ? ? ? (n ? bn )2 ≥ 0 , 证明: b1 ? 2b2 ? ? ? nbn ≤ n(n ? 1)(2n ? 1) 及 a1 ? 2a2 ? ? ? nan ≥ Sn . (参考: 12 ? 22 ? ? ? n2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) . ) [证明](1)若 ak ? bk ( k ? 1, 2,?, n ) ,则有 ak ? n ? 1 ? ak ,于是 ak ? 当 n 为正偶数时, n ? 1 为大于 1 的正奇数,故

1 6

1 6

n ?1 不为正整数, 2 因为 a1 , a2 ,?, an 均为正整数,所以不存在满足 ak ? bk ( k ? 1, 2,?, n )的数列 {an } 4
分 [解](2) ck ? n ? (k ? 1) ( k ? 1, 2,?, n ) . (6 分) 因为 ck ? (n ? 1) ? k ,于是 Sn ? c1 ? 2c2 ? ? ? ncn ? [(n ? 1) ? 1] ? 2[(n ? 1) ? 2] ? ? ? n[(n ? 1) ? n]

n ?1 . (2 分) 2

1 1 1 ? (1 ? 2 ? ? ? n)(n ? 1) ? (12 ? 22 ? ? ? n2 ) ? n(n ? 1)2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) ? n(n ? 1)(n ? 2) 2 6 6 . (10 分)

[证明](3)先证 b1 ? 2b2 ? ? ? nbn ≤ n(n ? 1)(2n ? 1) .

1 6 2 2 2 2 2 2 (1 ? b1 ) ? (2 ? b2 ) ? ? ? (n ? bn ) ? (1 ? 22 ? ? ? n2 ) ? 2(b1 ? 2b2 ? ? ? nbn ) ? (b12 ? b2 ? ? ? bn )

①, 这里,bk ? n ? 1 ? ak ( k ? 1, 2,?, n ) ,因为 a1 ,a2 ,?,an 为从 1 到 n 按任意次序排列而成,
2 2 所以 b1 , b2 ,?, bn 为从 1 到 n 个整数的集合,从而 b12 ? b2 (12 ? ? ? bn =12 ? 22 ? ? ? n2 , 分) 于是由①,得 0 ≤ (1 ? b1 )2 ? (2 ? b2 )2 ? ? ? (n ? bn )2 ? 2(12 ? 22 ? ? ? n2 ) ? 2(b1 ? 2b2 ? ? ? nbn ) ,

因此, b1 ? 2b2 ? ? ? nbn ≤12 ? 22 ? ? ? n2 ,即 b1 ? 2b2 ? ? ? nbn ≤ n(n ? 1)(2n ? 1) . (14 分) 再证 a1 ? 2a2 ? ? ? nan ≥ Sn . 由 bk ? n ? 1 ? ak ,得 b1 ? 2b2 ? ? ? nbn ? (n ? 1 ? a1 ) ? 2(n ? 1 ? a2 ) ? ? ? n(n ? 1 ? an )

1 6

? [1(n ? 1) ? 2(n ? 1) ? ? ? n(n ? 1)] ? (a1 ? 2a2 ? ? ? nan ) ?
分 因为 b1 ? 2b2 ? ? ? nbn ≤ n(n ? 1)(2n ? 1) ,

n(n ? 1) 2 ? (a1 ? 2a2 ? ? ? nan ) 16 2

1 6

n(n ? 1) 2 1 ? (a1 ? 2a2 ? ? ? nan ) ≤ n(n ? 1)(2n ? 1) , 2 6 2 n(n ? 1) 1 n( n ? 1)( n ? 2) ? n(n ? 1)(2n ? 1) ? 所以 a1 ? 2a2 ? ? ? nan ≥ , 2 6 6 即 a1 ? 2a2 ? ? ? nan ≥ Sn . (18 分)



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