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关于向量组线性相关性的几种判定毕业设计


关于向量组线性相关性的几种判定 摘 要

向量组线性相关性在线性代数中是一块基石, 在它的基础上我们推导和衍生出其他 许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法,可以让我们更好的理解其他 理论知识。本文从介绍向量组线性相关性的定义着手,然后论述了若干种判定向量组线 性相关的方法,例如利用线性相关的定义、行列式的值、矩阵的秩、齐次线性方程组的 解、克莱姆法则等知识运用于向量组的线性相关性的判定,并比较了不同判定方法的适 用条件及范围。 正是为了研究线性方程组解的存在性与唯一性,才引入诸如线性相关性、秩、极大 线性无关组等基本概念。使用了这些概念,不仅可以圆满地解决线性方程组的问题,还 使我们更深刻地认识了线性方程组。同时构建了一座通向向量组线性相关性判定方法的 桥梁,使二者之间可以相互转化。在判定向量组线性相关性的问题上,我们可以通过构 造线性方程组,在解线性方程组的过程中便可以得到向量组线性相关与否的结论。 向量组线性相关性的判定理论作为数学知识中的基础理论,在现实世界中,有着深 入的广泛应用。三角网格自适应loop细分方法就是根据线性相关的三个向量在同一个平 面的原理,提出了一种新的三维表面自适应loop细分算法,即对网格模型过同一顶点1 邻域上的所有三个紧邻边组成的三个向量判断其是否线性相关来断定该顶点的1邻域是 否平坦,从而进一步判断该顶点是否参与细分。但是三角网格模型上的三条边不可能都 严格地在同一个平面上,当这些向量组成的行列式值趋于零时,便认为它们在同一平面 上。实验表明,该方法减少了细分的数据量和处理速度。 关键词:向量组;线性相关;行列式;判定方法;矩阵;克莱姆法则;线性方程组等。

Several Methods for Judging the Related Linearity of Vectors Group Abstract

The Related Linearity of Vectors Group in Linear Algebra is one cornstone,the basis of its derivation and derived from our many other theories.So skilled master linear vector to determine the relevance of the method allows us to better understand the other theories.This article from the Vector Group,introduced the definition of a linear correlation to proceed,and then discussed a number of Vector Group to determine the method of linear correlation.For example,the definition of the use of linear correlation,the value of the determinant,rank of matrix,homogeneous solution of linear equations,Cramer's rule applied to vector groups,such as knowledge of the linear correlation found.And compare different methods to determine the conditions and scope of the application. Is to study solutions of linear equations existence and uniqueness of before the introduction of such a linear correlation,rank,and so a great group of linearly independent basic concepts.The use of these concepts can not only complete solution to the problem of linear equations,but also gives us a deeper understanding of the system of linear equations.At the same time,a way to build a linear vector method to determine the relevance of the bridge,so that conversion between each other.Linear vector in the determination of the relevance of the issue,we can structure the linear equations,solving linear equations in the process of vector can be linear or not the conclusions of the relevant. Vector Group to determine the linear correlation of theoretical knowledge as the basis of mathematical theory,in the real world, with extensive use of depth.A new adaptive subdivision scheme is presented based on the principle which is that three composed of every three adjacent vectors from a vertex of triangle mesh is computed to verify whether they are coplanar.If the determinate value is approximately equal to zero,the surface surrounding that vertex can be considered as fairly flat and the corresponding triangle needn’t be subdivided. Such an approach can cut down the amount of subdivisions during refining a mesh model and effectively accelerate the processing speed. Key words:Vectors group;Related dependence;Determinant;Judging method;Matrix;Cramer rule;Solution of system of linear equations

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引 言............................................................................................................................1 第 1 章 绪论.......................................................................................................................2 第 2 章 向量组线性相关性的定义...................................................................................3 2.1 向量组线性相关性的定义…………………………………………………….3 2.2 小结…………………………………………………………………………….4 第 3 章 向量组线性相关的判定方法……………………………………………………5 3.1 定义法………………………………………………………………………….5 3.2 利用向量组内向量之间的线性关系判定…………………………………….5 3.3 利用齐次线性方程组的解进行判定………………………………………….6 3.4 利用矩阵的秩判定向量组线性相关性………………………………………6 3.5 利用行列式的值来判定向量组线性相关性………………………………….9 3.6 反证法………………………………………………………………………..11 3.7 利用向量组在线性空间中象的线性关系进行判定………………………...12 3.8 利用极大线性无关组判定向量组的线性相关性…………………………..12 3.8.1 引言……………………………………………………………………12 3.8.2 预备知识………………………………………………………………13 3.9 方程组法…………………………………………………………………….17 3.10 数学归纳法…………………………………………………………………18 3.11 有限维向量空间中向量组的线性关系的判别法…………………………19 第 4 章 向量组线性相关的具体应用………………………………………………….21 4.1 引言…………………………………………………………………………..21 4.2 Loop 细分模式………………………………………………………………..22 4.3 自适应细分曲面……………………………………………………………..23 4.3.1 向量相关性的几何意义………………………………………………..24 4.3.2 顶点平坦度……………………………………………………………24 4.3.3 算法的具体步骤………………………………………………………24 4.4 实验结果与分析……………………………………………………………..26 4.5 结论…………………………………………………………………………..27 结论与展望……………………………………………………………………………...28 致 谢………………………………………………………………………………...29 参考文献………………………………………………………………………………...30 附录 A 外文文献及翻译……………………………………………………………….31 附录 B 主要参考文献的题录及摘要 ............................................................................. 42

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插图清单

图 4-1 图 4-2 图 4-3 图 4-4

loop 细分模式模板示意图 ·························22 ························· ························· 三维空间中 3 个向量线性相关 ······················· ······················23 ······················ 顶点平坦度定义的示意图 ·························24 ························· ························· 三角形分裂的 4 种情况 ··························· ··························26 ··························

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表格清单

表 4-1

两种方法的实验结果对比 ·························27 ························· ·························

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向量组的线性相关性在线性代数中起到贯穿始终的作用。它与矩阵、线性方程组构 成一个整体并且可以实现相互转化。 若一个向量组线性相关则意味着在线性方程组中有 一个方程可以由其他的方程线性表示。 现实世界中往往需要我们分辨判别不同事物的关 系, 这就是需要我们将待考察的不同事物抽象为不同的向量或是不同的方程——构成向 量组或是方程组,研究它们之间的相关性。 在统计学中,我们已经将向量组的线性相关性的思想应用到实处。相关分析就是一 种统计分析方法,它是对客观存在的具有相互联系的现象,根据其关系形态,选择一个 合适的数学模型,用以表达现象间的平均数量变化关系。线性相关分析在探讨不同类型 的糖代谢紊乱与老年危重病人 APACHEⅡ 评分中得到较深的应用, 利用向量线性相关找 到了三角网格自适应 loop 的细分方法,同时在化学、物理、建筑、经济、管理、计算 机应用等各领域也都有着广泛的应用,且难度相对于其他数学分支低一些,为人们解决 实际问题提供了有利的判断依据。随着科学技术的不断发展,随着数学知识与其他学科 结合的不断深化,向量组线性相关性的理论必将深入到我们的日常生活中。为此,我们 应当熟练的掌握判定向量组线性相关性的判定方法。 关于向量组线性相关性的判定方法,我们可以利用线性相关的定义、行列式的值、 矩阵的秩、 齐次线性方程组的解、 克莱姆法则等知识运用于向量组的线性相关性的判定, 从而给出若干种关于线性相关与线性无关的判定方法。向量组的线性相关性反映的是线 性方程组中方程间的线性表示, 即是否存在可删去的方程。 而向量组的一个极大无关组, 则反映了由线性方程组中部分方程所构成的与原方程组同解的一个“最简”方程组。那 么矩阵的秩(或者行向量组的秩)就是这样一个“最简”方程组中所含方程的个数。

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第1章 绪



线性相关性这个概念在数学专业许多课程中都有体现,如解析几何、高等代数和常 微分方程中等等。它是线性代数理论的基本概念,它与向量空间(包括基、微数)、子空 间等概念有密切关系,同时在解析几何以及常微分方程中都有广泛的应用。因此,掌握 线性相关性这个概念有着非常重要的意义,也是解决问题的重要的理论根据。向量组的 线性相关与线性无关实际上可以推广到函数组的线性相关与线性无关。 在线性代数中,向量组的线性相关性占到了举足轻重的作用。它可以将线性代数中 的行列式、矩阵、二次型等知识联系在一起。若能熟练地掌握向量组的线性相关性则能 更好的理解线性代数的各部分知识,理清线性代数的框架,做到融会贯通。 本文主要研究的是向量组线性相关性的判定方法,从定义及性质下手,熟悉了一些 重要理论,从而能在各领域中得到更好的运用。本文的第二章就是介绍了向量组线性相 关的定义以及相关理论,熟悉定义就能更清晰的掌握向量组线性相关性的本质。而本文 的第三章主要给出了向量组线性相关的若干种判定方法, 比较了不同判定方法的优劣及 适用范围,并给出了一些详细证明,附带了一些证明题和例题,从而能更深刻地熟悉这 些理论知识。第四章主要给出了向量组线性相关性的具体应用。而后面的就是结论与展 望及一些参考文献还有一些附录关于引用的具体文献。

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第 2 章 向量组线性相关性的定义
2.1 向量组线性相关性的定义 定义2.1 给定向量组 A : a1 , a2 , ???, am ,如果存在不全为零的数 k1 , k2 , ???, km ,使

k1a1 ? k2a2 ???? ? kmam ? 0
则称向量组A是线性相关的,否则称它为线性无关。

(2-1)

说向量组 a1 , a2 , ???am 线性相关, 通常是指 m ? 2 的情形。 但上述定义也适用于 m ? 1 的 情形。当 m ? 1 时,向量组只含有一个向量,对于只含一个向量 a 的向量组,当 a ? 0 时 是线性相关的,当 a ? 0 时是线性无关的。对于含2个向量 a1 , a2 的向量组,它线性相关的 充分必要条件是 a1 , a2 的分量对应成比例,其几何意义是两向量共线。3个向量线性相关 的几何意义是三向量共面。 向量组 A : a1 , a2 , ???am (m ? 2) 线性相关, 也就是在向量组A中至少有一个能由其他m-1 个向量线性表示。这是因为:如果向量组A线性相关,则有不全为0的数 k1 , k2 , ???, km ,使 (2-1)式成立。因 k1 , k2 , ???, km 不全为0,不妨设 k1 ? 0 ,于是便有
a1 ? ?1 (k2 a2 ? ??? ? km am ) , k1

即 a1 能由 a2 , ???am 线性表示。 如果向量组 ? 中有某个向量能由其余 m ? 1 个向量线性表示,不妨设 am 能由

a1 , ???am?1 线性表示,即有 ?1 , ????m?1 使 am ? ?1a1 ? ?2a2 ? ??? ? ?m?1am?1 ,于是

?1a1 ???? ? ?m?1am?1 ? (?1)am ? 0
因为 ?1 , ???, ?m?1, ?1这m个数不全为0(至少 ?1 ? 0 ),所以向量组 ? 是线性相关的。 向量组的线性相关与线性无关的概念也可移用于线性方程组。当方程组中有某个方 程是其余方程的线性组合时,这个方程就是多余的,这时称方程组是线性相关的;当方
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程组中没有多余方程,就称该方程组线性无关。 向量组 A : a1 , a2 , ???am 构成矩阵 A ? (a1 , a2 , ???, am ) ,向量组A线性相关,就是齐次线性 方程组

x1a1 ? x2a2 ???? ? xmam ? 0 ,即 Ax ? 0 有非零解。
2.2 小结 只有充分理解了向量组线性相关的定义,我们才能找到不同的判定方法来判定某组 向量是否是线性相关的,并比较不同的判定方法的适用条件。

