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极坐标与直角坐标的互化


高二数学 选修4-4

内容概括 一.直角坐标与极坐标的互化 二.直线与圆的方程的互化

平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 ) 这个点如何用极坐标表示? y M (1, 3 ) 在直角坐标系中, 以原点作 为极点,x轴的正半轴作为极轴, θ 并且两种坐标系中取相同的长 O x 度单位.
设点M的极坐标为(ρ,θ)

? ? 1 ?( 3 )?2
2 2

? M (2, )或(2, 2k? ? ) k ? Z 3 3

?

3 tan? ? ? 3 1

?? ?

?
3

?

极坐标与直角坐标的互化关系式:
设点M的直角坐标是 (x, y),极坐标是 (ρ,θ)

x=ρcosθ, y=ρsinθ
y ? ? x ? y , tan? ? ( x ? 0) x
2 2 2

通常情况下,将点的直角坐标, 化为极 坐标时,取 ? ? 0,? ? 0, ?

?

?

互化公式的三个前提条件:
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴 重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
2? 例1. 将点M的极坐标 (5, ) 化成直角坐标. 3
5 5 3 点M的直角坐标为 (? , ) 2 2

例2. 将点M的直角坐标 (? 3 ,?1) 化成极坐标.

7? ( 2, ) 6

例3、求曲线 ? ? sin ? ? 3 cos? 的直角坐标方程
解: ? ? 2 ? ? sin ? ? 3? cos?(两边同乘以 ?)

? x ? ? cos? ; y ? ? sin ?;? ? x ? y
2 2

2

? x ? 3x ? y ? y ? 0
2
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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wxckt@126.com

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2

练习: 2? 11? 1.把点M 的极坐标 (8, ), (4, ), (2,?? )
3

6

化成直角坐标; 2.把点P的直角坐标( 6,? 2 ) (2,?2)和(0,?15)


化成极坐标。 解(2)由直角坐标化为极坐标的公式: 解(1)由极坐标化为直角坐标的公式: y 2 2 2 ?x ? ? y? ; tan ?? ?sin ? . ?x ? cos y?
11? 7? 3? 得极坐标分别为 (2 2 ( , ?4,4 ), (2 2 ,2 3), (15 , (?2 ) ,0) 得直角坐标分别为 3 ), ( , ? 2 ), 6 4 2


x

4.极坐标方程? ? sin ? ? 2 cos ? 所表示的 曲线是
解:因给定的 ?不 恒 等 于 零 , 得? 2=? sin? ? 2 ? cos? 化成直角坐标方程为 x ? y ? y ? 2x 1 2 5 1 2 即( x ? 1) ? ( y ? ) ? 这 是 以 点 (1, )为 圆 心 , 2 4 2 5 半径为 的圆。 2
2 2

3? 3.? ? 的直角坐标方程是 4 y 3? y 解: ? tan ? ? ? tan ? , 即y ? ? x ( y ? 0 ) x 4 x

5.若两条曲线的极坐标方程分别为 ? ? 1 与 ?? ? ? ? 2 cos?? ? ? ,它们相交于 A, B 两点,求线段
? 3?

AB的长.
2 2 ? ? 1 解:由 得 x ? y ?1

? ? ? 2cos(? ? ) ? cos ? ? 3 sin ? ,? ? 2 ? ? cos ? ? 3? sin ? 3 2 2 ? x ? y ? x ? 3y ? 0


2 2 ? x ? y ?1 ? 由? 2 2 ? ?x ? y ? x ? 3y ? 0 2 2 1 3 ? ? 1 3 ? ? A (1,0), B ( ? , ? ) 得 ? AB ? 1 ? ? 0 ? ? 3 ? ? ? ? ? 2 2 2 ? 2? ? ? ?

6.极坐标方程 ? sin 2 ? ? 2 ? cos? ? 0 表示的曲线是_____ 抛物线 7.极坐标方程 4 sin2 ? ? 3 所表示的曲线是( B ) A.两条射线 B.两条相交直线
?

C.圆

D.抛物线

) 8.以 (? 2 , 4 )为圆心,2 为半径的圆的极坐标方程是(C

A. ? ? ?(sin? ? cos? ) B. C. ? ? ?2(sin? ? cos? ) D.

? ? sin ? ? cos?
? ? 2(sin? ? cos? )

课堂小结: 1、将直角坐标方程化成极坐标方程,只要将 x = ρcos θ,y = ρsin θ代入再化简即可 2、将极坐标方程化为直角坐标方程,可将方 程化成 ρcos θ,ρsin θ 和ρ2的形式,再 分别替换成 x,y,x2 +y2,有时要两边先乘 以ρ ;


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