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宁波市八校联考高一数学试题


宁波市

2011学年 第一学期

八校联考高一数学试题
审题 北仑中学 吴文尧

命题 象山中学 一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1.已知集合 A={ ?1, 0,1 },B={ ?1,1 },则 A.A ? B=A B.A ? B=A C.A=B ( D.A ? B

李左杰



2.已知 sin ? ? 0,cos ? ? 0, ,则 ? 所在的象限是( ) A.第一象限 B.第三象限 C.第一或第三象限 D.第二或第四象限 3. 右面程序框图可以计算的表达式是( ) A. P ? 1 ? 2 ? 3 ? ...... ? N C. P ? B. P ? 1? 2 ? 3 ? ...... ? N D. P ?

1 2

1 1? 2 ? 3 ? ...... ? N

1 1? 2 ? 3 ? ...... ? ( N ? 1)

4. 下列函数中,周期为 ? 且图像关于直线 x ?

?
3

对称的函数是( )

x ? ) 2 6 x ? C. f ( x) ? 2sin( ? ) 2 3
A. f ( x) ? 2sin( ?

B. f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
3

) )

D. f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

5.下图是甲、乙两位同学历次考试成绩折线图,分别记:甲同学的平均分为 x甲 ,乙同学的平均分 x乙 ,甲同学成绩的标准差为 ?甲 ,乙同 学成绩的标准差 ? 乙 ,则关于这两位同学学习水平描述比较正确的是( )

A. x甲 > x乙 , ?甲 > ? 乙 C. x甲 < x乙 , ?甲 > ? 乙

B. x甲 > x乙 , ?甲 < ? 乙 D. x甲 < x乙 , ?甲 < ? 乙

6.根据某水文观测点的历史统计数据,得到某条河流水位 的频率分布直方图.从图中可以 看出,该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是( ) A.48 米 B.49 米 C.50 米 D.51 米 7.已知函数 f ( x) ? ? A. ?3 B.

?sin ? x ? f ( x ? 1) ? 1
C. ?2 D. ?

x?0 11 11 ,则 f (? ) ? f ( ) ? ( 6 6 x?0
3 2

)

?

5 2

8.已知函数 f ( x) ? x ? A.1 B.2

1 , g ( x) ? ln x ? 2 ,则函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 零点的个数是( ) x
C.3 D.4 )

9.已知定义域为 R 的函数 f ?x ? 在区间 ?8,??? 上为增函数,且函数 y ? f ?x ? 8? 为偶函数,则( A. f ? 6? ? f ? 7? B. f ? 6? ? f ?9? C. f ?7? ? f ?9? D. f ? 7 ? ? f ?10?

10. 设函数 f ( x) ? x2 ? 2 .若 f(a)=f(b),且 0<a<b,则 ab 的取值范围是(

) .

A . (0,1) B. (0,2) C. (1, 2) D.(1,3) 二、填空题(共 7 小题,满分 28 分) 11.某单位共有青年职工 160 人,中年职工 180 人,老年职工 90 人。为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的 样本中有青年职工 32 人,则该样本中的老年职工人数为 12.已知集合 A ? {x | x ? a}, B ? {x |1 ? x ? 2} ,且 A ? (CR B) ? R ,则 13.某化肥厂甲、乙两个车间包装化肥,在自动包装传送带上每隔 30 分 录抽查的重量数据,并画出其茎叶图如右所示, 则甲车间样本的中位数 实数 a 的取值范围是 钟抽取一包,称其重量,分别记 与 乙车间样本的中位的差是

14.计算:

2lg 2 ? lg3 ? 1 1 1 ? lg 0.36 ? lg8 2 3

15.函数 f ( x) ? 2 tan( ?2 x ?

?
3

) 的对称中心是

16. 右图表示一个算法,当 x1 ? 6, x2 ? 9 时,计算得 p ? 8.5 , 则 x3 等于 17.关于函数 f ( x) ? cos ① f ( x ) 是偶函数; ②当 x ? 2011 时, f ( x) ? 0 恒成立; ③ f ( x ) 的最大值是 2 ; ④ f ( x ) 最小值是 ?1 . 其中正确的结论是 三、解答题(共 5 大题,满分 72 分) 18.(本题满分 14 分)已知 ? 的终边经过点 (?4,3) ,求下列各式的值:

?x
2

? e?| x| ,有下面四个结论:

sin( ? ? ) ? cos(? ? ? ) 2 (1) sin( ? ? ) ? sin(? ? ? ) 2 sin ? ? 2 cos ? ? tan ? (2) 2sin ? ? cos ? tan ?

?

?

19.(本题满分 14 分)已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ?2a sin(2 x ? (1)求 a , b 的值;

?

) ? 2a ? b ,当 x ? [0, ] 时, f ( x) 的值域为 [?5,1] . 6 2

?

(2)设 g ( x) ? f ( x ?

?
2

) , x ? R ,求 g ( x) 的单调区间.