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第 3 章 向量组线性相关的判定方法
3.1 定义法 这是判定向量组的线性相关性的基本方法。定义法既适用于分量没有具体给出的抽 象向量组, 也适用于分量已经给出的具体向量组。 其定义是, 给定向量组 A : a1 , a2 , ???, am , 如果存在不全为零的数 k1 , k2 , ???, km ,使 k1a1 ? k2 a ???? ? kmam ? 0 ,则称向量组A是线性相 2 关的,否则称它为线性无关。也就是说,只有当 k1 , k2 , ???, km 都为0时,

k1a1 ? k2a2 ???? ? kmam ? 0 才成立,则称向量组A是线性无关的 。
[1]

例 3.1 :设 b1 ? a1 ? a2 , b2 ? a2 ? a3 , b3 ? a3 ? a4 , b4 ? a4 ? a1 ,证明向量组 b1 , b2 , b3 , b4 线性相
[1]

关。 证明:设存在 4 个数 k1 , k2 , k3 , k4 , 使得 k1b1 ? k2b2 ? k3b3 ? k4b4 ? 0 将 b1 ? a1 ? a2 , b2 ? a2 ? a3 , b3 ? a3 ? a4 , b4 ? a4 ? a1 代入上式有:

k1 (a1 ? a2 ) ? k2 (a2 ? a3 ) ? k3 (a3 ? a4 ) ? k4 (a4 ? a1 ) ? 0 , (k1 ? k4 )a1 ? (k1 ? k2 )a2 ? (k2 ? k3 )a3 ? (k3 ? k4 )a4 ? 0 ,取 k1 ? k3 ? 1, k2 ? k4 ? ?1,则有 k1b1 ? k2b2 ? k3b3 ? k4b4 ? 0
由向量组线性相关的定义可知,向量组 b1 , b2 , b3 , b4 线性相关。 3.2 利用向量组内向量之间的线性关系判定 即向量组 A : a1 , a2 , ???, am 线性相关的充要条件是向量组 ? 中至少有一个向量可以由 其余 m ? 1 个向量线性表示。 比如上例,取 k1 ? k3 ? 1, k2 ? k4 ? ?1,则 b1 ? b2 ? b3 ? b4 ,即 b1 可由 b2 , b3 , b4 三个向量 线性表示,所以向量组 b1 , b2 , b3 , b4 线性相关。这种判定方法就是利用向量组内向量之间 的线性关系进行判定的 。
[1]

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3.3 利用齐次线性方程组的解进行判定 在应用定义法解一个齐次线性方程组, 需由该方程组是否有非零解来判定向量组的 线性相关性。即应用定义法的同时就应用了齐次线性方程组的解进行了判定。 对于各分量都给出的向量组 A : a1 , a2 , ???, am , 若以 A ? (a1, a2 , a3 , ???am ) 为系数矩阵的齐 次线性方程组 Ax ? 0 有非零解向量,则此向量组 A : a1 , a2 , ???, am 是线性相关的。若以

A ? (a1, a2 , a3 , ???am ) 为系数矩阵的齐次线性方程组 Ax ? 0 只有零解向量,则此向量组 A : a1, a2 , ???, am 是线性无关的。例如:
例3.2 :证明向量组 a1 ? (2,1,0,5), a2 ? (7, ?5, 4, ?1), a3 ? (3, ?7, 4, ?11) 线性相关。
[1]

证明:以 a1 , a2 , a3 为系数向量的齐次线性方程组是 x1a1 ? x2a2 ? x3a3 ? 0 ,即
?2 x1 ? 7 x2 ? 3 x3 ? 0 ? x ? 5x ? 7 x ? 0 ? 1 2 3 ? ?4 x2 ? 4 x3 ? 0 ?5 x1 ? x2 ? 11x3 ? 0 ?

利用矩阵的行初等变换将方程组的系数矩阵A化为行阶梯型矩阵,即

3 ? ?2 7 ? 1 ?5 ?7 ? ? ? ? ? ? r1 ? r2 1 ?5 ?7 ? r1 ?r2 ? 2 7 3 ? (( ?2) r1 ? r2 5) A?? ??? ? ???? ? ?0 4 ? ?0 4 ? 4 4 ? ? ? ? ? 5 ?1 ?11? ? 5 ?1 ?11?
? 1 ?5 ?7 ? ? 1 ?5 ?7 ? ? 1 ?5 ?7 ? ? ? ? ? r3 ? r2 ? ? r4 ? r2 ? 0 17 17 ? ??? ? 0 1 1 ? ??? ? 0 1 1 ? ? ? ?0 4 4 ? ?0 1 1 ? ?0 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ? 0 24 24 ? ?0 1 1 ? ?0 0 0 ?
1 r2 17 1 r3 4 1 r4 24

由行阶梯型矩阵可知, R( A) ? 2 ? 3 ,即齐次线性方程组有非零解,所以向量组

a1 , a2 , a3 线性相关。
3.4 利用矩阵的秩判定向量组线性相关性 设向量组 A : a1 , a2 , ???, am 是由 m 个 n 维列向量所组成的向量组, 则向量组 ? 的线性相

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关性可由向量组 ? 所构成的矩阵 A ? (a1, a2 , a3 , ???am ) 的秩的大小来判定。即 (1) (2) 当 R( A) ? m 时,则向量组 A : a1 , a2 , ???, am 是线性无关的。 当 R( A) ? m 时,则向量组 A : a1 , a2 , ???, am 是线性相关的。
[1]

主要结论 : 我们将向量 a1 , a2 , ???, an 已行排成矩阵
T ? a1 ? ? T? ?a ? T A ? ? 2 ? ?? B ? ... ? ? ? aT ? ? n?

( ? 为阶梯型矩阵)

于是有如下结论: 定理3.1
[1]

向量组 a1 , a2 , ???, an 线性相关的充分必要条件是矩阵 ? 中出现零行。

证明:阶梯型矩阵 ? 中出现零行;? 矩阵 AT 的秩 R( AT ) ? n ;? R( A) ? R( AT ) ? n ;? 齐次线性方程组 a1x1 ? a2 x2 ???? ? an xn ? 0 有非零解; ? 向量组 a1 , a2 , ???, an 线性相关。 推论3.1
[1]

向量组 a1 , a2 , ???, an 线性无关的充分必要条件是矩阵B中不出现零行。

对矩阵 AT 进行初等行变换化为阶梯型矩阵B的过程,其实就是对 a1 , a2 , ???, an 进行向 量的线性运算。如果 ? 中出现零行,则向量组 a1 , a2 , ???, an 中一定有某个向量能被其余的
n ? 1 个向量线性表示,从而知向量组 a1 , a2 , ???, an 是线性相关的;反之,如果B中没有零

行,则向量组 a1 , a2 , ???, an 中没有任何一个向量能被其他的 n ? 1 向量线性表示,从而知

a1 , a2 , ???, an 是线性无关的。
例3.3 : 判断向量组 a1 ? (1,3, ?4,7,5), a2 ? (2, 4, ?5,3, 2), a3 ? (4,6, ?7, ?5, ?3) 的线性相关性。
[1]

解:将 a1 , a2 , a3 以行排成矩阵
5? ? a1 ? ? 1 3 ?4 7 5 ? ? 1 3 ?4 7 ? ? ? ? ? ? A ? ? a2 ? ? ? 2 4 ?5 3 2 ? ? ? 0 ?2 3 ?11 ?8 ? ? a ? ? 4 6 ?7 ?5 ?3 ? ? 0 0 0 0 1? ? ? ? ? 3? ?

矩阵A化为阶梯型矩阵后没有出现零行, a1 , a2 , a3 中每个向量都不能被剩下的向量线性 则
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表示,故由推论知,向量组 a1 , a2 , a3 是线性无关的。 我们注意到,定理中的矩阵 AT 在初等行变换的过程中,不论是否化成了阶梯型矩 阵,一旦出现零行,就可以断定 a1 , a2 , ???, an 中必有一个向量能被其余剩下的n-1个向量线 性表示,从而知向量组 a1 , a2 , ???, an 线性相关。 例3.4 :判定向量组
[1]

a1 ? (1,3, ?2,1,5), a2 ? (?2, ?2, 4,6, ?9), a3 ? (1, ?1, ?2, ?7, 4), a4 ? (1, ?3,5,9,5) 的线性相关性。
解:将 a1 , a2 , a3 , a4 以行排成矩阵
3 ?2 1 5 ? ? 1 3 ?2 ? a1 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? a2 ? ? ? ?2 ?2 4 6 ?9 ? ? ? 0 4 0 A? ? a3 ? ? 1 ?1 ?2 ?7 4 ? ? 0 0 0 ? ? ? ? ? ?a ? 5 ? ? 1 ?3 5 ? 4 ? ? 1 ?3 5 9 1 5? ? 8 1? 0 0? ? 9 5?

所以,矩阵A经过初等行变换后出现了零行,则 a1 , a2 , a3 , a4 中必有一向量可以由其余的 向量线性表示,故向量组 a1 , a2 , a3 , a4 是线性相关的。 推论3.2 如果向量组 a1 , a2 , ???, an 中含有零向量,则向量组 a1 , a2 , ???, an 是线性相关的。 推论3.3 如果向量组 a1 , a2 , ???, an 中有个部分组 ak1 , ak2 , ???, akm ,(其中

ki ??1,2, ???, n?, i ? 1,2, ???, m, m ? n )线性相关,则向量组 a1 , a2 , ???, an 也一定线性相关。
例3.5:设 a1 ? (1,1,1)T , a2 ? (1, 2,3)T , a3 ? (1,3, t )T ,问当 t 为何值时,向量组 a1 , a2 , a3 线性相 关,并将 a3 表示为 a1 和 a2 的线性组合。 解:利用矩阵的秩有
1 ? ?1 1 1 ? ? 1 1 1 ? ? 1 1 ? ? ? ? ? ? A ? ? a1, a2 , a3 ? ? ?1 2 3 ? ? ? 0 1 2 ? ? ? 0 1 2 ? ?1 3 t ? ? 0 2 t ? 1? ? 0 0 t ? 5 ? ? ? ? ? ? ?

可见,当 t ? 5 时,向量组 a1 , a2 , a3 线性相关,并且有
? 1 1 1 ? ? 1 0 ?1? ? ? ? ? A ? ? 0 1 2 ? ? ? 0 1 2 ? ,所以 a3 ? ?a1 ? 2a2 ?0 0 0? ?0 0 0 ? ? ? ? ?

