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5.1平面向量的基本概念及线性运算


第五章
【考情上线】

平面向量

1. 平面向量这部分知识本身很重要,作为工具性知识广泛应用于三角函数、解析几何、立体几何的教学中,以 填空题考查本章的基本概念和性质,此类题一般难度不大,用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形 状等问题,向量的基本运算可以为真空题,也可以为中档的解答题,向量与数列、不等式、函数等代数内容 的综合问题对学生的能力考查有较高的要求,以解答题考查圆锥曲线中的典型问题,此类题综合性比较强, 难度大,以解析几何中的常规题为主。

5.1

平面向量的基本概念及线性运算

【知识回顾】 一、向量的有关概念及表示方法 1. 向量:既有大小又有方向的量。向量一般用 a, b , c ??来表示,或用有向线段的起点与终点 的大写字母表示,如: AB 几何表示法 AB , a ;坐标表示法 a ? xi ? y j ? ( x, y) 。 2. 向量的模:向量的大小即向量的模(长度),如 AB, a 的模分别记作| AB |和 | a | 。 注:向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小。 3. 几类特殊向量 (1) 零向量:长度为 0 的向量,记为 0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行, 零向量 a = 0 ? | a |=0。由于 0 的方向是任意的,且规定 0 平行于任何向量,故在有 关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。(注意与 0 的区别) (2) 单位向量:模为 1 个单位长度的向量,向量 a0 为单位向量 ?| a0 |? 1 。将一个向量除以它 ? ? a ? ? ? 的模即得到单位向量,如 a 的单位向量为: ea |a| (3) 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量,称为平行向量。记作 a ∥ b 。 规定: 0 与任何向量平等, 任意一组平行向量都可以移到同一直线上,由于向量可以进行任意的平移(即自由向量),平 行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须 区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行” 与几何中的“平行”是不一样的。 (4)相反向量:与 a 长度相等、方向相反的向量,叫做 a 的相反向量。记作 ? a 。 关于相反向量有:① 零向量的相反向量仍是零向量, ② ? (?a ) = a ; ③ a ? (?a) ? 0 ; ④若 a 、 b 是互为相反向量,则 a = ? b , b = ? a , a + b = 0 。 (5)相等向量:长度相等且方向相同的向量。记为 a ? b 。相等向量经过平移后总可以重合。

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5.1

平面向量的基本概念及线性运算

二、向量的线性运算 1.向量加法 (1)定义:求两个向量和的运算叫做向量的加法

设 AB ? a, BC ? b ,则 a + b = AB ? BC = AC 。 规定: 0 ? a ? a ? 0 ? a ; (2)向量加法的法则—“三角形法则”与“平行四边形法则” ① 用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与 已知向量的始点重合的那条对角线。 ② 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一 个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和。 注:当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾 连接时,用三角形法则。 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加: AB ? BC ? CD ? ?? PQ ? QR ? AR , 但这时必须“首尾相连”。 (3)向量加法的运算律: ①交换律: a ? b ? b ? a 2.法向量的减

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②结合律: (a ? b) ? c ? a ? (a ? c)

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(1) 定义:若 a ? x ? b 则向量 x 叫做 a 与 b 的差,记为 b ? a 。求两个向量差的运算,叫做向量 的减法。 (2) 向量减法的法则—“三角形法则”与“平行四边形法则” ① 三角形法则:当 a, b 有共同起点时, a ? b 表示为从减向量 b 的终点指向 被减向量 a 的终点的向量。 ② 平行四边形法则:两个已知向量是要共始点的,差向量是如图所示的对角

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? ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ??? 线。设 AB ? a, AC ? b 则 a - b = AB ? AC ? CB .

