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江苏省扬州市2015届高三高考数学考前指导原创题交流 应用题(应用题)


公道中学应用题备选

梁习云

刘勤

1、一个质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)骰子四个面上分别 标有 1,2,3,4 这四个数字,抛掷这颗正四面体骰子,观察抛掷后能看到的数字. (1) 若抛掷一次,求能看到的三个面上数字之和大于 6 的概率; (2) 若抛掷两次,求两次朝下面上的数字之积大于 7 的概率; (3) 若抛掷两次,以第一次朝下面上的数字为横坐标 a ,第二次朝下面上的数字为纵坐 标 b ,求点( a , b )落在直线 x ? y ? 1 下方的概率.

解: (1)记事件“抛掷后能看到的数字之和大于 6”为 A,抛掷这颗正四面体骰子,抛掷后能 看到的数字构成的集合有{2,3,4},{1,3,4},{1,2,4},{1,2,3},共有 4 种情形, 其中,能看到的三面数字之和大于 6 的有 3 种,则 P ( A) ? 3 4 (2)记事件“抛掷两次,两次朝下面上的数字之积大于 7”为 B,两次朝下面上的数字构成 的数对有共有 16 种情况,其中能够使得数字之积大于 7 的为(2,4) , (4,2) (3,3) , (3, 4) , (4,3) , (4,4)共 6 种,则 P(B)=

6 3 ? 16 8

(3)记事件“抛掷后点(a,b)在直线 x-y=1 的下方”为 C,要使点(a,b)在直线`x-y=1 的下 方,则须 b<a-1, 当 b=1 时,a=3 或 4;当 b=2 时,a=4, 则所求的概率 P(C)=

3 16

2.某个公园有个池塘,其形状为直角△ABC,∠C=90° ,AB=200 米,BC=100 米. (1)现在准备养一批供游客观赏的鱼,分别在 AB、BC、CA 上取点 D,E,F,如图(1), 使得 EF∥AB,EF⊥ED,在△DEF 喂食,求△DEF 面积 S△DEF 的最大值; (2)现在准备新建造一个荷塘,分别在 AB,BC,CA 上取点 D,E,F,如图(2),建造△ DEF 连廊(不考虑宽度)供游客休憩,且使△DEF 为正三角形,求△DEF 边长的最小值.



(1)Rt△ABC 中,∠C=90° ,AB=200 米,BC=100 米.

BC 1 ∴cos B=AB=2,可得 B=60° ∵EF∥AB,∴∠CEF=∠B=60°

CE 设CB=λ(0<λ<1),则 CE=λCB=100λ 米, Rt△CEF 中,EF=2CE=200λ 米, 3 C 到 FE 的距离 d= 2 CE=50 3λ 米, 3 ∵C 到 AB 的距离为 2 BC=50 3米, ∴点 D 到 EF 的距离为 h=50 3-50 3λ=50 3(1-λ)米 1 可得 S△DEF=2EF· h=5 000 3λ(1-λ)米 2 1 1 1 ∵λ(1-λ)≤4[λ+(1-λ)]2=4,当且仅当 λ=2时等号成立, 1 ∴当 λ=2时,即 E 为 AB 中点时,S△DEF 的最大值为 1 250 3米 2 (2)设正△DEF 的边长为 a,∠CEF=α, 则 CF=a· sin α,AF= 3-a· sin α. 设∠EDB=∠1,可得 ∠1=180° -∠B-∠DEB=120° -∠DEB, α=180° -60° -∠DEB=120° -∠ DEB ∴∠ADF=180° -60° -∠1=120° -α 3-asin α a 在△ADF 中,sin 30° = sin∠ADF a 即1= 2 化简得 a[2sin(120° -α)+sin α]= 3 ∴a= 角). 21 ∴△DEF 边长最小值为 7 米. 3 2sin α- 3cos α = 3 3 21 3 ≥ = 7 (其中 φ 是满足 tan φ= 2 的锐 7sin?α-φ? 7 3-asin α , sin?120° -α?

3、已知舰 A 在舰 B 的正东,距离 6 公里,舰 C 在舰 B 的北偏西 30?,距离 4 公里,它们准 备围找海洋动物,某时刻舰 A 发现动物信号,4 秒后,舰 B,C 同时发现这种信号,A 于 是发射麻醉炮弹,设舰与动物都是静止的,动物信号的传播速度为 1 公里/1 秒,求舰 A 炮击的方位角。 解:为确定海洋动物的位置,首先的直线 BA 为 x 轴,线段 BA 的中垂线为 y 轴建立直角 坐标系(如图) ,据题设,得 B(-3,0), A(3,0), C(-5, 2 3 )且动物 P(x,y)在 BC 的中垂线

l 上,
∵BC 中点 M 的坐标为(-4, 3 ), kBC=- 3 . ∴ l 的方程为 y- 3 =

3 3 (x+4)即:y= 3 3

(x+7).................① 又∵ |PB|-|PA|=4(公里) ∴ P 又在以 B,A 为焦点的双曲线右支上。 双曲线方程为

x2 y2 ? =1 (x≥2)...............② 4 5
2

由①②消去 y 得 11x -56x-256=0,解的 x1=-

32 (舍去), x2=8。 11

∴ P 点坐标为(8,5 3 ), 于是 tg∠xAP=kAP=

5 3 = 3, 8?3

∴ ∠xAP=60?, 故舰 A 炮击的方位角为北偏东 30?。


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