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利用矩阵的秩与利用齐次线性方程组的解进行判定的出发点不同, 但实质上是一样 的,都是要利用矩阵的初等行变换将相应的系数矩阵化简为行阶梯形矩阵,从而求出向 量组的秩,即系数矩阵的秩,然后再作出判定。 3.5 利用行列式的值来判定向量组线性相关性 若向量组 A : a1 , a2 , ???, am 是由m个m维列向量所组成的向量组,且向量组A所构成的 矩阵 A ? (a1, a2 , a3 , ???am ) ,即A为m阶方阵,则 (1)当 A ? 0 时,则向量组 A : a1 , a2 , ???, am 是线性相关的。 (2)当 A ? 0 时,则向量组 A : a1 , a2 , ???, am 是线性无关的。 若向量组 A : a1 , a2 , ???, am 的个数m与维数n不同时,则 (1)当 m ? n 时,则向量组 A : a1 , a2 , ???, am 是线性相关的。 (2)当 m ? n 时,转化为上述来进行判定,即选取 m 个向量组成的 m 维向量组,若此 m 维 向量组是线性相关的,则添加分量后,得到的向量组也是线性相关的。
1
[1]

0

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例3.6 :已知 a1 ? 1 , a2 ? 2 , a3 ? 4 ,试讨论 a1 , a2 , a3 的线性相关性。 1 5 7
1 0 2

证明:令 A ? (a1 , a2 , a3 ) ,则 A ? 1 2 4 ? 0 ,所以 a1 , a2 , a3 线性相关。 1 5 7 行列式值的判定实质上是根据克莱姆法则判定以向量组作为系数向量的齐次线性 方程组是否有非零解,然后再对向量组的线性相关性作出判定,所以能应用行列式值进 行判定的向量组, 也可以应用矩阵的秩和齐次线性方程组是否有非零解的方法来进行判 定。 例3.7 :已知向量组 A : a1 , a2 , a3 是线性无关的,且有 b1 ? a1 ? a2 , b2 ? a2 ? a3 , b3 ? a3 ? a1 ,
[1]

证明向量组 b1 , b2 , b3 线性无关。 证明一: 设有 x1 , x2 , x3 , 使得 b1 x1 ? b2 x2 ? b3 x3 ? 0 , x1a1 a2 )x2a2 a3? x3?3 (a1 ? ) ? 即 ( ? ? ( )a 0 整理为 ( x1 ? x3 )a1 ? ( x1 ? x2 )a2 ? ( x2 ? x3 )a3 ? 0 ,

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? x1 ? x3 ? 0 ? 因为 a1 , a2 , a3 是线性无关的,所以 ? x1 ? x2 ? 0 ,由于此方程组的系数行列式 ?x ? x ? 0 ? 2 3 1 0 1 1 1 0 ? 2 ? 0 ,故方程组只有零解 x1 ? x2 ? x3 ? 0 ,所以向量组 b1 , b2 , b3 线性无关。 0 1 1

证明二:将已知的三个向量等式写成一个矩阵等式
?1 0 1? ? ? (b1 , b2 , b3 ) ? ( a1 , a2 , a3 ) ? 1 1 0 ? ?0 1 1? ? ?

记作 B ? AK 。设 Bx ? 0 ,以 B ? AK 代入 A( Kx) ? 0 。因为矩阵A的列向量组线性无关, 所以可推知 Kx ? 0 。又因为 K ? 2 ? 0 ,知方程 Kx ? 0 只有零解 x ? 0 ,所以矩阵B的列 向量组 b1 , b2 , b3 线性无关。
?1 0 1? ? ? 证明三:将已知条件可以写为 (b1 , b2 , b3 ) ? ( a1 , a2 , a3 ) ? 1 1 0 ? ?0 1 1? ? ?
) 3 记做 B ? AK , 因为 k ? 0 , 所以k可逆, 由矩阵的秩的性质可知 R( A) ? R( B) , R( A ? , 且

由此 R( B) ? 3 ,所以B的三个列向量线性无关。
? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? ??? ? ? n ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 2 1 3 n 例3.8:设 ? ,证明向量组 a1 , a2 , ???, an 与 ?1 , ?2 , ???, ?n 等价。 ???? ? ? n ? ?1 ? ? 2 ? ??? ? ? n ?1 ?

? 0 1 ??? 1 ? ? ? ? 1 0 ??? 1 ? ,设为 ? ? ?? 证明: (?1 , ?2 , ???, ?n ) = (a1 , a2 , ???, an ) ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 1 1 ??? 0 ?
因为 k ? (n ?1)(?1)n?1 ? 0 ,故 ? 是可逆矩阵, ? ? ?? ?1 ,故A,B等价。 例3.9:已知3阶矩阵 ? 与三维列向量 x 满足 ?3 x ? 3?x ? ?2 x ,且向量组 x, ?x, ?2 x 线性无 关。 (1)记 ? ? ( x, ?x, ?2 x) ,求三阶矩阵 ? ,使 ?? ? ?? 。
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(2)求 ? 的值。 解:(1)因为 ?? ? (?x, ?2 x, ?3 x) ? (?x, ?2 x,3?x ? ?2 x)
?0 0 0 ? ?0 0 0 ? ? ? ? ? ? ( x, ?x, ? 2 x) ? 1 0 3 ? ? ?? ,然后可以得到 ? ? ? 1 0 3 ? ,使得 ?? ? ?? 。 ? 0 1 ?1 ? ? 0 1 ?1? ? ? ? ?

(2)因为得到了 ?? ? ?? ,且 ? ? ( x, ?x, ? 2x) ,而向量组 x, ?x, ?2 x 是线性无关的。故P 是可逆的。 ? ? ??? ?1 ,所以 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? 0

3.6 反证法 在有些题目中,直接证明结论常常比较困难,而从结论的反面入手却很容易推出一 些与已知条件或已知的定义,定理,公理相悖的结果,从而结论的反面不成立,即结论 成立。此方法是数学中常用的证明方法,欲证命题真,先假设命题假,导出矛盾,从而 原命题得证。 例3.10:设向量组 A : a1 , a2 , ???, am 中任一向量 ai 不是它前面 i ? 1 个向量的线性组合,且

ai ? 0 ,证明向量组 A : a1, a2 , ???, am 是线性无关的。
证明:(反证法)假设向量组 A : a1 , a2 , ???, am 线性相关,则存在不全为零的 m 个数

k1 , k2 , k3 , ???km ,使得 k1a1 ? k2a2 ???? ? kmam ? 0
由此可知, km ? 0 ,否则由上式可得 am ? ?
k k1 k a1 ? 2 a2 ??? ? m?1 am?1 km km km

即 am 可由它前面 m ? 1 个向量线性表示,这与题设矛盾,因此 km ? 0

k1a1 ? k2 a2 ? ??? ? km?1am?1 ? 0
类似于上面的证明,同理可得 km?1 ? km?2 ? ??? ? k3 ? k2 ? 0 ,最后得到 k1a1 ? 0 因为 ai ? 0 ,所以 k1 ? 0 ,但这又与 k1 , k2 , k3 , ???km 不全为0相矛盾。 因此向量组 A : a1 , a2 , ???, am 是线性无关的。

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3.7 利用向量组在线性空间中象的线性关系进行判定 线性空间 V 中向量组 a1 , a2 , a3 ??? ar 线性相关的充要条件是它们的象

? (a1 ),? (a2 ),? (a3 ) ???? (ar ) 线性相关。
因为由 k1a1 ? k2 a2 ? ??? ? kr ar ? 0 可得 k1? (a1 ) ? k2? (a2 ) ???? ? kr? (ar ) ? 0 反过来,由 k1? (a1 ) ? k2? (a2 ) ???? ? kr? (ar ) ? 0 可得 ? (k1a1 ? k2a2 ? ??? ? kr ar ) ? 0 。 因为 ? 是 1 ? 1 的,所以只有 ? (0) ? 0 , 所以 k1a1 ? k2 a2 ? ??? ? kr ar ? 0 。 3.8 利用极大线性无关组判定向量组的线性相关性 3.8.1 引言 在线性空间中,极大线性无关组的概念是一个重要的概念,求极大线性无关组也就 成为一个重要内容之一。 目前求极大线性无关组的方法归纳起来有所谓的加法及矩阵的 初等变换法。然而如果我们按添加法求极大无关组计算量是比较大的,故一般不采用此 法。在按矩阵的初等变换法来求时,如果对变换不加限制则将导致错误。 事实上,我们都知道对矩阵进行一次行换法变换,相当于对它连续进行几次行消法 变换和倍法变换。因此在对矩阵直接作行消法变换的过程中,其结果可能对矩阵作了行 的换法变换 。 例3.11 : 对下面的矩阵 ? 施行一系列的行消法变换(将第二行加到第四行,再将第四行的 -1倍加到第二行),得矩阵 ? :
[2] [2]

0? ?1 0 0 0? ?1 0 0 0? ? ? ? ? ? 0? ?0 1 0 0? ?0 0 0 0? ? ? ?B 0? ?0 0 1 0? ?0 0 1 0? ? ? ? ? ? 0? ?0 1 0 0? ?0 1 0 0? 在此变换中,虽然没有直接交换矩阵A中的第一、二行位置,但可明显的看到,在 最后的结果 ? 中,已将第一、二行交换了位置。因此,如果因为矩阵 ? 的行向量组的极 大无关组由第一行、第三行与第四行的行向量构成,就得出结论说 ? 的行向量组的极大 0 1 0 0 0 0 1 0
线性无关组也对应地为第一行、第三行与第四行构成的向量组 a1 , a3 , a4 ,这显然是错误 的。 上例说明,在利用矩阵求极大线性无关组时,如果对行的变换不加限制或仅仅是避 免直接作行的换法变换, 则不能断定 ? 中的极大线性无关组就是对应于矩阵 ? 的极大无 关组。其实,这个问题的解决,只要对行变换作一点限制即可。
12

?1 ? 0 A?? ?0 ? ?0

3.8.2 预备知识 以 V ( ? , n) 表示数域P上一个n维线性空间, ? n ? ?? x1 , x2 , ??? xn ? xi ? ? ? 。设 a1 , a2 , ???, an 是 V ( ? , n) 的基, ?a ?V ( ? , n) ,则 a 可由 a1 , a2 , ???, an 线性表示:

a ? x1a1 ? x2a2 ???? ? xn an
现作一个从 V ( ? , n) 到 ? n 的映射: ? : V ( ? , n) ? ? n , a ? ( x1, x2 , ???, xn ) , 易证,上述映射 ? 是一个同构映射。 由于同构映射保持线性关系,故对于向量组 V ( ? , n) 中的向量组 a1 , a2 , ???as ,其部分 组 ai1 , ai2 , ???, air 是极大线性无关组的充要条件是它们在 ? n 中的象 ? (ai1 ),? (ai2 ), ???? (air ) 是 极大无关组。所以,求线性空间 V ( ? , n) 中的极大无关组就可以转化为求 ? n 中的极大无 关组。故我们只须考虑在 ? n 中求极大无关组的问题。 定义3.1 一个矩阵中每个非零行的首元素(指该行左起第一个非零元素)出现在上一行 首元素的右边,同时元素全为零的行在下面,这样的矩阵称为阶梯形矩阵。 3.8.3 主要结果
[2]

定理3.2

[2]

设 ?1 ,?2 , ????s 与 ?1, ?2 , ????s 是 ? n 中的两个向量组,其中

? ?1 ? ?1 ?? ? ? ? k ? 2 21 1 ? 2 ???? ??? ??? ? ? ? ? ? ? k ? ? k ? ? ??? ? k ? l l1 1 l2 2 l ( l ?1) l ?1 ? l ???? ??? ??? ? ? ? s ? ? s ? ks1?1 ? ks 2? 2 ? ???ks ( s ?1)? s ?1 ?

