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广东省惠州市2018届高三数学第1次调研考试试题(文)


惠州市 2018 届高三第一次调研考试 数学(文科)
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡 上。 2.作答选择题时,选出每个小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,写在本试卷上无效。 3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答,答案必须写在答题卡各题指定的位置上,写在本试卷 上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。

,A ? x x ? m 2 , m ? U ,则 CU A ? ( (1)已知集合 U ? ?? 1,0,1?
(A) ?0,1? (2)已知复数 z ? (A) 2 3 (B) ?? 1,0,1? (C) ?

?

?

)

(D) ?? 1? ) (D) 3 3 )

10 ? 2i (其中 i 是虚数单位),则 z ? ( 3?i
(B) 2 2
?

(C) 3 2

(3)已知命题 p, q ,则“ p 为假命题”是“ p ? q 是真命题”的( (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件

(D)既不充分也不必要条件

(4)已知正方形 ABCD 的中心为 O 且其边长为 1,则 OD ? OA ? BA ? BC ? ( (A) 3 (B)

?

??

?



1 2

(C) 2

(D) 1

(5)如图,在底面边长为 1,高为 2 的正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 (底面 ABCD 是正方形, 侧棱 AA1 ? 底面 ABCD ) 中, 点P是

A1 B1
P

D1

C1
A D

正方形 A1B1C1D1 内一点, 则三棱锥 P ? BCD 的正视图与俯视图 侧视 的面积之和的最小值为( ) (C) 2

3 (A) 2

(B)1

5 (D) 4

B

C

正视

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? (6)点 P?x, y ?为不等式组 ?3 x ? y ? 8 ? 0 所表示的平面区域内的动点,则 m ? x ? y 的最小值为 ?x ? 2 y ? 1 ? 0 ?
( (A) ? 1 ) (B) 1 (C) 4 (D) 0 )

(7)执行如图所示的程序框图,若最终输出的结果为 0 ,则开始输入的 x 的值为( (A)

3 4

(B)

7 8

(C)

15 16

(D) 4 开始 输入 x

(8)三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的 绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文,弦图是一个以勾股形之弦 为边的正方形,其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及 一个小正方形,分别涂成红(朱)色及黄色,其面积称为朱实、 黄实,利用 2 ? 勾 ? 股 ? ?股 — 勾? ? 4 ? 朱实 ? 黄实 ? 弦实,化
2

i ?1
x ? 2x ?1

简得: 勾 ? 股 ? 弦 .设勾股形中勾股比
2 2 2

i ? i ?1
朱 朱 黄 朱 朱

为1 : 3 , 若向弦图内随机抛掷 1000 颗图钉 (大小忽略 不计) ,则落在黄色图形内的图 钉数大约为( )

i ? 3?
是 输出 x 结束



?

3 ? 1.732

?

(A)866 (B)500 (C)300 (D)134 (9)已知函数 f ( x) ? sin ?x ? 3 cos?x 的最小正周期为 ? ,则函数

f ( x) 的一个单调递增区间为(
(A) [ ?



5? ? , ] 12 12

(B) [

? 7?
12 12 ,

]

(C) [ ?

? ?

, ] 6 3

(D) [

? 5?
3 , 6

]

(10)已知定义域为 R 的偶函数 f ( x ) 在 (??, 0] 上是减函数,且 f (1) ? 2 ,则不等式 f (log2 x) ? 2 的解集为( (A) (2, ??) )

(B) (0, ) ? (2, ??)

1 2

(C) (0,

2 ) ? ( 2, ??) 2

(D) ( 2, ??)

(11)已知双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? 的离心率为 2 ,左、右顶点分别为 A, B ,点 P 是 a2 b2


双曲线上异于 A, B 的点,直线 PA, PB 的斜率分别为 k PA , k PB ,则 k PA ? k PB ? (

(A) 1

(B)

2 2

(C)

3 6

(D)3

(12)锐角 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且满足

?a ? b??sin A ? sin B? ? ?c ? b?sin C ,若 a ?
(A) ?3,6? (B) ?3,5?

3 ,则 b 2 ? c 2 的取值范围是(
(D) ?5,6?



(C) ?5,6?

二.填空题:本题共4小题,每小题5分。 (13)已知函数 f ( x) ? ?

