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2013届高三数学二轮复习 必考问题专项突破12 三视图及空间几何体的计算问题 理


必考题 12

三视图及空间几何体的计算问题

1.(2012·福建)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可 以是( A.球 C.正方体 ). B.三棱锥 D.圆柱

答案:D [球的三视图都是圆;三棱锥的三视图可以都是全等的三角形;正方体的三视 图都是正方形;圆柱的底面放置在水平面上,则其俯视图是圆,正视图是矩形,故应选 D.] 2.(2012·北京)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( ).

A.28+6 5 C.56+12 5 答案:B

B.30+6 5 D.60+12 5

[该三棱锥的直观图,如图所示,

其中侧面 PAC⊥底面 ABC,PD⊥AC,AC⊥BC,可得 BC⊥平面 PAC,从而 BC⊥PC.故 S△PAC 1 1 1 2 2 = ×5×4=10; △ABC= ×5×4=10; =5, S PC 所以 S△PBC= ×4×5=10; 由于 PB= PD +BD 2 2 2 = 16+25= 41,而 AB= 5 +4 = 41,故△BAP 为等腰三角形,取底边 AP 的中点 E,连 1 1 接 BE,则 BE⊥PA,又 AE= PA= 5,所以 BE= 41-5=6,所以 S△PAB= ×2 5×6=6 5. 2 2 所以所求三棱锥的表面积为 10+10+10+6 5=30+6 5.] 3.(2012·新课标全国)已知三棱锥 S?ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是边 长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为( A. C. 2 6 2 3 B. D. 3 6 2 2 ).
2 2

1

答案:A

[在直角三角形 ASC 中,AC=1,∠SAC=90°,SC=2,∴SA= 4-1= 3;

同理 SB= 3.过 A 点作 SC 的垂线交 SC 于 D 点,连接 DB,因△SAC≌△SBC,故 BD⊥SC,故

SC⊥平面 ABD,且平面 ABD 为等腰三角形,因∠ASC=30°,故 AD= SA=
1 积为 ×1× 2

1 2

3 ,则△ABD 的面 2

AD2-? ?2= 2

?1? ? ?

2 1 2 2 ,则三棱锥的体积为 × ×2= .] 4 3 4 6

4.(2012·辽宁)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为________.

解析 利用三视图得几何体,再求表面积.由三视图可知,该几何体是一个长方体中间 挖去一个圆柱,其中长方体的长、宽、高分别是 4、3、1,中间被挖去的是底面半径为 1, 母线长为 1 的圆柱, 所以几何体的表面积等于长方体的表面积减去圆柱两个底面的面积, 再 加上圆柱的侧面积,即为 2(4×3+4×1+3×1)-2π +2π =38. 答案 38

在空间几何体部分, 主要是以空间几何体的三视图为主展开, 考查空间几何体三视图的 识别判断, 考查通过三视图给出的空间几何体的表面积和体积的计算等问题. 试题的题型主 要是选择题或者填空题,在难度上也进行了一定的控制,尽管各地有所不同,但基本上都是 中等难度或者较易的试题.

该部分要牢牢抓住各种空间几何体的结构特征,通过对各种空间几何体结构特征的了 解,认识各种空间几何体的三视图和直观图,通过三视图和直观图判断空间几何体的结构, 在此基础上掌握好空间几何体的表面积和体积的计算方法.

必备知识 ?正棱锥的性质 侧棱相等,侧面是全等的等腰三角形,斜高相等;棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射 影构成一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形;某 侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形;侧棱在底面内的射影、斜高在 底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形.

2

?三视图 (1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察 几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高. (2)三视图排列规则:俯视图放在正视图的下面,长度与正视图一样;侧视图放在正视 图的右面,高度和正视图一样,宽度与俯视图一样. ?几何体的切接问题 (1)球的内接长方体、正方体、正四棱柱等关键是把握球的直径即棱柱的体对角线长. (2)柱、锥的内切球找准切点位置,化归为平面几何问题.

必备方法 1.几何体中计算问题的方法与技巧:①在正棱锥中,正棱锥的高、侧面等腰三角形的 斜高与侧棱构成两个直角三角形, 有关计算往往与两者相关; ②正四棱台中要掌握对角面与 侧面两个等腰梯形中关于上底、下底及梯形高的计算,另外,要能将正三棱台、正四棱台的 高与其斜高,侧棱在合适的平面图形中联系起来;③研究圆柱、圆锥、圆台等问题,主要方 法是研究其轴截面,各元素之间的关系,数量都可以在轴截面中得到;④多面体及旋转体的 侧面展开图是将立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段. 2.求体积常见技巧 当给出的几何体比较复杂,有关的计算公式无法运用,或者虽然几何体并不复杂,但条 件中的已知元素彼此离散时,我们可采用“割”、“补”的技巧,化复杂几何体为简单几何 体(柱、锥、台),或化离散为集中,给解题提供便利. (1)几何体的“分割”:几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求,分割成若干 个易求体积的几何体,进而求之. (2)几何体的“补形”:与分割一样,有时为了计算方便,可将几何体补成易求体积的 几何体,如长方体、正方体等.另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法. (3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算,应以公式为基础,充分利用几何体中的 直角三角形、直角梯形求有关的几何元素.