(3-1)

kij ? ?, i ? 2,3, ???, s, l ? 1, 2, ???, s ?1. 如果 ?i1 ? 0, ?i2 ? 0, ????ir ? 0, 则在向量组 ?1, ?2 , ????s 中去
掉零向量后剩余的向量 ? j1 , ? j2 , ???, ? js?r 与相应的向量 ? j1 ,? j2 , ???,? js?r 等价。 证明:1)显然 ? j1 , ? j2 , ???, ? js?r 与 ?1, ?2 , ????s 等价。 2)由(3-1)式知 ?1 可由 ?1 表示, ? 2 可由 ?1 , ?2 线性表示,依此类推知, ? k 可由

?1 , ?2 , ????k 线性表示( 2 ? k ? s ),所以 ?1, ?2 , ????s 与 ?1,?2 , ????s 等价。

13

3)因为 ?i1 ? 0, ?i2 ? 0, ????ir ? 0, 所以由(3-1)式有下式

?? i1 ? ?? i2 ? ???? ?? ? ir

? ?ki11?1 ? ki1 2? 2 ? ??? ? ki1 (i1 ?1)?i1 ?1 ? ?ki2 1?1 ? ki2 2? 2 ? ??? ? ki2 (i2 ?1)? i2 ?1 ??? ??? ? ?kir 1?1 ? kir 2? 2 ? ??? ? kir (ir ?1)? ir ?1

上式说明向量组 ?1 , ?2 , ???, ? s 中的部分组 ?i1 ,?i2 , ???,?ir 都可以由它前面的向量线性表 示,所以 ?1 , ?2 , ???, ? s 可由 ? j1 ,? j2 , ???,? js?r 线性表示,于是 ?1 , ?2 , ???, ? s 与 ? j1 ,? j2 , ???,? js?r 等 价。由等价的传递性可知, ? j1 , ? j2 , ???, ? js?r 与 ? j1 ,? j2 , ???,? js?r 等价。 定义3.2 将矩阵某一行的一个倍数加到该行下面的另一行,称这种变换为下消法变 换。 由定义3.2,定理3.3可表述为: 定理3.3 若对一个矩阵 ? 施行若干次的下消法变换化为矩阵 ? ,则 ? 的所有非零行向 量与 ? 中对应位置的行向量等价。 特别注:若 ? 的非零行构成极大线性无关组,那么对应A中行也构成极大线性无关组。 定义3.3 如果一个矩阵 ? 只需经若干次换行变换就成为阶梯形矩阵,则称 ? 为拟阶梯 形矩阵。 定理3.4 任意一个矩阵必定可以用下消法变换为拟阶梯形矩阵。
[2] [2] [2] [2]

? a11 ? a21 证明:令 A ? ? ? ??? ? ? a s1

a12 a22 ??? as 2

??? a1n ? ? ??? a2 n ? ??? ??? ? ? ??? asn ?

设 ? 的第一列元素 ?11 , ? 21 , ???,? s1 中第一个不为零的元素为 ai11 则可用下消法变换 使 ? 的第一列元素中位于 ai11 下方的元素统统变为零。这时 ? 变成如下的矩阵
? 0 ? ? ??? ? 0 ? A ? ? ai11 ? ? 0 ? ??? ? ? 0 ? a12 ??? a( i1 ?1)2 ai1 2 a
(1) ( i1 ?1)2

a13 ??? a( i1 ?1)3 ai1 3 a
(1) ( i1 ?1)3

??? ??? ??? ??? ??? ??? ???

??? a
(1) s2

??? a
(1) s3

? ? ??? ? a( i1 ?1) n ? ? ai1n ? ? A(1) ? a (1) ( i1 ?1) n ? ??? ? ? a (1) sn ? ? a1n

若 ? 的第一列元素全为零,则仿上法考虑第二列元素。 对于矩阵 A (1) ,考虑第2列元素。设自上而下第一个不为零的元素为 ai2 2 。若 i1 ? i2 ,
14

则可用下消法变换将 ai2 2 下方的元素统统变为零。若在第二列元素中除了第 i1 行的元素 外全为零则考虑下一列元素。这时 A (1) 变成如下的形式:
? 0 ? ? ??? ? 0 ? ? 0 ? ? 0 (1) A ? ? ??? ? ? 0 ?a ? i11 ? 0 ? ? ??? ? 0 ? 0 ??? 0 ai2 2 0 ??? 0 0 0 ??? 0 ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? a1n ? ? 0 0 ??? * ? ? ? ? ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ? ai2 ?1n ? ? 0 0 ??? * ? ? ? ? ai2 n ? ? ai2 1 * ??? * ? ? ? 0 0 ??? * ? ??? ? ? ? ??? ? 或 A(1) ? ? ??? ??? ??? * ? ? ? ? ai1 ?1n ? ? 0 0 ??? * ? ? 0 0 ??? * ? ai1n ? ? ? ? * ? ? 0 0 ??? * ? ? ? ??? ??? ??? ??? ? ??? ? ? ? 0 0 ??? * ? ? ? ? * ? ?

依此类推,考虑第三列,第四列, ??? ,第 n 列。设在第 n 列中自上而下第一个不为 零且又不位于 i1 行, i2 行, ??? , in ?1 的元素为 ain n ,则可用下消法变换将位于第 n 列的 ain n 下方的元素全部变为零。这时的矩阵变为

? 0 ? ? ??? ? 0 ? ? 0 ? 0 ? A ? ? ??? ? ? 0 ?a ? i11 ? 0 ? ? ??? ? 0 ?

0 ??? 0 ai2 2 0 ??? 0 0 0 ??? 0

??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ???

0 ? ? ??? ? 0 ? ? * ? ??? ? ? ??? ? ? ain n ? 0 ? ? 0 ? ? ??? ? 0 ? ?

(3-2)

如果在此列中除去 i1 , i2 ,??? , in ?1 行的元素以外,其余的全为零则终止作变换。这 时的矩阵为如下的形式:

15

? 0 ? ? ??? ? 0 ? ? ai11 ? ? 0 (1) A ? ? ??? ? ? 0 ? 0 ? ? 0 ? ??? ? ? 0 ?

0 ??? ai2 2 0 0 ??? 0 0 0 ??? 0

??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ???

0? ? ??? ? 0? ? *? ? 0? 0? ? 0? 0? ? 0? ??? ? ? 0? ?

(3-3)

无论(3-2)或(3-3)都是拟阶梯型的矩阵。因为只要将 ai11 , ai2 2 , ??? , ain n 所在行的元 素分别移至第一行,第二行, ??? ,第 n 行,所得矩阵就是阶梯形矩阵。 由此,我们得到下面的重要定理: 定理3.5 若将矩阵 ? 作下消法变换化为一个拟阶梯形矩阵B,则 ? 中对应于 ? 的非零 行就 ? 的极大无关组。 证明:因为在拟阶梯形的矩阵 ? 中非零的行即为极大线性无关组,由定理2的特别注知B 的极大无关组对应的就是 ? 的极大无关组。
[2]

例3.12

[2]

在 ? 5 中,求向量组 ?1 ? (0,0, 2,0,1), ?2 ? (1,5,0,6, 2),

?3 ? (2,10, 4,11,0), ?4 ? (?1, ?5, 2, ?1,1), ?5 ? (3,15,0,14,8) 的极大无关组。
解:以该向量组为行作成如下的一个矩阵 ? ,并对A作下消法变换:第二行的-2倍加到 第三行;第二行加到第四行;第二行的-3倍加到第五行 ? 0 0 2 0 1? ?0 0 2 0 1 ? ?0 0 2 0 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 5 0 6 2? ?1 5 0 6 2 ? ?1 5 0 6 2 ? A ? ? 2 10 4 11 0 ? ? ? 0 0 4 ?1 ?4 ? ? ? 0 0 0 ?1 ?6 ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ?5 2 ? 1 1 ? ? 0 0 2 5 3 ? ? 0 0 0 5 2 ? ? 3 15 0 14 8 ? ? 0 0 0 ?4 2 ? ? 0 0 0 ?4 2 ? ? ? ? ? ? ?
1 ? 1 ? ?0 0 2 0 ? ? ? 5 0 6 2 ? 2 ? ?1 5 6 0 0 0 ?1 ?6 ? ? ? 0 0 0 ?1 ?6 ? ? ? ? ? ? 0 0 0 ?28 ? ? 0 0 0 0 ?28 ? ?0 0 0 0 0 0 0 ?26 ? 0 ? ? ? ? 矩阵 ? 是一个拟阶梯形矩阵。 因为只需要将 ? 的第二行换至第一行,第一行换至 第二行,其余的行不变,则得下面的阶梯形矩阵 0 2 0 ?0 ? ?1 ? ?0 ? ?0 ?0 ?

16

2 ? ?1 5 6 0 ? ? 1 ? ?0 0 2 0 ? 0 0 0 ?1 ?6 ? ? C ? ? ? 0 0 0 0 ?28 ? ?0 0 0 0 0 ? ? ? 最后一个矩阵 C 是一个阶梯形的矩阵,它是由矩阵 ? 经适当换行变换而得。按定义 ? 是一个拟阶梯形矩阵。由定理5知,相应于 ? 的非零行, ? 的行为第一行,第二行,

第三行,第四行。故所求极大线性无关组为 ?1 , ? 2 , ?3 , ? 4 。 3.9 方程组法 方程组法就是将向量组的线性相关性问题转化为齐次线性方程组的有无非零解的 问题。 对于各分量都给出的向量组 ?1 , ?2 , ???, ? s 线性相关的充要条件是以 ?1 , ?2 , ???, ? s 的列 向量为系数矩阵的齐次线性方程组有非零解;若齐次线性方程组只有零解,则向量组线 性无关。 例3.13
[7]

讨论向量组 ?1 ? (2,1, ?1, ?1), ?2 ? (0,3, ?2,0), ?3 ? (2, 4,3, ?1) 的线性相关性。

?2k1 ? 2k3 ? 0 ?k ? 3k ? 4k ? 0 ? 1 2 3 解:以 ?1 , ? 2 , ?3 为系数的齐次线性方程组 ? ??k1 ? 2k2 ? 3k3 ? 0 ??k1 ? k3 ? 0 ?

