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人教版高一数学必修四教案(2014精编版)


1.1.1 任意角

授课班级 课 时

高一(7,8)班 1

知识 教 与 技能 学 过程 与 目 方法 情感 的 态度 价值观 重 点 难 点 任意角概念的理解;区间角的集合的书写. 终边相同角的集合的表示;区间角的集合的书写. 教学过程 教学步骤、内容 一、引入: 1.回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转 到另一个位置所形成的图形. 二、新课: 1.角的有关概念: ①角的定义: 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形 成的图形. ②角的名称:③角的分类: 始边 B 正角:按逆时针方向旋转形成的角 终边 零角:射线没有任何旋转形成的角 O A 负角:按顺时针方向旋转形成的角 顶点 2.象限角的概念: ①定义:若将角顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,那么角 的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角. 例 1.如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角? 例 2.在直角坐标系中,作出下列各角,并指出它们是第几象限的角. ⑴ 60°; ⑵ 120°; ⑶ 240°; ⑷ 300°; ⑸ 420°; ⑹ 480°; 答:分别为 1、2、3、4、1、2 象限角.
1

理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念.

会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合; 掌握区间 角的集合的书写.

1.提高学生的推理能力; 2.培养学生应用意识.

备注

3.探究:教材 P3 面 终边相同的角的表示: 所有与角α 终边相同的角, 连同α 在内, 可构成一个集合 S={ β | β = α + k?360 ° ,k∈Z},即任一与角α 终边相同的角,都可以表示成角 α 与整个周角的和. 注意:⑴ k∈Z⑵ α 是任一角;⑶ 终边相同的角不一定相等,但相等的角 终边一定相同.终边相同的角有无限个,它们相差 360°的整数倍;⑷ 角 α + k?720 °与角α 终边相同,但不能表示与角α 终边相同的所有角. 4.课堂小结 ①角的定义;②角的分类:③象限角;④终边相同的角的表示法. 5.课后作业: ①阅读教材 P2-P5; ②教材 P5 练习第 1-5 题; ③教材 P.9 习题 1.1 第 1、2、3 题

1.1.2 弧度制

授课班级 课 时

高一(7,8)班 1

知识 教 与 技能 学 过程 与方法 目 情感 态度 的 价值观

理解弧度的意义; 了解角的集合与实数集 R 之间的可建立起一一对应的关系; 熟记特殊角的弧度数.

能正确地进行弧度与角度之间的换算,能推导弧度制下的弧长公式及扇形的 面积公式,并能运用公式解决一些实际问题

通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进,培养学生求异创新的精神;通过 对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比,让学生感受弧长及扇形面 积公式在弧度制下的简洁美.

重 点 难 点

弧度的概念.弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明. “角度制”与“弧度制”的区别与联系. 教学过程 教学步骤、内容 备注 初中所学的角度制是 怎样规定角的度量 的?

一、复习角度制:见右 二、新课: 1. 引 入: 由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量 是 60 进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用

2

到另一种度量角的制度—弧度制,它是如何定义呢? 2.定 义:我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角;用 弧度来度量角的单位制叫做弧度制.在弧度制下, 1 弧度记做 1rad.在实际 运算中,常常将 rad 单位省略. 3.思考:弧度制的性质: ①半圆所对的圆心角为

规定把周角的

1 360

?r
r

? ?;

②整圆所对的圆心角为

2?r ? 2? . ③正 r

作为 1 度的角,用度 做单位来度量角的制 度叫做角度制.

角的弧度数是一个正数.④负角的弧度数是一个负数.⑤零角的弧度数是 零. ⑥角α 的弧度数的绝对值|α |= .

l r

4.角度与弧度之间的转换: ①将角度化为弧度:

360 ? ? 2? ; 180 ? ? ? ; 1? ?
②将弧度化为角度:

?
180

? 0.01745 rad ; n? ?

n? rad . 180


2? ? 360 ?



? ? 180 ?



180 1rad ? ( )? ? 57.30? ? 57?18?

?

n?(

180 n

?

)? .

5.常规写法: ① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数. ② 弧度与角度不能混用. 6.特殊角的弧度 角 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 度 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 弧 度 0

? 6

? 4

? 3

? 2

2? 3

3? 4

5? 6

?

3? 2

2?

7.弧长公式

? ? ?l ?r??
弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积. 例 1.把 67°30'化成弧度. 例 2.把 ? rad 化成度. 例 3.计算: (1) sin

l r

3 5

?
4

; (2) tan1.5 .

例 4.将下列各角化成 0 到 2π 的角加上 2kπ (k∈Z)的形式:

(1)

19? ; (2) ? 315? . 3

例 5.将下列各角化成 2kπ + α (k∈Z,0≤α <2π )的形式,并确定其所在 的象限.

31? 19? ; ( 2) ? . 3 6 19? 7? ? 2? ? , 解: (1) 3 6
(1)

3

7? 19? 是第三象限的角,? 是第三象限角. l R 3 6 31? 5? 31? ? ?6? ? ,? ? (2) ? ? 是第二象限角. O 6 6 6 1 例 6. 利用弧度制证明扇形面 积公式 S ? lR, 其中 l是扇形弧长 , R是圆的半径 . 2 2 证法一:∵圆的面积为 ?R ,∴圆心角为 1rad 的扇形 1 ?R 2 ,又扇形弧长为 l,半径为 R, 面积为 2? l l 1 2 1 ∴扇形的圆心角大小为 rad, ∴扇形面积 S ? ? R ? lR . R R 2 2 n ? ?R 2 证法二:设圆心角的度数为 n, 则在角度制下的扇形面积公式为 S ? , 360 n?R 1 n?R 1 ?R ? l ?R. 又此时弧长 l ? ,∴ S ? ? 180 2 180 2
而 可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化, 而弧度制下的扇形 面积公式显然要简洁得多.

1 1 扇形面积公式 : S ? lR ? ? R 2 2 2
7.课堂小结: 8.课后作业: 课后反思 1.2.1 任意角的三角函数(一) 授课班级 课 知识 教 与 技能 学 过程 与 目 方法 情感 的 态度 价值观 重 点 难 点 任意角的正弦、余弦、正切的定义,以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小 节的另一个重点. 利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α 的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集 合形式表示出来. 教学过程
4

高一(7,8)班 1



1.掌握任意角的三角函数的定义; 2.已知角α 终边上一点,会求角α 的各三角函数值; 3.记住三角函数的定义域、值域,诱导公式(一). 1.理解并掌握任意角的三角函数的定义; 2.树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数; 3.通过对定义域,三角函数值的符号,诱导公式一的推导,提高学生分析、探究、 解决问题的能力. 1.使学生认识到事物之间是有联系的,三角函数就是角度(自变量)与.比值(函 数值)的一种联系方式; 2.学习转化的思想,培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神;

教学步骤、内容

备注

一、复习引入: 见右 初中锐角的三角函数 二、讲解新课: 是如何定义的? 1.三角函数定义 在 Rt△ABC 中, 设 A 对边为 a,B 在直角坐标系中,设α 是一个任意角,α 终边上任意一点 P (除了原点) 对边为 b,C 对边 的 坐 标 为 ( x, y ) , 它 与 原 点 的 距 离 为 为 c, 锐角 A 的正 弦、余弦、正切 r (r ? | x |2 ? | y |2 ? x 2 ? y 2 ? 0) ,那么 依 次 为

y y 叫做α 的正弦,记作 sin ? ,即 sin ? ? ; r r x x (2)比值 叫做α 的余弦,记作 cos? ,即 cos ? ? ; r r y y (3)比值 叫做α 的正切,记作 tan ? ,即 tan ? ? ; x x
(1)比值 (4)比值

sinA ?


a b , cosA ? , tanA ? c c

角推广后,这样的三 角函数的定义不再适 用,我们必须对三角 函数重新定义。

x x 叫做α 的余切,记作 cot ? ,即 cot ? ? ; y y

说明:①α 的始边与 x 轴的非负半轴重合,α 的终边没有表明α 一定是正角 或负角, 以及α 的大小, 只表明与α 的终边相同的角所在的位置; ②根据相似三角形的知识,对于确定的角 α ,四个比值不以点

P( x, y ) 在α 的终边上的位置的改变而改变大小;
③当 ? ?

?
2

? k? (k ? Z ) 时,α 的终边在 y 轴上,终边上任意一点 y 无意义;同理当 ? ? k? (k ? Z ) x

的横坐标 x 都等于 0 ,所以 tan ? ? 时, cot? ?

x 无意义; y
y x y x 、 、 、 分别 r x y r

④除以上两种情况外,对于确定的值α ,比值

是一个确定的实数, 正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量,比值为函数值的函数,以上 四种函数统称为三角函数。 函 数 定 义 域 值 域

y ? sin ?
y ? cos ?
2.三角函数的定义域、值域

R

[?1,1] [?1,1]

R

5

y ? tan ?

{? | ? ?

?
2

? k? , k ? Z }

R

3.例题分析 例 1.求下列各角的四个三角函数值: (1) 0 ; (2) ? ; (3)

3? . 2

解: (1)因为当 ? ? 0 时, x ? r , y ? 0 ,所以

sin 0 ? 0 ,

cos 0 ? 1 ,

tan 0 ? 0 ,

cot 0 不存在。

(2)因为当 ? ? ? 时, x ? ?r , y ? 0 ,所以

cos ? ? ?1 , tan ? ? 0 , cot ? 不存在, 3? (3)因为当 ? ? 时, x ? 0 , y ? ? r ,所以 2 3? 3? 3? 3? sin ? ?1 , cos ? 0 , tan ? 0, 不存在, cot 2 2 2 2 sin ? ? 0 ,
4.三角函数的符号 由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知: ①正弦值

y 对于第一、二象限为正( y ? 0, r ? 0 ) ,对于第三、四象限为 r

负( y ? 0, r ? 0 ) ; ②余弦值

x 对于第一、四象限为正( x ? 0, r ? 0 ) ,对于第二、三象限为 r

负( x ? 0, r ? 0 ) ; ③正切值

y 对于第一、三象限为正( x , y 同号) ,对于第二、四象限为负 x

( x , y 异号) . 说明:若终边落在轴线上,则可用定义求出三角函数值。 练习: 确定下列三角函数值的符号: (1) cos 250 ; (2) sin( ?

?

4 例 4.求证:若 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 ,则角 ? 是第三象限角,反之也成立。
5.诱导公式 由三角函数的定义,就可知道:终边相同的角三角函数值相同。即有:

); (3) tan(?672 ) ; (4) tan

11? . 3

sin(? ? 2k? ) ? sin ? , cos(? ? 2k? ) ? cos ? , tan(? ? 2k? ) ? tan ? ,
其中 k ? Z . 这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为 0~2π 间角的三角 函数值问题. 例 5.求下列三角函数的值: (1) cos 四、小

9? 11? ), , (2) tan( ? 4 6

结:本节课学习了以下内容:
6

1.任意角的三角函数的定义;2.三角函数的定义域、值域;3.三角 函数的符号及诱导公式。 五、作业 课后反思: 1.2.1 任意角的三角函数(二) 授课班级 课 知识 教 与 技能 学 过程 与 目 方法 情感 学习转化的思想,培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神;. 的 态度 价值观 重 点 难 点 正弦、余弦、正切线的概念。 正弦、余弦、正切线的利用。 教学过程 教学步骤、内容 一、复习引入: 1. 三角函数的定义 备注 掌握用单位圆中的线段表示三角函数值, 从而使学生对三角函数的定义域、 值域有 更深的理解. 时 高一(7,8)班 1

1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式; 2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值; 3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。

sin(2k? ? ? ) ? sin ? (k ? Z) 2. 诱导公式 cos(2k? ? ? ) ? cos? (k ? Z) tan(2k? ? ? ) ? tan? (k ? Z)
二、讲解新课:
2 2 当角的终边上一点 P( x, y ) 的坐标满足 x ? y ? 1 时,有三角函数正

弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。 1.有向线段: 坐标轴是规定了方向的直线,那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定:与坐标轴方向一致时为正,与坐标方向相反时为负。 有向线段:带有方向的线段。 2.三角函数线的定义: 设任意角 ? 的顶点在原点 O ,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位

7

圆相交与点 P ( x, y ) , 过 P 作 x 轴的垂线, 垂足为 M ; 过点 A(1, 0) 作单位圆的切线, 它与角 ? 的 终边或其反向延 y 长线交与点 T .

y
P

T

P
M

o
y

A

o
x

M

A

x

T

T (Ⅱ)
A

y

(Ⅰ)

M M
o

P

o

x

A P T

x

由四个图看出: 当角 ? 的终边不在坐标轴上时,有向线段 OM ? x, MP ? y ,于是有

sin ? ?

y y x x ? ? y ? MP , cos ? ? ? ? x ? OM , r 1 r 1 y MP AT tan ? ? ? ? ? AT x OM OA

我们就分别称有向线段 MP, OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线。 4.例题分析: 例 1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。 (1)

5? ? 2? ; (2) ; (3) ? ; 6 3 3

(4) ?

13? . 6

解:图略。 例 2. 若0 ? ? ?

?
2

,证明 sin ? ? cos ? ? 1.

例3.比较大小: 2 4 (1) sin ?与 sin ? 3 5 2 4 (3) t an ?与 t an ? 3 5

2 4 (2) cos ?与 cos ? 3 5

1 例4.在[0,2? ]上满足 sin x ? 的x的取值范围是 ( 2

)

? ?? A. ?0, ? ? 6?

?? 5? ? B. ? , ? ?6 6 ?
8

?? 2? ? C. ? , ? ?6 3 ?

