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高考数学(理科)二轮专题复习 :专题九 第2讲数形结合思想


第2讲

数形结合思想

1.数形结合的数学思想 包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:一是借助形的 生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目的,比如应用函数的图象 来直观地说明函数的性质;二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以 数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质. 2.运用数形结合思想分析解决问题时,要遵循三个原则 (1)等价性原则.在数形结合时,代数性质和几何性质的转换必须是等价的,否则解题将会出 现漏洞.有时,由于图形的局限性,不能完整的表现数的一般性,这时图形的性质只能是一 种直观而浅显的说明,要注意其带来的负面效应. (2)双方性原则.既要进行几何直观分析,又要进行相应的代数抽象探求,仅对代数问题进行 几何分析容易出错. (3)简单性原则.不要为了“数形结合”而数形结合.具体运用时,一要考虑是否可行和是否 有利;二要选择好突破口,恰当设参、用参、建立关系、做好转化;三要挖掘隐含条件,准 确界定参变量的取值范围,特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线. 3.数形结合思想解决的问题常有以下几种 (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围. (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围. (3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系. (4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式. (5)构建立体几何模型研究代数问题. (6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题. (7)构建方程模型,求根的个数. (8)研究图形的形状、位置关系、性质等. 4.数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,特别是在解填空题时发挥着奇 特功效,这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练,以提高解题能力和速度.具体操作 时,应注意以下几点: (1)准确画出函数图象,注意函数的定义域. (2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法, 值得注意的是

首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整,以便于作图), 然后作出两个函数的图象,由图求解.

热点一 利用数形结合思想讨论方程的根 例 1 (2014· 山东改编)已知函数 f(x)=|x-2|+1, g(x)=kx, 若方程 f(x)=g(x)有两个不相等的实 根,则实数 k 的取值范围是________. 1 答案 ( ,1) 2 解析 先作出函数 f(x)=|x-2|+1 的图象,如图所示,当直线 g(x)=kx 与直线 AB 平行时斜率 1 1 为 1,当直线 g(x)=kx 过 A 点时斜率为 ,故 f(x)=g(x)有两个不相等的实根时,k 的范围为( , 2 2 1).

思维升华 用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解 的个数是一种重要的思想方法,其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的 表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两个熟悉的函数),然后在同一坐标系中作出两个函 数的图象,图象的交点个数即为方程解的个数.
?x2+bx+c,x≤0, ? 设函数 f(x)=? 若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于 x 的方程 ? ?2, x>0,

f(x)=x 的解的个数为________. 答案 3 解析 由 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,
2 ? ?x +4x+2,x≤0, 解得 b=4,c=2,∴f(x)=? ?2, x>0. ?

?x2+4x+2, ? 作出函数 f(x)=? ? ?2, x>0

x≤0,

与 y=x 的图象,如图,

由图知交点个数有 3 个. 热点二 利用数形结合思想解不等式、求参数范围 例 2 (1)已知奇函数 f(x)的定义域是{x|x≠0,x∈R},且在(0,+∞)上单调递增,若 f(1)=0, 则满足 x· f(x)<0 的 x 的取值范围是________. 1 (2)若不等式|x-2a|≥ x+a-1 对 x∈R 恒成立,则 a 的取值范围是________. 2

答案 (1)(-1,0)∪(0,1) 1? (2)? ?-∞,2? 解析 (1)作出符合条件的一个函数图象草图即可,由图可知 x· f(x)<0 的 x 的取值范围是(-