解得之,k1 ? ?k3 , k2 ? ?k3 ,即 k1 ? k2 ?? 1k3 ? 1 是方程组的一组非零解,故 ?1 , ? 2 , ?3 线性 , 相关。 例3.14
[7]

论 ?1 ? (1,1,1),?2 ? (1, 2,3),?3 ? (1,3, t ) 。

(1) 当 t 为何值时,向量组 ?1 , ? 2 , ?3 线性无关? (2) 当 t 为何值时,向量组 ?1 , ? 2 , ?3 线性相关? (3) 当向量组 ?1 , ? 2 , ?3 线性相关性,将 ?3 表示为 ?1 和 ? 2 的线性组合。 解:设有实数 x1 , x2 , x3 使 x1?1 ? x2?2 ? x3?3 ? 0 ,则得方程组
1 1 1 ? x1 ? x2 ? x3 ? 0 ? ? x1 ? 2 x2 ? 3 x3 ? 0 ,其系数行列式 D ? 1 2 3 ? t ? 5 ? x ? 3 x ? tx ? 0 1 3 t 2 3 ? 1
17

(1)当 t ? 5 时,D ? 0 ,方程组只有零解,x1 ? x2 ? x3 ? 0 ,这时向量组 ?1 , ? 2 , ?3 线性无关。 (2)当 t ? 5 时, D ? 0 ,方程组有非零解,即存在不全为0的数 x1 , x2 , x3 ,使

x1?1 ? x2?2 ? x3?3 ? 0 ,此时 ?1 , ? 2 , ?3 线性相关。
?1 1 1 ? ? 1 0 ?1? ? ? ? ? ?x ? x ? 0 (3)当 t ? 5 时,由 ?1 2 3 ? ? ? 0 1 2 ? 有 ? 1 3 ?1 3 5 ? ? 0 0 0 ? ? x2 ? 2 x3 ? 0 ? ? ? ?

令 x3 ? 1 得 x1 ? 1 , x2 ? 2 ,因此有 ?1 ? 2?2 ? ?3 ? 0 ,从而 ?3 ? ?1 ? 2?2 。 3.10 数学归纳法 此方法,即数学中常用的数学归纳法。 例3.15
[4]

设线性无关的向量组 ? : ?1 , ? 2 , ???, ? m 可由向量组 ? : ?1 , ?2 , ???, ?t 线性表示,且

m ? t ,则可从 ? 中选出 (t ? m) 个向量组 ? j1 , ? j 2 , ???, ? j (t ?m) ,使得向量组

C : ?1,?2 , ???,?m , ? j1, ? j 2 , ???, ? j (t ?m) 与向量组 ? 等价。

证明:用数学归纳法 (1) 当 m ? 1 时,有 m ? t ,由于 ?1 ? ? k j ? j ,且 ?1 ? 0 ,则 k1 , k2 , ???, kt 不全为零,
j ?1 t

在 ? 中设 k1 ? 0 , ?1 ?

k k 1 ?1 ? 2 ?2 ? ??? ? t ?t ,故 ?1 , ?1, ?2 , ??? ? t 与 ?1 , ?2 , ???, ?t , k1 k1 k1

(2)

等价。 设 m ? s ? 1 时结论成立,推证 m ? s 时结论成立。

由于 ?1 ,?2 , ???, ? s ?1 , ?1 , ?2 , ???, ?t 与向量组 ? 等价,而 ? s 又可由向量组 ?1 , ?2 , ???, ?t 线性 表示,故有 ?s ? h1?1 ? h2?2 ???? ? hs?1?s?1 ? hs?s ???? ? ht ?t ,而题设 ?1 , ?2 , ???, ? s 是线性无关 的,故有 hs , hs ?1 , ???, ht 不全为零,设 hs ? 0 ,则

?s ? ?

h h h h1 1 ?1 ? s ?1 ? s ?1 ? ? s ? s ?1 ? s ?1 ??? ? t ?t hs hs hs hs hs

因此,?1 ,?2 , ???,? s , ?t 与 ?1 , ?2 , ???, ? s ?1 , ?s , ???, ?t 等价。由上述分析可知,当 s ? t , m ? s 时结论成立。由数学归纳法知命题成立。
18

3.11 有限维向量空间中向量组的线性关系的判别法 定义3.4
[12]

设 ??1,?2 , ???,?n ? 是数域上 n 维向量空间 V 的一组基, ?1 , ?2 , ???, ?m 是 V 中任意

m 个向量,而 ?i 在基 ??1,?2 , ???,?n ? 中的坐标是 ? i ? (?i1,?i 2 , ???,?in )i ? 1, 2, ???, m
? a11 ? a12 令A?? ? ??? ? ? a1n a21 a22 ??? a2 n ??? am1 ? ? ??? am 2 ? 则把 ? 叫做向量组 ?1 , ?2 , ???, ?m 在基 ??1,?2 , ???,?n ? 下的坐标矩 ??? ??? ? ? ??? amn ?

阵,显然此定义下的坐标矩阵是唯一的。 定理3.6
[12]

设 ??1,?2 , ???,?n ? 是数域 F 上 n 维( n ? 0 )向量空间 V 上的一个基, ?1 , ?2 , ???, ?m

是 V 中的任意 m 个向量,令 A ? (aij )? ?n 是向量 ?1 , ?2 , ???, ?m 在基 ??1,?2 , ???,?n ? 下的坐标矩 m 阵,则 ?1 , ?2 , ???, ?m 线性相关的充要条件是秩 A ? m 。 证明:构造 V 到 F n 的一个映射 f , ?? ? ? xi , ?i ?V ,有 f (? ) ? ( x1, x2 , ???, xn )
i ?1 n

容易验证 f 是 V 到 F n 的一个同构映射,于是 ?1 , ?2 , ???, ?m 线性相关的充要条件是

f (?1 ), f (?2 ), ???, f (?m ) 线性相关。由定理5知, f (?1 ), f (?2 ), ???, f (?m ) 线性相关的充要条
件是它们的秩 ? m 。 定理3.7 n 维向量空间 V 中向量的线性关系不依赖于向量组的坐标矩阵的选取。
[12]

证明:设 ??1,?2 , ???,?n ? 和 ??1 , ?2 , ???, ?n ?都是 V 的基,由基 ??1,?2 , ???,?n ? 到 ??1 , ?2 , ???, ?n ? 的过渡矩阵是 ? 。设 ? 1 , ? 2 , ???, ? m 是 V 中任意 m 个向量,它在基 ??1,?2 , ???,?n ? 和

??1, ?2 , ???, ?n ?下的坐标矩阵分别是 A ? (aij )?m?n 和 B ? (bij )?m?n
由定理5知,要证定理6只需证秩 ? =秩 ? 。 由题设条件可以得到如下等式:

(?1 , ?2 , ???, ?n ) ? (?1, ?2 , ???, ?n )T (? 1 , ? 2 , ???, ? m ) ? (?1, ?2 , ???, ?n ) A (? 1 , ? 2 , ???, ? m ) ? (?1, ?2 , ???, ?n ) B
把(3-4)代入(3-6)中, (? 1, ? 2 , ???, ? m ) ? (?1, ?2 , ???, ?n ) B ? (?1,?2 , ???,?n )TB
19

(3-4) (3-5) (3-6) (3-7)

比较(3-5)和(3-7)得: (? 1, ? 2 , ???, ? m ) ? (?1,?2 , ???,?n ) A ? (?1,?2 , ???,? n )TB 于是 ? 和 ?? 都是向量组 ? 1 , ? 2 , ???, ? m 在基 ??1,?2 , ???,?n ? 下的坐标矩阵,由坐标矩阵的唯 一性可得: ? ? ?? 因为T是可逆矩阵,于是秩 ? =秩( ?? )=秩 ? 。

20

第四章 向量组线性相关的具体应用
4.1 引言 曲面造型是CAD/CAM、CG、计算机动画、计算机仿真、计算机可视化等众多领域 的一项重要内容, 主要研究在计算机图像系统环境下对曲面的表示、 设计、 显示和分析。 经过30多年的发展,它已形成了以有理B样条曲面参数化特征设计和隐式代数曲面表示 这两类方法为主体,以插值、拟合、逼近这三种手段为骨架的几何理论体系。 在80年代后期,参数曲面是CAD/CAM 曲面的主要表示方法,尤其形成了NURBS 理论,使它成为工业产品几何形状定义的唯一数学描述方法。但随着计算机设计的几何 对象不断朝着多样化、特殊化、拓扑结构复杂化方向的发展,参数曲面的局限性也越来 越明显。 通常用参数曲面构造复杂拓扑结构的物体表面时,需要对曲面片进行剪裁或直接在 非规则的四边形网格上构造曲面片,无论哪种情况都要考虑片与片之间的光滑拼接,这 是很困难的。对于影视动画领域的活动模型,需要采用更加简便的方法来构造任意拓扑 结构曲面。 细分方法正是在这种情况下迅速发展起来,其基本思想是:采用一定的细分规则, 在给定的初始网格中渐进地插入新的顶点,从而不断细化出新的网格。重复运用细分规 则,在极限时,该网格收敛于一个光滑曲面。细分曲面就是由初始控制网格按照一定的 细分规则反复迭代而得到的极限曲面, 它具有以下优点: 适应任意拓扑结构、 仿射不变、 算法简洁通用高效、应用规模可大可小。 正是由于细分曲面有着传统参数曲面所不具备的优点,现已广泛应用于计算机辅助 几何设计、计算机动画造型及商业造型软件等领域。Loop细分网格具有局部性质,如果 移动初始网格上的一个顶点,在最终细分网格或细分曲面上,只会在邻近该顶点的有限 区域内发生改变。现有的细分模式主要分为插值和逼近两类,Doo-Sabin,Catmull-Clark 和Loop模式属于逼近模式,Kobbelt、 3 、蝶型模式以及改进的蝶型模式属于插值模式。 然而,用以上所有细分模式对模型进行细分的过程中,如:Loop方法的细分规则是 一分为四,每一层都是全局均匀细分的,随着细分次数的增多,网格的面片数呈指数级 增长。而在实际应用中通常只需对不平坦或曲率较高的区域进行细分,使这部分区域更 加光滑或者达到用户需要的曲面形态。对一块原来已光滑的区域,再细分也不会得到明 显的效果,只会增加数据量;当模型较大时,过多细分不但会给计算机的处理能力增加 负担,而且还会影响模型的处理速度,使模型难以控制并影响后续操作。解决这类问题 的办法是在细分某一层时,根据实际需要进行误差检测,在满足精度的范围内确定哪些 区域不再参与细分,尽可能以相对较少的面片来逼近目标曲面,这就是自适应细分所要 达到的目的。 所以根据线性代数中的判别准则:当空间3个向量线性相关时,则这3个向量在同一 平面上, 提出了一种新的Loop自适应细分方法。它利用顶点的局部信息来衡量该顶点 的1邻域是否平坦进而决定该区域是否参与细分。向量线性相关的充要条件是三者组成 的行列式的值为零。然而,在曲面模型上,三个紧邻边组成的向量不可能严格地落在同 一个平面上, 通过测试过同一顶点的各组三条紧邻边所构成的三维向量的行列式的平均
21

值是否趋近于零,来判断此顶点的1邻域是否平坦,从而断定此顶点是否参与细分。在 此,可用微分几何中向量函数的极限来证明该理论成立。该算法的速度比传统顶点平坦 度算法的速度有所提高。 4.2 Loop 细分模式 1987年Utah大学的Loop提出一种基于三角网格的面分裂细分模式, 所生成的曲面是 盒式样条曲面的推广。通过对非三角网格进行三角化处理,Loop模式也可以应用于任意 多边形网格。它是一种逼近的细分模式,所生成的曲面在正则曲面上是C2连续,在奇异 点处是C1连续。Loop模式采用1-4三角形分裂。 为了说明Loop细分方法所涉及的变量和名词,在这里统一做出以下规定 : 奇点:当前网格上新插入的点; 偶点:从前一层网格上继承下来的点; 价: 网格中每一顶点连接的边数; 正则点:网格上价为6和边界上价为4的点;否则为奇异点; 正则网格:没有奇异点的网格; 模板:计算顶点位置时各顶点加权值的图示表; 顶点1—邻域:由该顶点的紧邻三角形组成的三角网格集; 大写的字母V并带有数字下标的都表示顶点, 小写字母 n 并带数字下标的表示向量,
[13]

小写字母 x 、 y 、z 并带数字下标的表示顶点3个坐标, 大写字母N表示顶点法向量,k 表 示顶点的价。 Loop细分模式各种顶点的模板如图4-1所示:

图4-1 loop细分模式模板示意图

内部奇点V的计算如下:

内部偶点V的计算如下:

22

? 3v ? 3v1 ? v2 ? v3 ? V ?? 0 ? 8 ? ?

