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省宿松县九姑中学2015届高考数学百大经典例题 逻辑联结词(含解析)


高考数学百大经典例题——逻辑联结词
例1 下列语句中不是命题的是 [ A.台湾是中国的 B.两军相遇勇者胜 C.上海是中国最 大的城市 D.连接 A 、B 两点 分析 “D”是描述性语句. 答 例2 D. 命题“方程 x2-4=0 的解是 x=±2”中,使用的逻辑联结词的情况是 [ A.没有使用联结词 B.使用了逻辑联 结词“或” C.使用了逻辑联结词“且” D.使用了逻辑联结词“非” 分析 注意到 x=±2 是 x=2 或 x=-2. 答 选 B. 例 3 命题①梯形不是平行四边形;②等腰三角形的底角相等;③有两个内角 互补的四边形是梯形或圆 内接四边形或是平行四边形;④60 是 5 或 2 的公倍数, 其中复合命题有 [ A.①③④ C.③ B.③④ D.①③ ] ] ]

分析 ②是简单命题,其余的均为复合命题. 解 选 A.

例 4 命题“ 5的值不超过 3”看作非p的形式,则p为
作是“p 或 q”形式, p 为________,q 为________.

,看

分析 “ 不超过”用“≤”表示,其否定是“>” , “≤ ”可以看作为“<” 或“=”的复合形式.

答 依次为“ 5>3”、“ 5<3”、“ 5=3”.
说明:对命题的否定要“全面” ,比如“>”的否定不是“<” . 例 5 分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题: (1)4 既是 8 的约数,也是 12 的约数; (2)张明是数学课代表或英语课代数; ( 3)江苏省不是中国面积最大的省. 分析 先寻找逻辑联结词,再确定被联结的简单命题. 解 (1)p 且 q,p:4 是 8 的约数,q:4 是 12 的约数; (2)p 或 q,p:张明是数学课代表,q:张明是英语课代表; (3)非 p、p: 江苏省是中国面积最大的省. 例 6 以下判断正确的是

1

[ A.若 p 是真命题,则“p 且 q”一定是真命题 B.命题“p 且 q”是真命题,则命题 p 一定是真命题 C.命题“p 且 q”是假命题时,命题 p 一定是假命题 D.命题 p 是假命题时,命题“p 且 q”不一定是假命题 解 根据真值表.选 B. 说明:在记忆真值表的时候,要体会它的合理性 . 例7 如果命题“p 或 q”与命题“非 p”都是真命题,那么 [ A.命题 p 不一定是假命题 B.命题 q 一定是真命题 C.命题 q 不一定是真命题 D.命题 p 与命题 q 的真值相同 分析 p 为假,从而 q 为真. 解 选 B. 例 8 若 p、q 是两个简单命题,且“p 或 q”的否定是真命题,则必有 A. p 真 q 真 C.p 真 q 假

]

]

[ ] B.p 假 q 假 D.p 假 q 真

分析 利用逆否命题与原命题的等价性 ,结合真值表确定结论. 解 ∵ “p 或 q” 的否定是 “非 p 且非 q” , 这是一个真命题, 所以由真值表. 非 p、非 q 都是真命题,那么 p 假 q 假.选 B. 点击思维 例9 有下列五个命题

(1)40 能被 3 或 5 整除; (2)不存在实数 x,使 x2+x+1<0; (3)对任意实数 x,均有 x+1>x; (4 )方程 x2-2x+3=0 有两个不等的实根;

x2 ? x ? 1 (5) 不等式 <0的解集为?. | x|?1
其中假命题为________ .(只填序号) 分析 使用不同的方法分别验证. 答 填写(4). p:菱形的对角线互相垂直.q:菱形的对角线互相平分.求下列复合 例 10 命题:

(1)p 或 q (2)p 且 q (3)非 p 分析 一般的问题都是“拆”复合命题,这儿是“造”复合命题,关键在于 “合” . 解 (1)菱形的对角线互相垂直或平 分; (2)菱形的对角线互相垂直且平分;

2

(3)菱形的对角线互相不垂直. 例 11
p 1 1 0 0

以 1 表示真,以 0 表示假,填写下面的真值表.
q p且q 非(p 且 q) 非p 非 q 非 p 或(非 q) 非(非 p)

分析 解

将 q 的可能取值与 p 对应,然后依真值表逐格填写.

p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

p 且 q 非(p 且 q) 非 p 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1

非q 0 1 0 1

非 p 或(非 q) 非(非 p) 0 1 1 1 1 1 0 0

说明:有时需要我们综合应用真值表. 例 12 分别指出下列各组命题构成的“p 或 q” 、 “ p 且 q” 、 “非 p”形式的复合 命题的真假.

(1)p: 3是无理数.q: 3是实数.
(2) p:4>6.q:4+6≠ 10. 分析 利用真值表. 解 (1)p 或 q:真;p 且 q:真;非 p:假. (2)p 或 q:假;p 且 q:假;非 p :真 . 说明:本题是要求先“造”命题,然后判定其真假. 例 13 如果命题“p 或 q”是真命题, “非 p”是假命题,那么 [ A.命题 p 一定是假命题 B.命题 q 一定是假命题 C.命题 q 一定是真命题 D.命题 q 是真命题或者假命题 分析 利用真 值表回推. 答 选 D. 说明:解题过程中注意发挥逆向思维的作用. 例 14 命题“非空集合 A∩B 中的元素既是 A 中的元素也是 B 中元素”是 ________形式. 命题 “非空集合 A∪B 中的元素是 A 的元素或是 B 的元素” 是________ 形式. 分析 x∈A∩B 则 x∈A 且 x∈B,填 p 且 q. x∈A∪B 则 x∈A 或 x∈B.填 p 或 q. 答 填 p 且 q;p 或 q. 说明:本题是集合问题与命题概念的结合. 例 15 分别指出下列各命题的形式及构 成它的简单命题,并指出复合命题的真假. ]

3

(1)8 或 6 是 30 的约数; (2)矩形的对角线垂直平分; (3)方程 x2-2x+3=0 没有实数根. 分析 分清形式结构,判断简单命题真假,利用真值表再判断原复合命题真 假. 解 真. (2)p 且 q, p: 矩形的对角线互相垂直(假), q: 矩形的对角线互相平分( 真). “p 且 q”为假. (3)非 p、p:x2-2x+3=0 有实根(假).非 p 为真. 说明:将简易逻辑知识负载在其他知识之上 (1)p 或 q,p:8 是 30 的约数(假),q:6 是 30 的约数(真). “q 或 q”为

4


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