1,0)∪(0,1). 1 1 (2)作出 y=|x-2a|和 y= x+a-1 的简图,依题意知应有 2a≤2-2a,故 a≤ . 2 2

思维升华

求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象,根据不等式中量的特点,选

择适当的两个(或多个)函数,利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题, 往往可以避免烦琐的运算,获得简捷的解答. (1)设 A={(x,y)|x2+(y-1)2=1},B={(x,y)|x+y+m≥0},则使 A?B 成立的实 数 m 的取值范围是__________. (2)若不等式 9-x2≤k(x+2)- 2的解集为区间[a,b],且 b-a=2,则 k=________. 答案 (1)[ 2-1,+∞) (2) 2 解析 (1) 集合 A 是一个圆 x2+(y-1)2=1 上的点的集合,集合 B 是一个不等式 x+y+m≥0 表示的平面 区域内的点的集合, 要使 A?B,则应使圆被平面区域所包含(如图),即直线 x+y+m=0 应与圆相切或相离(在圆

|m+1| 的下方),而当直线与圆相切时有 =1,又 m>0, 2

所以 m= 2-1, 故 m 的取值范围是 m≥ 2-1. (2)令 y1= 9-x2, y2=k(x+2)- 2,在同一个坐标系中作出其图象,因 9-x2≤k(x+2)- 2的解集为[a,b]且 b -a=2.

结合图象知 b=3,a=1,即直线与圆的交点坐标为(1,2 2). 又因为点(-2,- 2)在直线上, 2 2+ 2 所以 k= = 2. 1+2 热点三 利用数形结合思想解最值问题 例 3 (1)已知 P 是直线 l:3x+4y+8=0 上的动点,PA、PB 是圆 x2+y2-2x-2y+1=0 的两 条切线,A、B 是切点,C 是圆心,则四边形 PACB 面积的最小值为________.
?x-2y+1≥0, ? (2)已知点 P(x,y)的坐标 x,y 满足? 则 x2+y2-6x+9 的取值范围是________. ?|x|-y-1≤0, ?

答案 (1)2 2

(2)[2,16]

解析 (1)从运动的观点看问题,当动点 P 沿直线 3x+4y+8=0 向左上方或右下方无穷远处运 1 1 动时,直角三角形 PAC 的面积 SRt△PAC= PA· AC= PA 越来越大,从而 S 四边形 PACB 也越来越大; 2 2 当点 P 从左上、右下两个方向向中间运动时,S 四边形 PACB 变小,显然,当点 P 到达一个最特殊 的位置,即 CP 垂直直线 l 时,S 四边形 PACB 应有唯一的最小值,

|3×1+4×1+8| 此时 PC= =3, 32+42 从而 PA= PC2-AC2=2 2. 1 所以(S 四边形 PACB)min =2× ×PA×AC=2 2. 2 (2)画出可行域如图,所求的 x2+y2-6x+9=(x-3)2+y2 是点 Q(3,0)到可行域上的点的距离的 平方,由图形知最小值为 Q 到射线 x-y-1=0(x≥0)的距离 d 的平方,最大值为 QA2=16.

∵d2=(

|3-0-1|

)2=( 2)2=2. 12+?-1?2

∴取值范围是[2,16]. 思维升华 (1)在几何的一些最值问题中,可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换, 快速求得最值. (2)如果(不)等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征,就要考虑用数形结合的思想方法来解 题,即所谓的几何法求解. (1)(2013· 重庆改编)设 P 是圆(x-3)2+(y+1)2=4 上的动点,Q 是直线 x=-3 上 的动点,则 PQ 的最小值为________. x-y+1≤0, ? ? (2)若实数 x、y 满足?x>0, ? ?y≤2, 答案 (1)4 (2)2 解析 (1)由题意,知圆的圆心坐标为(3,-1),圆的半径长为 2,PQ 的最小值为圆心到直线 x =-3 的距离减去圆的半径长,所以 PQmin=3-(-3)-2=4. (2)可行域如图所示. y 则 的最小值是______. x

y 又 的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率 k. x 由图知,过点 A 的直线 OA 的斜率最小.
? ?x-y+1=0, 联立? 得 A(1,2), ?y=2, ?

2-0 y 所以 kOA= =2.所以 的最小值为 2. x 1-0

1.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的 几何意义等都实现以形助数的途径,当试题中涉及这些问题的数量关系时,我们可以通过图 形分析这些数量关系,达到解题的目的. 2.有些图形问题,单纯从图形上无法看出问题的结论,这就要对图形进行数量上的分析,通 过数的帮助达到解题的目的. 3.利用数形结合解题,有时只需把图象大致形状画出即可,不需要精确图象. 4.数形结合思想常用模型:一次、二次函数图象;斜率公式;两点间的距离公式(或向量的模、 复数的模);点到直线的距离公式等.