?

2x ? f ( x ? 1)

( x ? 1) ,则 f ? f ?3?? ? ( x ? 1)

2



2 (14)若 tan ? ? ?3 ,则 cos ? ? sin 2? =

(15)已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3 ? a9 ? 2a5 , a2 ? 1 ,则 a1 ?



(16)已知三棱锥 S ? ABC , ?ABC 是直角三角形,其斜边 AB ? 8, SC ? 平面 ABC , SC ? 6 , 则三棱锥的外接球的表面积为 .

三.解答题:共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个考 生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求 作答。 (一)必考题:共60分。 (17) (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的公差不为 0,前 n 项和为 S n n ? N ? , S 5 ? 25 且 S1 , S 2 , S 4 成等比 数列. (1)求 an 与 Sn ; (2)设 bn ?

?

?

1 S n S n ?1

,求证: b1 ? b2 ? b3 ? ? ? ? ? bn ? 1 .

(18) (本小题满分 12 分) 某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业,在一个 开学季内,每售出 1 盒该产品获利 润 30 元,未售出的产品,每盒亏损 10 元.根据历史 资料,得到开学季市场需求量的频率分布直方图,如 图所示.该同学为这个开学季 购进了 160 盒该产品, 以 x (单位:盒, 100 ? x ? 200 )表示这个开学季 内的市场需求量, y (单位:元)表示这个开学季内
0.0150 0.0125 0.0100 0.0075 0.0050

频率 组距

需求量
100 120 140 160 180 200

经销该产品的利润. (1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量 x 的众数和平均数; (2)将 y 表示为 x 的函数; (3)根据直方图估计利润 y 不少于 4000 元的概率.

(19) (本小题满分 12 分) 如 图 , 在 底 面 是 菱 形 的 四 棱 柱 ABCD ? A1B1C1D1 中 , ?ABC ? 60 , AA 1 ? AC ? 2 ,
?

A1B ? A1D ? 2 2 ,点 E 在 A1D 上.
(1)证明: AA 1 ? 平面 ABCD ; (2)当

A1 E 为何值时, A1B // 平面 EAC ,并求出此时直线 A1B ED

A1 B1
A B

D1

与平面 EAC 之间的距离.

C1

E D

C

(20) (本小题满分 12 分) 已知圆 x ? y ? 12 与抛物线 x ? 2 py? p ? 0? 相交于 A, B 两点, 点 B 的横坐标为 2 2 ,F 为
2 2 2

抛物线的焦点. (1)求抛物线的方程; (2)若过点 F 且斜率为 1 的直线 l 与抛物线和圆交于四个不同的点,从左至右依次为

P 1,P 2,P 3,P 4 ,求 P 1P 2 ? P 3P 4 的值.
(21) (本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ?

ln x ? 1 , x

(1)求曲线 y ? f ?x ? 在点 ?e, f ?e?? 处的切线方程;

(2)当 x ? 1 时,不等式 f ?x ? ?

1 a x2 ?1 ? 恒成立,求 a 的取值范围. x x

?

?

(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。 (22) (本题满分 10 分)[选修 4-4:坐标系与参数方程]

3 ? ? x ? 2? 5t 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ( t 为参数) .以坐标原点为极点, 4 ? y ? ?2 ? t 5 ?
以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? cos? ? tan ? . (1)求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程;
1 1 π? ? ? (2)若 C1 与 C2 交于 A,B 两点,点 P 的极坐标为 ? 2 2, ? ? ,求 的值. |PA | | PB | 4? ?

(23) (本题满分 10 分)[选修 4-5:不等式选讲] 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 1 , g ( x) ? x ? a ? x ? a . (1)解不等式 f ( x) ? 9 ; (2) ?x1 ? R, ?x2 ? R ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 a 的取值范围.

数学(文科)参考答案
一、选择题(每小题 5 分,满分 60 分) 题号 答案 1 D 2 C 3 B 4 D 5 A 6 D 7 B 8 D 9 A 10 B 11 A 12 C

2 (1) 【解析 】 A ? x x ? m , m ? U ? ?0,1?,?CU A ? ?? 1?

?

?

