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2014年6月调研测试高二理科数学试题


试卷类型 A

20 14 年 6 月 襄 阳 市 普 通 高 中 调 研 统 一 测 试

D.异面直线 AE、BF 所成的角为定值 8. 双曲线 C:
y2 x2 ? 2 ? 1 (a > 0,b > 0)的左、右焦点分别为 F1、F2,且 F2 恰为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点, 2 a b

高 二 数 学(理工类)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。) 1. 设 a∈R,i 是虚数单位,则“a = 1”是“ A.充分不必要条件

设双曲线 C 与该抛物线的一个交点为 A, 若△AF1F2 是以 AF1 为底边的等腰三角形, 则双曲线 C 的离心 率为 A. 2 B. 1 ? 2 C. 1 ? 3 D. 2 ? 3

a?i 为纯虚数”的 a?i B.必要不充分条件 C.充要条 D.既不充分又不必要条件 1 D. e

9. 给出下面四个结论:
2 ①命题“对?x∈R,都有 x2≥0”的否定为“? x0∈R,使得 x0 ; ? 0”

②函数 y ? f ( x) 为 R 上可导函数,则 f ?( x0 ) ? 0 是 x0 为函数 f ( x) 极值点的充要条件; ③如果命题“? (p∧q)”是真命题,则命题 p、q 中至多有一个是真命题;

2. 曲线 y ? e x 在点(0,1)处的切线斜率为 A.1 B.2 C.e

④甲、乙两位学生参与数学考试,已知命题 p: “甲考试及格” ,q: “乙考试及格” ,则命题“至少有一 位学生不及格”可表示为(? p)∧( ? q). 其中正确结论的是
2

1 3. 已知抛物线的焦点坐标是(0, ),则它的标准方程是 2 2 2 A. y ? x B. x ? 2 y C. x 2 ? y

D. y ? 2 x

A.①③

B.②③

C.①③④

D.②③④

4. 某商场为了了解毛衣的月销售量 y (件)与月平均气温 x(℃ )之间的关系, 随机统计了某 4 个月的月销售量 与当月平均气温,其数据如下表: 月平均气温 x℃ 月销售量 y (件) 17 24 13 33 8 40 2 55

10. 设函数 f ( x) 是定义在 ( -∞, 0) 上的可导函数,其导函数为 f ?( x) ,且有 f ( x) ? xf ? ( x) ? 0 ,则不等式
( x ? 2014) f ( x ? 2014) ? 2 f ( ?2) ? 0 的解集为

A.(-∞,-2012) 由表中数

B.(-2012,0)

C.(-∞,-2016)

D.(-2016,0)

二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。请将答案填在答题卡对应题号 的位置上。答错位置, ....... 书写不清,模棱两可均不得分。) 11. 已知实数 m、n 满足

? ? bx ? a 中的 b =-2,气象部门预测下个月的平均气温约为 6℃ 据算出线性回归方程 y ,据此估计该商

场下个月毛衣销售量约为 A.58 件 B.40 件 C.38 件 D.46 件 C1 F A1 D B1

m ? 2 ? ni ,则复数 z = m + ni 的模| z | = ▲ . 1? i

5. 如图,ABC-A1B1C1 是直三棱柱,∠ BCA = 90° ,点 D、F 分别是 A1B1、A1C1 的中点,若 BC = CA = CC1,则 BD 与 AF 所成角的余弦值是 30 1 A. B. 10 2
30 C. 15 15 D. 10

12. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的一条渐近线为 y ? 2 x ,则双曲线的离心率为 ▲ . a 2 b2

13. 抛物线 y ? x 2 在 A(1,1)处的切线与 x 轴及该抛物线所围成的图形面积为 ▲ . 14. 定义方程 f ( x) ? f ?( x) 的实数根 x0 叫做函数 f (x) 的“新驻点” ,若函数 g (x) = 2x , h( x) ? ln x ,

C

B

? ( x) ? x3 ( x ? 0) 的“新驻点”分别为 a、b、c,则 a、b、c 由大到小排列为 ▲ .
15. 已知 an ? 2n ,把数列{an}的各项排成如图所示的三角形状. a1 a2 a5 a6 a12 a10 a11 a3 a7 a13 a4 a8 a14 a9 a15 a16 记 A(i,j)表

6. 椭圆

A x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点为 F1、F2,一直线过 F1 交椭圆于 A、B 两点,则△ABF2 的周长为 16 7 B.16 C.8 D.4 C1 E D1 C F A1 B A
高二数学(理工类)

A.32

7. 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两 2 个动点 E、F,且 EF ? ,则下列结论中错误 的是 .. 2 A.AC⊥BE B.EF∥ 平面 ABCD C.三棱锥 A-BEF 的体积为定值

B1

…… 示第 i 行中第 j 个数,则 (1)A(3,2) = ▲ ; (2)A(i,1) = ▲ .