3.实数与向量的积

? b

C

? ? a ?b

? B A a ? ? (1) 定义:实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 ? a ,它的长度与方向规定如下: ? ? ① ?a ? ? ? a ; ? ? ? ? ② 当 ? ? 0 时, 当 ? ? 0 时, 当? ? 0 ? a 的方向与 a 的方向相同; ? a 的方向与 a 的方向相反;
时, ?a ? 0 ,方向是任意的。 (2) 数乘向量的运算律

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① ? (? a) ? (?? )a ;② (? ? ? )a ? ? a ? ? a ;③ ? (a ? b) ? ? a ? ?b 。 三、向量共线定理

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? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? a / /b ? b ? ? a(a ? 0) ? ? ? ? 2. 推论:若 a 与 b 是两个非零向量,则 a b 共线 ? 存在两个均不为零的实数 ?、? ,使得 ? ? ? ? a ? ?b ? 0 , ??? ? ??? ? 3. 应用:可以证明三点共线: AB ? ? AC ? A、B、C 三点共线。

1. 定理:若 a 与 b 是两个非零向量,则 a b 共线 ? 有且只有一个实数 ? ,使得 b ? ? a ,即

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5.1

平面向量的基本概念及线性运算

四、平面向量的基本定理 1. 定理:如果 e1 , e2 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 a ,有且只 有一对实数 ?1 , ? 2 使: a ? ?1e1 ? ?2 e2 。我们把不共线的向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有 向量的一组基底。 2. 注意:①要平面内的两个向量不共线,都可以作为一组基底, ②当 a 用基底 e1 , e2 写成

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? ? ? ? ? ? ? a ? ?1e1 ? ?2 e2 时,称之为向量的分解, ③当若 a 与 b 是两个非零向量,则 a b 共线 ? 有且
只有一个实数 ? ,使得 e1 ? e2 时,称 a ? ?1e1 ? ?2 e2 为向量的正交分解。 3. 应用: ①证明向量共面:若 a, b 不共线,则 p 与 a, b 共面的充要条件是存在有序实数对 ( x, y ) ,使

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? ? ? ? p ? xa ? yb

②证明四点共面:若 MA, MB 不共线,存在实数对 ( x, y ) 使 MP ? xMA ? yMB ? M , P, A, B 四点 共面, ③证明三点共线:若 MA, MB 不共线,存在实数对 ( x, y ) 使 MP ? xMA ? yMB且x ? y ? 1 ? P, A, B 三点共线。 五、平面向量的坐标表示与运算 1. 平面向量的坐标表示: 在直角坐标系中, 分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i , j 作 为基底,由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量 a 可表示成 a ? xi ? yj ,由于 a 与 数对(x,y)是一一对应的,因此把(x,y)叫做向量 a 的坐标,记作 a =(x,y),其中 x 叫作 a 的 横坐标,y 叫做作纵坐标。 规定: ① i ? (1,0) , j ? (0,1) ② 相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量; ③ 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关 2. 平面向量的坐标运算: ①若 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ; ②若 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则 AB ? ? x2 ? x1 , y2 ? y1 ? ; ③若 a =(x,y),则 ? a =( ? x, ? y); ④若 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ; a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ⑤若 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) , 则 a ? b ? x1 ? x2 , y1 ? y2

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5.1

平面向量的基本概念及线性运算

六、线段的定比分点从标公式

??? ? ???? ? |P P 1 | ???? ? ? ,即 如图,设直线 l 上有一条有向线段 PP 1, P 2 的动点 P ,若 1 2 和一个不同于 P | PP2 | ??? ? ???? PP 1 2 的定比分点,且称 P 分有向线段成定比 ? 。 1 ? ? PP 2 (? ? ?1) ,则称点 P 为有向线段 PP

x ? ? x2 ? x? 1 ? ? 1? ? (? ? ?1) 设 P( x, y), P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ,则 ? y ? ? y 1 2 ?y ? ? 1? ? ? x ?x ? x? 1 2 ? ? 2 若 ? ? 1 ,得到 PP 1 2 中点坐标 ? y ? y ? 1 ? y2 ? ? 2
七、几个重要结论 1. | a ? b | ? | a ? b | ? 2(| a | ? | b | ) , | a | ? | b | ? (a ? b)(a ? b)
2 2 2 2 2 2

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2. 若 G 为 ?ABC 的重心 ? GA ? GB ? GC ? 0 ? G (

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x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , )。 3 3

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平面向量的基本概念及线性运算


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