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福建理科高考2012年 数学试题和答案


2012 年普通高等学校招生全国统一考试(福建 卷)
(理工农医类)
第 I 卷(选择题 共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1. 若复数 z 满足 zi ? 1 ? i ,则 z 等于( ) A. ? 1 ? i B. 1 ? i C. ? 1 ? i D. 1 ? i 2. 等差数列 { a n } 中, a 1 ? a 5 ? 10 , a 4 ? 7 ,则数列 { a n } 的公差为( A.1 B.2 下列命题中,真命题是( A. ? x 0 ? R , e
x0



3.

C.3 )

D.4

? 0

B. ? x ? R , 2 ? x
x

2

C. a ? b ? 0 的充要条件是 4. 5.

a b

? ?1

D. a ? 1, b ? 1 是 ab ? 1 的充分条件 )

一个几何体的三视图形状都相同,大小均相等,那么这个几何体不可以是( A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱 下列不等式一定成立的是( ) A. lg( x ?
2

1 4

) ? lg x ( x ? 0 )

B. sin x ? D.
1 x ?1
2

1 sin x

? 2( x ? k? , k ? Z )

C. x ? 1 ? 2 | x | ( x ? R )
2

? 1( x ? R )

6.

如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P ,则点 P 恰好取自阴影部分的概率为( ) A. C.
1 4 1 6

B. D.

1 5 1 7

7.

设函数 D ( x ) ? ?

?1, x 为有理数 ? 0 , x 为无理数

,则下列结论错误的是(



A. D ( x ) 的值域为 { 0 ,1} C. D ( x ) 不是周期函数
x
2

B. D ( x ) 是偶函数 D. D ( x ) 不是单调函数

8.

双曲线

?

y b

2 2

? 1 的右焦点与抛物线 y

2

? 12 x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )

4

第1页

A. 5 C.3

B. 4 2 D.5

9.

?x ? y ? 3 ? 0 ? 若直线 y ? 2 上存在点 ( x , y ) 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则实数 m 的最大值为( ?x ? m ?
x



A. C.

1 2 3 2

B.1 D.2
x1 ? x 2 2 )? 1 2 [ f ( x 1 ) ? f ( x 2 )] ,则称 f ( x ) 在

10. 函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上有定义,若对任意 x 1 , x 2 ? [ a , b ] ,有 f (

[ a , b ] 上具有性质 P 。设 f ( x ) 在[1,3]上具有性质 P ,现给出如下命题:

① f ( x ) 在 [1, 3 ] 上的图像时连续不断的; ② f ( x ) 在 [1, 3 ] 上具有性质 P ; ③若 f ( x ) 在 x ? 2 处取得最大值 1,则 f ( x ) ? 1 , x ? [1, 3 ] ; ④对任意 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ? [1, 3 ] ,有 f ( 其中真命题的序号是( A.①② B.①③
x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 2 )? 1 4 [ f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 3 ) ? f ( x 4 )] 。
2

) C.②④

D.③④

第Ⅱ卷(非选择题
4

共 100 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在答题卡的相应位置。 11. ( a ? x ) 的展开式中 x 的系数等于 8,则实数 a ? _________。
3

12. 阅读右图所示的程序框图,运行相应地程序,输出的 s 值等于_____________________。

第2页

13. 已知 ? ABC 的三边长成公比为 2 的等比数列,则其最大角的余弦值为_________。 14. 数列 { a n } 的通项公式 a n ? n cos
n? 2 ? 1 ,前 n 项和为 S n ,则 S 2012 ? ___________。

? a 2 ? ab , a ? b 15. 对于实数 a , b ,定义运算“ ? ” a ? b ? ? 2 : ,设 f ( x ) ? ( 2 x ? 1) ? ( x ? 1) ,且关于 x 的方程为 ? b ? ab , a ? b
f ( x ) ? m ( m ? R ) 恰有三个互不相等的实数根 x 1 , x 2 , x 3 ,则 x 1 x 2 x 3 的取值范围是_______________。

第3页

三、解答题:本大题共 6 小题,共 84 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 13 分) 受轿车在保修期内维修费等因素的影响, 企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关, 某 轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为 2 年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取 50 辆,统计书数据如下:

将频率视为概率,解答下列问题: (I)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率; (II)若该厂生产的轿车均能售出,记住生产一辆甲品牌轿车的利润为 X 1 ,生产一辆乙品牌轿车的利润为
X 2 ,分别求 X 1 , X 2 的分布列;

(III)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿车,若从经济效益 的角度考虑,你认为应该产生哪种品牌的轿车?说明理由。

17. (本小题满分 13 分) 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数。 (1) sin 13 ? cos 17 ? sin 13 cos 17 ;
2 0 2 0 0 0

(2) sin 15 ? cos 15 ? sin 15 cos 15 ;
2 0 2 0 0 0

(3) sin 18 ? cos 12 ? sin 18 cos 12 ;
2 0 2 0 0 0

(4) sin ( ? 13 ) ? cos 48 ? sin( ? 18 ) cos 48 ;
2 0 2 0 0 0

第4页

(5) sin ( ? 25 ) ? cos 55 ? sin( ? 25 ) cos 55 。
2 0 2 0 0 0

(I)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (II)根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论。

18. (本小题满分 13 分) 如图,在长方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中, AA 1 ? AD ? 1 , E 为 CD 中点。 (Ⅰ)求证: B 1 E ? AD 1 ; (Ⅱ)在棱 AA 1 上是否存在一点 P ,使得 DP // 平面 B 1 AE ?若存在,求 AP 的长;若不存在,说明理由。 (Ⅲ)若二面角 A ? B 1 A ? A 1 的大小为 30 ,求 AB 的长。
0

第5页

19. (本小题满分 13 分) 如图,椭圆 E :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左焦点为 F1 ,右焦点为 F 2 ,离心率 e ?

1 2

。过 F1 的直线交椭

圆于 A, B 两点,且 ? ABF 2 的周长为 8。 (Ⅰ)求椭圆 E 的方程。 (Ⅱ)设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ,且与直线 x ? 4 相较于点 Q 。试探究:在 坐标平面内是否存在定点 M ,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M ?若存在,求出点 M 的坐标;若不 存在,说明理由。

第6页

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? e ? ax ? ex , a ? R
x 2

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)试确定 a 的取值范围,使得曲线 y ? f ( x ) 上存在唯一的点 P ,曲线在该点处的切线与曲线只有一个 公共点 P 。

第7页

21. 本题设有(1)(2)(3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分。如果多做,则按所做 、 、 的前两题计分。作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框图黑,并将所选题号填入 括号中。 (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换
2 2 设曲线 2 x ? 2 xy ? y ? 1 在矩阵 A ? ? ?b ?

?a

0? 2 2 ? ( a ? 1 ) 对应的变换作用下得到的曲线为 x ? y ? 1 。 1? ?

(Ⅰ)求实数 a , b 的值。 (Ⅱ)求 A 的逆矩阵。
2

(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为几点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线 l 上两点
M , N 的极坐标分别为 ( 2 , 0 ), (

? x ? 2 ? 2 cos ? 2 3 ? , ) ,圆 C 的参数方程 ? (? 为参数) 。 3 2 y ? ? 3 ? 2 sin ? ?

(Ⅰ)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线 l 与圆 C 的位置关系。

第8页

(3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x ) ? m ? | x ? 2 |, m ? R ,且 f ( x ? 2 ) ? 0 的解集为 [ ? 1,1] 。 (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若 a , b , c ? R ,且
1 a ? 1 2b ? 1 3c ? m ,求证: a ? 2 b ? 3 c ? 9

第9页

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