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上海交通大学2011级数学分析第1学期第1次测验解答


上海交通大学 数学分析 ( Ⅰ) 测验 2011.10
班级_______学号________姓名_______成绩___ 题 号 满 分 得 分 一、填空题 (每小题 3 分,共 12 分) 1. 给出[0,1]到[0,1]的函数,使得它是双射,并且在[0,1]的任一子区间上都不是 一 12 二 12 三 12 四 10 五 36 六 10 七 8 总 分 100

? ? x, x ? Q [0,1] 单调函数: f ( x)= ? . c ? x , x ? Q [0,1] ? ?
2. “数列 {xn } 不满足 Cauchy 收敛准则”的肯定叙述为:

?? ? 0, ?N ? N,?n, m ? N :| xn ? xm |? ? .
3. “ 函数 f ( x) 当 x ?? 不是无穷大量”的肯定叙述为:
?G ? 0, ?X ? 0,?x(| x |? X ) :| f ( x) |? G .

4. 设 xn ?

1 n? 6 ? cos ,则 inf{xn } ? ?1 , sup{xn } ? . n+1 2 5

二、单项选择题 (每小题 3 分,共 12 分) 5. 下列语句可以作为 lim x n ? a 的等价定义的语句有
n??

?? ( C

)

(I) ?? ? 0, ?N ? Ν, ?n ? N :| xn ? a |? M?(M ? 0) . (II) ?? ? 0, ?N ? ?, ?n ? N :| xn ? a |? ? 3 . (III) ?? (0 ? ? ? 1), ?N ? ?, ?n ? N :| xn ? a |? ? . (IV) ?? ? 0, ?N ? ?, ?n ? N : xn ? a ? ? . (A)1 句 6. 考虑下列语句 I. II.
ο
x?a

(B)2 句.

(C)3 句.

(D)4 句. ?? ( A )

设 lim f ( x) ? A ,若 ?? ? 0, 使得 ?x ?U (a, ? ) ,有 f ( x) ? 0 ,则 A ? 0 设 lim f ( x) ? A ,若 A ? 0 ,则 ?? ? 0, 使得 ?x ?U (a, ? ) ,都有 f ( x) ? 0 .
x?a

ο

共 3 张 6 页,第 1 页

(A) I 正确 II 不正确. (C) I 和 II 均正确.
n??

(B) I 不正确 II 正确. (D) I 和 II 均不正确. ?? ( A )

7. . 若 lim x n ? a , 且 xn ? 0, ?n ? ? 。 则下列结论错误的是: (A) lim
n ??

xn ?1 ? 1. xn

(B) (C) (D)

lim | x n |?| a | .
n ??

lim

x1 ? x 2 ? ? ? x n ? a. n ?? n

lim n x1 x 2 ? x n ? a .
n ??

8. 当 x ? 0 时,与 x 2 等价的无穷小量是( C A 三、



e2 x

2

? x3

?1 ;

B cos x2 ?1 ;

C

1 ? 2 x2 ? 1 ;

D

ln( x2 ? x ? 1) .

(每小题 6 分,共 12 分)判断下列命题是否正确。正确的请简单说明,

错误的请给出反例。

9. 若 {xn } 的任一子列均为无界数列,则 {xn } 必为无穷大量. 正确:…………………..3’ 若 {xn } 不是无穷大量,则必存在 {xn } 的子列为有界量,导致矛盾。…..6’ 10. 若函数 f ( x) 在 x ? x0 处左右极限均存在,则 f ( x) 在 x ? x0 处的极限存在。 错误: ………………………………………..3’ 给出正确反例…………………………………..6’

四、

(本题共 10 分)
x ?3

11.用“ ? ? ? ”定义验证: lim 证明: ?? ? 0 ,欲使 |

x ?1 1 ? . x ?1 2

x ?1 1 x ?3 ? |?| |? ? , x ? 1 2 2( x ? 1) x ?1 1 x ?3 | x ?3| ? |?| |? ,……4’ x ? 1 2 2( x ? 1) 6

不妨设 | x ? 3|? 1 , 即 2 ? x ? 4 ,从而有 |

共 3 张 6 页,第 2 页

故只须要: |

x ?1 1 x ?3 | x ?3| ? |?| |? ? ? ,即 | x ? 3|? 6? 。 x ? 1 2 2( x ? 1) 6
x ?1 1 ? |? ? 。故 x ?1 2

取 ? ? min{6? ,1} ? 0 。……………………………………………………………8’
从而有

?? ? 0 , ?? ? m i n { ?6 , ? 2 }, ? 0 x(0 ?| x ? 3 |? ? ) : |

lim
x ?3

x ?1 1 ? 。………………………………………………………………..10’ x ?1 2

五、 12.