(2) 【解析】复数 z ? 3 ? i ? 2i ? 3 ? 3i ,则| z ? 3 2 . (3) 【解析】充分性: ? p 为假命题,则 p 为真命题,由于不知道 q 的真假性,所以 p ? q 是真命题
? 不成立;必要性: p ? q 是真命题,则 p, q 均为真命题成立.所以“ p 为假命题”是“ p ? q 是

真命题”的必要而不充分条件

(4) 【解析】 OD ? OA ? BA ? BC ? AD ? BD ? 1 ? 2 ? cos 45? ? 1 (5) 【解析】由图易知:其正视图面积 ? 俯视图的面积最小 ? S ?BCD ?

?

??

?

1 ? 1 ? 2 ? 1 ,当顶点 P 的投影在 ?BCD 内部或其边上时, 2

1 1 ? 1 ? 1 ? ,三棱锥 P ? BCD 的正 2 2 1 3 ? 2 2

视图与俯视图的面积之和的最小值为 1 ?

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? (6) 【解析】如图所示,不等式组 ?3 x ? y ? 8 ? 0 所表示的平面区域 ?x ? 2 y ? 1 ? 0 ?
为图中阴影部分.容易知道点 B 为最优解, 由?

?2 x ? y ? 2 ? 0 ?x ? 2 可得 ? ,故 B?2,2? . 将点 B?2,2? 代入 ?3x ? y ? 8 ? 0 ?y ? 2

目标函数 m ? x ? y 得最小值为 0. (7) 【解析】 i ? 1 时, x ? 2 x ? 1 , i ? 2 时, x ? 2(2 x ? 1) ? 1 ? 4 x ? 3 , i ? 3 时,

x ? 2(4 x ? 3) ? 1 ? 8x ? 7 , i ? 4 时,退出循环,此时 8 x ? 7 ? 0 ,解得 x ?

7 ,故选 B。 8

(8) 【解析】设勾为 a ,则股为 3a , ∴ 弦为 2 a ,小正方形的 边长为 3a ? a .所以图中大正 方形的面积为 4a ,小正方形面积为
2

?

3 ? 1 a 2 ,所以小正方形与大正方形的面积比为

?

2

?

3 ?1 3 ∴ 落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约为 ? 1? 4 2

?

2

? 3? ?1 ? ? ? 1000 ? 134 . ? ? 2 ? ?

(9) 【解析】 f ?x ? ? 2 sin ? ?x ? 解得 ?

? ?

??

2? ? ? ? ? ? ?? ? 2 ,由 ? ? 2 x ? ? , ? ,? T ? ? 2 3 2 3?

5? ? ? x ? ,故选 A。 12 12

(10) 【解析】 f ( x ) 是 R 的偶函数,在 (??, 0] 上是减函数,所以 f ( x ) 在 [0, ??) 上是增函数,所 以 f (log2 x) ? 2 ? f (1) ? f (| log2 x |) ? f (1) ?| log2 x |? 1 ? log 2 x ? 1或

1 . 故选 B. 2 (11) 【解析】由双曲线的离心率为 2 容易知道 b ? a (即该双曲线为等轴双曲线) ,所以双曲线的

log2 x ? ?1 ? x ? 2 或 0 ? x ?

方程为 x 2 ? y 2 ? a 2 ?a ? 0? ,左顶点 A?? a,0? ,右顶点为 B?a,0? ,设点 P?m, n ?,得直线 PA 的斜率为 k AP ?

n n n2 PB k ? k ? k ? ,直线 的斜率为 BP ,? PA PB ①,又因 m?a m?a m2 ? a2
2 2 2 2 2 2

为 P?m, n ?是双曲线 x 2 ? y 2 ? a 2 ?a ? 0? 上的点,所以 m ? n ? a ,得 n ? m ? a ,代 入①式得 k PA ? k PB ? 1 (12) 【解析】? ?a ? b??sin A ? sin B? ? ?c ? b? sin C 由正弦定理可得: ?a ? b??a ? b? ? ?c ? b?c ,即 b ? c ? a ? bc
2 2 2

? cos A ?

? ? b2 ? c2 ? a2 bc 1 ? ? ,又? 0 ? A ? ,? A ? . 2 3 2bc 2bc 2
b c a ? ? ? sin B sin C sin A 3 3 2 ? 2 ,?b ? 2 sin B, c ? 2 sin C

? a ? 3 ,?