V ? (1 ? k ? k )V ? ? k ?Vi
i ?0

k ?1

设V的邻接顶点 V0 , ???,Vk ?1 ,k是顶点V的价, ? 的定义如下:
?3 (k ? 3) ?16 ? ? ?? ? 1 ( 5 ? ( 3 ? 1 cos 2? ) 2 ) ?k 8 8 4 k ?

( k ? 3)

边界上的奇点和偶点,可用图1中(c)、(d)的模板来计算。 4.3 自适应细分曲面 自适应细分只选那些不光滑和曲率相对较高的曲面区域进行细分。到目前为止,已 经有人对此做了大量研究,提出了很多自适应方法,常见的有:按网格面间夹角(或网 格面法向间的夹角),以二面角方法最多;按控制顶点V与它的极限位置 V ? 间的距离, 其中包括欧氏距离准则、顶点极限距离准则、边点极限距离准则、1邻域顶点到它的极 限顶点法平面距离准则等;顶点曲率准则;顶点平坦度准则 。 4.3.1 向量相关性的几何意义
[13]

在三维空间中,一个非零向量是线性无关的。设两个非零向量 ?1,?2 线性相关,那 么 ?1 可以由 ? 2 线性表示, ?1 ? k? 2 (k是不为零的常数), 即 则这两个向量在同一条直线上; 否则它们线性无关,那么这两个向量不在过原点的同一直线上,则确定了一个平面。当 非零向量 ?3 在 ?1,?2 确定的平面上时,那么 ?3 可写成 ?1,?2 的线性组合,它们线性相关, 则在同一个平面上(如图4-2所示);否则它们线性无关,确定了一个三维空间。

图4-2 三维空间中3个向量线性相关

向量线性相关的充要条件为它们组成的行列式为零。

23

4.3.2 顶点平坦度 该文提出另一种以顶点平坦度作为阈值标准的自适应细分方法。对网格模型上的一 个顶点来说,过同一顶点的两条边确定了一个平面,如果可以判断过该顶点的第三条边 也在这个平面上,这三条边所组成的向量就线性相关。再依次前进判断上两条边和紧邻 的那一条新边是否也在同一平面上,反复迭代,直到回到第一条边,这样顶点V的1邻域 上所有相邻的三条边都参与了运算。图3为顶点平坦度的示意图,计算公式为 F (V ) ? F2 (V ) F (V ) ? lim 1 ?0 t ?t0 k ?1 其中, F1 (V ) , F2 (V ) 分别为
F1 (V ) ? ? ni ?1
i ?0 k ?2

ni

nk ? 2 (i ? k ? 2) F2 (V ) ? nk ?1 n0 (i ? k ? 2, k ? 1)

ni ? 2

ni ? VVi ? ( x ? xi , y ? yi , z ? zi )

图4-3 顶点平坦度定义的示意图

然而,网格模型是曲面的,不可能严格的在一个平面上。如果 F (V ) 小于一个给定 的阈值 ? , ? 趋于零的话,就可以认为这个顶点 V 是平坦的,不再参与细分。如果考虑 的是顶点法向和顶点1邻域各面片法向量的夹角,需要计算顶点法向量和各三角面法向 量,而该算法只计算三维向量的行列式,相对更简单。用该算法对那些不平坦或者是高 曲率的区域进行细分。 4.3.3 算法的具体步骤 为了更简洁地描述本算法步骤,定义几个相关概念。如果三角网格中某个顶点的平
24

坦度满足给定的阈值,则称该点为死点,否则称其为活点。当三角形一条边的两个端点 都为死点时,称该边为死边,其余情况称为活边。如果三角形的三个顶点都为死点,则 称该三角形为死面,其余情况称其为活面。该算法利用顶点的局部信息来决定该局部区 域是否参与下层细分。初始时,所有的控制点、三角形的边和三角形本身都分别标记为 活点、 活边和活面。 在具体细分某个三角形时, 其分裂的形式由其所含死边的个数(Degree of deadness, Dod)决定。死边不再插入新点。通过设置阈值 ? 来控制其自适应细分过程。 基于顶点平坦度的自适应细分算法的具体步骤如下 : (1) 遍历网格模型所有顶点,计算出每个顶点的价。
[13]

(2) 根据式(4-1)计算各个顶点的平坦度 F (V ) ,如果 F (V ) 满足给定的阈值ε,则标记其为 死点。 (3) 由三角形所含死点的情况,标记该三角形的死边和活边,并标记该三角形为死面还 是活面。 (4) 产生奇点(新点)。对于死边,不在其上插入新点。对于活边,新点的插入及方式和 计算位置采用的模板与Loop细分模式一样。 (5) 产生新面。对于死面,由于其含有死边的个数(Dod)至少为2,不再将其分裂,如图 4(d)所示。对于活面其分裂的方式又可分为两种: ·当Dod=0时,该活面采用Loop细分分裂成4个小三角形,如图4(a)所示。 ·当Dod=1时,不在死边插入新点,新的三角形生成方式取决于另外两条边端点的平坦 度大小。图4(b)为V1的平坦度大于V2时的新面生成方式,图4(c)为V1的平坦度小于或等 于V2的处理方式。 (6) 更新所有偶点的位置。采用的模板与通常的Loop细分相同。 (7) 进行下次细分,直至满足用户需要。

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图4-4 三角形分裂的4种情况

4.4 实验结果与分析 表4-1在给定同一阈值的情况下对比了这两种方法的实验结果。 从表4-1中可以看出, 传统方法经三次细分所得的面片数多于该文方法的,但两者差距不是很大(最多为247 个)。由于该文方法计算简单,细分次数越多,速度上的优势越明显。

26

表4-1 两种方法的实验结果对比

4.5 小结 根据过同一起点的3个向量线性相关在同一平面上的原理,提出了一种新的自适应 细分方法,即对网格模型1邻域上过同一顶点的所有3个紧邻边组成的3个向量计算其是 否线性相关来判断该顶点的1邻域是否光滑,从而进一步判断该顶点是否参与细分。实 践证明该方法是有效的,可应用在复杂表面建模和细化,有效地对模型局部进行快速逼 近。

27

结论与展望
本章对全文的内容及意义进行了总结并对以后的研究工作进行了展望。 1)全文总结 本文主要对向量组线性相关性的定义以及性质进行研究, 从而等到一些基本的判定 方法,在具体的问题中应用这些判定方法,可以迅速得到解答,也得到了一些结果和认 识。 本文的研究成果及意义可概括如下: 1. 介绍了向量组线性相关的定义及其重要性质及定理,让我们更加深刻的了解向 量组的线性相关。从中又给出了判定向量组线性相关的多种方法,在以后解决具体问题 时有一定的帮助。 2. 在得到了向量组线性相关的基本判定方法的基础上,通过深入研究和递推,得 出了几种特殊的判定方法,例如反证法,利用向量组在线性空间中象的线性关系进行判 定的方法等。 3. 在基于推出的判定向量组线性相关性的若干方法的基础上,运用这些知识我们 可以在各种证明题和解答题中加以运用。 2)今后的工作展望 针对本论文展开的研究内容及所取得的结果可以看出, 还有一些问题有待于进一步 深入研究: 1.如何寻求新的判定方法来实现对向量组线性相关性的判定。 2.在实际问题中我们可以通过对具体问题的抽象, 将问题转化成判断向量组的线性 相关性或线性方程组是否有解的问题。

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四年的学习生活转瞬即逝,回首过去,感慨万千,这其中的点点滴滴都将成为我人 生中美好的记忆,在求学的道路上幸有良师的指导,学长的勉励,同窗的关怀,以及家 人的支持,使我求学之路走的平坦。 值此论文完成之际,我要向我尊敬的导师 老师致以最衷心的感谢。他严谨的治 学态度、丰富的学识和谦虚的为人一直激励我勤奋踏实地学习,催我奋进,是他不断的 鼓励与亲切的指导给了我信心并帮我指引了研究方向,进而顺利完成了论文写作,使我 受益非浅。 在学习期间和论文的撰写过程中, 受到了身边许多同学所给予的关心、 支持和帮助。 他们的刻苦谦虚的求学精神和学习风貌也一直激励着我,让我有想更好完成论文的决 心,在此我十分感谢与敬佩他们! 在成长的道路中,我首先还得感谢生育养育我的父母,是他们含辛茹苦地抚养我。 让我有机会在这大学中学习很多宝贵的知识以及做人做事的道理。在大学四年的学习 中,同寝室的室友之间的帮助以及对我的鼓励让我顺利完成大学四年的学习。我非常感 谢她们。还有班里的其他等同学也给了我很多的支持与帮助,大家共同学习,度过了四 年难忘的时光,在此也感谢他们。 我的亲人和我身边朋友对我的支持也是至关重要的,我感谢他们。 感谢评阅、评议本科毕业论文和出席本科毕业论文答辩会的各位专家学者,感谢他 们在百忙中给予的批评指正和宝贵意见。 最后感谢所有帮助过、关心过、支持过我的人,在此我要说声:谢谢!

