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3.1.1变化率问题


3.1.1 变化率问题
【学习目标】1.记忆函数平均变化率的概念, 2.求已知函数在一点 x0 附近的平均变化率。 【学习重点】 1.通过实例,明白变化率在实际生活中的需要,探究和体验平均变化率的实际意义和 数学意义; 2.平均变化率的概念。 【学习难点】平均变化率的概念. 【自学点拨】 一.阅读章引言,并思考章引言写了几层意思? 二、问题提出 问题 1 气球膨胀率问题: 气球的体积 V(单位:L)与半径 r(单位:dm)之间的函数关系是__________. 如果将半径 r 表示为体积 V 的函数,那么 V (r ) ? ___________. ⑴ 当 V 从 0 增加到 1 时,气球半径增加了___________. 气球的平均膨胀率为___________. ⑵ 当 V 从 1 增加到 2 时,气球半径增加了___________. 气球的平均膨胀率为___________. 可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了. 思考:当空气容量从 V1 增加到 V2 时,气球的平均膨胀率是多少? ___________. 问题 2 高台跳水问题: 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位:m)与起跳后的 时间 t(单位:s)存在怎样的函数关系? 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位:m)与起跳后的时 间 t(单位:s)存在函数关系___________. 讨论:如何计算运动员的平均速度? 分别计算 0≤t≤0.5,1≤t≤2,1.8≤t≤2,2≤t≤2.2,时间段里的平 均速度. 思考计算:

h

o

t

在 0 ? t ? 0.5 这段时间里, v =___________.在 1 ? t ? 2 这段时间里, v =___________. 在 1.8 ? t ? 2 这段时间里, v =___________.在 2 ? t ? 2.2 这段时间里, v =___________. 探究:计算运动员在 0 ? t ?

65 这段时间里的平均速度 v ,并思考以下问题: 49

⑴运动员在这段时间内使静止的吗? ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 探究过程:如图是函数 h(t)= -4.9t +6.5t+10 的图像,结合图形可知, h(
2

65 ) ? h(0) , 49

所以 v = 0(s / m) ,虽然运动员在 0 ? t ?

65 这段时间里的平均速度为 0(s / m) ,但实际情况 49

是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态. 得到结论是: ①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态,它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量,能更精细地刻画运动员的运动状态; (二)平均变化率概念: 1.上述问题中的函数关系用 y ? f (x) 表示,变化率可用式子 数 y ? f (x) 从 x1 到 x2 的平均变化率. 2.若设 ?x ? x2 ? x1 , ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,则平均变化率为 思考:观察函数 f(x)的图象 y y=f(x) f(x2)

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 表示, 称为函 x2 ? x1

?y ? ___________. ?x

?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? (1)平均变化率 表示什么? ?x x2 ? x1
(2)一起讨论、分析,得出结果; 小结:计算平均变化率的步骤: ①求自变量的增量 ?x ? x2 ? x1 ; ②求函数的增量 ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ; ③求平均变化率

△y =f(x2)-f(x1) f(x1) O △x= x2-x1 x1 x2 x

?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) . ? ?x x2 ? x1

注意:① ?x 是一个整体符号,而不是Δ 与 x 相乘; ② x2 ? x1 ? ?x ; ③ ?f ? ?y ? y2 ? y1 三.典例分析 例 1 . 已 知 函 数 f(x)= ? x ? x 的 图 象 上 的 一 点 A(?1, ? 2) 及 临 近 一 点
2

B(?1 ? ?x , ? 2 ? ?y) ,则
解:

?y ? ?x



例2. 求 y ? x 2 在 x ? x0 附近的平均变化率。

解:

四.课堂练习 1.质点运动规律为 s ? t ? 3 ,则在时间 (3 , 3 ? ?t ) 中相应的平均速度为
2



2.物体按照 s(t ) ? 3t 2 ? t ? 4 的规律作直线运动,求在 t ? 4 时刻附近的平均变化率.

3.过曲线 y ? x 2 上两点 P(1,1)和 Q (1+Δ x,1+Δ y)的曲线的割线 PQ,求出当 ?x ? 0.1 时 割线 PQ 的斜率.

五.回顾总结

六.补充实例 例1 在经营某商品中,甲挣到 10 万元,乙挣到 2 万元,如何比较和评价甲,乙两人的经 营成果?

变式:在经营某商品中,甲用 5 年时间挣到 10 万元,乙用 5 个月时间挣到 2 万元,如何比 较和评价甲,乙两人的经营成果? 例2 情境:现有南京市某年 3 月和 4 月某天日最高气温记载. 时间 日最高气温 3 月 18 日 3.5℃ 4 月 18 日 18.6℃ 4 月 20 日 33.4℃

观察:3 月 18 日到 4 月 18 日与 4 月 18 日到 4 月 20 日的温度变化,用曲线图表示为:

温度T (℃)

30 20 10 2 0 2

10

20

30

34

时间 t(d)

七.作业 ①看书,复习今天内容;②思考问题:如何能更精细地刻画运动员的运动状态?需要增加什 么量?③预习下节内容.


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