又? C ? ? ? B ?

?
3

?

2? ? 2 ? 2? ?? ? B ? b 2 ? c 2 ? 4 sin 2 B ? sin 2 C ? 4? sin B ? sin 2 ? ? B?? ? ? 3 ? 3 ?? ?

?

?

化简得: b ? c ? 4 ? 2 sin? 2 B ?
2 2

? ?

??

? ? ? ,? 锐角 ?ABC 中,? 0 ? B ? ? 0 ? C ? , 2 2 6?

?

?
6

?B?

?
2

,?

?
6

? 2B ?

?
6

?

5? ? b 2 ? c 2 ? ?5,6? 6

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。 (13) 2 (14) ?

1 2

(15)

2 2
1

(16) 100 ?
1

(13) 【解析】 f ?3? ? f ?2? ? f ?1? ? 2 ? 2 ,? f ? f ?3?? ? f ?2? ? f ?1? ? 2 ? 2 (14) 【解析】 cos ? ? sin 2? ?
2

cos2 ? ? 2 sin ? cos? 1 ? 2 tan? 1 ? 6 1 ? ? ?? 2 2 2 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 9 ? 1 2

(15) 【解析】 ∵ a3 ? a9 ? a6 ,∴ a6 ? 2a5 ,因此 q 2 ? 2, 由于 q ? 0, 解得 q ? 2 , ∴ a1 ? (16) 【解析】本题考查空间几何体的表面积.三棱锥 接球;所以三棱锥的外接球的直径 三棱锥的外接球的表面积 .
[来源:学科网 ZXXK]

2

2

2

a2 2 ? q 2

所在长方体的外接球,即三棱锥所在的外 ,即三棱锥的外接球的半径 ;所以

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17、 (本小题满分 12 分)
[来源:Z§ xx§ k.Com]

【解析】(1)设等差数列 {an } 的公差为 d , 则由 S5 ? 25 可得 a3 ? 5 ,得 a1 ? 2d ? 5 ……① 又 S1 , S2 , S4 成等比数列,且 S1 ? a1 , S2 ? 2a1 ? d , S4 ? 4a1 ? 6d
2 2 所以 (2a1 ? d ) ? a1 (4a1 ? 6d ) ,整理得 2a1d ? d ,因为 d ? 0 ,所以 d ? 2a1 ……②

……2 分

联立①②,解得 a1 ? 1, d ? 2 所以 an ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1, S n ? (2)由(1)得 bn ?

……4 分

n(1 ? 2n ? 1) ? n2 2
……8 分

……6 分

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1
1 1 1 2 1 ? 1? n ?1 1 2 1 3

( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? 所以 b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ?

1 n

1 )……10 分 n ?1

又? n ? N ? ,? 1 ?

1 ? 1 ,即得证. n ?1

……12 分

18、 (本小题满分 12 分) 【解析】 (1)由频率直方图得:最大需求量为 150 的频率 ? 0.015 ? 20 ? 0.3 . 这个开学季内市场需求量的 x 众数估计值是 150 ; 需求量为 ?100,120? 的频率 ? 0.005 ? 20 ? 0.1 , 需求量为 ?120,140? 的频率 ? 0.01? 20 ? 0.2 , 需求量为 ?140,160? 的频率 ? 0.015 ? 20 ? 0.3 , 需求量为 ?160,180? 的频率 ? 0.0125 ? 20 ? 0.25 , 需求量为 ?180, 200? 的频率 ? 0.0075 ? 20 ? 0.15 .

则平均数 x ? 110 ? 0.1 ? 130 ? 0.2 ? 150 ? 0.3 ? 170 ? 0.25 ? 190 ? 0.15 ? 153 . ……………… (5 分) (2)因为每售出 1 盒该产品获利润 30 元,未售出的产品,每盒亏损 10 元, 所以当 100 ? x ? 160 时, y ? 30x ?10 ? ?160 ? x ? ? 40x ?1600 ,…………………(7 分) 当 160 ? x ? 200 时, y ? 160 ? 30 ? 4800 ,…………………………………………(9 分) 所以 y ? ?