? 5? ? D. ? ,? ? ?6 ?

例 5. 利用单位圆写出符合下列条件的角 x 的范围.

1 ( 2) cos x ? . 2 7? 11? ? 2k? ? x ? ? 2k? , k ? Z 答 案 : ( 1 ) 6 6

1 (1) sin x ? ? ; 2

; ( 2 )

?

?

6

? 2k? ? x ?

?

6

? 2k? , k ? Z ;

三、巩固与练习:课本练习 四、小 结:本节课学习了以下内容: 1.三角函数线的定义; 2.会画任意角的三角函数线; 3.利用单位圆比较三角函数值的大小,求角的范围。 五、课后作业: 作业 4 课后反思

1.2.2 同角三角函数的基本关系

授课班级 课 时

高一(7,8)班 1

知识 教 学 目 的 与 技能 过程 牢固掌握同角三角函数的两个关系式,并能灵活运用于解题. 与 方法 价值观 重 点 难 点 提高学生分析、解决三角的思维能力. 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系; 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。

同角三角函数的基本关系式 三角函数值的符号的确定,同角三角函数的基本关系式的变式应用 教学过程 教学步骤、内容 备注 1. 任意角的三角函数 定义: 设角 ? 是一个任意 角, ? 终边上任意一 点 P( x, y ) ,它与原
2 2

一、复习引入:见备注 二、讲解新课: (一)同角三角函数的基本关系式: (板书课题:同角的三角函数的基本关系) 1 由三角函数的定义,我们可以得到以下关系:

sin ? (1)商数关系: tan ? ? con ?
2.例题分析:

(2)平方关系: sin ? ? con ? ? 1

点的距离为

9

一、求值问题

r (r ? | x |2 ? | y |2 ? x 2 ? y 2 ? 12 例 1. (1) 已知 sin ? ? , 并且 ? 是第二象限角, 求 cos ? , tan ? , cot ? . (2) y 13 ,那么: sin ? ? , 4 r 已知 cos ? ? ? ,求 sin ? , tan ? . x 5 cos ? ? , r 2 2 sin ? ? cos ? ? 1 解 ( 1 ) : ∵ , y tan ? ? , 12 2 5 2 x 2 2 ∴ cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ( ) ? ( ) 2. 当角α 分别在不同 13 13 5 的象限时, sinα 、 cos 又∵ ? 是第二象限角, ∴ cos ? ? 0 ,即有 cos ? ? ? ,从而 α 、tgα 的符号分别 13

sin ? 12 tan ? ? ?? cos ? 5 ,
2 2

1 5 cot ? ? ?? tan ? 12
∴ sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? (? ) ? ( ) ,
2 2 2 2

是怎样的? 3 . 背 景 : 如 果

(2)∵ sin ? ? cos ? ? 1 ,

象限的角,如何求角 4 A 的其它三角函数 又∵ cos ? ? ? ? 0 , ∴ ? 在第二或三象限角。 值; 5 3 sin ? 3 4. 问题: 由于α 的三 ?? ; 当 ? 在第二象限时,即有 sin ? ? 0 ,从而 sin ? ? , tan ? ? 角函数都是由 x、y、 5 cos ? 4 3 sin ? 3 r 表示的,则角α 的 tan ? ? ? . 当 ? 在第四象限时, 即有 sin ? ? 0 , 从而 sin ? ? ? , 三个三角函数之间有 5 cos ? 4 什么关系? 例 2.已知 tan ? 为非零实数,用 tan ? 表示 sin ? ,cos ? .
2 2 解:∵ sin ? ? cos ? ? 1 , tan ? ?

4 5

3 5

sin A ?

3 ,A 为第一 5

sin ? , cos ?
, 即 有



(cos? ? tan ? )2 ? cos2 ? ? cos2 ? (1 ? tan 2 ? ) ? 1
cos 2 ? ? 1 , 1 ? tan 2 ?

又∵ tan ? 为非零实数,∴ ? 为象限角。 当 ? 在 第 一 、 四 象 限 时 , 即 有 cos ? ? 0 , 从 而

1 1 ? tan 2 ? , cos ? ? ? 1 ? tan 2 ? 1 ? tan 2 ?
sin ? ? tan ? ? cos ? ?


tan ? 1 ? tan 2 ? ; 1 ? tan 2 ?

? 在 第 二 、 三 象 限 时 , 即 有 cos ? ? 0 , 从 而
cos ? ? ? 1 1 ? tan 2 ? , ? ? 1 ? tan 2 ? 1 ? tan 2 ?
tan ? 1 ? tan 2 ? . sin ? ? tan ? ? cos ? ? ? 1 ? tan 2 ?
10

例 3、已知 sin ? ? 2 cos ? ,求 解:? sin ? ? 2 cos?

sin ? ? 4 cos ? 5 sin ? ? 2 cos ?

⑵ 2 sin 2 ? ? 2 sin ? cos? ? cos2 ?.

? tan? ? 2

?

sin ? ? 4 cos ? tan ? ? 4 ?2 1 ? ? ?? 5 sin ? ? 2 cos ? 5 tan ? ? 2 12 6

二、化简 练习 1.化简 1 ? sin 2 440 . 解:原式

? 1 ? sin 2 (360 ? 80 ) ? 1 ? sin 2 80

? cos2 80 ? cos80 .
3? ) 2

练习 2. 化简 三、证明恒等式 例 4.求证:

1 ? cos? 1 ? cos? ? 1 ? cos? 1 ? cos?

(? ? ? ?

cos x 1 ? sin x ? . 1 ? sin x cos x

证法一:由题义知 cos x ? 0 ,所以 1 ? sin x ? 0,1 ? sin x ? 0 .

∴左边=

cos x(1 ? sin x) cos x(1 ? sin x) 1 ? sin x ? ? 右边. ? cos x (1 ? sin x)(1 ? sin x) cos 2 x

∴原式成立. 四、小 结:本节课学习了以下内容: 1.同角三角函数基本关系式及成立的条件; 2.根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值; 五、课后作业 1.3 诱导公式(一) 授课班级 课 知识 教 与 技能 学 过程 与 目 方法 情感 的 态度 通过公式四、 五的探究, 培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求 的探索精神等良好的个性品质. 1 能运用公式一、二、三的推导公式四、五. 2 掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证 明. 1 理解正弦、余弦的诱导公式. 2 培养学生化归、转化的能力. 时 高一(7,8)班 1

11

价值观 重 点 难 点 掌握诱导公式四、五的推导,能观察分析公式的特点,明确公式用途,熟练驾驭公式. 运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明. 教学过程 教学步骤、内容 一、复习: 二、新课讲授: 1、诱导公式(五) 2、诱导公式(六) 备注

sin( sin(

?

?

2 2

? ? ) ? cos ? ? ? ) ? cos ?

cos( cos(

?

?

2 2

? ? ) ? sin ? ? ? ) ? ? sin ?

总结为一句话:函数正变余,符号看象限 例 1.将下列三角函数转化为锐角三角函数:

(1) tan

3? , 5

(2) sin

31? 17 , (3) cos 519 ?, (4) sin( ? ? ). 36 3

练习 3:求下列函数值:

65? 31? , (2) sin( ? ), (3) sin 670 ?, (4) tan 580 ?). 6 4 3? ? ? ) ? ? cos ? 例 2.证明: (1) sin( 2 3? ? ? ) ? ? sin ? (2) cos( 2 ? 11 ? sin(2? ? ? ) cos(? ? ? ) cos( ? ? ) cos( ??) 2 2 例 3.化简: . 9? cos(? ? ? ) sin(3? ? ? ) sin(?? ? ? ) sin( ? ? ) 2 例4. 已知 tan( ? ? ? ) ? 3, (1) cos

2cos(? ? ? ) ? 3sin(? ? ? ) 求: 的值。 4cos(?? ) ? sin(2? ? ? ) ? ? ? ) ? 3,? tan? ? 3. 解:? tan( ? 2cos ? ? 3sin ? ? 2 ? 3 tan ? ? 2 ? 3 ? 3 原式 ? ? ? ? 7. 4cos ? ? sin? 4 ? tan ? 4?3
练习 4:教材 7. 三.课堂小结 ①熟记诱导公式五、六; ②公式一至四记忆口诀:函数名不变,正负看象限; ③运用诱导公式可以将任意角三角函数转化为锐角三角函数. 四.课后作业:

课后反思: 1.3 诱导公式(二) 授课班级 高一(7,8)班

12

课 知识 教 与 技能 学 过程 与 目 方法 情感 的 态度 价值观 重 点 难 点 1 理解正弦、余弦的诱导公式. 2 培养学生化归、转化的能力.



1

1 能运用公式一、二、三的推导公式四、五. 2 掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证 明.

通过公式四、 五的探究, 培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求 的探索精神等良好的个性品质.

掌握诱导公式四、五的推导,能观察分析公式的特点,明确公式用途,熟练驾驭公式. 运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明 教学过程 教学步骤、内容 备注

一、复习: 二、新课讲授: 练习 1.将下列三角函数转化为锐角三角函数:

(1) tan

3? , 5

(2) sin

31? 17 , (3) cos 519 ?, (4) sin( ? ? ). 36 3

练习 2:求下列函数值:

65? 31? , (2) sin( ? ), (3) sin 670 ?, (4) tan 580 ?). 6 4 3? 3? ? ? ) ? ? cos ? (2) cos( ? ? ) ? ? sin ? 例 1.证明: (1) sin( 2 2 ? 11 ? sin(2? ? ? ) cos(? ? ? ) cos( ? ? ) cos( ??) 2 2 例 2.化简: . 9? cos(? ? ? ) sin(3? ? ? ) sin(?? ? ? ) sin( ? ? ) 2 2cos( ? ? ? ) ? 3sin( ? ? ?) 例3. 已 知tan( ? ? ? ) ? 3, 求 : 的值。 4cos( ?? ) ? sin(2 ? ? ?) ? ? ? ) ? 3,? tan? ? 3. 解:? tan( ? 2cos ? ? 3sin ? ? 2 ? 3 tan ? ? 2 ? 3 ? 3 原式 ? ? ? ? 7. 4cos ? ? sin? 4 ? tan ? 4?3 (1) cos
例 4.

已 知sin( ? ??) ?
小结:

4 2 sin( ? ? ? ) ? 3 tan(3? ? ? ) , 且 sin? cos? ? 0, 求 的 值. 5 4 cos( ? ? 3? )

13

①三角函数的简化过程图: 练习 3:教材 7. 化简:

?? ? cos? ? ? ? 2? ? (1) ? sin( ? ? 2? ) ? cos(2? ? ? ); ? 5? ? sin? ?? ? ? 2 ?
( 2) cos2 ( ?? ) ?
例 5.

tan(360o ? ? ) . sin( ?? )
1 7? ? 0的两根,且 3? ? ? ? . 2 2

已知sin? , cos?是关于 x的方程 x 2 ? ax ?


tan(6? ? ? ) sin( ?2? ? ? ) cos(6? ? ? ) 的值. cos(? ? 180? ) sin( 900? ? ? )

三.课堂小结 四.课后作业: 课后反思

1.4.1 正弦、余弦函数的图象

授课班级 课 时

高一(7,8)班 2

知识 教 与 技能 学 过程 与 目 方法 情 感 态 的 度价观

1 利用单位圆中的三角函数线作出 y ? sin x, x ? R 的图象,明确图象的形状;2 根据关系 cos x ? sin( x ?

?
2

) ,作出 y ? cos x, x ? R 的图象;3 用“五点法”作

出正弦函数、余弦函数的简图,并利用图象解决一些有关问题; 1 理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法; 2 理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法;

通过作正弦函数和余弦函数图象, 培养学生认真负责, 一丝不苟的学习和工作 精神;

重 点 难 点

用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象; 作余弦函数的图象。 教学过程 教学步骤、内容 备注 1. 弧度定义:
14

一、复习引入:见备注

二、讲解新课: (1)函数 y=sinx 的图象

长度等于半径长的弧 所对的圆心角称为 1 弧度的角。 第一步:在直角坐标系的 x 轴上任取一点 O1 ,以 O1 为圆心作单位圆, 2.正、余弦函数 从这个圆与 x 轴的交点 A 起把圆分成 n(这里 n=12)等份.把 x 轴上从 0 到 2 定义:设 ? 是一个任 π 这一段分成 n(这里 n=12)等份.(预备:取自变量 x 值—弧度制下角与实 意角,在 ? 的终边上 数的对应). 任取(异于原点的) ? ? ? 一点 P(x,y) 第二步:在单位圆中画出对应于角 0, , , ,?,2π 的正弦线正 P 6 3 2 (x, y) 弦线(等价于“列表” ).把角 x 的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起 与 r 点与 x 轴上相应的点 x 重合, 则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点 (等 原 价于“描点” ). 点 ? 第三步:连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来,就得到正弦 的 函数 y=sinx,x∈[0,2π ]的图象. 距 离 r(

P

r?
)

x ? y ? x2 ? y2 ? 0
y r


2

2

则比值 叫做 ? 的正弦 根据终边相同的同名三角函数值相等, 把上述图象沿着 x 轴向右和向左 连续地平行移动,每次移动的距离为 2π ,就得到 y=sinx,x∈R 的图象. 把角 x ( x ? R) 的正弦线平行移动, 使得正弦线的起点与 x 轴上相应的 点 x 重合,则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数 y=sinx 的图象. 作:

sin ? ?

y r
x r


比值 叫做 ? 的余弦 作:

cos ? ?

x r

3.正弦线、余弦

(2)余弦函数 y=cosx 的图象 探究 1:你能根据诱导公式,以正弦函数图象为基础,通过适当的图形 变换得到余弦函数的图象? 根据诱导公式 cos x ? sin( x ?