真题感悟 1.(2013· 重庆改编)已知圆 C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆 C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N 分别 是圆 C1,C2 上的动点,P 为 x 轴上的动点,则 PM+PN 的最小值为______________. 答案 5 2-4 解析 设 P(x,0),设 C1(2,3)关于 x 轴的对称点为 C1′(2,-3),那么 PC1+PC2=PC1′+ PC2≥C1′C2= ?2-3?2+?-3-4?2=5 2. 而 PM+PN=PC1+PC2-4≥5 2-4. 2.(2014· 江西改编)在平面直角坐标系中,A,B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点,若以 AB 为直径 的圆 C 与直线 2x+y-4=0 相切,则圆 C 面积的最小值为________. 答案 4 π 5

解析 ∵∠AOB=90° ,∴点 O 在圆 C 上. 设直线 2x+y-4=0 与圆 C 相切于点 D, 则点 C 与点 O 间的距离等于它到直线 2x+y-4=0 的距离, ∴点 C 在以 O 为焦点,以直线 2x+y-4=0 为准线的抛物线上, ∴当且仅当 O,C,D 共线时,圆的直径最小为 OD. |2×0+0-4| 4 又 OD= = , 5 5 ∴圆 C 的最小半径为 2 , 5

∴圆 C 面积的最小值为 π(

2 2 4 ) = π. 5 5

?-x2+2x,x≤0, ? 3.(2013· 课标全国Ⅰ改编)已知函数 f(x)=? 若|f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是 ? ?ln?x+1?,x>0.

________. 答案 [-2,0] 解析 函数 y=|f(x)|的图象如图.

①当 a=0 时,|f(x)|≥ax 显然成立. ②当 a>0 时,只需在 x>0 时, ln(x+1)≥ax 成立. 比较对数函数与一次函数 y=ax 的增长速度. 显然不存在 a>0 使 ln(x+1)≥ax 在 x>0 上恒成立. ③当 a<0 时,只需在 x<0 时,x2-2x≥ax 成立. 即 a≥x-2 成立,所以 a≥-2. 综上所述:-2≤a≤0. 4.(2014· 天津)已知函数 f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程 f(x)-a|x-1|=0 恰有 4 个互异的实数根, 则实数 a 的取值范围为________. 答案 (0,1)∪(9,+∞) 解析 设 y1=f(x)=|x2+3x|,y2=a|x-1|, 在同一直角坐标系中作出 y1=|x2+3x|,y2=a|x-1|的图象如图所示.

由图可知 f(x)-a|x-1|=0 有 4 个互异的实数根等价于 y1=|x2+3x|与 y2=a|x-1|的图象有 4 个 不同的交点,当 4 个交点横坐标都小于 1 时,
?y=-x2-3x, ? ? 有两组不同解 x1, x2. ?y=a?1-x? ?

消去 y 得 x2+(3-a)x+a=0, 故 Δ=a2-10a+9>0,

且 x1+x2=a-3<2,x1x2=a<1, 联立可得 0<a<1. 当 4 个交点横坐标有两个小于 1,两个大于 1 时,
?y=x2+3x, ? ? 有两组不同解 x3, x4. ?y=a?x-1? ?

消去 y 得 x2+(3-a)x+a=0, 故 Δ=a2-10a+9>0, 且 x3+x4=a-3>2,x3x4=a>1, 联立可得 a>9, 综上知,0<a<1 或 a>9. 押题精练 1.方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是________. 答案 2 解析 (数形结合法) ∵a>0,∴a2+1>1. 而 y=|x2-2x|的图象如图,

∴y=|x2-2x|的图象与 y=a2+1 的图象总有两个交点. 2.不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为________. 答案 (-∞,-1]∪[4,+∞) -4 ?x<-3?, ? ? ?-3≤x<1?, 解析 f(x)=|x+3|-|x-1|=?2x+2 ? ?x≥1?. ?4

画出函数 f(x)的图象,如图,可以看出

函数 f(x)的最大值为 4,故只要 a2-3a≥4 即可,解得 a≤-1 或 a≥4.