?40 x ? 1600,100 ? x ? 160 . ?4800,160 ? x ? 200

(3)因为利润不少于 1200 元所以,解得 40 x ? 1600 ? 4000 ,解得 x ? 140 . 所以由(1)知利润不少于 4000 元的概率 p ? 1 ? 0.3 ? 0.7 ………………………(12 分) 19、 (本小题满分 12 分) 【解析】(1)证明:因为底面 ABCD 是菱形, ?ABC ? 60 ,
?

所以 AB ? AD ? AC ? 2 ,在 ?AA 1B 中, 由 AA 1 ? AB , 1 ? AB ? A 1B 知 AA
2 2 2
[来源:学科网 ZXXK]

同理, AA 1 ? AD 又因为 AB ? AD 于点 A, 所以 AA 1 ? 平面 ABCD . (2)当 …………4 分

A1E ? 1 时, A1B // 平面 EAC . ED

[来源:Zxxk.Com]

证明如下:连接 BD 交 AC 于 O ,当

A1E ? 1 ,即点 E 为 A1D 的中点时, ED
……6 分

连接 OE,则 OE // A1 B ,所以 A1 B // 平面 EAC .

直线 A1B 与平面 ACE 之间的距离等于点 A1 到平面 ACE 的距离,因为 E 为 A1D 的中点,可转化为 D 到平面 ACE 的距离,VD ? AEC ? VE ? ACD ,设 AD 的中点为 F,连接 EF,则 EF // AA 1 ,所以 EF ? 平面 ACD ,且 EF ? 1 ,可求得 S?ACD ? 3 , 所以 VE ? ACD ?

1 3 ? 1? 3 ? ? 3 3

……9 分

又 AE ? 2 , AC ? 2 , CE ? 2 , S ?AEC ?

7 1 3 ,? S?AEC ? d ? ( d 表示点 D 到平面 ACE 的 2 3 3

距离) ,d ?

2 21 2 21 ? ,所以直线 A1B 与平面 EAC 之间的距离为 7 …12 分 7

20、 (本小题满分 12 分)

?2 2 ? 【解析】 (1)设 B 2 2 , y0 ,由题意得: ? ? ?2 2

?

?

? ? ? ?

2 2

2 ? y0 ? 12

? 2 py0

……2 分

解之得: ?

? y0 ? 2 ,所以抛物线的方程为 x 2 ? 4 y . p ? 2 ?

……4 分

(2)设点 P 2 ?x2 , y 2 ? , P 4 ?x 4 , y 4 ? ,由题意知 P 2,P 4在 1 ?x1 , y1 ? , P 3 ?x3 , y3 ? , P 1,P 3 在圆上, P 抛物线上.因为直线 l 过点 F 且斜率为 1 ,所以直线的方程为 y ? x ? 1 . 联立 ? ……5 分

?y ? x ?1 ? x ? y ? 12
2 2

2 ,得 2 x ? 2 x ? 11 ? 0 ,所以 x1 ? x3 ? ?1, x1 x3 ? ?

11 2
……7 分

? P1 P3 ? 1 ? 12 ?
同理:由 ?

?x1 ? x3 ?2 ? 4 x1 x3
2

? 2?

11? ?? 1?2 -4 ? ? ?? ? ? ? 2?

46

?y ? x ?1 ?x ? 4 y
2

,得 x -4 x ? 4 ? 0 ,所以 x2 ? x4 ? 4, x2 x4 ? ?4

? P2 P4 ? 1 ? 12 ?

?x2 ? x4 ?2 ? 4 x2 x4

? 2 ? 4 2 -4 ? ?? 4? ? 8

……9 分

由题意易知: P 1P 2 ? P 1P 3 ? P 2P 3 ……①, P 3P 4 ? P 2P 4 ? P 2P 3 ……② ①—②得: P 1P 2 ? P 3P 4 ? P 1P 3 ? P 2P 4 ……11 分 ……12 分

46 ? 8 ?P 1P 2 ? P 3P 4 ?
21、 (本小题满分 12 分) 【解析】 (1)根据题意可得, f ?e ? ?

2 , e

……1 分 ……3 分

f ?? x ? ?

1 ? ln x ? ln e 1 ? ? 2 ,即 k ? ? 2 , ,所以 f ??e ? ? 2 2 x e e e

所以在点 ?e, f ?e?? 处 的切线方程为 y ?