?
2

) ,可以把正弦函数 y=sinx 的图象向左
y 1

y=sinx
o ? 2? 3? 4? 5?

-6?

-5?

-4?

-3?

-2?

-?

-1 y 1

y=cosx
? 2? 3? 4? 5?

线:设任意角 α 的终边与单 位圆相交于点 P(x ,y),过 P 6? x 作 x 轴的垂线, 垂足为 M,则有

-6?

-5?

-4?

-3?

-2?

-?

sin ? ?
6? x

-1

y ? MP r

15

平移

? x 单位即得余弦函数 y=cosx 的图象. (课件第三页“平移曲 , cos ? ? ? OM 2 r
向线段 MP 叫做 角α 的正弦线,有向 线段 OM 叫做角α 的 余弦线.

线” ) 正弦函数 y=sinx 的图象和余弦函数 y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线 和余弦曲线. 思考:在作正弦函数的图象时,应抓住哪些关键点? 2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法) : 正弦函数 y=sinx, x∈[0, 2π ]的图象中, 五个关键点是: (0,0) ( (?,0) (
3? ,-1) (2?,0) 2

? ,1) 2

余弦函数 y=cosx (?,-1) (

x?[0,2?]的五个点关键是哪几个?(0,1) (

? ,0) 2

3? ,0) (2?,1) 2

只要这五个点描出后, 图象的形状就基本确定了. 因此在精确度不太高 时,常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图,要求熟练掌握. 优点是方便,缺点是精确度不高,熟练后尚可以 例 2 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法,求满足下列条件的 x 的 集合: (1) sin x ?

1 ; 2

1 5? (2) cos x ? , (0 ? x ? ). 2 2

三、巩固与练习 四、小 结:本节课学习了以下内容: 1.正弦、余弦曲线 几何画法和五点法 2.注意与诱导公式,三角函数线的知识的联系 五、课后作业 课后反思: 1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(二)

授课班级 课 时

高一(7,8)班 1

知识 教 与 技能 学 过程 掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断,并能求出正、余弦函数的单调区间。 与 目 方法 情感 的 态度 激发学生学习数学的兴趣和积极性,陶冶学生的情操,培养学生坚忍不拔的意志, 实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。 要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性.

16

价值观 重 点 难 点 正、余弦函数的奇、偶性和单调性; 正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用; 教学过程 教学步骤、内容 一、复习引入:偶函数、奇函数的定义,反映在图象上,说明函数的图象有 怎样的对称性呢? 二、讲解新课: 1. 奇偶性 请同学们观察正、 余弦函数的图形, 说出函数图象有怎样的对称性?其特点 是什么? (1)余弦函数的图形 当自变量取一对相反数时,函数 y 取同一值。 例如: f(备注

? 1 ? 1 ? ? )= ,f( )= ,即 f(- )=f( ); ?? 3 2 3 2 3 3

由于 cos(-

x)=cosx ∴f(-x)= f(x). 以上情况反映在图象上就是:如果点(x,y)是函数 y=cosx 的图象上的 任一点,那么,与它关于 y 轴的对称点(-x,y)也在函数 y=cosx 的图象上,这 时,我们说函数 y=cosx 是偶函数。 (2)正弦函数的图形 观察函数 y=sinx 的图象,当自变量取一对相反数时,它们对应的函数 值有什么关系? 这个事实反映在图象上, 说明函数的图象有怎样的对称性呢?函数的图 象关于原点对称。 也就是说,如果点(x,y)是函数 y=sinx 的图象上任一点,那么与它关 于原点对称的点(-x,-y)也在函数 y=sinx 的图象上,这时,我们说函数 y=sinx 是奇函数。 2.单调性 从 y=sinx,x∈[-

? 3?
2 , 2

]的图象上可看出:当 x∈[-

曲线逐渐上升,sinx 的值由-1 增大到 1;当 x∈[ 渐下降,sinx 的值由 1 减小到-1. 结合上述周期性可知: 正弦函数在每一个闭区间[-

? 3? , ]时,曲线逐 2 2

? ? , ]时, 2 2

? ? +2kπ , +2kπ ](k∈Z)上都是增 2 2 3? ? 函数, 其值从-1 增大到 1; 在每一个闭区间 [ +2kπ , 2 2

+2kπ ](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到-1. 余弦函数在每一个闭区间[(2k-1)π ,2kπ ](k∈Z)上都是增函数,其 值从-1 增加到 1;在每一个闭区间[2kπ ,(2k+1)π ](k∈Z)上都是减函 数,其值从 1 减小到-1.
17

( 1 )写出函 数

3.有关对称轴 观察正、余弦函数的图形,可知 y=sinx 的对称轴为 x= k? ? x= k? k∈Z 练习 1:见右 思考: 11 题。 4.例题讲解 例 1 判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ?

y ? 3 sin 2 x 的
k∈ Z y=cosx 的对称轴为 对称轴; ( 2 )

?
2

y ? sin( x ?

?
4

)

的一条对称轴是 ( C ) (A) x 轴, (B) y (2) f ( x) ? lg(sin x ? 1 ? sin 2 x ); . 轴, (C) , 直线 (D) 直

1 ? sin x ? cos x ; 1 ? sin x ? cos x

例 2 函数 f(x)=sinx 图象的对称轴是 ;对称中心是 例 3 课本 例 4 不通过求值,指出下列各式大于 0 还是小于 0; ① sin( ?

x?

?
4

) 10 1 ? 例 5 求函数 y ? 2 sin( x ? ) 的单调递增区间; 2 3 ? 1 x ? [?2? ,2? ] 的单调递增区间吗? 思考:你能求 y ? sin( ? x) 3 2 18
练习 2:课本的练习 三、小 结:本节课学习了以下内容:正弦、余弦函数的性质 1. 单调性 2. 奇偶性 3. 周期性 五、课后作业:

?

) ? sin( ?

?

23 17 ② cos( ? ? ) ? cos( ? ? ) 5 4

线x ? ?

?
4

1.4.3 正切函数的性质与图象

授课班级 课 时

高一(7,8)班 1

知识 教 与 技能 学 过程 与 目 方法 情感 的 态度 价值观 重 点

1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象;2.用正切函数图象解决函数有关的性 质;

1.理解并掌握作正切函数图象的方法; 2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法;

认识数学的重要性。

用单位圆中的正切线作正切函数图象;

18

难 点

正切函数的性质。 教学过程 教学步骤、内容 备注

一、复习引入: 问题:1、正弦曲线是怎样画的?

2、练习:画出下列各角的正切线:

下面我们来作正切函数的图象. 二、讲解新课: 1 . 正 切 函 数 y ? tan x

















? ? ? ? x | x ? ? k? , k ? z ? 2 ? ?
2.正切函数是不 是周期函数?

? ? ? tan ? x ? ? ? ? tan x ? x ? R, 且x ? k? ? , k ? z ? 2 ? ?


?



? ? ? y ? tan x ? x ? R, 且x ? k? ? , k ? z ? 2 ? ?
的一个周期。 ? 是不是正切函数的最小正周期?下面作出正切函数图象来判断。 3.作 y ? tan x , x ? ? ?

? ? ?? , ? 的图象 ? 2 2?

说明: (1) 正切函数的最小正周期不能比 ? 小, 正切函数的最小正周期是 ? ; y ( 2 )根据正切函数的周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正切函数 y ? y ? tan x x ? R ,且 x ? ? k? ?k ? z ? 的图象,称“正切曲线” 。

2

3 ? ? 2

?

?
2

? 2

?

3 ? 2

19

?? x ? k? ? (3)正切曲线是由被相互平行的直线
支曲线组成的。 4.正切函数的性质

?

? k ? Z ? 所隔开的无穷多 2O

0 引导学生观察,共同获得:

(1)定义域: ? x | x ? 于 k? ?

? ?

?

? (2)值域:R ? k? , k ? z ? ; 2 ?

观察:当 x 从小

?
2

?k ? z ?

? 时 , tan x ?? ??? 当 x 从 大 于 , x? ?? k? ? 2

xx

?
2

?? ? k? ?k ? z ? , x ?

?
2

?? ?? 。 ? k? 时, tan x ?

(3)周期性: T ? ? ; (4)奇偶性:由 tan?? x ? ? ? tan x 知,正切函数是

? ? ? 奇函数; (5)单调性:在开区间 ? ? ? ? k? , ? k? ?k ? z 内,函数单调递增。 2 ? 2 ? 5.讲解范例:
例 1 比较 tan? ?

? 13? ? ? 17? ? ? 与 tan? ? ? 的大小 ? 4 ? ? 5 ?

王新敞
奎屯

新疆





? 13? ? ? tan? ? ? ? ? tan ? 4 ?

? 4



? 17? tan? ? ? 5
单 调

2? ? ? ? ? tan 5 ?
递 增



0?

?
4

?

2? ? ?? , y ? tan x在? 0, ? 5 ? 2? ? tan





? tan

?
4

2? ? 2? ? 13 ? ? 17 ? ,? ? tan ? ? tan ,即 tan? ? ? ? ? tan? ? ? ? 5 4 5 ? 4 ? ? 5 ?

例 2:求下列函数的周期: (1) y ? 3tan ? x ?

? ?

??

?? ? ? 答:T ? ? (2) y ? tan ? 3x ? ? 5? 6? ?
的周期 T ?

答:T ?

?
3



说明:函数

y ? A tan ?? x ? ? ?? A ? 0,? ? 0?

? . ?

例 3:求函数 y ? tan? 3x ? 单调性, 解 : 1 、 由 3x ?

? ?

??

? 的定义域、值域,指出它的周期性、奇偶性、 3?

?
3

? k? ?

?
2

得 x?

k? 5? ? ,所求定义域为 3 18

? k? 5? ? ? ? , k ? z ? 2、值域为 R,周期 T ? , ? x | x ? R, 且x ? 3 3 18 ? ?
20

3、在区间 ? 四、小结: 五、作业:

? k? ? k? 5? ? ? , ? ??k ? z ? 上是增函数。 ? 3 18 3 18 ?

1.5 函数 y=Asin(wx+?)(A>0,w>0 的图象

授课班级 课 时

高一(7,8)班 1

知识 教 与 技能 学 过程 与 目 方法 情感 的 态度 价值观 重 点 难 点

分别通过对三角函数图像的各种变换的复习和动态演示进一步让学生了解三角函 数图像各种变换的实质和内在规律。

通过对函数 y = Asin(wx+4)(A>0,w>0)图象的探讨,让学生进一步掌握三角函数 图像各种变换的内在联系。

培养学生观察问题和探索问题的能力。

函数 y = Asin(wx+?)的图像的画法和设图像与函数 y=sinx 图像的关系。 各种变换内在联系的揭示。 教学过程 教学步骤、内容 备注 1.“五点法”作函数 y=sinx 简图的步骤, 其中“五点”是指什 么? 2 . f ( x ? k ) 的图象 与 f ( x) 的图象有什 么样的关系?

一、复习旧知:见备注 二、新课讲授 1. 函数 y = sin(x?k)(k>0)的图象和函数 y = sinx 图像的关系是什么? 生答:函数 y = sin(x ?k)(k>0)的图像可由函数 y = sinx 的图像向左(或 右)平移 k 个单位而得到, 这种变换实际上是纵坐标不变, 横坐标增加(或减 少)k 个单位,这种变换称为平移变换。 2. 函数 y = sinwx (w>0)的图像和函数 y = sinx 图像的关系是什么? 生答:函数 y = sinwx(w>0)的图像可由函数 y = sinx 的图像沿 x 轴伸长 (w<1)或缩短(w>1)到原来的

1 倍而得到,称为周期变换。 ?
21

这种变化的实质是纵坐标不变,横坐标伸长(0<w<1)或缩短(w>1)到原来 的

1 倍。 ?

3. 函数 y = Asinx(A>0)的图像和函数 y = sinx 图像的关系是什么? 学生答: 函数 y = Asinx 的图像可由函数 y = sinx 的图像沿 y 轴伸长(A>1) 或缩短(x<1)到原来的 A 倍而得到的,称为振幅变换。 这种变换的实质是:横坐标不变,纵坐标伸长 (A> | )或缩小(0<A<1) 到原来的 A 倍。 思考:上面我们学习了三种函数 y = sin(x ?k),y = sinwx,y = Asinx 的图像和函数 y = sinx 图像的关系,那么 y = Asin(wx+?)(A>0,w>0) 的 图像和函数 y = sinx 的图像有何关系呢? 4. 函数 y = Asin(wx+?)的图像的画法。 为了探讨函数 y = Asin(wx+?)的图像和函数 y = sinx 图像的关系,我们 先来用“五点法”作函数 y = Asin(wx+?)的图像。

? ? ? 7 ? 5? ? 3? ,?, ,2?,则得 x 为 ? , , , , ,所 2 2 6 12 3 12 6 ? 5? ? 对应的五点为函数 y=3sin(x ? )在一个周期[ ? , ]图象上起关键作 3 6 6
别取 z = 0, 用的点。 ⑵列表

? )的简图。 3 z ? z? ? ? ? 3 解:⑴设 Z= 2x + ,那么 3xin(2x+ )= 3sin?,x= = ? ,分 2 3 3 2 6
例:作函数 y = 3sin(2x+

x

?

? 6

? 12
? 2

? 3
?

7? 12
3? 2

5? 6
2?