计算下列极限 (每小题 9 分,共 36 分)

lim

1 ? cos x x ?0 ln(1 ? 3 x 2 ) 1 ? cos x ? lim .........3' x ?0 ln(1 ? 3 x 2 )(1 ? cos x ) . 1 2 x ? lim 2 2 .....................7 ' x ?0 3 x (1 ? cos x ) 1 ? ...............................................9 ' 12

13.

? x 2 ? x2 lim ? cos x ? ? x ?0 2? ?
ln(cos x ?

1

? e x?0 ? e x?0 ?e
x?0

lim

x2 cos x ?
2

x2 ) 2

...................3' .....................6 ' .

lim

x2

x ?1 2

lim

cos x ?1 1 ? 2 x2

? e ?1.................................9 '
14. 设 a ? 0 ,计算

lim n
n ??

?

n

a? 1

?

ln a ................6 ' . n ? ln a..........................9 ' ? lim n
n ??

共 3 张 6 页,第 3 页

15. 设 k ? 1 常数, lim a n ? a . 计算
n??

lim

k n an ? k n ?1an ?1 ? ? a0 n ?? kn k n an ? lim n .........................5' n ?? k ? k n ?1 . kan ? lim n ?? k ? 1 ka ? .....................................9 ' k ?1

六、(本题共 10 分) 16. 设 x1 ? 2, xn?1 ? 解:
1 (n ? N) ,证明:数列 ?xn ? 收敛,并求极限值. 2 ? xn

| xn ?1 ? ( 2 ? 1) | ?| ?| 1 1 1 ? ( 2 ? 1) |?| ? | 2 ? xn 2 ? xn 2 ?1 xn ? ( 2 ? 1) (2 ? xn )( 2 ? 1) |? 1 | xn ? ( 2 ? 1) | 2 ?1

? ............. 1 n 1 n ) | x1 ? ( 2 ? 1) |? ( ) ..............4 ' 2 ?1 2 ?1 1 n ) ? 0 ………………………..7’ 由于 lim( n ?? 2 ?1 ?(
从而得到 lim xn ? 2 ? 1 ………………….10’
n ??

七、(本题共 8 分) 17. 设数列 ?xn ? 满足 2 xn ? xn?1 ? xn?1,?n ? 2 . 证明: (1) 若 x2 ? x1 ,则数列 ?xn ? 是无界数列. (2) 若数列 ?xn ? 是有界数列,则 lim( xn ? xn ?1 ) ? 0 .
n ??

证明: (1) (4 分)由题意得 从而有: x3 ? x2 ? x2 ? x1,

xn + 1? xn ? xn ? x , ? n2 ? ?n 1

x4 ? x3 ? x3 ? , x2
…….

xn ? xn , ?1 ? xn ?1 ? xn ? 2
相加得到: xn ? x2 ? xn?1 ? x1,?n ? 3 故有 xn ? xn?1 ? x2 ? x1 ? xn?2 ? 2( x2 ? x1 )...... ? x1 ? (n ?1)( x2 ? x1 ) 。所以数列
共 3 张 6 页,第 4 页

?xn ? 是无界数列。
(2) (4 分)先证明数列 ?xn ? 是单调减少数列。反证,假设数列 ?xn ? 不是 单调减少数列,则存在 N0 ? N ,使得 xN0 ?1 ? xN0 。于是由(1)知:

xn ? xN0 ? (n ? N0 )( xN0 ?1 ? xN0 ), ?n ? N0 ,
从而得到 ?xn ? 是无界数列,得到矛盾。 由 于 数 列 ?xn ? 是 单 调 减 少 有 界 , 故 收 敛 , 记 极 限 为 A 。 而
l i mx(n ? xn ?1 ? ) A? A ? 。 0
n ??

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