作者: 2009 年 5 月 30 日

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参考文献
[1] 杨燕新,王文斌.关于向量组线性相关的几种判定 [J].山西农业大学学报, 8151(2005) ,292-294 [2] 罗秀芹,董福安,郑铁军.关于向量组的线性相关性的学习探讨[J].高等数学研究, 9(2005),18-19 [3] 李先富,胡劲松.判断向量组线性相关性的另一种方法[J].四川理工学院学报(自 然科学版) ,9(2005),94-95 [4] 肖艾平.向量组线性相关性的几种判定方法[J].伊犁师范学院学报(自然科学版) , 3(2008):58-59 [5] 栾召平.证明向量组线性相关性的几种方法[J].山东电大学报,2(2002) :61-62 [6] 张文彬,余建坤.利用初等变换求极大线性无关组[J].云南民族学院学报(自然科 学版) ,l(2003):12-15 [7] 同济大学应用数学系.线性代数[M].北京:高等教育出版社,2004.89 [8] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M]. (第 2 版)北京:高等 教育出版社,1988,271 [9] 米涌,梁旭,吴伏娜等.不同类型糖代谢紊乱与老年危重病人 APACHEⅡ评分相关 性分析[J].论文天下论文网,2007 [10] 王洪林,王春梅. 相同的线性相关性在线性代数中的应用[J].河北工程技术 高等专科学校学报,1(2001):43-45 [11] 彭立新,姜淑莲.单参变量向量组线性相关性的一个判定条件[J].荆门职业技 术学院学报,2001,16(6):55-57 [12] 王艳艳,张荣国,王蓉,孙博,刘焜.向量线性相关的三角网格自适应 Loop 细分 方法[J].工程图学学报,1(2009):92-96 [13]李珍珠. 有限维向量空间中向量的线性相关的判别法[J]. 零陵师专学报, 1994: 80-81 [14]E.K.Loginov.On Linear Representations of Analytic Moufang Loops[J].Mathematical Notes,2003,73(3):424-428 [15] O. V. Kaptsov . Invariant tensors and partial differential equations[J] . Siberian Mathematical Journal,2006,47(2):258-268

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附录 A 外文文献及翻译

31

32

33

34

35

解析 Moufang 循环的线性三个代表

关键词:解析 Moufang 环;替代代数;Mal _tsev 代数;线性表示;双模;四元代数; 凯莱-迪克森代数。 1.引 言 一个循环是二元体系 G 单位元素,例如,对于任何一组 a,b ? G,有且只有一组 a,b 是方程组 ax=b 和 ya = b 的解。该 Moufang 循环区别于同类所有循环的特性
ab ? ca ? a(bc ? a) , (cb ? c)a ? c(b ? ca) , a(b ? cb) ? (ab ? c)b

(1)

这分别被称作 Moufang 循环的中央性、在左性和在右性。我们知道,这组循环 中的任意两个循环都能推导出第三个循环。一个 Moufang 循环的结构使得一个解析 的 Moufang 循环是一个多重解析方法就像乘法也是一种解析方法一样。在这里我们 用一种本质的方法来分析 Moufang 循环。 Moufang 循环因为自身的特性而与替代代数密切相关。

x2 y ? x( xy) , yx2 ? ( yx) x .
凯莱-迪克森代数就是一个著名的替代非结合代数。下面让我们来回顾一下它 的结构: 设 A 是定义在平方集 F 中的一个代数, ? x (在这里和下面我们认为有限维代 x 数的单位特征为 0)。设 ? ? F (? ? 0) ,在向量空间 A ? A ,我们定义如下的乘法运 算

( x1, y1 )( x2 , y2 ) ? ( x1x2 ? ? y2 y1, y2 x1 ? y1 x2 )
由此产生的代数 ( A, ? ) 被称作 A 通过凯莱-迪克森运算得到的代数。 显然, 是 A 嵌入到 ( A, ? ) 且以 ( A, ? ) 为中心的, dim( A, ? ) ? 2dim A 。 设 e ? (0,1) ,然后令 e2 ? ?? 且 ( A, ? ) ? A ? Ae 。对于在 ( A, ? ) 中的一个任意元素
z ? x ? ye ,我们设 z ? x ? ye ,然后设 z ? z 是代数 ( A, ? ) 的乘方扩大为 A 的乘方。

通过这种方式,下面的替代代数便可依次获得: (1) F 集; (2) C (? ) ? ( F , ? ) ,若多项式 x 2 ? ? 被包含在 F 集内;否则 C (? ) ? F ? F ; (3) 广义四元代数 H (? , ? ) ? (C (? ),? ) ;这种代数是相联系的但不是相交换 的;

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(4) 凯莱-迪克森代数 O(? , ? , ? ) ? ( H (? , ? ), ? ) 。构建替代代数的归纳过程 (1)—(4)类型的代数被称作组成代数, 它们中的每一个都存在一个非退化二次型 (规范) n( x) ? xx 满足等式 n( xy) ? n( x)n( y) 。特别是,在 R 集上的实数,构建了上 述列举的三个分裂代数(if ? ? ? ? ? ? ?1 )和四个可除代数(if ? ? ? ? ? ? 1 ),即 R 集,复数集 C ,四元代数 H ,和凯莱代数 O 欧式范数 n( x) ? x 。另外,任何简单的 非结合替代代数与凯莱-迪克森代数 O(? , ? , ? ) 同构 ?3? 。 这组定义在 R 集上的所有可逆元素的有限维替代代数 A 与乘法密切相关且产 生了解析 Moufang 循环的概念。其切线代数与代数 A 的交换代数 A( ?) 是同构的。如 果 A 是个替代非结合代数,则交换代数 A( ?) 就不再是个李代数。这个代数,不同于
Jacobi 特征,我们称之为 Mal, 特征 tsev

J ( x, y, xz) ? J ( x, y, z) x , J ( x, y, z) ? ( xy) z ? ( yz) x ? ( zx) y 是 x , y ,z 元素的雅克比函数,并且具有 Sagle

特征
( xy ? z)t ? ( yz ? t ) x ? ( zt ? x) y ? (tx ? y) z ? ( xz )( yt )

Mal, 特征和 Sagle 特征是等同的。一个反交换代数满足这样的特征被称作 tsev Mal, 代数。 tsev Mal, 代数与替代代数是密切相关的。例如,任何简单非李 Mal, 代数是 tsev tsev
和商代数 A( ?) / F ?1 ,其中 A 是 F 集上的凯莱-迪克森代数。特别是,存在一个独特 的(最多同构)简单紧凑非列的在 R 集上的 Mal, 代数。它有 7 个面并且与商代数 tsev

O( ? ) R ?1 同构。一个半代数 A 分解到李中心 N ( A) 和有雅克比函数生成的 J ( A) ,然
后直接组成 A ? N ( A) ? J ( A) 。另外, N ( A) 是一个半单理代数, J ( A) 是一个直接有 简单非李 Mal, 代数组成的集合。 tsev 在局部的解析 Moufang 循环和实 Mal, 代数之间,有一个对应类似于在局部 tsev

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李群和李代数之间的经典李映射。这些结果能完全结转积分解析 Moufang 循环。即 存在着一个独特的(最多同构)只需连接组成分析 Moufang 循环 G 与给定切线

, 代数,和任何连接解析 Moufang 环的相同,切线代数可由一个独立的中央 Mal tsev
正规子群中得到。任何仅连接半 Moufang 环分解成一个直接产物半单 Lie 群和简单 的非列 Moufang 循环,每个同构分析的空间 S 7 , S 3 ? R 4 ,和 S 7 ? R7 。实际上,一 个简单的连接非结合的 Moufang 循环与一组在 R 集或者 C 集上的凯莱-迪克森代数 的准则 1 的元素同构。 2 设 ? 是一类定义在 F 集上的线性代数。 假设对某个代数 A ? ? 和一个定义在 F 集上的向量空间 M ,定义如下规则
( p, ? ) : A ? M 。根据这个规则,向量空间上 A,M 的直接总和 A ? A ? M 由乘

法定义可以转化成一个代数。

(a, x)(b, y) ? (ab, x?b ? y?a )
~ ~

(3)

由此得到的代数 A 称作代数 A,M 的分裂零扩展。如果代数 A 属于 ? 类,那么
M 就是在 ? 类中代数 A(或一个单元)的双模,并且令 ( ? , ? ) 是在 ? 类中的代数 A 的

一个 birepresentation(或只是一个代表性)。显然,双模和 birepresentation 可以相互决 定。它往往是使用方便的简短符号 xa 和 ax ,而不是上面介绍的 x?a 和 x? a 。 有且仅有一个定义在替代代数 A 上的双模 M 是一个替代的 A-模,分裂零扩 展的代数 A ,有如下的关系
(a, b, x) ? ?( x, b, a) ? ?(a, x, b) ? (b, x, a)
~

这里我们认为 a, b ? A , x ? M , (a, b, x) 被定义为 ab ? x ? a ? bx 。例如,替代双 模是一个在替代代数和在联想组成代数上的凯莱-迪克森双模上的规则双模。位于 A 上的凯莱-迪克森双模被定义作 A 的子模 Ae , Ae 由 ( A, ? ) ? A ? Ae 组成,? 和 且

? 是在 ( A, ? ) 通过左乘和右乘 A 而得到的。这是另外一种定义凯莱-迪克森双模的
方法。即我们令 M ? A 并且分别用 a 和 a 右乘 A 来定义算子 ? 和 ? 。 我们知道,任何一个替代双模大于一个半替代代数就会被完全还原;任何一个 束缚双模大于一个替代代数也就是一个关联双模;一个在凯莱-迪克森代数上的常 规子双模,或者一个在凯莱-迪克森双模上的子双模大于广义四元数。
l 按 照 S a g 的 e特 征 (2) , 对 于 任 意 一 个 x, y, z ? A , 如 果
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则线性关系 ? : A ? M 就被称作代数 A 的 Mal, ? xy?z ? ? x? y? z ?? z? x? y ?? y? zx ?? yz? x , tsev 表示。在这种情况下, M 就是所谓的 Mal, A-模。由于代数 A 是不能交换的, tsev 则 Mal, A-模这一概念等同于双模。 tsev 众所周知,任何代表性的半 Mal, 是可以完全还原的,任何一个不可还原的 tsev 双模是要么是个李双模,一个规则的在简单非联系的 Mal, 代数,或者一个就像 tsev

? (a) ? a 这样的 2 维 sl (2, F ) 模,在这里 a 是矩阵 a ? sl (2, F ) 的伴随矩阵。
3 线性代数的特征这个概念是很容易联想到 Moufang 循环。 假设 M 是一个定义在 ~ F 集上的线性空间,对 a ? G 而言 ( ?a , ?a ) 是 M 的可逆线性变换。在 G ? G ? M 集中,

我们按照(3)来定义乘法,如果有如下规则 ( ? , ? ) : G ? AutM ,这样得到的群 G 也是 种 Moufang 循环,向量空间 M 被称作是个 G 模,并且规定 ( ?a , ?a ) 是 G 环的线性表

~ 示。如果 G 是个解析 Moufang 环,另外我们能得到 G 环也是解析的。一下断言是众 所周知的【17,18】 。
命 题 1 对 所 有 的 a, b? G, x ? M , 当 且 仅 当 (a) (a, b, x) 是 斜 对 称 ;
: (b) x(b ? ab) ? ( xb ? a)b 且 (ab ? a) x ? a(b ? ax) , 则 规 则 ( ? ,? ) G ? A u t M 被 称 作 就

Moufang 循环 G 的线性表示。 命题 2 任何一个 Moufang 循环 G 的束缚 G 模是某些不可替代双模的一个子模。 命题 3 任何分析 Moufang 循环是嵌入循环可逆因素的一些替代代数的实数域。 设 G 是一个连通解析 Moufang 环, 并设 G ? 是一个局部与 G 同构的简单连接环。 假设切线代数 AG 有个表示法 AG ? M 。 这就表示代数 AG 的分裂零扩展 AG? ? AG ? M 是一个 Mal, 代数。因此,我们可以利用 Campbell ? Hausdorff 系列法则 tsev
~ 1 1 1 xy ? x ? y ? [ xy ] ? ?? xy ? y ? ? [ x[ xy ]] ? ??? 构建相应的局部 Moufang 循环 U 和 U 。 ? 12 2 12 ?

我们用如下等式 ? x ? ?

? Bn B (? x )n 和 ?x ? ? n (?? x )n 来定义规则 n ?0 n ! n ?0 n !

