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浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等2017届高三下学期五校联考数学试题 Word版含答案


2017 年高三年级五校联考 数学试题卷
命题 杭州学军中学

本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页,满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 参考公式: 柱体的体积公式 V=Sh 锥体的体积公式 V= Sh
3 1

其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高

台体的体积公式 V

?

1 3

h ( S1 ? S1S 2 ? S 2 )
2

其中 S1,S2 分别表示台体的上,下底面积 其中 R 表示球的半径,h 表示台体的高 其中 R 表示球的半径

球的表面积公式 S=4π R 球的体积公式 V= π R
3 4
3

第Ⅰ卷

选择题 (共 40 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.设全集 U ? R ,集合 A ? {x | x ? 3}, B ? {x | 0 ? x ? 5}, 则集合 (CU A) ? B = ( A. {x | 0 ? x ? 3} C. {x | 0 ? x ? 3} B. {x | 0 ? x ? 3} D. {x | 0 ? x ? 3} ) D. ? 1 ? 2i )

2.若复数 z 满足 2 z ? z ? 3 ? 2i ,其中 i 为虚数单位,则 z =( A. 1 ? 2i B. 1 ? 2i C. ? 1 ? 2i

3.已知直线 l1 : ax ? (a ? 2) y ? 1 ? 0, l 2 : x ? ay ? 2 ? 0 , 其中 a ? R , 则 “ a ? ?3 ” 是 “ l1 ? l 2 ” 的 ( )

-1-

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? y?2 ? 4.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ,则 z ? 3 x ? y 的最小值为( ? x ? y ?1 ?
A.12 B.11 C.8 D.-1



5. 为了得到函数 y ? sin( 2 x ?

?
6

) 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象(
B. 向右平移 D.向左平移



A.向右平移 C. 向左平移

? 个单位 6 ?
6
个单位

? 个单位 3

? 个单位 3

y2 ? 1的焦点为 F1、F2,渐近线为 l1,l2,过点 F2 且与 l1 平行的直线交 l2 6.已知双曲线 x ? m
2

于 M,若 F 1M ? F 2 M ? 0 ,则 m 的值为 ( A.1 7. ( x ? x ?
2

????? ?????

) C. 2 ) D.-240 D. 3

B. 3

2 x

) 6 的展开式中, x 6 的系数为 (
B.241 C.-239

A.240

8.正方体 ABCD ? A ,则 BP 与 AD1 所成角的取 1B 1C1D 1 中,点 P 在 AC 1 上运动(包括端点) 值范围是( A. [ ) B.

? ? , ] 4 3

[ , ] 4 2

? ?

C.

[ , ] 6 2

? ?

D. [

? ? , ] 6 3

9.设函数 f ( x) ? 范围是( A. ( )

x ? 2 ? a x ? a ,若存在唯一的整数 x0 使得 f ( x0 ) ? 0 ,则实数 a 的取值

6 35 ? 7 , ] 3 4 3 ] 2


B. (

6 15 ? 5 , ] 3 2 15 ? 5 ] 2
, 记

C. (2 2 ? 2, 10. 设

D. (2 2 ? 2, 且

a1 , a2 , a3 , a4 ? R

a1a4 ? a2 a3 ? 1

-2-

2 2 2 则 f (a1 , a2 , a3 , a4 ) 的最小值为 ( f (a1 , a2 , a3 ,a 4 ) ? a12 ? a2 ? a3 ? a4 ? a1a3 ? a2 a4 ,



A.1

B.

3

C. 2

D. 2 3

第Ⅱ卷

非选择题部分(共 110 分)

二、填空题:(本大题共 7 小题,前 4 小题每题 6 分,后 3 小题每题 4 分,共 36 分) . 11.抛物线 y 2 ? ax(a ? 0) 上的点 P ( , y0 ) 到焦点 F 的距离为 2,则 a ? _____________;

3 2

?POF 的面积为____________.
12.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体 的表面积是____ ___,体积是___ ___.

13.在 ?ABC 中, AB ? 3, AC ? 2, A ? 60? ,

AG ? m AB ? AC ,则 | AG | 的最小值为
又若 AG ? BC ,则 m ? ___.