20.(本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? sin x ? a cos x, x ? [0,
2

?
3

]

(1)当 a ? 2 时,求函数 f ( x) 的最大值、最小值以及相应的 x 的值; (2)当 a ? R 时,求 f ( x ) 的最小值.

1 ? 2x a (a ? R) . 21. (本题满分 14 分)设 f ( x) ? lg 2
(1)试确定函数 f ( x ) 的定义域. (2)如果函数 F ( x) ? 2 f ( x) ? f (2 x) 有两个不同的零点,求 a 的取值范围.

22. (本题满分 15 分)设 f ( x) ? x2 ? bx ? c(b, c ? R) .若 x ≥ 2 时, f ( x) ≥ 0 ,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大值为 1, (1) 求 f (3) 的值。 (2)若 f ( x) ? x2 ? bx ? c 不存在零点,求 b 的范围,并求 b2 ? c 2 的最大值。 (3)若 f ( x) ? x2 ? bx ? c 存在零点,求 b 的值。

宁波市 2011 学年第一学期八校联考高一数学评分标准 一、选择题(共 10 小题,满分 50 分) 1 A 11. 18 2 C 3 C 4 D 5 D 12. [2, ??) 15. ( k? ? 6 C 7 C 8 B 13. ?12 9 D 10 B

二、填空题(共 7 小题,满分 28 分)

14. 17.

1 ① ③

1 4

?
6

, 0), k ? Z

16. 11

三、解答题(共 5 大题,满分 72 分) 18.(14 分)已知 ? 的终边经过点 (?4,3) ,求下列各式的值:

sin( ? ? ) ? cos(? ? ? ) 2 (1) sin( ? ? ) ? sin(? ? ? ) 2 sin ? ? 2 cos ? ? tan ? (2) 2sin ? ? cos ? tan ? 4 3 3 解: cos ? ? ? , sin ? ? , tan ? ? ? 5 5 4 sin( ? ? ) ? cos(? ? ? ) 2 (1) ?

?

?

................6 分

?

sin( ? ? ) ? sin(? ? ? ) 2 sin ? ? 2 cos ? ? tan ? sin ? ? 2 cos ? ? tan ? 35 ? ?? (2) 2sin ? ? cos ? tan ? sin ? 12
19.(本题满分 14 分)已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ?2a sin(2 x ? (1)求 a , b 的值; (2)设 g ( x) ? f ( x ?

?

2cos ? 8 ? ..............10 分 cos ? ? sin ? 7
...................14 分

?

) ? 2a ? b ,当 x ? [0, ] 时, f ( x) ? [?5,1] . 6 2

?

?
2

) ,求 g ( x) 的单调区间.

解:? x ? [0,

?
2

] ,? 2 x ?

?

? ? ? a ? 0 ,? ?2a sin(2 x ? ) ? [?2a, a] ,? ?2a sin(2 x ? ) ? 2a ? b ? [b,3a ? b] . 6 6
又 ?5 ? f ( x) ? 1 ,? ?

? 7? ? 1 ? [ , ] ,? sin(2 x ? ) ? [? ,1] . 6 6 6 6 2

? b ? ?5 ,解得: a ? 2, b ? ?5 . ?3a ? b ? 1

…………………………………………………………7 分 (2)由 a ? 2, b ? ?5 得:

? f ( x) ? ?4sin(2 x ? ) ? 1, 6

?

? 7? ? ? g ( x) ? f ( x ? ) ? ?4sin(2 x ? ) ? 1 ? 4sin(2 x ? ) ? 1 , 2 6 6
?

又函数 g ( x) ? 4sin(2 x ?

? 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

6

) ? 1 递增

? 2 k? ?

?
2

,k ?Z

由① ②得: k? ?

?

3

? x ? k? ?

?
6

,k ?Z

g ( x) 的单调递增区间 [k? ?
又函数 g ( x) ? 4sin(2 x ?

?

?
6

, k? ? ], k ? Z , . . . . . . . . . . ..........11 分 3 6

?

) ? 1 递减:

3? ,k ?Z . . . . . . . . .③. 2 6 2 ? 2? ,k ?Z . 由① ③得: k? ? ? x ? k? ? 6 3 ? 2? ], k ? Z ...............13 分 函数 g ( x) 单调递减区间是 [ k? ? , k? ? 6 3 ? 2 k? ? ? 2x ? ? 2 k? ?
综上所述,函数 g ( x) 的单调递增区间是 [k? ? 单调递减区间是 [ k? ?

?

?

?

?
6

, k? ?

2? ], k ? Z . 3
2

, k? ? ], k ? Z , 3 6

?

………………………………………………………………………………………..14 分 20.(本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? sin x ? a cos x, x ? [0,

?
3

]

(1)当 a ? 2 时,求函数 f ( x) 的最大值、最小值以及相应的 x 的值; (2)当 a ? R 时,求 f ( x ) 的最小值.

1 2 2 2 f ( x ) ? sin x ? 2 cos x ? 1 ? cos x ? 2 cos x ? ? (cos x ? 1) ? 2, cos x ? [ ,1] 解:(1) 2
当 x ? 0 时, f max ( x) ? f (0) ? 2 当x?

