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21-3.2一元二次不等式及其解法(1)


课题:一元二次不等式的解法
第一课时

引例:
某同学要把自己的计算机接入因特网, 现有两家公司可供选择,公司A每小时收费 1.5元;公司B的收费原则是:用户上网的第1 小时内收费1.7元,第2小时内收费1.6元,以 后每小时减少0.1元.(如果用户一次上网超 过17小时,安17小时算),一般说来,一次上 网的时间不会超过17小时的,所以

,不妨假 设一次上网时间总小于17小时的,那么,一 次上网在多 长时间以内能保证选择公司A 比公司B所需要的费少?

假设一次上网x小时,则A公司收取的费 用为1.5x,那么B公司收取的费用为多少? 怎样得来?
分析:因为在B公司上网收取的费用可构成一个 等差数列,其首项为1.7,公差为-0.1,项数为x 的和,即 x?x ? 1? x?35 ? x ?
1.7 x ? 2

?? 0.1? ?

20

那么,如果能够保证选择A公司比选择B公司所需 费用少,则如何列式呢? x ?35? x ? 即: ? 1.5x 20
整理得 x 2 ? 5x ? 0 这是一个关于x的一元二次不等式模型: … ①

一、一元二次不等式的概念
把只含有一个未知数,并且未知数的最高 次数是2的不等式,称为一元二次不等式

? 试一试:解不等式 x2-5x﹤0
(1)作出y=x2-5x的图像 (2)写出x2-5x=0的解集 (3)根据图像写出 x2-5x < 0的解集 0 (4)根据图像写出 x2-5x > 0的解集 y

o

5

x

小结: 我们通过二次函数y=x2-5x的图像 不仅求得了的x2-5x>0解集,还求得了 的x2-5x<0解集.可见利用二次函数的图 像来解一元二次不等式是个有效的方法.

下面我们再对一般的一元二次不等式 ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0来进行讨论.
? 首先讨论a>0的情形.请思考下列问题: ? (1)如果相应的一元二次方程分别有 两个实根、唯一实根、无实根的话, 其相应的二次函数的图像与轴的位置 关系如何? ? (2)请观察表中的二次函数的图像, 并写出相应的一元二次不等式的解集.

?=b2-4ac

?>0
y
● ●

?=0
y x2 x y

?<0

二次函数 x1 y=ax2+bx+c o 的图像

o



x

o

x

ax2+bx+c=0 ?b? ? x1, 2 ? 的根 2a
ax2+bx+c>0 的解集 ax2+bx+c<0

b x1 ? x2 ? ? 2a

?
R

{x | x ? x1

b {x | x ? ? } 或x ? x2 } 2a
x ? x2 }

{ x | x1 ?

?

?

这张表是我们今后求解一元二次 不等式的主要工具,必须熟练掌握, 其关键是抓住相应的二次函数的图 像。
记忆口诀: 大于0取两边,小于0取中间.

知识应用与解题研究
【例1】解不等式2x2-3x-2>0
解:因为?>0, 方程2x2-3x-2=0 的解是
1 ( x ? )( x ? 2) 2

1 2 ? 3 ? 4 ? 2 ? (?2) x1 ? ? , x2 ? 2 2 ? 25 ? 0 1 所以不等式的解集是{x | x ? ? 或x ? 2}. 2

? ? b ? 4ac
2

演练反馈
? 1.解下列不等式: 2 ? (1)3x -7x+2<0 2 ? (2)-x +2x-3≤0 2 ? (3)4x -4x+1<0 2 ? (4)x -3x+5>0

例2:某种牌号的汽车在水泥路 面上的刹车距离S米和汽车车速 x km/h有如下关系: 1 1 2 s? x? x . 20 180 在一次交通事故中,测得这种车 的刹车距离大于39.5米,那么这 辆车刹车前的车速至少为多 少?(精确到0.01km/h).

例3:一个车辆制造厂引进了一条摩托
车整车装配流水线,这条流水线生产的 摩托车数量x(辆)与创造的价值y(元)之 间有如下的关系: y=-2x2+220x. 若这家工厂希望在一个星期内利用这 条流水线创收6000元以上,那么它在一 个星期内大约应该生产多少辆摩托车?

总结提练
(1)一元二次不等式的解集与一元二 次方程的解及其相应的二次函数的图 像相对于轴的位置密切相关.解题时要 注意解题格式,头脑中要想象图像或 划出草图. (2)对于a<0的一元二次不等式可转 化为a>0的情形求解. (3)一元二次不等式的解法是今后学 习其他不等式的基础,要求大家熟练 掌握解法,准确运算结果.

思考:
若不等式x2+px+q<0的解集是 {x|-3<x<2},求p+q的值.

解:依题意,知方程的两根分别为x1=

-3,x2=2,由韦达定理知x1+x2=-p, x1x2=q,所以p=1,q=-6.所以p+q=-5.


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