___ ,

14. 从装有大小相同的 3 个红球和 6 个白球的袋子中, 不放回 地每摸出 2 个球为一次试验,直到摸出的球中有红球时试验结束.则第一次试验恰摸到一 个红球和一个白球概率是 __; ___.

若记试验次数为 X ,则 X 的数学期望 E ( X ) =

2 1 ? a n ? a n ?1 ? bn ?1 ? 1 ? ? 3 3 (n ? 2, n ? N * ) 15. 已知数列 ?an ? ,?bn ? 满足 a1 ? 2, b1 ? 1 , ? ?b ? 1 a ? 2 b ? 1 n n ?1 n ?1 ? 3 3 ?
则 (a1008 ? b1008 )(a2017 ? b2017 ) ?
2 2

___.

16. 已知圆 C : x ? ( y ? 1) ? 3 ,设 EF 为直线 l : y ? 2 x ? 4 上的一条线段,若对于圆 C 上 的任意一点 Q , ?EQF ?

?
2

,则 EF 的最小值是

___.

17. 设实数 x ? 0, y ? 0 且满足 x ? y ? k ,则使不等式 ( x ?

1 1 k 2 )( y ? ) ? ( ? ) 2 恒成立的 x y 2 k

k 的最大值为

-3-

___. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? (sin x ? 3 cos x)(cosx ? 3 sin x) . (1)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)若 f ( x 0 ) ?

6 ? , x0 ? [0, ] ,求 cos 2 x0 的值. 5 2

19. (本题满分 15 分)如图①,在矩形 ABCD 中, AB ? 2, BC ? 1 , E 是 CD 的中点,将 三角形 ADE 沿 AE 翻折到图②的位置,使得平面 AE D ? ? 平面 ABC . (Ⅰ)在线段 BD ? 上确定点 F ,使得 CF / / 平面 AE D ? ,并证明; (Ⅱ)求 ?AE D ? 与 ?BC D ? 所在平面构成的锐二面角的正切值.

20.(本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x ? 2x ? 2 ? a ln x(a ? R) .
2

(1)若 a ? 1 ,求函数在 A(1,1) 处的切线方程; (2)若函数 y ? f ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,证明: f ( x2 ) ?

5 ? 2 ln 2 . 4

-4-

21. (本题满分 15 分)如图,已知椭圆 ? :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 经过不同的三点 a 2 b2

A(

5 5 1 3 ,线段 BC 的中点在直线 OA 上. , ), B(? , ? ), C (C 在第三象限) 2 4 2 4

(Ⅰ)求椭圆 ? 的方程及点 C 的坐标; ( Ⅱ ) 设 点 P 是 椭 圆 ? 上 的 动 点 ( 异 于 点 A, B, C ) 且 直 线

PB, PC分别交直线 OA 于 M , N 两点,问 | OM | ? | ON | 是否为
定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.

1 22. (本题满分 15 分)已知数列 ?an ? 中,满足 a1 ? , an ?1 ? 2
(I)证明: an?1 ? an ; (Ⅱ)证明: a n ? cos (Ⅲ)证明: Sn ? n ?

an ? 1 , 记 Sn 为 an 前 n 项和. 2

?
3 ? 2 n ?1

27 ? ? 2 . 54

-5-

2017 年高三年级五校联考 数学参考答案

一、选择题 DBACA DCDBB 10. 解:设 m ? (a1 , a2 ), n ? (a3 , a4 ) ? f ?| m |2 ? | n |2 ?m ? n ,记 cos ? ? 则 S? ?

m?n | m || n |



1 1 1 1 | m || n | sin ? ? | m || n | 1 ? cos 2 ? ? ? ? | a1 a 4 ? a 2 a3 |? ? 2 2 2 2 1 2 cos ? | m || n |? ? f ? 2 | m || n | ? m ? n ? ? ? 3 (利用三角函数的有界性) sin ? sin ? sin ?

二、填空题 11. 2;

3 4

12. 16 ? 4 3 , 16. 2( 5 ? 3)

20 3

13.