三.解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。) 16. (本大题满分 12 分)

D

试卷 A 型 第 1 页 (共 4 页)

试卷类型 A
某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图①②③④为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都由小正 方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第 n 个图 形包含 f (n)个小正方形. ⊥平面 ABCD,E 是线段 AB 的中点. (1)证明:PC⊥CD; (2)PA 上是否存在点 G,使得 EG∥ 平面 PCD? (3)若 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45° ,求二面角 A-PD-C 的余弦值.









(1)写出 f (5); (2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出 f (n + 1)与 f (n)的关系式,并根据你得到的关系式求 f (n) 的关系式.

20.

(本大题满分 13 分) x2 y 2 设椭圆 C1: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点为 B1,左、右焦点为 F1、F2,且 F2 和抛物线 C2: y 2 ? 4 x 的 a b 焦点重合,△F1B1F2 是正三角形. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)过 F2 作直线 l,与 C1 交于 A、B 两点,与 C2 交于 C、D 两点,求
S ?F1CD S ?F1 AB

的最小值.

17. (本大题满分 12 分) 3 x2 y 2 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与 2 a b 直线 x ? y ? 2 ? 0 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P(0,1)、Q(0,2).设 M、N 是椭圆 C 上关于 y 轴对称的不同两点,直线 PM 与 QN 相交于 点 T,求证:点 T 在椭圆 C 上. F1 O

y C A F2 D B x

18. (本大题满分 12 分) 根据统计,某工艺品厂的日产量最多不超过 20 件,日产品废品率 p 与日产量 x (件)之间近似地满足关 ? 2 ,1 ≤ x ≤ 9,x ? N* ? 日废品量 ? 15 ? x (日产品废品率 ? ? 100%) .已知每生产一件正品可赢 系式 p ? ? 2 日产量 ? x ? 60 , 10 ≤ x ≤ 20,x ? N* ? ? 540 利 2 千元,而生产一件废品则亏损 1 千元.(该车间的日利润 y =日正品赢利额-日废品亏损额) (1)将该车间日利润 y (千元)表示为日产量 x (件)的函数; (2)当该车间的日产量为多少件时,日利润最大?最大日利润是几千元?

21.

(本大题满分 14 分)
g ( x) ? ax ? ln x ,其中 a < 0,e 为自然对数的底数. 已知函数 f ( x) ? e x ? ax,

(1)若 g ( x) 在(1,g (1))处的切线 l 与直线 x ? 3 y ? 5 ? 0 垂直,求 a 的值; (2)求 f ( x) 在[0,2]上的最小值; (3)试探究是否存在区间 M,使得 f ( x) 和 g ( x) 在区间 M 上具有相同的单调性?若存在,求出区间 M, 并指出 f ( x) 和 g ( x) 在区间 M 上的单调性;若不存在,请说明理由.

19. (本大题满分 12 分) 在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,且∠ABC = 90° ,AD∥ BC,AD = 2,AB = BC = 1,PA P
高二数学(理工类) 试卷 A 型 第 2 页 (共 4 页)

2014 年 6 月襄阳市普通高中调研统一测试 高二数学(理工类)参考答案及评分标准

试卷类型 A
一.选择题:AABDA BDBAC 二.填空题:11. 2 5 12. 5
2 ?2 i ? 2

13.

1 12

14.c,b,a 或 c > b > a

? 24 x ? 2 x 2 , 1 ≤ x ≤ 9,x ? N* ? ? 15 ? x ?? 3 ?5 x ? x , 10 ≤ x ≤ 20,x ? N* ? 180 ?3
? 24 x ? 2 x 2 , 1≤ x ≤ 9 ? ? (2)解:考虑函数 f ( x) ? ? 15 ? x3 ?5 x ? x , 10 ≤ x ≤ 20 ? 180 ?3 90 6x 当 1≤x≤9 时, f ( x) ? 2 x ? ,∴ f ?( x) ? 2 ? (15 ? x) 2 15 ? x

4分

15.(1)64(2 分) (2) 2i 三.解答题:

(3 分)