2x+

? 3

0

sin(2x+

? ) 3
? ) 3

0

1

0

?1

0

3 sin(2x+

0

3

0

?3

0

⑶描点作图,图略 归纳: 函数 y=Asin(wx+?)(A>0,w>0)图像和函数 y=sinx 图像的关系。 三、思考探究: 上面我们学习了函数 y = Asin(wx+?)的图像可由 y = sinx 图像平移变 换→周期变换→振幅变换的顺序而得到, 若按下列顺序得到 y = Asin(wx+?) 的图象吗? ⑴周期变换→平移变换→振幅变换 ⑵振幅变换→平移变换→周期变换 ⑶平移变换→振幅变换→周期变换

22

四、变式练习 1. 作下列函数在一个周期的闭区间上的简图,并指出它的图像是如何由 函数 y = sinx 的图像而得到的。 ⑴y = 5sin( 五、归纳小结: 六、布置作业: 课后反思 1.5 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象(二) 授课班级 课 知识 教 与技能 过程 学 与 方法 目 情感 态度 的 价值观 处理三种变换的综合应用时的图象信息. 处理三种变换的综合应用时的图象信息. 教学过程 教学步骤、内容 一、复习:见备注 备注 1. 如何由 y=sinx 的 图 象 得 到 函 数 渗透函数应抓住事物的本质的哲学观点. 能运用多种变换综合应用时的图象信息解题. 1 了解三种变换的有关概念; 2 能进行三种变换综合应用; 3 掌握 y=Asin(ω x+φ )+h 的图像信息. 时 高一(7,8)班 1

1 ? 1 ? x+ );⑵y = sin(3x ? ) 2 6 2 4

重 点 难 点

函数表示一个振动量时: A:这个量振动时离开平衡位置的最大距离,称为“振幅”. T: T ?

二、函数 y ? A sin( ?x ? ? ),x ? [0,??)(其中A ? 0, ? ? 0)的物理意义: y ? A sin( ?x ? ? )的图象.
2?

2. A、 ?、 ?对函数 y ? A sin(?x

?

往复振动一次所需的时 间,称为“周期”.

f :f ?

?x ? ? : 称为“相位” . ? : x=0 时的相位,称为“初相”.
三、应用 例 1、教材的例 2。

1 ? ? 单位时间内往返振动的 次数,称为“频率” . T 2?

23

例2.由右图所示函数图象, 求 y ? A sin(?x ? ? )(| ? |? ? )的表达式 .
解析:由图象可知 A=2,

y 2 1
? 3? 8 7? 8

T? 即

2?

7? ? ? (? ) ? ? , 8 8 ? ?, ?? ? 2.

? o
8

x

?

又(? ,0)为五点作图的第一个点 , 8 因此2 ? (?

?

?2

?

8

) ? ? ? 0, ?? ?

?

4

.

因此所求函数的表达式 为y ? 2 sin(2 x ?

?
4

).

例3.右图所示的曲线是 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0)的图象的一部分, 求这个函数的解析式 .
解:由函数图象可知

y 2
5? 6

4 5? ? 2? A ? 2, T ? ( ? ) ? ? ,即 ? ?, 3 6 12 ? ?? ? 2 5? 又( , 0)是“五点法”作图的 第五个点, 6 5? ? 即2 ? ? ? ? 2?, ?? ? . 6 3 ? 所求函数的解析式为 y ? 2 sin(2 x ?

o ?
12

x

?2

?

3

).

思考: 下图为y ? A sin(?x ? ? )的图象的一段,求其解 析式.
解 1:以点 N 为第一个零点,则 A ? ? 3,

y 3
M

T ? 2(

5? ? ? ) ??, 6 3

N

o

?? ? 2, 此时解析式为 y ? ? 3 sin(2 x ? ? ). ? 点N (? ,0) 6 ??

?

?
?
3

?
3

3
)

5? x 6

?

6

?2 ?? ? 0 ?? ?

?
3

.? 所求解析式为 y ? ? 3 sin(2 x ?
2? ? 2, T

解 2:以点 M ( 解 析 式 为

?
3

,0) 为第一个零点,则 A ? 3 , ? ?

y ? 3 sin(2x ? ? ), 将 点

M

的 坐 标 代 入 得

24

2?

?
3

?? ? 0 ?? ? ?

2? , 3

? 所求解析式为 y ? 3 sin( 2 x ?
四、课堂小结: 五、课后作业: 课后反思:

2? ). 3

2.1 平面向量的实际背景及基本概念

授课班级 课 时

高一(7,8)班 2

知识 教 与 技能 学 过程

了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向量的模、零 向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相 等向量和共线向量.

通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 与 目 方法 情感 的 态度 价值观 重 点 难 点 理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量. 平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 教学过程 教学步骤、内容 一、情景设置: 如图,老鼠由 A 向西北逃窜,猫在 B 处向 东追去,设问:猫能否追到老鼠?(画图) 结论:猫的速度再快也没用,因为方向错 了. 备注 通过学生对向量与数量的识别能力的训练, 培养学生认识客观事物的数学本质的能 力.

C A B D

分析:老鼠逃窜的路线 AC、猫追逐的路线 BD 实际上都是有方向、有长 短的量. 引言:请同学指出哪些量既有大小又有方向?哪些量只有大小没有方 向? 二、新课学习: (一)向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量 (二)请同学阅读课本后回答:
25

1、数量与向量有何区别?2、如何表示向量? 3、有向线段和线段有何区别和联系?分别可以表示向量的什么? 4、长度为零的向量叫什么向量?长度为 1 的向量叫什么向量? 5、满足什么条件的两个向量是相等向量?单位向量是相等向量吗? 6、有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系? 7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点 O,这是它们是不是平行 向量?这时各向量的终点之间有什么关系? (三)探究学习 1、数量与向量的区别: 数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小.
A(起点)

a

B (终点)

2.向量的表示方法:①用有向线段表示;②用字母a、b(黑体,印刷 用) 等表示; ③用有向线段的起点与终点字母:AB ; ④向量 AB 的大小―― 长度称为向量的模,记作| AB |. 3.有向线段: 具有方向的线段就叫做有向线段, 三个要素: 起点、 方向、 长度. 向量与有向线段的区别: (1) 向量只有大小和方向两个要素, 与起点无关, 只要大小和方向相同, 则这两个向量就是相同的向量; (2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和 方向相同,也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念: ①长度为 0 的向量叫零向量,记作 0. 0 的方向是任意的. 注意 0 与 0 的含义与书写区别. ②长度为 1 个单位长度的向量,叫单位向量. 说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义: ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量; ②我们规定 0 与任一向量平 行. 说明: (1)综合①、②才是平行向量的完整定义; (2)向量a、b、c 平行,记作a∥b∥c. 6、相等向量定义: 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明: (1)向量a与b相等,记作a=b; (2)零向量与零向量相等;

26

(3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示, 并且与有向线段的起点无关 . .......... 7、共线向量与平行向量关系: 平行向量就是共线向量, 这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上 (与有向线段的起点无关) . ........... 说明: (1) 平行向量可以在同一直线上, 要区别于两平行线的位置关系; (2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系. (四)理解和巩固: 例 1 书本例 1. 例 2 判断: (1)平行向量是否一定方向相同?(不一定) (2)不相等的向量是否 一定不平行?(不一定) (3)与零向量相等的向量必定是什么向量?(零向量) (4)与任意向量都平行的向量是什么向量?(零向量) (5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?(平 行向量) (6)两个非零向量相等的当且仅当什么?(长度相等且方向相同) (7)共线向量一定在同一直线上吗?(不一定) 例 3 下列命题正确的是( )

1. 判断下列命题 是否正确, 若不正确, 请简述理由 ① 向 量 AB 与

CD 是 共 线 向
量,则 A、B、C、 D 四点必在一直 线上; ②单位向量都相 等; ③任一向量与它 的相反向量不相 等; ④ 四 边 形 ABCD 是平行四边形当 且 仅 当 AB =

DC
⑤一个向量方向 不确定当且仅当 模为 0; ⑥共线的向量, 若起点不同,则 终点一定不同. 解: ①不正确 . 共线向量即平行 向量,只要求方 向相同或相反即 可,并不要求两 个 向 量 AB 、

A.a与b共线,b与c共线,则a与 c 也共线 B. 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶 点 C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 解:由于零向量与任一向量都共线,所以 A 不正确;由于数学中研究的向量 是自由向量, 所以两个相等的非零向量可以在同一直线上, 而此时就构不成 四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以 B 不正确;向量的 平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确;对于 C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a与b 不都是非零向量, 即a与b至少有一个是零向量, 而由零向量与任一向量都 共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,所 以应选 C. 例 4 如图,设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,分别 写出图中与向量 OA 、 OB 、 OC 相等的向量. 变式一:与向量长度相等的向量有多少个?(11 个)

AC 在同一直线
上. ②不正确. 单位向量模均相 等且为 1,但方

27

变式二:是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?(存在) 变式三:与向量共线的向量有哪些?( CB, DO, FE ) 课堂练习:见备注 2.书本练习 三、小结 : 1、 描述向量的两个指标:模和方向. 2、 平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比. 3、 向量的图示,要标上箭头和始点、终点. 四、课后作业: 书本习题 2.1 第 3、5 题 课后反思 2.2.1 向量的加法运算及其几何意义 授课班级 课 知识 教 与 技能 学 过程 与 目 方法 情感 的 态度 价值观 重 点 难 点 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 理解向量加法的定义. 教学过程 教学步骤、内容 一、设置情景: 1、 复习:向量的定义以及有关概念 强调:向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相 等.因此,我们研究的向量是与起点无关的自由向量,即任何向量可以 在不改变它的方向和大小的前提下,移到任何位置
28

向并不确定. ③不 正确 . 零 向

量的相反向量仍是零 向量,但零向量与零 向量是相等的. ④、 ⑤正确.⑥不正确.如 图 AC 与 BC 共线, 虽起点不同,但其终 点却相同.

高一(7,8)班 1



掌握向量的加法运算,并理解其几何意义;

会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量, 培养数形结合 解决问题的能力;

通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比, 使学生掌握向量加法运算的交换律和 结合律,并会用它们进行向量计算,渗透类比的数学方法;

备注

2、 情景设置: (1)某人从 A 到 B,再从 B 按原方向到 C, 则两次的位移和: AB ? BC ? AC (2)若上题改为从 A 到 B,再从 B 按反方向到 C, 则两次的位移和: AB ? BC ? AC (3)某车从 A 到 B,再从 B 改变方向到 C, 则两次的位移和: AB ? BC ? AC A B C C C A B A B C

(4)船速为 AB ,水速为 BC ,则两速度和: AB ? BC ? AC 二、探索研究: 1、向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法. 2、三角形法则( “首尾相接,首尾连” ) 如图,已知向量 a、b.在平面内任取一点 A ,作 AB =a, BC =b, 则向量 AC 叫做 a 与b的和,记作 a+b,即 a+b ? AB ? BC ? AC , 规定: a + 0-= 0 + a a b a+b b B a+b A B

探究: (1)两 相向量的和仍 是一个向量; (2) 当向 b

a

a C a A + a b b

量 a 与 b 不共线时, a + b 的方向不同向,且| a + b |<| a |+| b |; (3)当 a 与 b 同向时,则 O a b a b a a A b B

a + b 、 a 、 b 同向,且
| a + b |=| a |+| b |, 当 a 与 b 反向

时,若| a |>| b |,则 a + b 的方向与 a 相同,且| a + b |=| a |-| b |;若 | a |<| b |,则 a + b 的方向与 b 相同,且| a +b|=| b |-| a |.
29

(4) “向量平移” (自由向量) :使前一个向量的终点为后一个向量的起 点,可以推广到 n 个向量连加 3.例一、已知向量 a 、 b ,求作向量 a + b 作法:在平面内取一点,作 OA ? a AB ? b ,则 OB ? a ? b . 4.加法的交换律和平行四边形法则 问题:上题中 b + a 的结果与 a + b 是否相同? 验证结果相同

从而得到:1)向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线不适应) 2) 向量加法的交换律:a + b = b + a 5.向量加法的结合律:( a + b ) + c = a + ( b + c ) 证:如图:使 AB ? a , BC ? b , CD ? c 则 ( a + b ) + c = AC ? CD ? AD , a + ( b + c ) = AB ? BD ? AD ∴( a + b ) + c = a + ( b + c ) 从而,多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. 三、应用举例: 例二 练习: 四、小结 1、向量加法的几何意义;2、交换律和结合律; 3、注意:| a + b | ≤ | a | + | b |,当且仅当方向相同时取等号. 五、课后作业: 第2、3题

2.2.2 向量的减法运算及其几何意义

授课班级 课 时

高一(7,8)班 1

30

知识 教 与 技能 学 过程 与 目 方法 情感 的 态度 价值观 重 点 难 点 向量减法的概念和向量减法的作图法. 减法运算时方向的确定. 教学过程 教学步骤、内容 1、 复习:向量加法的法则:三角形法则与平行四边形法则 向量加法的运算定律: 例:在四边形中, CB ? BA ? BA ? . D C 备注 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算,使学生理解事物之间可以 相互转化的辩证思想. 掌握向量的减法,会作两个向量的减向量,并理解其几何意义; 了解相反向量的概念;

解: CB ? BA ? BA ? CB ? BA ? AD ? CD 2、 提出课题:向量的减法 1. 用“相反向量”定义向量的减法 A

B

(1) “相反向量”的定义:与 a 长度相同、方向相反的向量.记作 ?a (2) 规定:零向量的相反向量仍是零向量.?(?a) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (?a) = 0 如果 a、b 互为相反向量,则 a = ?b, b = ?a, a + b = 0 (3) 向量减法的定义:向量 a 加上的 b 相反向量,叫做 a 与 b 的差. 即:a ? b = a + (?b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.

