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1.2.1(2)任意角的三角函数(2)


东风高级中学高一数学限时训练
1.2.1(2) 任意角的三角函数(2)

一、选择题 1.如果 MP 和 OM 分别是角α = π 的正弦线和余弦线,那么下列结论中正确的 是( ) B.OM>0>MP D.MP>0>OM

A.MP<OM<0 C.OM<MP<0

【解析】选 D.作出α= π的正弦线和余弦线,如图,可知 MP>0>OM.

2.(2014?兰州高一检测)已知角α 的余弦线是单位长度的有向线段,那么角α 的 终边 ( ) B. 在 y 轴上 D. 在直线 y=x 或 y=-x 上

A.在 x 轴上 C.在直线 y=x 上

【解析】选 A.因为 cosα=1 或 cosα=-1, 所以角α的终边在 x 轴上. 【举一反三】本题若将条件“角α 的余弦线”换为“角α 的正弦线”,其他条件 不变,则角α 的终边在 上.

【解析】因为 sinα=1 或 sinα=-1,
-1-

所以角α的终边在 y 轴上. 答案:y 轴 3.利用正弦线比较 sin1,sin1.2,sin1.5 的大小关系是( A.sin1>sin1.2>sin1.5 B.sin1>sin1.5>sin1.2 C.sin1.5>sin1.2>sin1 D.sin1.2>sin1>sin1.5 【解析】选 C.因为 1,1.2,1.5 均在 可知 sin1.5>sin1.2>sin1. 内,且 1.5>1.2>1,画出正弦线如图, )

4.已知θ ∈

,在单位圆中角 θ 的正弦线、余弦线、正切线的长度分别是 )

a,b,c,则它们的大小关系是( A.a>b>c C.c>b>a B.c>a>b D.b>c>a

【解析】选 B.如图,AT>MP>OM,即 c>a>b.

-2-

5、 如果 <θ < ,0<m<1,a=logmsinθ ,b=logmcosθ ,c=logmtanθ ,那么 a,b,c 的大 小关系是( A.a<b<c C.c<b<a 【解析】选 B.由 <θ< , 可知 0<cosθ<sinθ<tanθ, 又 0<m<1,所以函数 y=logmx 为减函数, 所以 c<a<b. 6.使 sinx≤cosx 成立的 x 的一个变化区间是( A. C. B. D.[0,π ] ) ) B.c<a<b D.b<a<c

【解析】选 A.画出单位圆及正、余弦线,如图阴影部分即为 符合条件的角 x 的范围,x∈[2kπ- π,2kπ+ ](k∈Z),k=0 时,即为 A 选项,其他都不符合题意. 7.(2014?临沂高一检测)设 a=sin(-1),b=cos(-1),c=tan(-1),则有( A.a<b<c B.b<a<c
-3-

)

C.c<a<b

D.a<c<b

【 解 析 】 选 C. 如 图 作 出 角 α =-1 的 正 弦 线 、 余 弦 线 及 正 切 线 , 显 然 b=cos(-1)>0,c=tan(-1)<a=sin(-1)<0,即 c<a<b.

8.若 <θ < ,则下列不等式成立的是( A.sinθ >cosθ >tanθ B.cosθ >tanθ >sinθ C.sinθ >tanθ >cosθ D.tanθ >sinθ >cosθ

)

【解析】选 D.结合单位圆中的正弦线、余弦线、正切线可知,此时正切线最长, 余弦线最短,且都为正,故 tanθ>sinθ>cosθ. 9.(2014?长春高一检测)若 0<α <2π ,且 sinα < ,cosα > ,则角α 的取值范围 是( A. C. ) B. D. ∪

【解析】选 D.在同一单位圆内,作出 sinα< ,cosα> 的区域,如图阴影部分. 所以α∈ ∪ .

-4-

10.(2014?菏泽高一检测)已知点 P(sinα -cosα ,tanα )在第一象限,则在 [0,2π )内,α 的范围是( A. C. ∪ ) B. D. 如图,由三角函数线可得

【解析】选 C.由题意知,

所以 <α< 或π<α< π.

11.已知 sinα >sinβ ,那么下列说法成立的是( A.若α ,β 是第一象限角,则 cosα >cosβ B.若α ,β 是第二象限角,则 tanα >tanβ
-5-

)

C.若α ,β 是第三象限角,则 cosα >cosβ D.若α ,β 是第四象限角,则 tanα >tanβ 【解题指南】 根据条件 sinα>sinβ结合α,β所在的象限分别作出α,β的终边, 借助α,β的三角函数线判断各个说法是否正确. 【解析】选 D.如图,符合 sinα>sinβ的条件,由图(1)知,α,β为第一象限角 时 ,cosα <cosβ ;由图 (2)知 ,α ,β为第二象限角时 ,tanα <tan β ;由图 (3)知 , α , β为第三象限角时 ,cos α <cos β ; 由图 (4) 知 , α , β为第四象限角时 ,tan α>tanβ.