2 1 ? ? 2 ? x ? e ? ,即 x ? e 2 y ? 3e ? 0 .……4 分 e e

(2)根据题意可得, f ?x ? ?

1 a x 2 ? 1 ln x ? a x 2 ? 1 ? ? ? 0 在 x ? 1 恒成立, x x x
1 ? 2ax , x
……5 分

?

?

?

?

令 g ?x? ? ln x ? a x ? 1 , ?x ? 1? ,所以 g ?? x ? ?
2

?

?

当 a ? 0 时, g ??x ? ? 0 ,所以函数 y ? g ?x ? 在 ?1,??? 上是单调递增,所以 g ?x? ? g ?1? ? 0 , 所以不等式 f ?x ? ?

1 a x2 ?1 ? 成立,即 a ? 0 符合题意; x x

?

?

……7 分

当 a ? 0 时,令

1 ? 2ax ? 0 ,解得 x ? x

1 1 1 ,令 ? 1 ,解得 a ? , 2 2a 2a

① 当0? a ?

? 1 1 ? 1 ? 上 g ??x ? ? 0 ,在上 g ??x ? ? 0 ,所以函数 1 , 时, ? 1 ,所以 g ?? x ? 在 ? ? ? 2 2 a 2a ? ?

? ? 1 ? 1 ? ? ? ? ?? y ? g ?x ? 在 ? ?1, 2a ? 上单调递增,在 ? 2a , ? 上单调递减, ? ? ? ?

?? 1 ?2 ? 1 1 1 ?1? g ? ? ? ln ? a? ? ? ? 1? ? ? ln a ? ? a ,令 h?a ? ? ? ln a ? ? a , ? ? a a a ?a? ?? a ? ?

h ??a ? ? ?

1 1 1 a2 ? a ?1 ? 2 ?1? ? 0 恒成立,又 0 ? a ? , 2 2 a a a

所以 h?a ? ? h? ? ? ? ln 所以 0 ? a ?

?1? ?2?

1 1 3 ?1? ? 2 ? ? ln 2 ? ? 0 ,所以存在 g ? ? ? 0 , 2 2 2 ?a?
……10 分

1 不符合题意; 2

②当 a ?

1 1 时, ? 1 g ??x ? ? 0 在 ?1,??? 上恒成立,所以函数 y ? g ?x ? 在 ?1,??? 上是单调递减, 2 2a

1 不符合题意; 2 综上所述, a 的取值范围为 ? a a ? 0?.
所以 g ?x? ? g ?1? ? 0 ,显然 a ? 22.(本小题满分 10 分)

……12 分

【解析】 (1)曲线 C1 的普通方程为 4 x ? 3 y ? 2 ? 0; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 曲线 C2 的直角坐标方程为: y ? x 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分
3 ? x ? 2 ? t, ? ? 5 (t 为参数)代入 y ? x 2 得 (2) C1 的参数方程 ? 4 ? y ? ?2 ? t . ? 5 ?
9t 2 ? 80t ? 150 ? 0, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分
[来源:Z+xx+k.Com]

设 t1 , t 2 是 A、 B 对应的参数,则 t1 ? t2 ?

80 50 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 ,t1t2 ? ? 0. · 9 3

?

1 1 | PA | ? | PB | | t1 ? t2 | 8 ? ? ? ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 | PA | | PB | | PA | ? | PB | | t1t2 | 15

23.(本小题满分 10 分)
1 ? ?3x, x ? 2 , ? 1 ? 【解析】 (1) f ( x) ? ?2 ? x, ?1 ? x ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 2 ? ??3x, x ? 1. ? ?

1 1 ? ? ? x ? , ??1 ? x ? , ? x ? ?1, f ( x) ? 9 等价于 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 2 或? 2 或? ?3x ? 0 ? ? ? ?3 x ? 9 ? 2 ? x ? 9
综上,原不等式的解集为 {x | x ? 3或x ? ?3}. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 (2)?| x ? a | ? | x ? a |? 2 | a | . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分

1 3 由(Ⅰ)知 f ( x) ? f ( ) ? . 2 2
所以 2 | a |?

3 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 2

3 3 实数 a 的取值范围是 [? , ]. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 4 4


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