2. 用加法的逆运算定义向量的减法: 向量的减法是向量加法的逆运算: 若 b + x = a,则 x 叫做 a 与 b 的差,记作 a ? b 3. 求作差向量:已知向量 a、b,求作向量 ∵(a?b) + b = a + (?b) + b = a + 0 = a a 作法:在平面内取一点 O, b
31

O b a?b B

a

作 OA = a, 则 BA = a ? b

AB = b

即 a ? b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量. 注意:1? AB 表示 a ? b.强调:差向量“箭头”指向被减数 2?用“相反向量”定义法作差向量,a ? b = a + (?b) 显然,此法作图较繁,但最后作图可统一. B’ a O b B b B b A

?b
a

a+ (?b)

4. 探究:

1)如果从向量 a 的终点指向向量 b 的终点作向量, 那么所得向量是 b ?

a.
a O b a b O a?b A ?b ? B B O a?b B A B’ O B a?b A

a?b A

2)若 a∥b, 如何作出 a ? b 3、 例题:

例一、 (例三)已知向量 a、b、c、d,求作向量 a?b、c?d. 解:在平面上取一点 O,作 OA = a, OB = b, OC = c, OD = d, 作 BA , DC , 则 BA = a?b,

DC = c?d
A B D

a

b

d c

例二、平行四边形 ABCD 中, AB ? a, AD ? b,
32

O D

C C

A

B

用 a、b 表示向量 AC 、 DB . 解:由平行四边形法则得:

AC = a + b, DB = AB ? AD = a?b
变式一:当 a, b 满足什么条件时,a+b 与 a?b 垂直?(|a| = |b|) 变式二:当 a, b 满足什么条件时,|a+b| = |a?b|?(a, b 互相垂直) 变式三:a+b 与 a?b 可能是相当向量吗?(不可能,∵ 练习: 4、 小结:向量减法的定义、作图法| 5、 作业:第 4、5题 课后反思: 2.3.1 平面向量基本定理 授课班级 课 知识 教 与 技能 学 过程 与 目 方法 情感 能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达. 的 态度 价值观 重 点 难 点 平面向量基本定理. 平面向量基本定理的理解与应用. 教学过程 教学步骤、内容 一、 复习引入:见备注 备注 1.实数与向量的积: 实数 λ 与向量 a 的积 是一个向量,记作: 理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示, 初步掌握应用向量 解决实际问题的重要思想方法; 了解平面向量基本定理;. 时 高一(7,8)班 1 对角线方向不同)

?

二、讲解新课:

? 平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那 λ a
( 1 ) | λ a |=| λ
33

?

? ? ? || a |; (2) λ >0 时λ 么对于这一平面内的任一向量 a ,有且只有一对实数λ 1,λ 2 使 a =λ 1 e1 + ? ? a 与 a 方向相同; λ ? ? λ 2 e2 . <0 时λ a 与 a 方向相
探究: (1) 我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2) 基底不惟一,关键是不共线; (3) 由定理可将任一向量 a 在给出基底e1、e2的条件下进行分解; (4) 基底给定时,分解形式惟一. λ 1,λ 量 三、讲解范例: 例 1 已知向量 e1 , e2 例2 求作向量?2.5 e1 +3 e2 .
2

反;λ =0 时λ a = 0 2.运算定律 结 合 律 : λ (μ a )=( λ μ ) a ; 分配律: ( λ +μ ) a = λ a +μ a , ( a + b )=λ a +λ b

?

?

?

是被 a , e1 , e2 唯一确定的数

?

?

?

?

λ

? ?

?

?

3. 向 量 共 线 定 理 向量 b 与非零向量 a

如图 ABCD 的两条对角线交于点 M, 且

?

?

? ? ? ? 用a , b 表示 MA ,MB , AB = a ,AD = b ,

共线的充要条件是: 有且只有一个非零实

MC 和 MD
例 3 已知 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E,O 是任意一点,求证:

数λ ,使 b =λ a .

?

?

OA + OB + OC + OD =4 OE
例4 (1) 如图,OA ,OB 不共线,AP =t AB (t?R)用 OA ,OB 表示 OP . (2)设 OA、 OB 不共线,点 P 在 O、A、B 所在的平 面内, 且 OP ? (1 ? t )OA ? tOB(t ? R) .求证: A、 B、 P 三点共线. 例 5 已知 a=2e1-3e2,b= 2e1+3e2,其中 e1,e2 不共线,向量 c=2e1-9e2,问 是否存在这样的实数 ?、?, 使d ? ? a ? ?b 与 c 共线. 四、课堂练习: 1.设 e1、e2 是同一平面内的两个向量,则有( ) A.e1、e2 一定平行

B.e1、e2 的模相等

C.同一平面内的任一向量 a 都有 a =λ e1+μ e2(λ 、μ ∈R) D.若 e1、e2 不共线,则同一平面内的任一向量 a 都有 a =λ e1+ue2(λ 、u∈R) 2.已知矢量 a = e1-2e2,b =2e1+e2,其中 e1、e2 不共线,则 a+b 与 c =6e1-2e2
34

的关系 A.不共线

B.共线

C.相等

D.无法确定

3.已知向量 e1、e2 不共线,实数 x、y 满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则 x-y 的值等于( ) A.3

B.-3

C.0

D.2 .

4.已知 a、 b 不共线, 且 c =λ 1a+λ 2b(λ 1, λ 2∈R), 若 c 与 b 共线, 则 λ 1=

5.已知 λ 1>0, λ 2>0, e 1、 e2 是一组基底, 且 a =λ 1e1+λ 2e2, 则 a 与 e1_____, a 与 e2_________(填共线或不共线). 五、小结(略) 六、课后作业(略) : 课后反思

2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算

授课班级 课 时

高一(7,8)班 2

知识 教 与 技能 学 过程 与 目 方法 情 感 态 的 度价观 平面向量的坐标运算 向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 教学过程 教学步骤、内容 一、复习引入:见备注 二、讲解新课: 1.平面向量的坐标表示 如图,在直角坐标系内,我们分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位
35

理解平面向量的坐标的概念了解随机数的概念;

掌握平面向量的坐标运算;

会根据向量的坐标,判断向量是否共线.

重 点 难 点

备注 1 .平面向量基本定 理:如果 e1 ,e2 是同 一平面内的两个不共 线向量,那么对于这

向量 i 、 j 作为基底.任作一个向量 a ,由平面向量基本定理知,有且只有 一对实数 x 、 y ,使得 1 a ? xi ? yj ????○ 我们把 ( x, y ) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记 作 2 a ? ( x, y) ????○ 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 2 式叫做向量的坐标表示.与 轴上的坐标, ○ .a 相 . 等的向量的坐标也为 .........( x, y ) . 特别地, i ? (1,0) , j ? (0,1) , 0 ? (0,0) . 如图,在直角坐标平面内,以原点 O 为起点作 OA ? a ,则点 A 的位置由 a 唯一确定. 设 OA ? xi ? yj ,则向量 OA 的坐标 ( x, y ) 就是点 A 的坐标;反过来,点 A 的坐标 ( x, y ) 也就是向量 OA 的坐标.因此,在平面直角坐标系内,每一个 平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 2.平面向量的坐标运算 ( 1 ) 若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) , 则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ,

一平面内的任一向量

? a ,有且只有一对实 ? 数λ 1,λ 2 使 a =λ
1

e1 +λ 2 e2

(1) 我们把不共线向 量e1、e2叫做表示 这一平面内所有向量 的一组基底; (2)基底不惟一, 关键 是不共线; (3) 由定理可将任一 向量a在给出基底e 1、e2的条件下进行 分解; (4)基底给定时, 分解 形式惟一 . λ 1 , λ
2

是被 a ,e1 ,e2 唯一 确定的数量

?

a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 )
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 设 基 底 为

i



j





a ? b ? ( x1i ? y1 j ) ? ( x2 i ? y2 j ) ? ( x1 ? x2 )i ? ( y1 ? y 2 ) j
即 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ,同理可得 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) (2) 若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ? 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.

AB = OB ? OA =( x2, y2) ? (x1,y1)= (x2? x1, y2? y1)

36

(3)若 a ? ( x, y) 和实数 ? ,则 ?a ? (?x, ?y) . 实数与向量的积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标. 设 基 底 为

i



j





?a ? ? ( xi ? yj) ? ?xi ? ?yj , 即

?a ? (?x, ?y)
三、讲解范例: 例 1 已知 A(x1,y1),B(x2,y2),求 AB 的坐标. 例 2 已知 a =(2,1), b =(-3,4),求 a + b , a - b ,3 a +4 b 的坐标. 例 3 已知平面上三点的坐标分别为 A(?2, 1), B(?1, 3), C(3, 4), 求点 D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点. 解:当平行四边形为 ABCD 时,由 AB ? DC 得 D1=(2, 2) 1 . 若 M(3 , -2)

N(-5 , -1) 且

MP ?

1 2

MN , 求
P 点的坐标

当平行四边形为 ACDB 时,得 D2=(4, 6),当平行四边形为 DACB 时,得 2. 若 A(0,1), B(1, D3=(?6, 0) 例 4 已知三个力 F1 (3 , 4) , 2), C(3,

F2 (2 , ?5) , F3 (x , y) 的合力

4) ,



F1 + F2 + F3 = 0 ,求 F3 的坐标.
解:由题设 F1 + F2 + F3 = 0 得:(3, 4)+ (2, ?5)+(x, y)=(0, 0)

AB ?2 BC
= .

3.已知:四点 A(5, 1), B(3, 4), C(1,

即: ?

?3 ? 2 ? x ? 0 ?4 ? 5 ? y ? 0

∴?

? x ? ?5 ? y ?1

∴ F3 (?5,1)

3), D(5, -3) , 求 证: 四边形 ABCD 是梯 形.

四、课堂练习:见右 五、小结(略) 六、课后作业(略)

课后反思:

37

2.3.4 平面向量共线的坐标表示

授课班级 课 时

高一(7,8)班 1

知识 教 与 技能 学 过程 掌握平面向量的坐标运算; 与方法 目 情感 会根据向量的坐标,判断向量是否共线. 态度 的 价值观 平面向量的坐标运算 向量的坐标表示的理解及运算的准确性 教学过程 教学步骤、内容 一、复习引入:见右 二、讲解新课: 备注 1. 平面向量的坐标表 示 分别取与 x 轴、 理解平面向量的坐标的概念;

重 点 难 点

? ? ? ? ? a ∥ b ( b ? 0 )的充要条件是 x1y2-x2y1=0 设 a =(x1, y1) , b =(x2, y2)
其中 b ? a .由 a =λ b 得, (x1, y1) =λ (x2, y2) 去λ ,x1y2-x2y1=0 探究: (1)消去λ 时不能两式相除,∵y1, y2 有可能为 0, ∵ b ? 0 y2 中至少有一个不为 0 (2)充要条件不能写成

y 轴方向相同的两个

?

?

?

?

? x ? ?x2 ?? 1 ? y1 ? ?y 2
?



∴x2,

单位向量 i 、 j 作为 基底 . 任作一个向量 a ,由平面向量基本 定理知,有且只有一 对实数 x 、 y ,使得

y1 y 2 ? x1 x 2

∵x1, x2 有可能为 0

? ? (3) 从 而 向 量 共 线 的 充 要 条 件 有 两 种 形 式 : a ∥ b
(b ?0 )?

a ? xi ? yj
把 ( x, y ) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记 作 a ? ( x, y) 其中 x 叫做 a 在 x 轴

?

a ? ?b x1 y 2 ? x2 y1 ? 0

三、讲解范例:

38

例 1 已知 a =(4,2), b =(6, y),且 a ∥ b ,求 y.

?

?

?

?

上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐标, 特

例 2 已知 A(-1, -1), B(1,3), C(2,5),试判断 A,B,C 三点之间 别 地 , i ? (1,0) , 的位置关系. 例 3 设点 P 是线段 P1P2 上的一点, P1、P2 的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2). (1) 当点 P 是线段 P1P2 的中点时,求点 P 的坐标; (2) 当点 P 是线段 P1P2 的一个三等分点时,求点 P 的坐标. 例 4 若向量 a =(-1,x)与 b =(-x, 2)共线且方向相同,求 x

j ? (0,1) 0 ? (0,0) .



?

?

2. 平面向量的坐标运 算 若 a ? ( x1 , y1 ) ,

? ? 解:∵ a =(-1,x)与 b =(-x, 2) 共线
∴x=± 2 ∵ a 与 b 方向相同

∴(-1)?2- x?(-x)=0 ∴x= 2

b ? ( x2 , y 2 ) ,


?

?

a?b
例 5 已知 A(-1, -1), B(1,3), C(1,5) ,D(2,7) ,向量 AB 与 CD 平行吗?直线 AB 与平行于直线 CD 吗? 解:∵ AB =(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4) 2) , CD =(2-1,7-5)=(1,

? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 )


a?b

? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 )

?a ? (?x, ?y) . ,
又 ∵2?2-4?1=0 ∴ AB ∥ CD 若 又 ∵ AC =(1-(-1), 5-(-1))=(2,6) , AB =(2, 4),2?4-2

A( x1 , y1 )


, 则

B( x2 , y2 )
?6?0 ∴ AC 与 AB 不平行 ∴A,B,C 不共线 四、课堂练习: 1.若 a=(2,3),b=(4,-1+y),且 a∥b,则 y=( A.6 ) D.8 ) ∴AB 与 CD 不重合 ∴AB∥CD

AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ?