3 ;

1 6

14.

1 65 ; 2 42

15.

2017 3 2016

17. k max ? 2 2 ? 5

17.解:不妨设 x ? y ,令 m ? 则原不等式化为 (m ? t ?

k , x ? m ? t , y ? m ? t ,0 ? t ? m , 2

1 1 1 m 4 ? 4m 2 ? 1 )(m ? t ? ) ? (m ? ) 2 ? t 2 ? 恒成立, m?t m?t m m2
k ? 2m ? 2 2 ? 5



m 4 ? 4m 2 ? 1 ? 0 ? m2 ? 2 ? 5 , ? m2

三.解答题 18.解: (1) f ( x) ? (sin x ? 3 cos x)(cosx ? 3 sin x) = 2 sin( 2 x ? 所以,函数 f ( x) 的单调递增区间为: [ k? ? (2) f ( x0 ) ? 2 sin( 2 x0 ? 又 x 0 ? [0,

?
2

] ,?

2? 6 )? , ? 3 5 2? 4 cos( 2 x0 ? )?? , 3 5

7? ? , k? ? ]( k ? Z ) ????7 分 12 12 2? 3 sin( 2 x0 ? ) ? ,????9 分 3 5

2? ) ????4 分 3

????11 分

?

cos 2 x0 ? cos[(2 x0 ?

2? 2? 4 1 3 3 4?3 3 ??14 分 )? ] ? (? ) ? (? ) ? ? ? 3 3 5 2 5 2 10

-6-

' ' 19.(Ⅰ)点 F 是线段 BD 中点时, CF / / 平面 AED .

证明:记 AE , BC 的延长线交于点 M ,因为 AB ? 2 EC ,所以点 C 是 BM 的中点, 所以 CF / / MD . 而 MD 在平面 AED 内, CF 在平面 AED 外,
' 所以 CF / / 平面 AED .????????7 分 ' ' '

'

(Ⅱ)在矩形 ABCD 中, AB ? 2, CD ? 1 , BE ? AE ,
' 因为平面 AED ? 平面 ABC ,且交线是 AE ,

' 所以 AE ? 平面 AED .

' ' 在平面 AED 内作 EN ? MD ,连接 BN ,

' 则 BN ? MD .

所以 ?BNE 就是 ?AED 与 ?BCD 所在平面构成的锐
'
'

二面角的平面角. 因为 EN ?

1 , BE ? 2 , 5
BE 2 ? ? 10 .????????15 分 1 EN 5

所以 tan ?BNE ?

20.解:
' 2 (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? 2 x ? 2 ? ln x , f ( x ) ? 2 x ? 2 ?

1 ' , f (1) ? 1 ,所以在 A(1,1) x

处的切线方程为 y ? 1 ? f (1)( x ? 1) ,化简得 x ? y ? 0 。??????6 分
'

( 2 ) 函 数 定 义 域 为 (0, ??) , f ( x) ? 2 x ? 2 ?
'

a 2 x2 ? 2x ? a ? 则 x1 , x2 是 方 程 x x
1 2 ? x2 ? 1 。 a ? 2x2 ? 2x2 , 2

2 x 2 ? 2 x ? a ? 0 的两个根,所以 x1 ? x2 ? 1 ,又 x1 ? x2 ,所以
2 2 所以 f ( x2 ) ? x2 ? 2x2 ? 2 ? (2x2 ? 2x2 )ln x2 。令

-7-

1 g (t ) ? t 2 ? 2t ? 2 ? (2t ? 2t 2 ) ln t ( ? t ? 1) , 2
则 g ' (t ) ? 2t ? 2 ? (2 ? 4t )ln t ? 2 ? 2t ? (2 ? 4t )ln t ,又 t ? ( ,1) 所以 g ' (t ) ? 0 ,则 g (t ) 在

1 2

1 5 ? 2 ln 2 1 5 ? 2 ln 2 t ? ( ,1) 内为增函数,所以 g (t ) ? g ( ) ? ,所以 f ( x2 ) ? ???15 分 2 4 2 4