16.(1)解:∵f (1) = 1,f (2) = 5,f (3) = 13,f (4) = 25 ∴f (5) = 25 + 4× 4 = 41. (2)解:由 f (2)-f (1) = 4 = 4× 1 f (3)-f (2) = 8 = 4× 2 f (4)-f (3) = 12 = 4× 3 f (5)-f (4) = 16 = 4× 4 ? 由上式规律得:f (n +1)-f (n) = 4n 由 f (n +1)-f (n) = 4n,得: f (2)-f (1) = 4× 1 f (3)-f (2) = 4× 2 f (4)-f (3) = 4× 3 f (5)-f (4) = 4× 4 ? f (n-1)-f (n-2) = 4· (n-2) f (n)-f (n-1) = 4· (n-1) 累加得:f (n)-f (1) = 4[1 + 2 + ? + (n-2) + (n-1)] = 2n(n-1) ∴f (n ) =2n2-2n + 1 17.(1)解:由题意知 b ? ∴ a ? 8,b ? 2
2 2

2分 4分

6分

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? 15 ? 3 5 若 1≤ x ? 15 ? 3 5 , f ?( x) ? 0 ,函数 f (x)在 [1, 15 ? 3 5 ) 上是单调递增 若 15 ? 3 5 ? x ≤ 9 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (15 ? 3 5 , 9] 上单调递减 6分 ∴当 x ? 15 ? 3 5 时,f (x)取得极大值,也是最大值 64 64 又 x 是整数, f (8) ? , f (9) ? 9 ,所以当 x ? 8 时, f ( x) 有最大值 7 7 5 x2 100 ? x2 当 10 ≤ x ≤ 20 时, f ?( x) ? ? ? ≤0 3 60 60 ∴函数 f ( x) 在[10,20]上单调递减 100 故当 x ? 10 时, f ( x) 取得极大值 ,也是最大值 9 100 64 由于 ,所以当该车间的日产量为 10 件时,日利润最大 ? 9 7 100 答:当该车间的日产量为 10 件时,日利润最大,最大日利润是 千元. 9 19.(1)证:∵PA⊥平面 ABCD,∠ BAD = 90° ,AB = 1,AD = 2 4分 以 AB 、AD 、AP 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0) 不妨令 P(0,0,t) ∵ PC ? (1,, 1 ? t ) , DC ? (1, ? 1, 0) ∴ PC ? DC ? 1 ? 1 ? 1 ? (?1) ? (?t ) ? 0 ? 0 因此 PC⊥CD. 6分 (2)解:设平面 PCD 的法向量为 n = (x,y,z) ? ?n ? PC ? 0 ? x ? y ? tz ? 0 由? ,得: ? ?x ? y ? 0 ? ?n ? DC ? 0 令 z = 1,解得: x ? y ? 4分 2分 8分 9分 10 分

8分 10 分 12 分 2分

11 分

0?0?2 2

? 2 ,又已知 e ?

c 3 ? a 2

12 分

y2 x2 ? ?1. 所以椭圆 C 方程为: 8 2

(2)证:由题意可设 M、N 的坐标分别为(x0,y0)、(-x0,y0) y ?1 x ?1 则直线 PM 的方程为 y ? 0 ① x0 y ?2 x?2 直线 QN 的方程为 y ? 0 ② ? x0 x0 3y ? 4 ,y ? 0 联立① ② 解得: x ? 2 y0 ? 3 2 y0 ? 3 x0 3y ? 4 , 0 ) ∴T( 2 y0 ? 3 2 y0 ? 3 ∵点 M 在椭圆 C 上,∴
2 x0 y2 2 2 ? 0 ? 1 , x0 ? 8 ? 4 y0 8 2

8分 10 分

t 2
6分

t t ∴n?( , , 1) 2 2 1 1 设 G 点坐标为(0,0,m), E ( , 0, 0) ,则 EG ? (? , 0, m) 2 2 要使 EG∥ 平面 PCD,则 EG ? n ? 0 1 t t t 即 ? ? ? 0 ? ? 1? m ? 0 ,解得 m ? 2 2 2 4 1 ∴满足 AG ? AP 的点 G 即为所求. 4

x0 3y ? 4 2 )2 ( 0 ) 2 2 2 y0 ? 3 2 y0 ? 3 x2 ? 4(3 y0 ? 4)2 8 ? 4 y0 ? 36 y0 ? 96 y0 ? 64 ∵ ? ? 0 ? ?1 2 2 8 2 8(2 y0 ? 3) 32 y0 ? 96 y0 ? 72 ∴点 T 坐标满足椭圆 C 的方程,即点 T 在椭圆 C 上. (
18.(1)解:由题意可知: y ? 2 x(1 ? p) ? px