B.5

C.7

2.若 A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线,则 x 的值为( A.-3

B.-1

C.1

D.3

3.若 AB =i+2j, DC =(3-x)i+(4-y)j(其中 i、j 的方向分别与 x、y 轴正 方向相同且为单位向量). AB 与 DC 共线,则 x、y 的值可能分别为( A.1,2 )

B.2,2

C.3,2

D.2,4

39

4.已知 a=(4,2),b=(6,y),且 a∥b,则 y=

. .

5.已知 a=(1,2),b=(x,1),若 a+2b 与 2a-b 平行,则 x 的值为

6.已知□ABCD 四个顶点的坐标为 A(5,7),B(3,x),C(2,3),D(4,x), 则 x= . 五、小结 (略) 六、课后作业(略) 平面向量的数量积的物理背景及其含义

授课班级 课 时

高一(7,8)班 2

知识 教 与 技能 学 过程 与 目 方法 情感 的 态度 价值观 重 点 难 点

1 掌握平面向量的数量积及其几何意义; 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律;

了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、 角度和垂直的问题; 掌握向量垂直的 条件

体会数学知识与现实世界及各学科知识之间的联系,认识数学的重要性。

平面向量的数量积定义 平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 教学过程 教学步骤、内容 备注 1. 向量共线定理 向量 b 与非零向量 a

一、复习引入:1-5 见右 6.线段的定比分点及λ

?

?

P1, P2 是直线 l 上的两点,P 是 l 上不同于 P1, P2 的任一点,存在实数 共线的充要条件是: λ ,使 P 1 P = λ PP 2 , λ 叫做点 P 分 P 1P 2 所成 的比 ,有三 种情 况: 有且只有一个非零实 数λ ,使 b =λ a . 2 .平面向量基本定 λ >0(内分) <0) 7. 定比分点坐标公式:
40

?

?

(外分) λ <0 (λ <-1)

( 外分)λ <0 (-1<λ 理:如果 e1 ,e2 是同 一平面内的两个不共

若点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2),λ 为实数,且 P 1 P =λ PP 2 ,则点 P 的坐标为(

线向量,那么对于这 一平面内的任一向量

x1 ? ?x 2 y1 ? ?y 2 , ) ,我们称 λ 为点 P 分 P 1P 2 所成的比. 1? ? 1? ?

? a ,有且只有一对实 ? 数λ 1,λ 2 使 a =λ
1

8. 点 P 的位置与 λ 的范围的关系: ①当 λ >0时, P 1 P 与 PP 2 同向共线,这时称点 P 为 P 1P 2 的内分点. ②当 λ <0( ? ? ?1 )时, P 1 P 与 PP 2 反向共线,这时称点 P 为 P 1P 2 的外 分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式: 在平面内任取一点 O,设 OP 1 =a, OP 2 =b, 可得 OP =

e1 +λ

3. 平面向量的坐标表 示 分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单 位向量 i 、 j 作为基 底.任作一个向量 a , 由平面向量基本定理 知,有且只有一对实 数 x 、 y ,使得

a ? ?b 1 ? ? a? b. 1? ? 1? ? 1? ?

a ? xi ? yj
把 ( x, y ) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记 作 a ? ( x, y) 4. 平面向量的坐标运 算 若 a ? ( x1 , y1 ) ,

10.力做的功:W = |F|?|s|cos?,?是 F 与 s 的夹角. 二、讲解新课: 1.两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a与b ,作 OA = a, OB =b ,则∠AOB= θ (0 ≤θ ≤π )叫a与b的夹角. 说明: (1)当 θ =0时,a与b同向; (2)当 θ =π 时,a与b反向; (3)当 θ =

? 时,a与b垂直,记a⊥b; 2

b ? ( x2 , y 2 ) , 则
a?b

(4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的 .范围 0?≤?≤180?

? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 )


a?b

? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 )
C 2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹 角是 θ ,则数量 |a||b|cos? 叫 a 与 b 的数量积,记作 a?b ,即有 a?b = |a||b|cos?, (0≤θ ≤π ).并规定 0 与任何向量的数量积为 0. ?探究:两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
41

, ?a ? (?x, ?y) . 若

A( x1 , y1 )


, 则

B( x2 , y2 )

AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ?

(1) 两个向量的数量积是一个实数, 不是向量, 符号由 cos?的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积,写成 a?b;今后要学到两个向量的外积 a ?b,而 a?b 是两个向量的数量的积,书写时要严格区分.符号“? ”在向 量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“?”代替. (3)在实数中,若 a?0,且 a?b=0,则 b=0;但是在数量积中,若 a?0,且 a?b=0,不能推出 b=0.因为其中 cos?有可能为 0. (4)已知实数 a、b、c(b?0),则 ab=bc ? a=c.但是 a?b = b?c 5. a ∥ b ( b ? 0 ) 的 充 要 条 件 是 x1y2-x2y1=0

?

?

?

a = c
1. 已 知 |a|=1 , |b|= 2 , 且(a-b)与

如右图:a?b = |a||b|cos? = |b||OA|,b?c = |b||c|cos? = |b||OA| ? a?b = b?c 但 a ? c (5)在实数中,有(a?b)c = a(b?c),但是(a?b)c ? a(b?c) 显然,这是因为左端是与 c 共线的向量,而右端是与 a 共线的向量,而 一般 a 与 c 不共线. 3. “投影”的概念:作图

a 垂直,则 a 与 b 的
夹角是( A.60° B.30° C.135° 45° )

D.

2.已知|a|=2, |b|=1, a 与 b 之间的夹角为

? , 那么向量 m=a-4b 3
的模为( A.2 )

B.2
定义:|b|cos?叫做向量 b 在 a 方向上的投影. 投影也是一个数量,不是向量;当?为锐角时投影为正值;当?为钝角时投影 为负值;当?为直角时投影为 0;当? = 0?时投影为 |b|;当? = 180?时投 影为 ?|b|. 4.向量的数量积的几何意义: 数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos?的乘积. 5.两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量. 1? e?a = a?e =|a|cos? 2? a?b ? a?b = 0 3? 当 a 与 b 同向时,a?b = |a||b|;当 a 与 b 反向时,a?b = ?|a||b|. 特 别的 a?a = |a| 或 | a |? a ? a
2

3

C.6 D.12 3.已知 a、 b 是非零向 量 , 则 |a|=|b| 是 (a+b)与(a-b)垂直的 ( ) A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C. 充 要 条 件 D.既不充分也不必要 条件 4.已知向量 a、 b 的夹 角为

4? cos? =

a ?b | a || b |
42

? , |a|=2 , 3


|b|=1 , |a+b|?|a-b|=

5? |a?b| ≤ |a||b| 三、讲解范例: 例 1 已知|a|=5, |b|=4, a 与 b 的夹角 θ =120 ,求 a?b. 例 2 已知|a|=6, |b|=4, a 与 b 的夹角为 60 求(a+2b)?(a-3b). 例 3 已知|a|=3, |b|=4, 且 a 与 b 不共线, k 为何值时, 向量 a+kb 与 a-kb 互相垂直. 例 4 判断正误,并简要说明理由. ①a?0=0; ②0?a=0; ③0- AB = BA ; ④|a?b|=|a||
o o

. 5.已知 a+b=2i-8j, a-b=-8i+16j , 其 中 i、j 是直角坐标系中 x 轴、 y 轴正方向上的 单位向量,那么 a?b= . 6.已知 a⊥b、c 与 a、 b 的夹角均为 60°, 且 |a|=1 , |b|=2 , 2 |c|=3,则(a+2b-c) =______.

b|;⑤若a≠0,则对任一非零b有a?b≠0;⑥a?b=0,则a与 b 中至少有一个为 0 ;⑦对任意向量 a, b, с 都有(a ? b) с = a 2 2 (b?с ) ;⑧a与b是两个单位向量,则a =b . 7. 已 知 |a|=1 ,
解:上述 8 个命题中只有③⑧正确; 对于①:两个向量的数量积是一个实数,应有 0?a=0;对于②:应 有0?a=0; |b|=

2 , (1) 若

a∥b,求 a?b;(2) 若 a、b 的夹角为6 对于④:由数量积定义有| a ? b |=|a |?|b |?| cosθ | 0°,求|a+b|;(3) ≤|a||b|,这里 θ 是a与b的夹角,只有 θ =0或 θ =π 时,才 若 a-b 与 a 垂直,求 有|a?b|=|a|?|b|; a 与 b 的夹角. 对于⑤:若非零向量a、b垂直,有a?b=0; 8.设 m、 n 是两个单位
对于⑥:由a?b=0可知a⊥b可以都非零; 对于⑦:若a与 с 共线,记a=λ с . 则a?b=(λ с )?b=λ (с ?b)=λ (b?с ) , ∴(a?b)?с =λ (b?с )с =(b?с )λ с =(b?с )a 若a与 с 不共线,则(a?b)с ≠(b?с )a. 评述: 这一类型题, 要求学生确实把握好数量积的定义、 性质、 运算律. 例 6 已知|a|=3,|b|=6,当①a∥b,②a⊥b,③a与b的 夹角是 60°时,分别求a?b. 解:①当a∥b时,若a与b同向,则它们的夹角 θ =0°, ∴a?b=|a|?|b|cos0°=3?6?1=18; 若a与b反向,则它们的夹角 θ =180°, ∴a?b=|a||b|cos180°=3?6?(-1)=-18; ②当a⊥b时,它们的夹角 θ =90°, ∴a?b=0; ③当a与b的夹角是 60°时,有 向量,其夹角为6 0°,求向量 a=2m+n 与 b=2n-3m 的夹角. 9.对于两个非零向量 a、b,求使|a+tb|最 小时的 t 值,并求此 时 b 与 a+tb 的夹角.

a?b=|a||b|cos60°=3?6?

1 =9 2

评述:两个向量的数量积与它们的夹角有关,其范围是[0°,180°] ,
43

因此,当a∥b时,有 0°或 180°两种可能. 四、课堂练习:见右 五、小结(略) 六、课后作业(略) 平面向量数量积的运算律

授课班级 课 时

高一(7,8)班 1

知识 掌握平面向量数量积运算规律; 教 与 技能 学 过程 与 目 方法 情感 的 态度 价值观 重 点 难 点 平面向量数量积及运算规律. 平面向量数量积的应用 教学过程 教学步骤、内容 一、复习引入:见右 二、讲解新课: 平面向量数量积的运算律 1.交换律:a ? b = b ? a 证:设 a,b 夹角为?,则 a ? b = |a||b|cos?,b ? a = |b||a|cos? ∴a ? b = b ? a 2.数乘结合律:( ? a)?b = ? (a?b) = a?( ? b) 证:若 ? > 0,( ? a)?b = ? |a||b|cos?, ? (a?b) = ? |a||b|cos?,a?( ? b) = ? |a||b|cos?, 若 ? < 0 , ( ? a)?b =| ? a||b|cos(???) = ? ? |a||b|(?cos?) = ? |a||b|cos?, ? (a?b) = ? |a||b|cos?, 备注 1. 两个非零向量 夹角的概念 2. 平面向量数量 积(内积)的定义: 3. “投影”的概念: 作图 定义:|b|cos?叫 做向量 b 在 a 方向上 的投影. 投影也是一个数量, 不是向量; 当?为锐角 时投影为正值;当 ? 为钝角时投影为负 值; 当?为直角时投影 数学与社会相联系。 能利用数量积的 5 个重要性质及数量积运算规律解决有关问题; 掌握两个向量 共线、垂直的几何判断,会证明两向量垂直,以及能解决一些简单问题.

a?( ? b) =|a|| ? b|cos(???) = ? ? |a||b|(?cos?) = ? |a||b|cos?.
44

3.分配律:(a + b)?c = a?c + b?c

为 0;当? = 0?时投 影为 |b|; 当? = 180? 在平面内取一点 O,作 OA = a, AB = b, OC = c, ∵a + b (即 OB ) 时投影为 ?|b|. |a + b| cos? = |a| 4. 向量的数量积的几 何意义:. 5. 两个向量的数量积 的性质:

在 c 方向上的投影等于 a、b 在 c 方向上的投影和,即 cos?1 + |b| cos?2

∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?1 + |c| |b| cos?2, ∴c?(a + b) = c?a + c?b 即:(a + b)?c = a?c + b?c 说明: (1) 一般地, (a?b)с ≠a (b?с ) (2) a?с =b?с , с ≠0 a=b (3)有如下常用性质:a =|a| ;(a+b) (с +d)=a?с 2 2 2 +a?d+b?с +b?d; (a+b) =a +2a?b+b 三、讲解范例: 例 1 已知 a、b 都是非零向量,且 a + 3b 与 7a ? 5b 垂直,a ? 4b 与 7a ? 2b 垂直,求 a 与 b 的夹角. 解:由(a + 3b)(7a ? 5b) = 0 ? 7a + 16a?b ?15b = 0
2 2 2 2

① ②

(a ? 4b)(7a ? 2b) = 0 ? 7a ? 30a?b + 8b = 0
2 2

两式相减:2a?b = b
2

2

代入①或②得:a = b 设 =

2

a 、 b

的 夹 角 为 ? , 则 ∴? = 60?

cos?

a?b b2 1 ? ? 2 | a || b | 2 | b | 2

1.下列叙述不正确的 是( ) A.向量的数量积满 足交换律 B. 向 量的数量积满足分配 律 C.向量的数量积满 足 结 合 律 D.a?b 是一个实数 2.已知|a|=6, |b|=4, a 与 b 的夹角为6 0 ° , 则 (a+2b)?(a-3b) 等于 ( )

例 2 求证: 平行四边形两条对角线平方和等于四 条边的平方和. 解:如图:平行四边形 ABCD 中, AB ? DC ,AD ? BC ,AC = AB ? AD
2 2 ∴| AC | = | AB ? AD | ? AB ? AD ? 2 AB ? AD 2 2

而 BD = AB ? AD ,
2 2 ∴| BD | = | AB ? AD | ? AB ? AD ? 2 AB ? AD 2 2



|
2

AC
2

|

2

+
2

|

BD
2

|

2

=

2

AB ? 2 AD

2

2

=

A.72 B.-72 C.36

D.-36

| AB | ? | BC | ? | DC | ? | AD |

3.|a|=3,|b|=4,向 量 a+

例 3 四边形 ABCD 中, AB =a, BC =b,CD =с , DA =d,且a?b =b?с =с ?d=d?a,试问四边形 ABCD 是什么图形?
45

3 3 b 与 a- b 的 4 4


位置关系为(

分析:四边形的形状由边角关系确定,关键是由题设条件演变、推算该 四边形的边角量. 解:四边形 ABCD 是矩形,这是因为:


A.