?
3

时, f min ( x) ? f ( ) ?

?

3

7 ………………………………………7 分 4

(2) f ( x) ? sin x ? a cos x ? 1 ? cos x ? a cos x ? ?(cos x ? ) ? 1 ?
2 2 2

a 2

a2 1 , cos x ? [ ,1] 4 2

1 3 3 a ? 即 a ? 时, fmin ( x) ? f (0) ? a 2 4 2 1 3 3 ? 3 1 当 a ? 即 a ? 时, f min ( x) ? f ( ) ? ? a 2 4 2 3 4 2


3 ?3 1 a ? ? a ? 2 综上所述, f min ( x) ? ? 4 2 ………………………………….14 分 3 ? a? ?a 2

1 ? 2x a (a ? R) . 21. (本题满分 15 分)设 f ( x) ? lg 2
(1)试确定函数 f ( x ) 的定义域. (2)如果函数 F ( x) ? 2 f ( x) ? f (2 x) 有两个不同的零点,求 a 的取值范围. 解: (1)当 a ? 0 时, f ( x ) 的定义域是 (??, ??) , 当 a ? 0 时, f ( x ) 的定义域满足

1 1 ? 2x a ? 0 ,解得 x ? log 2 (? ) 即定义域为 (??, ? log2 (?a)) a 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............7 分 (2) F ( x) ? 2 f ( x) ? f (2 x) =2 lg

1 ? 2x a 1 ? 22 x a ? lg 2 2

若 F ( x) 有两个不同的零点,等价于 F ( x) =0 有两个不同的实根,

因此,2 lg

1 ? 2x a 1 ? 22 x a ? lg . . . . . . . . . . . . . . . .① 2 2

?1 ? 2 x a ?0 ? ? 2 有两个不同的实根,且满足 ? 2x ?1 ? 2 a ? 0 ? ? 2
由①得: (a ? 2a) ? 2
2 2x

? 2a ? 2x ?1 ? 0

令 t ? 2 ? 0 得:
x

(a2 ? 2a) ? t 2 ? 2a ? t ?1 ? 0
设 t1 , t2 为其两个正根,则

?? ? 4a 2 ? 4(a 2 ? 2a) ? 0 ? ?t ? t ? ? 2a ? 0 ?1 2 a 2 ? 2a . ? ?t t ? ? 1 ? 0 ?12 a 2 ? 2a ? 2 ? a ? 2a ? 0
得: 1 ? a ? 2 .....................................14 分

?1 ? 2 x a ?0 ? ? 2 当 1 ? a ? 2 满足 ? 2x ?1 ? 2 a ? 0 ? ? 2
所以 1 ? a ? 2 . …………………………………………………………….15 分 22. (本题满分 15 分)设 f ( x) ? x2 ? bx ? c(b, c ? R) .若 x ≥ 2 时, f ( x) ≥ 0 ,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大值为 1, (1) 求 f (3) 的值. (2)若 f ( x) ? x2 ? bx ? c 不存在零点,求 b 的范围,并求 b2 ? c 2 的最大值.

(3)若 f ( x) ? x2 ? bx ? c 存在零点,求 b 的值. 解:(1)由题意函数图象为开口向上的抛物线,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大值为 1, 故有 f ( x ) 在 x ? 3 处取最大值 1,即 f (3) ? 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 分 (2)因为 f ( x) ? x2 ? bx ? c 不存在零点,所以 ? ? b ? 4c ? 0 ,又由 f (3) ? 1 得, c ? ?3b ? 8 ,代入 ? ? b ? 4c ? 0 解得 ?8 ? b ? ?4 .
2 2

…………………………………………………………………………..5 分 又因为 f (2) ≤ f (3) ? 1 ,从而 b ≥ ?5 . 综上 ?5 ≤ b ? ?4 .……………………………………………………7 分… 又 c ? ?3b ? 8 所以 b2 ? c2 ? b2 ? (?3b ? 8)2 ? 10b2 ? 48b ? 64 ,在 [?5, ?4) 单调递减 故 (b2 ? c2 )max ? 10 ? (?5)2 ? 48 ? (?5) ? 64 ? 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 分 (3)若 f ( x) ? 0 存在零点,则 ? ? b2 ? 4c ≥ 0 ,
? f (?2) ≥ 0, 4 ? ?4 ? 2b ? c ≥ 0, b≤? , ? f (2) ≥ 0, ? 5 ?4 ? 2b ? c ≥ 0, ? ? ? ? b ≤ ? 4, 且在区间 ? ?2,2? 有 ? 即 消去 c ,解出 b ? ? ??4 ≤ b ≤ 4, ? ?4 ≤ b ≤ 4, ??2 ≤ - 2 ≤ 2, 2 ? ? ? ? ? b ? 4 c ≥ 0 2 ? ? ? ?? ? b ? 4c ≥ 0

即 b ? ?4 ,这时 c ? 4 ,且 ? ? 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 分


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