12 分 2分

8分

高二数学(理工类)

试卷 A 型 第 3 页 (共 4 页)

试卷类型 A
(3)解:∵PA⊥平面 ABCD,∴∠ PBA 是 PB 与平面 ABCD 所成的角 ∴∠ PBA = 45° ,PA = 1 ∵AB⊥平面 PAD,∴ AB 是平面 PAD 的法向量 1 1 由(2)知平面 PCD 的法向量为 n ? ( , , 1) 2 2 1 1 (1, 0, 0) ? ( , , 1) AB ? n 6 2 2 n ?? ? ? ∴ cos ? AB , 6 | AB || n | 1 1 ? ?1 4 4
6 故所求二面角 A-PD-C 的余弦值为 . 6

③ 当 ln(?a) ≥ 2 ,即 a ≤ ?e 2 时, f ?( x) ≤ 0 ,f (x)在[0,2]上是减函数 ∴ f ( x)min ? f (2) ? e2 ? 2a 10 分
?1 ? ∴ f ( x)min ? ??a ? a ln ? ?a ? ?e 2 ? 2a ? (?1 ≤ a ? 0) (?e 2 ? a ? ?1) ( a ≤ ?e )
2

10 分

(3)解:∵ a ? 0 ,∴ g ?( x) ? a ? ∴g (x)在(0,+∞)上是减函数 12 分 2分

1 ?0 x
12 分

由(2)可知 f (x)在(-∞,ln(-a))上是减函数,在[ln(-a),+∞)上是增函数
ln(?a)] 上是减函数 当 0 ? ln(?a) ? a ? ?1 时,f (x)、g (x)在 M ? (0,

20.(1)解:抛物线 C2: y 2 ? 4 x 的焦点为(1,0),∴c = 1 又△F1B1F2 是正三角形,∴ a ? 2, b? 3 ∴椭圆 C1 的方程为

当 0 ≥ ln ? ?a ? ? 0 ? a ≥ ?1 时,f (x)、g (x)不存在相同单调性的区间.

x2 y 2 ? ?1. 4 3

4分

(2)解:设直线 l 的方程为: x ? ty ? 1 ,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)

? x ? ty ? 1 ? 联立 ? x 2 y 2 得: (3t 2 ? 4) y 2 ? 6ty ? 9 ? 0 ? ? 1 ? 3 ?4
∴ y1 ? y2 ? ?
S?F1AB ?

6t 9 , y1 ? y2 ? ? 2 3t ? 4 3t ? 4
2

6分 8分

1 12 t 2 ? 1 | F1F2 | ? | y1 ? y2 |? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ? 2 3t 2 ? 4 ? x ? ty ? 1 联立 ? 2 得: y 2 ? 4ty ? 4 ? 0 ? y ? 4x

∴ y3 ? y4 ? 4t , y3 ? y4 ? ? 4 1 S?F1CD ? | F1F2 | ? | y3 ? y4 |? ( y3 ? y4 )2 ? 4 y3 y4 ? 4 t 2 ? 1 2 1 | F1 F2 | ? | y3 ? y4 | S F1CD | y ? y4 | 4 t2 ?1 3t 2 ? 4 4 2 ? ? 3 ? ? ≥ 2 1 S F1AB | y1 ? y2 | 12 t ? 1 3 3 | F1 F2 | ? | y1 ? y2 | 2 2 3t ? 4 当且仅当 t ? 0 时取等号,∴ ( 21.(1)解: g ?( x) ? a ?
S S
F 1CD F 1AB

8分 10 分

12 分

)min ?

4 3

13 分

1 , g ?(1) ? a ? 1 x ∵g (x)在(1,g (1))处的切线 l 与直线 x ? 3 y ? 5 ? 0 垂直 1 ∴ (a ? 1) ? ? ?1 ? a ? ?2 3

2分

(2)解: f ?( x) ? e x ? a 由 f ?( x) ? 0 得: x ? ln(?a) 4分 ① 当 ln(?a) ≤ 0 ,即-1≤a < 0 时, f ?( x) ≥ 0 ,f (x)在[0,2]上是增函数 ∴f (x)min = f (0) = 1 6分 2 ? ② 当 0 ? ln(?a) ? 2 ,即 ?e ? a ? ?1 时,由于 x∈[0,ln(-a)]时, f ( x) ? 0 ,x∈[ln(-a),2]时, f ?( x) ≥ 0 ∴ f ( x)min ? f (ln(?a)) ? ?a ? a ln(?a) 8分

高二数学(理工类)

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