B. 垂直
角为

行 C. 夹

一方面:∵a+b+с +d=0,∴a+b=-(с +d) ,∴(a+b) 2 =(с +d) 即|a| +2a?b+|b| =|с | +2с ?d+|d|
2 2 2 2 2 2 2

? 3

D. 不 平 行

也不垂直 4.已知|a|=3, |b|=4, 且 a 与 b 的夹角为 2 150° , 则 (a+b) = .

由于a?b=с ?d,∴|a| +|b| =|с | +|d| ① 同理有|a| +|d| =|с | +|b| ②
2 2 2 2



|b|=5, 由①②可得|a|=|с |,且|b|=|d|即四边形 ABCD 两组对 5.已知|a|=2, a?b=-3 , 则 边分别相等. |a+b|=______ , ∴四边形 ABCD 是平行四边形 |a-b|= 另一方面,由a?b=b?с ,有b(a-с )=0,而由平行四边形 . ABCD 可得a=-с ,代入上式得b?(2a)=0,即a?b=0,∴a⊥b 6.设|a|=3,|b|=5, 也即 AB⊥BC. 且 a+λ b 与 a-λ b 综上所述,四边形 ABCD 是矩形. 垂 直 , 则 λ = . 评述:(1)在四边形中, AB , BC , CD , DA 是顺次首尾相接向量, 则其和向量是零向量,即a+b+с +d=0,应注意这一隐含条件应用; (2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积,因为数量积的定义式 中含有边、角两种关系. 四、课堂练习:右 五、小结(略) 六、课后作业(略)

课后反思

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

授课班级 课 时

高一(7,8)班 1

知识 要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 教 与 技能 学 过程 与 目 方法 掌握向量垂直的坐标表示的充要条件,及平面内两点间的距离公式.

46

情感 的 态度 价值观 重 点 难 点

能用所学知识解决有关综合问题.

平面向量数量积的坐标表示 平面向量数量积的坐标表示的综合运用 教学过程 教学步骤、内容 备注 1. 两个非零向量夹角 的概念 2. 平面向量数量 积 (内积) 的定义:0. 3. 向量的数量积的几 何意义: 4. 两个向量的数量积 的性质: 5. 平面向量数量积的 运算律

一、复习引入: 二、讲解新课: ⒈ 平面两向量数量积的坐标表示 已 知 两 个 非 零 向 量

a ? ( x1 , y1 ) ,b ? ( x2 , y 2 ) ,试用

a 和 b 的坐标表示 a ? b .
设 i 是 x 轴上的单位向量,j 是 y 轴上的单位向量,那么

a ? x1i ? y1 j , b ? x2 i ? y2 j
所以 a ? b ? ( x1i ? y1 j )(x2 i ? y 2 j ) ? x1 x2i ? x1 y2 i ? j ? x2 y1i ? j ? y1 y2 j
2 2

又 i ? i ? 1 , j ? j ? 1 , i ? j ? j ? i ? 0 ,所以 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即

a ? b ? x1 x2 ? y1 y2
2. 平面内两点间的距离公式 6、 设 a ? ( x, y) ,则 | a | ? x ? y 或 | a |?
2 2 2

x2 ? y2 .

( 2 )如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、

( x2 , y2 ) ,那么 | a |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 (平面内两点间的距离公式)
7、 向量垂直的判定 设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 8、 两向量夹角的余弦( 0 ? ? ? ? )
47

cos? =

a ?b ? | a |?| b |

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1
2 2

x2 ? y2

2

2

9、 讲解范例: 10、 设 a = (5, ?7),b = (?6, ?4),求 a?b o 及 a、b 间的夹角θ (精确到 1 ) 例 2 已知 A(1, 2),B(2, 3),C(?2, 5),试判断△ABC 的形状,并给出 证明. 例 3 已知 a = (3, ?1),b = (1, 2),求满足 x?a = 9 与 x?b = ?4 的向 量 x. 解:设 x = (t, s), 由 1. 若 a=(-4 , 3) , b=(5,6),则 3|a|2 -4a?b=( ) A.23 B.57 C.63

x?a ? 9 ? 3t ? s ? 9 ?t?2 ?? ?? x ? b ? ?4 ?t ? 2s ? ?4 ?s ? ?3

∴x = (2, ?3)

例 4 已知 a=(1, 3 ) ,b=( 3 +1, 3 -1) ,则 a 与 b 的夹角是 多少? 分析:为求 a 与 b 夹角,需先求 a?b 及|a|?|b|,再结合夹角 θ 的范 围确定其值. 解:由 a=(1, 3 ) ,b=( 3 +1, 3 -1) 有 a?b= 3 +1+ 3 ( 3 -1)=4,|a|=2,|b|=2 2 .

D.83

2.已知 A(1, 2), B(2, 3), C(-2, 5), 则△ABC 为( ) A. 直 角 三 角 形 B.锐角三角形 C.钝 角三角形 D. 不等 边三角形 3.已知 a=(4,3),向 量 b 是垂直 a 的单位 向量,则 b 等于 ( ) A.

记 a 与 b 的夹角为 θ ,则cosθ =

a ?b 2 ? a?b 2

又∵0≤θ ≤π ,∴θ =

? 4

评述:已知三角形函数值求角时,应注重角的范围的确定. 例 5 如图,以原点和 A(5, 2)为顶点作等腰直角△OAB,使?B = 90?,求 点 B 和向量 AB 的坐标. 解:设 B 点坐标(x, y),则 OB = (x, y), AB = (x?5, y?2) ∵ OB ? AB ∴x(x?5) + y(y?2) = 0 即:x + y ?5x ? 2y = 0
2 2

3 4 ( , ) 5 5



4 3 ( , ) 5 5
B.

3 4 ( , ) 5 5 3 4 ( ? ,? ) 5 5 3 4 ( ,? ) 5 5 4 3 (? , ) 5 5



C.



又∵| OB | = | AB |

∴x + y = (x?5) + (y?2) 即:10x + 4y = 29
2 2 2 2

48

? 7 3 ? ? x1 ? 2 ?x 2 ? y 2 ? 5x ? 2 y ? 0 ? ? x2 ? 2 ?? 或 由? 3 ? 7 ?10x ? 4 y ? 29 ? y1 ? ? ? y2 ? ? 2 ? 2 ?
∴B 点坐标 ( ,? ) 或 ( , ) ; AB = ( ?

D.

3 4 ( ,? ) 5 5 3 4 (? , ) 5 5



7 2

3 2

3 7 2 2

3 7 7 3 ,? ) 或 ( ? , ) 2 2 2 2

4.a=(2,3),b=(-2, 4) , 则 (a+b)?(a-b)= . 5. 已 知 A(3 , 2) , B(-1, -1), 若点 P(x, -

例 6 在△ABC 中, AB =(2, 3), AC =(1, k),且△ABC 的一个内角为直 角, 求 k 值. 解:当 A = 90?时, AB ? AC = 0,∴2?1 +3?k = 0 ∴k = ?

3 2

1 )在线段 AB 的中 2
.

垂线上,则 x=

6.已知 A(1, 0), B(3, 当 B = 90?时, AB ? BC = 0, BC = AC ? AB = (1?2, k?3) = (?1, 1) , C(2 , 0) , 且

k?3)
∴2?(?1) +3?(k?3) = 0 ∴k =

11 3
∴k =

a= BC ,b= CA ,则 a


b

的 夹 角 .

当 C = 90?时, AC ? BC = 0,∴?1 + k(k?3) = 0 11、 课堂练习:右

3 ? 13 2



课后反思: 3.1.1 两角差的余弦公式 授课班级 课 知识 教 与 技能 学 过程 通过对现实生活的探究,感知应用数学知识解决问题的方法,理解数学思想. 目 与方法 情感 体会数学知识与现实世界的联系。 的 态度 价值观 掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用,使学生初步理解公式 的结构及其功能,为建立其它和(差)公式打好基础. 时 高一(7,8)班 1

49

重 点 难 点

通过探索得到两角差的余弦公式; 探索过程的组织和适当引导,这里不仅有学习积极性的问题,还有探索过程必用的基础 知识是否已经具备的问题,运用已学知识和方法的能力问题,等等. 教学过程 教学步骤、内容 备注 我们在初中时就知 道 cos 45 ?

(一)导入: 见右 (二)探讨过程: 在第一章三角函数的学习当中我们知道,在设角 ? 的终边与单位圆的 交点为 P1 , cos? 等于角 ? 与单位圆交点的横坐标,也可以用角 ? 的余弦 线来表示,大家思考:怎样构造角 ? 和角 ? ? ? ?(注意:要与它们的正 弦线、余弦线联系起来.) 展示多媒体动画课件,通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索

2 , 2

cos30 ?

3 ,由此 2

我们能否得到

cos15 ? cos ? 45 ? 30 ? ? ?
是等于

cos ?? ? ? ? 与 cos? 、 cos ? 、 sin ? 、 sin ? 之 间 的 关 系 , 由 此 得 到 大家可以猜想,是不
cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ,认识两角差余弦公式的结构.
思考: 我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题, 两角差余 弦公式我们能否用向量的知识来证明? 提示:1、结合图形,明确应该选择哪几个向量,它们是怎样表示的? 2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果? 比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处, 体会向量方法的作用与便 利之处. 思考: cos ?? ? ? ? ? ? , cos ?? ? ? ? ? cos ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ,再利用两角差的 余弦公式得出 猜想是错误的!下面 我们就一起探讨两角 差 的 余 弦 公 式

cos 45 ? cos30
呢? 根据我们在第一章所 学的知识可知我们的

cos ?? ? ? ? ? ?

cos ?? ? ? ? ? cos ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? cos ? cos ? ? ? ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
(三)例题讲解 例 1、利用和、差角余弦公式求 cos 75 、 cos15 的值. 解:分析:把 75 、 15 构造成两个特殊角的和、差.

cos 75 ? cos ? 45 ? 30 ? ? cos 45 cos30 ? sin 45 sin 30 ?

2 3 2 1 6? 2 ? ? ? ? 2 2 2 2 4

50

cos15 ? cos ? 45 ? 30 ? ? cos 45 cos30 ? sin 45 sin 30 ?

2 3 2 1 6? 2 ? ? ? ? 2 2 2 2 4

点评:把一个具体角构造成两个角的和、差形式,有很多种构造方法,例 如: cos15 ? cos 60 ? 45

?

? ,要学会灵活运用.

例 2、已知 sin ? ?

4 5 ?? ? , ? ? ? , ? ? , cos ? ? ? , ? 是第三象限角,求 5 13 ?2 ?

cos ?? ? ? ? 的值.
解 : 因 为

?? ? ? ? ? ,? ? 2 ? ?
2



sin ? ?

4 5







3 ? 4? cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 5 ?5?
2







cos ? ? ?

5 ,? 13




2















12 ? 5? sin ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 13 ? 13 ?
所 以

33 ? 3 ? ? 5 ? 4 ? 12 ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 65 ? 5 ? ? 13 ? 5 ? 13 ?

点评:注意角 ? 、 ? 的象限,也就是符号问题. (四)小结:本节我们学习了两角差的余弦公式,首先要认识公式结构的特 征,了解公式的推导过程,熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程 中注意角 ? 、 ? 的象限,也就是符号问题,学会灵活运用. (五)作业: 课后反思

51

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

授课班级 课 时

高一(7,8)班 1

知识 教 与 技能 学 过程 体会三角恒等变换特点的过程,理解推导过程,掌握其应用. 与 目 方法 情感 感受数学美. 的 态度 价值观 重 点 难 点 两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用; 两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 教学过程 教学步骤、内容 (一)复习式导入:大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式: 备注 理解以两角差的余弦公式为基础,推导两角和、差正弦和正切公式的方法.

cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? .



这是两角和与差的余弦公式, 下面大家思考一下两角和与差的正弦公式 是怎样的呢? 提示:在第一章我们用诱导公式五(或六)可以实现正弦、余弦的互化,这 对我们解决今天的问题有帮助吗? 让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.

?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? sin ?? ? ? ? ? cos ? ? ?? ? ? ?? ? cos ?? ? ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? ? sin ? ?2 ? ? ?2 ? ?2 ? ?? 2 ?