二、填空题 12.已知α ∈ ,使 tanα <1 的α 的集合为 . .

【解析】如图,作出正切线,知α∈

-6-

答案: 13、在[0,2π ]上满足 sinα ≥ 的α 的取值范围是 .

【解析】 如图单位圆中,作 y= 交单位圆于 M,N 两点,它们对应的角分别为 , π, 所以 sinα≥ 时,在[0,2π]上, ≤α≤ π.

答案:[ , π] 14. 若 α 是 第 一 象 限 角 , 则 sin α +cos α 的 值 与 1 的 大 小 关 系 是 .

【解题指南】在单位圆中应用三角形两边之和大于第三边求解. 【解析】如图,角α的终边与单位圆交于 P 点,过 P 作 PM⊥x 轴于 M 点,而 MP 与 OM 分别为正弦线、余弦线,由三角形两边之和大于第三边可知 sinα+cosα>1.

-7-

答案:sinα+cosα>1 15.(2013 ?大连高一检测 ) 若 x ∈[0,2 π ), 且- ≤ cosx ≤ , 则 x 的取值范围 是 . ∪ .

【解析】 如图满足- ≤cosx≤ ,x∈[0,2π)的 x 的取值范围是

答案:

∪ .

16.函数 y=logsinx(2cosx+1)的定义域是 【解析】由题意知



-8-

如图,作出三角函数线,阴影部分区域(不包括边界)即为所求角的范围. 即 0<x< 或 <x< π,再考虑终边相同的角可得. 答案:{x 或 2kπ+ <x<2kπ+ π,k∈Z}

17. 若 α , β 为第二象限角 , 且 sin α >sin β , 则 cos α 与 cos β 的大小关系 是 .

【解析】如图,因为 sinα>sinβ,根据三角函数线,可知 cosα>cosβ.

答案:cosα>cosβ 三、解答题 18.比较 sin1155°与 sin(-1654°)的大小. 【解析】先将两角化成 0°~360°间的角的三角函数, sin1155°=sin(3×360°+75°)=sin75°, sin(-1654°)=sin(-5×360°+146°)=sin146°,

-9-

在单位圆中 , 分别作出 sin75 °和 sin 146 °的正弦线 M2P2,M1P1( 如图 ), 因为 M1P1<M2P2, 所以 sin1155°>sin(-1654°). 18.比较大小: (1)sin1155°与 sin(-1654°) (2)sin 与 sin . 【解析】如图所示, (3)tan 与 tan .

作出 对应的正弦线、正切线分别为 AB 和 EF. 作出 对应的正弦线、正切线分别为 CD 和 EG. 由图可知:|AB|>|CD|,|EF|>|EG|. 又 tan 与 tan 均取负值, 故 sin >sin ,tan <tan . 19.求函数 y=lg(3-4sin2x)的定义域. 【解析】因为 3-4sin2x>0, 所以 sin2x< , 所以- <sinx< , 如图所示,

- 10 -

所以 x∈(2kπ- ,2kπ+ )∪ 即 x∈ 复习回顾 (k∈Z).

(k∈Z),

1.已知集合 A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则 A∩B 等于( ) A.(0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.(1,2] 答案:D 解析:A={x|0<log4x<1}={x|1<x<4},B={x|x≤2} 所以 A∩B={x|1<x≤2} 3 2.如果幂函数 f(x)=xα 的图象经过点(3, ),则 f(8)的值等于( ) 3 2 2 A. B. 2 4 3 3 C. D. 4 2 答案:B 1 3 1 2 ? 解析:由 3α = 得 α =- ,故 f(8)=8 2 = . 3 2 4 2 3.若 f(x)=lg(x -2ax+1+a)在区间(-∞,1]上递减,则 a 的范围为( A.[1,2) B.[1,2] C.[1,+∞) D.[2,+∞) 答案:A
?a≥1 ? 解析:? ? ?1-2a+1+a>0

)

,∴1≤a<2.

4.已知函数 f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)为偶函数. (1)求 k 的值; (2)若方程 f(x)=log4(a?2x-a)有且只有一个根,求实数 a 的取值范围. 解:(1)因为 f(x)为偶函数,所以 f(-x)=f(x), log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx 4x+1 1 log4 x -log4(4x+1)=2kx? (2k+1)x=0? k=- . 4 2 1 (2)依题意知:log4(4x+1)- x=log4(a?2x-a) * 2

- 11 -

x x x ? ?4 +1=?a?2 -a??2 ?? x ??a?2 -a?>0 ?

令 t=2x 则*变为(1-a)t2+at+1=0 只需其有一个正根. ①a=1,t=-1 不合题意 Δ =a -4?1-a?>0 ? ? ②*式有一正一负根? 1 t t = <0 ? 1-a ?
2 1 2

经验证满足 a?2x-a>0,

∴a>1. ③两根相等 Δ =0? a=±2 2-2,经验证 a?2x-a>0,∴a=-2-2 2. 综上所述,∴a>1 或 a=-2-2 2.

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