5 ? 5 ? 2 5 ? ? 1, a ? , 2 2 ? ? ? 4a 16b ? 2 21.解: (Ⅰ)由点 A, B 在椭圆 ? 上,得 ? 解得 ? 所以椭圆 ? 的方程为 5 1 9 2 ? ?b ? . ? ?1 ? ? 8 ? ? 4a 2 16b 2
x2 y2 ? ? 1. ?????????3 分 5 5 2 8
由已知,求得直线 OA 的方程为 x ? 2 y ? 0, 从而 m ? 2n ? 1. (1) 又点 C 在椭圆 ? 上,故 2m2 ? 8n2 ? 5. (2)

3 3 1 (舍去)或 n ? ? . 从而 m ? ? , 2 4 4 3 1 所以点 C 的坐标为 ( ? , ? ). ???????????????6 分 2 4
由(1) (2)解得 n ? (Ⅱ)设 P( x0 , y0 ), M (2 y1, y1), N (2 y2, y2).

3 3 y0 ? 4 ? 4 , 整理得 y ? 3x0 ? 2 y0 . 因 P, B, M 三点共线,故 1 1 1 4(2 y0 ? x0 ? 1) 2 y1 ? x0 ? 2 2 1 1 y2 ? y0 ? x0 ? 6 y0 4 ? 4 , 整理得 y ? 因 P, C, N 三点共线,故 . ?????10 分 2 3 3 4(2 y ? x ? 1) 0 0 2 y2 ? x0 ? 2 2 5 2 2 2 2 ? ? 4 y0 . 因点 P 在椭圆 ? 上,故 2x0 ? 8 y0 ? 5 ,即 x0 2 y1 ?
从而 y1 y2 ?
2 2 (3x0 ? 2 y0 )( x0 ? 6 y0 ) 3x0 ? 20 x0 y0 ? 12 y0 ? 2 2 16[(2 y0 ? x0 )2 ? 1] 16(4 y0 ? x0 ? 4 x0 y0 ? 1)

5 3 2 2 3( ? 4 y0 ) ? 20 x0 y0 ? 12 y0 5( ? 4 x0 y0 ) 5 ? 2 ? 2 ? . 5 3 16( ? 4 x0 y0 ? 1) 16( ? 4 x0 y0 ) 16 2 2

-8-

所以 | OM | ? | ON |? 5 | y1 | ? 5 | y2 |? 5 | y1 y2 |?

25 为定值. 16

?????????15 分

2 2 2 22. 证明: (I)因 2an?1 ? 2an ? an ? 1 ? 2an ? ?1 ? an ??1 ? 2an ?,

故只需要证明 an ? 1 即可 ????????????????????3 分 下用数学归纳法证明: 当 n ? 1 时, a1 ?

1 ? 1 成立 2

假设 n ? k 时, ak ? 1 成立, 那么当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ?

ak ? 1 1?1 ? ?1, 2 2
????????????????6 分

所以综上所述,对任意 n , an ? 1 (Ⅱ)用数学归纳法证明 an ? cos 当 n ? 1 时, a1 ?

?
3 ? 2n ?1

1 ? ? cos 成立 2 3

假设 n ? k 时, ak ? cos

?

3 ? 2k ?1

那么当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ?

ak ? 1 ? 2

cos

?
3?2k ?1 2

?1

? cos

?
3?2k
??????????10 分
2

所以综上所述,对任意 n , an ? cos

?
3 ? 2n ?1

2? 2 1 ? an?1 an?1 ? 1 ? ? ? ? 2 2 (Ⅲ) ?12 分 ? 1? ? 1 ? an ? sin ? ? n?1 ? 得 an?1 ? 1 ? 9 ? 4n ?1 2 2 3? 2n?1 ? 3? 2 ?
故 Sn ?

? 2? 2 ? 1 1 2? 2 4 1 ? 1 ? 27 ? ? 2 1 ? ? ? n ? ? ? ? 1 ? ? n ? ? ? ? ? ? 9 ? 4i ? 2 2 9 3 16 ? 4n?1 ? 54 i ?2 ?
n

??15 分

-9-


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