? sin ? cos ? ? cos? sin ? .
sin ?? ? ? ? ? sin ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? sin ? cos ? ? ? ? ? cos ? sin ? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征,并思考两角和与差正切公式. (学生动手)

52

tan ?? ? ? ? ?

sin ?? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? . ? cos ?? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

通过什么途径可以把上面的式子化成只含有 tan ? 、 tan ? 的形式呢? ( 分 式 分 子 、 分 母 同 时 除 以 cos ? cos ? , 得 到

tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?

注意: ? ? ? ?

?
2

? k? ,? ?

?
2

? k? , ? ?

?
2

? k? (k ? z )

以上我们得到两角和的正切公式,我们能否推倒出两角差的正切公式呢?

tan ?? ? ? ? ? tan ? ?? ? ? ? ? ?? ??
注意: ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ? ? ? tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ?

?
2

? k? ,? ?

?
2

? k? , ? ?

?
2

? k? (k ? z ) .

(二)例题讲解 例 1 、 已 知

3 sin ? ? ? , ? 5

是 第 四 象 限 角 , 求

?? ?? ? ?? ? ? sin ? ? ? ? ,cos ? ? ? ? , tan ? ? ? ? 的值. 4? ?4 ? ?4 ? ?
解 : 因 为

3 sin ? ? ? , ? 5
2

















4 ? 3? cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? ? ? ? ? , 5 ? 5?

3 sin ? 3 tan ? ? ? 5 ?? , 4 cos ? 4 5 ?
于 是 有

? ? 2 4 2 ? 3? 7 2 ?? ? sin ? ? ? ? ? sin cos ? ? cos sin ? ? ? ? ?? ? ? ? 4 4 2 5 2 ? 5 ? 10 ?4 ?
? ? 2 4 2 ? 3? 7 2 ?? ? cos ? ? ? ? ? cos cos ? ? sin sin ? ? ? ? ??? ? ? 4 4 2 5 2 ? 5 ? 10 ?4 ?

53

两结果一样,我们能否用第一章知识证明?

? 3 ? ?1 ? ? tan ? ? tan 4 ? 4 tan ? ? ? ? ? ? ? ?7 ? 3? 4 ? ? ? 1 ? tan ? tan 1? ? ? ? 4 ? 4?
例 2、利用和(差)角公式计算下列各式的值: ( 1 ) 、

sin 72 cos 42 ? cos 72 sin 42





2





cos 20 cos 70 ? sin 20 sin 70 ;(3)、

1 ? tan15 . 1 ? tan15

解:分析:解此类题首先要学会观察,看题目当中所给的式子与我们所学的 两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象. (1)、 sin 72 cos 42 ? cos 72 sin 42 ? sin 72 ? 42 (2)、 cos 20 cos 70 ? sin 20 sin 70 ? cos 20 ? 70

?

? ? sin 30
? ? cos 90

?

1 ; 2

?

? 0;

(3)、

1 ? tan15 tan 45 ? tan15 ? ? tan ? 45 ? 15 ? ? tan 60 ? 3 . 1 ? tan15 1 ? tan 45 tan15

例 3、化简 2 cos x ? 6 sin x 解:此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象,但我们能 否发现规律呢?

?1 ? 3 2 cos x ? 6 sin x ? 2 2 ? cos x ? sin x ? ?2 ? ? 2 2 ? sin 30 cos x ? cos 30 sin x ? ? 2 2 sin ? 30 ? x ? 2 ? ?
思考: 2 2 是怎么得到的? 2 2 ?

? 2? ?? 6?
2

2

,我们是构造一个叫

使它的正、余弦分别等于

1 3 和 的. 2 2

小结: 本节我们学习了两角和与差正弦、 余弦和正切公式, 我们要熟记公式, 在解题过程中要善于发现规律,学会灵活运用. 作业: 1、 已知 tan ?? ? ? ? ?

3 2 ?? 1 ?? ? ? ( ) , tan ? ? ? ? ? , 求 tan ? ? ? ? 的值. 22 5 4? 4 4? ? ?

54

2、 已知 0 ? ? ?

?
4

?? ?

??

3? ?? ? 3 ? 3? ? 5 , cos ? ? ? ? ? ,sin ? ???? , 4 ?4 ? 5 ? 4 ? 13

求 sin ?? ? ? ? 的值.

3.1.3

二倍角的正弦、余弦和正切公式

授课班级 课 时

高一(7,8)班 1

知识 教 与 技能 学 过程 与 目 方法 情感

以两角和正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式, 理解推导过程,掌握其应用.

推导二倍角正弦、余弦和正切公式,理解推导过程,掌握其应用.

感受数学应用中的灵活性. 的 态度 价值观 重 点 难 点 以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式; 二倍角的理解及其灵活运用. 教学过程 教学步骤、内容 (一)复习式导入:大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式, 备注

sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
; tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?

我们由此能否得到 sin 2? ,cos 2? , tan 2? 的公式呢?(学生自己动手,把上 述公式中 ? 看成 ? 即可), (二)公式推导:

sin 2? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos? ? cos? sin ? ? 2sin ? cos? ;

55

cos 2? ? cos ?? ? ? ? ? cos? cos? ? sin? sin? ? cos2 ? ? sin 2 ? ;
思考:把上述关于 cos 2? 的式子能否变成只含有 sin ? 或 cos? 形式的式子 呢? cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 1 ? sin ? ? sin ? ? 1 ? 2sin ? ;
2 2 2 2 2

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? (1 ? cos2 ? ) ? 2cos2 ? ?1 .
tan 2? ? tan ?? ? ? ? ?
注意: 2? ?

tan ? ? tan ? 2 tan ? ? . 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan 2 ?

?
2

? k? ,? ?

?
2

? k?

?k ? z?

(三)例题讲解 例 1、已知 sin 2? ? 解:由

5 ? ? , ? ? ? , 求 sin 4? ,cos 4? , tan 4? 的值. 13 4 2

?
4

?? ?

?
2

,得

?
2

? 2? ? ? .
2

又因为 sin 2? ?

12 5 ?5? , cos 2? ? ? 1 ? sin 2 2? ? ? 1 ? ? ? ? ? . 13 13 ? 13 ?

于是 sin 4? ? 2sin 2? cos 2? ? 2 ?

5 ? 12 ? 120 ; ??? ? ? ? 13 ? 13 ? 169
2

? 5 ? 119 cos 4? ? 1 ? 2sin 2? ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? 13 ? 169
2



120 ? sin 4? 120 . tan 4? ? ? 169 ? ? 119 cos 4? 119 169
例2、已知 tan 2? ? 解: tan 2? ?

1 , 求 tan ? 的值. 3

2 tan ? 1 ? ,由此得 tan 2 ? ? 6 tan ? ? 1 ? 0 2 1 ? tan ? 3

解得 tan ? ? ?2 ? 5 或 tan ? ? ?2 ? 5 . (四) 小结: 本节我们学习了二倍角的正弦、 余弦和正切公式, 我们要熟记公式, 在解题过程中要善于发现规律,学会灵活运用. (五)作业: 课后反思:
56

3.2 简单的三角恒等变换

授课班级 课 时

高一(7,8)班 1

知识 教 与 技能 学 过程 与 目 方法 情感

通过例题的解答,引导学生对变换对象目标进行对比、分析,促使学生形成对 解题过程中如何选择公式. .

如何根据问题的条件进行公式变形, 以及变换过程中体现的换元、 逆向使用公 式等数学思想方法的认识.

提高学生的推理能力. 的 态度 价值观 重 点 引导学生以已有的十一个公式为依据,以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作 为基本训练,学习三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变 换的特点,提高推理、运算能力. 认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高从整体上 把握变换过程的能力. 教学过程 教学步骤、内容 例 1、试以 cos? 表示 sin
2

难 点

备注 . 学习和(差)公 式,倍角公式以后, 我们就有了进行变换 的性工具,从而使三 角变换的内容、思路 和方法更加丰富,这 为我们的推理、运算 能力提供了新的平 台.下面我们以习题 课的形式讲解本节内 容.

?
2

, cos 2

?
2

, tan 2
2

?
2

解: 我们可以通过二倍角 cos ? ? 2 cos 题. 因为 cos ? ? 1 ? 2sin 因为 cos ? ? 2 cos
2
2

?
2
2

? 1 和 cos ? ? 1 ? 2sin 2 1 ? cos ? ; 2

?
2

来做此

?
2

,可以得到 sin

?
2

?

?
2

? 1 ,可以得到 cos 2

?
2

?

1 ? cos ? . 2

又因为 tan

2?

2

?

2 ? 1 ? cos ? . ? 1 ? cos ? cos 2 2

sin 2

?

思考:代数式变换与三角变换有什么不同? 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换. 对于三角变换, 由于不同

57

的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异, 而且还会有所包含的角, 以及 这些角的三角函数种类方面的差异, 因此三角恒等变换常常首先寻找式子所 包含的各个角之间的联系,这是三角式恒等变换的重要特点. 例2、求证: (1)、 sin ? cos ? ?

1 ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ?; 2?

(2)、 sin ? ? sin ? ? 2sin

? ??
2

cos

? ??
2



证明:(1)因为 sin ?? ? ? ? 和 sin ?? ? ? ? 是我们所学习过的知识,因此 我们从等式右边着手.

sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? .
两式相加得 2sin ? cos ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ; 即 sin ? cos ? ?



1 ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ?; 2?

( 2 ) 由 ( 1 ) 得 sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? 2sin ? cos ? ① ; 设

? ? ? ? ? ,? ? ? ? ? ,
那么 ? ?

? ??
2

,? ?

? ??
2



把 ? , ? 的值代入①式中得 sin ? ? sin ? ? 2sin 思考:在例2证明中用到哪些数学思想?

? ??
2

cos

? ??
2



例2 证明中用到换元思想,(1)式是积化和差的形式,(2)式是和差 化积的形式,在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式. 例3、求函数 y ? sin x ? 3 cos x 的周期,最大值和最小值. 解: y ? sin x ? 3 cos x 这种形式我们在前面见过,

?1 ? 3 ?? ? y ? sin x ? 3 cos x ? 2 ? sin x ? cos x ? 2sin x ? ? ? ?, ?2 ? 2 3? ? ? ?
所以,所求的周期 T ?

2?

?

? 2? ,最大值为2,最小值为 ?2 .

58

点评:例3是三角恒等变换在数学中应用的举例,它使三角函数中对函数

y ? Asin ?? x ? ? ? 的性质研究得到延伸,体现了三角变换在化简三角函数
式中的作用. 小结:此节虽只安排一到两个课时的时间,但也是非常重要的内容,我们要 对变换过程中体现的换元、 逆向使用公式等数学思想方法加深认识, 学会灵 活运用. 作业:

课后反思

《三角恒等变换》复习课

授课班级 课 时

高一(7,8)班 2

一、教学目标 进一步掌握三角恒等变换的方法,如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公 式,对三角函数式进行化简、求值和证明: 二、知识与方法: 1. 11 个三角恒等变换公式中,余弦的差角公式是其它公式的基础,由它出发,用-β 代 替 β 、 β 代 替 cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ α = β 等 cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ 法可以推 其 它 公 你能根据 回顾推导 吗? tan? ? tan ? tan(α +β )= 1 ? tan? tan ? 2.化 tan? ? tan ? 要求使三 tan(α -β )= 1 ? tan? tan ? 数式成为 简:项数 少,名称 少,次数 sin2α =2sinα cosα 底,分母 cos2α =cos2α - sin2α 不含三角 =2cos2α -1=1-2 sin2α 数,根号 量不含三 数,能求值的求出值来;
sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ sin(α -β )=sinα cosβ -cosα sinβ

? ± 2
β 换 导 式 下 过 、 元 出 。 图 程

tan2α =

t an? ? t an ? 1 ? t an? t an ?

简 , 角 函 最 尽 量 尽 量 尽 量 尽 量 函 内 尽 角 函

59

3.求值,要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响,较难的问题需要根 据上三角函数值进一步缩小角的范围。 4.证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边,或右边变同于,或都将左右进行 变换使其左右相等。 5. 三角恒等变换过程与方法,实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换,即 (1) 找 差异:角、名、形的差别;(2)建立联系:角的和差关系、倍半关系等,名、形之间可以 用哪个公式联系起来;(3)变公式:在实际变换过程中,往往需要将公式加以变形后运用 2 或逆用公式,如升、降幂公式, cosα = cosβ cos(α -β )- sinβ sin(α -β ),1= sin α +cos α , 例题 例 1 已知 sin(α +β )=
2 0 0 1 ? t an300 t an450 ? t an300 = =tan(45 +30 )等。 0 0 0 1 ? t an30 1 ? t an45 t an30

2 1 t an? ,sin(α -β )= ,求 的值。 3 5 t an ?

例 2 求值:cos24°﹣sin6°﹣cos72° 例 3 化简(1)
3 1 ;(2)sin2α sin2β +cos2α cos2β - 1 cos2α cos2β 。 ? 0 2 sin 20 sin 700
2 2

例 4 设为锐角,且 3sin α +2sin β =1,3sin2α -2sin2β =0,求证:α +2β =

? 。 2

例 5 如图所示,某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠,为降低成本,必须尽量减少水与 水渠壁的接触面。 若水渠断面面积设计为定值 m, 渠深 8 米。 则水渠壁的倾角 ? 应为多少时, 方能使修建的成本最低? 分析:解答本题的关键是把实际问题转化成 数学模型,作出横断面的图形,要 减少水与水渠壁的接触面只要使水 与水渠断面周长最小,利用三角形 的边角关系将倾角为 ? 和横断面的 周长 L 之间建立函数关系,求函数 的最小值

A

E

D

8

B

C

60


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