?

( ? , ? ) : G ? AutM ,在这里 Bn 是 Bernoulli 数, y? x ? [ yx] 。显然,算子 ? x 和 ?x 是解

析和可逆的,并且符合命题 1 的假设。因此, ( ? , ? ) 是局部环 U 的一个表示。
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现在,设 G ? 是一个简单连接解析 Moufang 循环局部同构于 U 环。显然, G ? 环 是包含子环 G ? 的。对任何元素 gi , g j ?U ,左右 Moufang 特征暗示了如下特征

~

~

~

?g g ? ?g ? g ? g ?g , ?g g ? ? g ?g ?g ? g 。由于一个连接环是任何单位附近的元素的
i j i i j ?1 i j i i i j ?1 i

代数产生的,G ? 的乘法可用(3)的形式来表示, 元素 a 和 b 在 G ? 环中而且算子 ?b 和 ?a 是有算子 ? gi 和 ?gi 产生的。因此我们定义 ( ? , ? ) : G? ? AutM 来表示 G ? 环。 相反,假定 G 环有个表示法 ( ? , ? ) : G ? AutM ,这个表示法是由
( ? , ? ) : G? ? AutM 转化来的。 命题 3 暗示 G ? 环可被某些替代代数 A 的可逆元素组成

~

~

的 A* 所嵌入,嵌入的 G? ? A* 可由 ? : AG ? A( ?) 推导出。我们令 ? ? ? ? ? 。

??? : AG ? EndM 的组成是代数 AG 的一种表示法。因此,下面的定理是有效的。
定理 1.任何一个解析 Moufang 环的 G 模是它的切线代数的一个 AG 模。与之相 反,任何一个定义在实数集上的 Mal, 代数 AG 的一个 AG 模都是一个 G ? 模,而这 tsev 个 G ? 模是一个简单连接解析 Moufang 环 G ? 局部地同构于 G 。 这一定理和命题 2 暗示着下面的定理 定理 2.任何一个半解析 Moufang 环的表示法都是可以完全还原的。任何一个 解析 Moufang 环 G 的不可逆 G 模要么是一个可替代的双模,要么是一个不可逆的

Mal, 双模。 tsev

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参考文献

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附录 B 主要参考文献的题录及摘要
[1] 【题目】关于向量组线性相关的几种判定 【作者】杨燕新, 王文斌 【关键词】线性相关;行列式;矩阵;克莱姆法则 【摘要】向量组的线性相关与线性无关性的判定较难理解和掌握。实际上, 向量组的线性相关与线性无关是相对的, 我们只要掌握了向量组的线性相关的 判定, 线性无关的判定也就没有问题了。因此,将行列式的值、矩阵的秩、齐次 线性方程组的解、克莱姆法则等知识运用于向量组的线性相关性的判定, 从而 导出八种关于线性相关与线性无关的判定方法。 [2] 【题目】利用初等变换求极大线性无关组 【作者】张文彬,余建坤 【关键词】极大线性相关性;初等变换 【摘要】在线性空间中,极大线性无关组的概念是一个重要的概念,求极大线性 无关组也就成为一个重要内容之一。 目前求极大线性无关组的方法归纳起来有所谓 的加法及矩阵的初等变换法。然而如果我们按添加法求极大无关组计算量是比较大 的, 故一般不采用此法,因此,给出利用矩阵的初等变换求极大无关组的方法,并 从理论上加以证明。此法简单易行,且计算量小。 [3] 【题目】关于向量组的线性相关性的学习探讨 【作者】罗秀芹,董福安,郑铁军 【关键词】向量组;线性相关性 【摘要】n维向量及其线性相关性这部分内容的定义、定理多,往往使人抓不住 要领, 本文将其归纳为以下三大类问题, 可针对每类问题学习、 应用相对应的定义、 定理,并介绍解决问题的思路、方法。 [4] 【题目】证明向量组线性相关性的几种方法 【作者】栾召平 【关键词】向量组;线性相关;线性无关 【摘要】向量组线性相关性概念较抽象,等价命题多而易混,使“证明问题”成 为教与学的难点。抓住关键,突出重点,归纳出证明向量组线性相关性问题的几种 方法,可以解决其难点。本文主要采用定义法、方程组法、矩阵秩法、反证法和数 学归纳法来解决有关向量组线性相关性的证明问题。 [5] 【Title】Independence of linear forms with random coefficients 【Author】G. P. Chistyakov1 · G¨ F. otze1 【key words】Vectors group;Related dependence; 【Abstract】We extend the classical Darmois–Skitovich theorem to the case where the linear forms Lr1 ? U1 X1 ? ??? ? U n X n and Lr 2 ? Un?1 X1 ???? ? U2n X n have random
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coefficients U1 , ???,U 2n . Under minimal restrictions on the random coefficients we completely describe the distributions of the independent random variables X1 , ???, X n
and U1 , ???,U 2n such that the linear forms Lr1 and Lr 2 are independent.

[6] 【Title】Taylor formula for homogenous groups and applications 【Author】Andrea Bonfiglioli 【key words】Determinant;Judging method;Matrix; 【Abstract】In this paper, we provide a Taylor formula with integral remainder in the setting of homogeneous groups in the sense of Folland and Stein (Hardy spaces on homogeneous groups. Mathematical notes, vol 28. Princeton University Press, Princeton, 1982). This formula allows us to give a simplified proof of the so-called ‘Taylor inequality’. As a by-product, we furnish an explicit expression for the relevant Taylor polynomials. Applications are provided. Among others, it is given a sufficient condition for the real-analiticity of a function whose higher order derivatives (in the sense of the Lie algebra) satisfy a suitable growth condition. Moreover, we prove the ‘L-harmonicity’ of the Taylor polynomials related to a ‘L-harmonic’ function, when L is a general homogenous left-invariant differential operator on a homogeneous group. (This result is one of the ingredients for obtaining Schauder estimates related to L). [7] 【题目】向量组线性相关性的几种判定方法 【作者】肖艾平 【关键词】线性相关;线性无关;齐次线性方程组 【摘要】在线性代数的学习中,向量线性相关性的判定很难理解和掌握. 向量线 性相关性是线性相关和线性无关的统称,而向量组的线性相关和线性无关是相对的, 只要掌握了向量组的线性相关的判定,向量组的线性无关的判定就同时解决了。将 行列式的值、矩阵的秩、齐次线性方程组的解等知识运用于向量组线性相关性判定, 归纳出六种判定向量组线性相关性的方法。 [8] 【题目】判断向量组线性相关性的另一种方法 【作者】李先富,胡劲松 【关键词】秩;向量组 【摘要】给出了判断向量组线性相关与线性无关的一个新方法,该方法简单、适 用。同时指出,该方法也适用于求向量组的秩。用本文的方法来判断其线性相关性 的过程就更加方便,从而更能体现该方法的优越性。这种方法由于只用到矩阵的初 等变换,所以操作简单。 [9] 【题目】单参变量向量组线性相关性的一个判定条件 【作者】彭立新,姜淑莲 【关键词】参变量;矩阵;线性相关 【摘要】本文将借助于矩阵的初等行变换方法,利用矩阵的秩,给出了含有一个

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参变量的向量组的线性相关性的判定条件。本文将通过初等行变换的方法,可以给 出在含有单参变量的向量组中,其参变量取何值时,向量组的线性相关性,若向量 组线性相关,还可得到向量组的一个极大线性无关组,且其它向量用这个极大线性 无关组线性表出的关系式。 [10] 【题目】相同的线性相关性在线性代数中的应用 【作者】王洪林,王春梅 【关键词】向量空间;线性相关;线性无关 【摘要】线性代数主要研究的是线性问题。一般而言,凡是线性问题常可 以用向量空间的观点和方法加以讨论,因此向量空间成了线性代数的基本概念 和中心内容。向量空间理论的核心问题是向量间的线性关系。其基本概念有向 量的线性表示、向量组线性相关与线性无关、向量组等价、向量组的极大无关 组,以及向量空间的基与维数等。这些问题通常转化为解线性方程组或解齐次 线性方程组。. [11] 【题目】也谈线性相关与线性无关 【作者】吴景珠,邢秀芝 【关键词】线性相关;线性无关 【摘要】常微分方程中谈到函数组的线性相关与线性无关,实际上是线性 代数中向量组的线性相关与线性无关概念的推广二者在性质上也类同,需要说 明的是本文将给出函数组的线性相关与线性无关具备的不同于线性代数中的 新性质及其推论。 [12] 【题目】有限维向量空间中向量的线性相关的判别法 【作者】李珍珠 【关键词】向量空间;线性方程组 【摘要】本文用线性方程组的理论论证了 Fn 中向量的线性相关性的两种判别法 行列式法和秩法, 从而进一步给出了有限维向量空间中向量的线性相关性的判别 法。 [13] 【题目】向量线性相关的三角网格自适应Loop细分方法 【作者】王艳艳,张荣国,王 蓉,孙 博,刘 焜 【关键词】线性相关;自适应Loop细分;三角网格 【摘要】根据过同一起点,且线性相关的三个向量在同一平面上的原理提出了 一种新的三维表面自适应Loop细分算法, 即对网格模型过同一顶点1邻域上的所有三 个紧邻边组成的三个向量判断其是否线性相关来断定该顶点的1邻域是否平坦,从而 进一步判断该顶点是否参与细分。但是三角网格模型上的三条边不可能都严格地在 同一个平面上,当这些向量组成的行列式值趋于零时,便认为它们在同一平面上。 实验表明,该方法减少了细分的数据量和处理速度。

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分类号 编号 毕业论文题 学姓专学目院名业号 向量组线性相关性的几种判定方法 数学与统计学院 王亚平 数学与应用数学 281010216 理论研究 陈庆娥 研究类型 指导...
判断向量组线性相关的方法
向量组线性相关 9.n 个 n 维的向量构成的行列式=0 ? 该向量组是线性相关的 10.线性相关向量组中每个向量截短之后还相关 判断向量组线性无关的方法 1. 2. ...
判定向量组线性相关性的若干方法
判定向量组线性相关性的若干方法 摘要:向量组线性相关性的判定是线性代数中的..., α s 线性无关。 以上情形很简单,不再举例。 2.当向量数向量维数,即...
判断向量组线性相关的方法
2 r 1 2 s 1 2 r 1 2 r 判断向量组线性无的方法 1. α≠ 0 ? ...向量组线性相关性的几种... 2页 1下载券喜欢此文档的还喜欢 ...
线性相关性开题报告
数学与统计学 院(系)学生毕业论文(设计)开题报告 审阅表 学生姓名 题目 向量组...三、已研读的有关文献资料 [1]肖艾平.向量组线性相关性的几种判定方法[J]....
判断向量组的线性相关性与无关性
行列式的值,矩阵的秩,齐次线性方程组的解,矩阵特征向量的性质等可应用于 向量组线性相关性与无关性的判断.本文总结了判断向量组的线性相关性与无关性的六种方法...
03 第三节 向量组的线性相关性
第三节 向量组的线性相关性 分布图示★ 线性相关与线性无关 ★ 证明线性无的一种方法 线性相关性的判定 ★ 定理 1 ★例3 ★例4 ★ 定理 3 ★ 定理 5...
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