3.经过 P(0,-1)作直线 l,若直线 l 与连结 A(1,-2),B(2,1)的线段总有公共点,则直线 l 的斜率 k 和倾斜角 α 的取值范围分别为________,________. 答案 [-1,1] π 3π [0, ]∪[ ,π) 4 4

解析 如图所示,结合图形:为使 l 与线段 AB 总有公共点,则 kPA≤k≤kPB,而 kPB>0,kPA<0, 故 k<0 时,倾斜角 α 为钝角,k=0 时,α=0,k>0 时,α 为锐角.

又 kPA= kPB=

-2-?-1? =-1, 1-0

-1-1 =1,∴-1≤k≤1. 0-2

π 又当 0≤k≤1 时,0≤α≤ ; 4 3π 当-1≤k<0 时, ≤α<π. 4 π 3π 故倾斜角 α 的取值范围为 α∈[0, ]∪[ ,π). 4 4 2x+3y-6≤0, ? ? 4.(2013· 山东)在平面直角坐标系 xOy 中,M 为不等式组?x+y-2≥0, ? ?y≥0 一动点,则 OM 的最小值是________. 答案 2

所表示的区域上

解析 由题意知原点 O 到直线 x+y-2=0 的距离为 OM 的最小值. 所以 OM 的最小值为 2 = 2. 2

5.(2013· 江西)过点( 2,0)引直线 l 与曲线 y= 1-x2相交于 A、B 两点,O 为坐标原点,当 △AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率为________. 答案 - 3 3

1 解析 ∵S△AOB= OA· OB· sin∠AOB 2 1 1 = sin∠AOB≤ . 2 2

π 当∠AOB= 时,S△AOB 面积最大. 2

此时 O 到 AB 的距离 d=

2 . 2

设 AB 方程为 y=k(x- 2)(k<0),即 kx-y- 2k=0. 由 d= | 2k| 2 3 = 得 k=- . 2 2 3 k +1

6.设函数 f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2-ln x(a,b∈R),已知它们在 x=1 处的切线互相平行. (1)求 b 的值;
?f?x?,x≤0, ? (2)若函数 F(x)=? 且方程 F(x)=a2 有且仅有四个解,求实数 a 的取值范围. ? g ? x ? , x >0 , ?

解 函数 g(x)=bx2-ln x 的定义域为(0,+∞), (1)f′(x)=3ax2-3a?f′(1)=0, 1 g′(x)=2bx- ?g′(1)=2b-1, x 1 依题意得 2b-1=0,所以 b= . 2 1 (2)x∈(0,1)时,g′(x)=x- <0,即 g(x)在(0,1)上单调递减, x 1 x∈(1,+∞)时,g′(x)=x- >0,即 g(x)在(1,+∞)上单调递增, x 1 所以当 x=1 时,g(x)取得极小值 g(1)= ; 2

当 a=0 时,方程 F(x)=a2 不可能有四个解; 当 a<0,x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0,即 f(x)在(-∞,-1)上单调递减, x∈(-1,0)时,f′(x)>0,即 f(x)在(-1,0)上单调递增, 所以当 x=-1 时,f(x)取得极小值 f(-1)=2a, 又 f(0)=0,所以 F(x)的图象如图(1)所示, 从图象可以看出 F(x)=a2 不可能有四个解. 当 a>0,x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0, 即 f(x)在(-∞,-1)上单调递增, x∈(-1,0)时,f′(x)<0,即 f(x)在(-1,0)上单调递减, 所以当 x=-1 时,f(x)取得极大值 f(-1)=2a.

又 f(0)=0,所以 F(x)的图象如图(2)所示, 1 从图(2)看出,若方程 F(x)=a2 有四个解,则 <a2<2a, 2 所以,实数 a 的取值范围是? 2 ? . ? 2 ,2?


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