三视图的识图与计算 常考查:①三视图的识别与还原问题;②以三视图为载体考查空间几何体的表面积、体 积等问题.主要考查学生的空间想象能力及运算能力,是近几年高考的热点. 【例 1】? 已知某个几何体的三视图如图,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个 几何体的体积是( ).

3

A. B.

4 000 3 cm 3 8 000 3 cm 3
3

C.2 000 cm D.4 000 cm [审题视点]

3

[听课记录] [审题视点] 画出直观图后求解. B [此几何体的图为 SABCD,且平面 SCD⊥平面 ABCD,ABCD 为正方形,边长为 20 cm, 1 3 8 000 3 cm .故选 B.] 3

S 在底面的射影为 CD 的中点 E,SE=20 cm,VSABCD= S?ABCD·SE=

解答此类题目时: (1)可以从熟知的某一视图出发,想象出直观图,再验证其他视图是否正确; (2)视图中标注的长度在直观图中代表什么,要分辨清楚; (3)视图之间的数量关系:正俯长对正,正侧高平齐,侧俯宽相等. 【突破训练 1】

如图是一个几何体的三视图.若它的体积是 3 3,则 a=________.
4

解析 由三视图可知几何体为一个直三棱柱,底面三角形中边长为 2 的边上的高为 a,

?1 ? ∴V=3×? ×2×a?=3 3? a? 3. ?2 ?
答案 3

几何体的表面积与体积 此类问题常以三视图、空间几何体、组合体为载体,来求解几何体的表面积或体积,试 题以客观题为主,多为容易题. 【例 2】? 如图所示,

四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形,其中 BD 是圆的直径,∠ABD =60°,∠BDC=45°,△ADP∽△BAD. (1)求线段 PD 的长; (2)若 PC= 11R,求三棱锥 P ?ABC 的体积. [审题视点]

[听课记录] [审题视点] (1)利用 BD 是圆的直径可知∠BAD=90°,再利用△ADP∽△BAD 求解. 1 2 2 2 (2)先通过计算证明 PD +CD =PC , 则可知 PD⊥面 ABCD, 再由 S△ABC= AB·BCsin ∠ABC. 2 可求解. 解 (1)∵BD 是圆的直径,∴∠BAD=90°,

又∵△ADP∽△BAD,∴ =

AD DP , BA AD
2

AD2 ? BDsin 60°? DP= = BA BDsin 30°
∴DP 的长为 3R.

3 2 4R × 4 = =3R. 1 2R× 2

(2)在 Rt△BCD 中,CD=BDcos 45°= 2R,

5

∵PD +CD =9R +2R =11R =PC , ∴PD⊥CD,又∠PDA=90°,AD∩CD=D, ∴PD⊥底面 ABCD, 1 则 S△ABC= AB·BCsin(60°+45°) 2 1 3 2 1 2 3+1 2 = R· 2R × + × = R, 2 2 2 2 2 4 所以三棱锥 PABC 的体积为

2

2

2

2

2

2

VPABC= ·S△ABC·PD= ·

1 3

1 3

3+1 2 3+1 3 R ·3R= R. 4 4

求几何体的体积问题, 可以多角度、 全方位地考虑问题, 常采用的方法有“换 底法”、“分割法”、“补体法”等,尤其是“等积转化”的数学思想方法应高度重视. 【突破训练 2】 (2012·巢湖二模)如图是某三棱柱被削去一个底面后的直观图与侧(左) 视图、俯视图.已知 CF=2AD,侧(左)视图是边长为 2 的等边三角形;俯视图是直角梯形, 有关数据如图所示.求该几何体的体积.



如图,取 CF 的中点 P,过 P 作 PQ∥CB 交 BE 于 Q,连接 PD,QD,AD∥CP,且 AD=CP. 四边形 ACPD 为平行四边形,∴AC∥PD. ∴平面 PDQ∥平面 ABC,该几何体可分割成三棱柱 PDQCAB 和四棱锥 DPQEF, 1 1 ? 1+2? 2 ∴V=V 三棱柱 PDQCAB+VDPQEF= ×2 sin 60°×2+ × 2 3 2 ×2 × 3=3 3.

6

切接问题 该类问题命题背景宽,常以棱柱、棱锥、圆柱、圆锥与球的内切、外接形式考查,多以 选择、填空题的形式出现,试题较容易. 【例 3】? 设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 a,顶点都在一个球面上,则 该球的表面积为( A.π a
2

). 11 2 2 C. π a D.5π a 3

7 2 B. π a 3

[审题视点]

[听课记录] [审题视点] 确定球心的位置,寻找直角三角形,通过直角三角形求球的半径. B 2 3 3 [设三棱柱上底面所在圆的半径为 r,球的半径为 R,由已知 r= · a= a. 3 2 3

1 2 1 2 1 2 7 2 2 2 又∵R =r + a = a + a = a , 2 3 4 12 7 2 7 2 2 ∴S 球=4π R =4π · a = π a ,故选 B.] 12 3 涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点或线 作截面,把空间问题化归为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系. 【突破训练 3】 设 OA 是球 O 的半径,M 是 OA 的中点,过 M 且与 OA 成 45°角的平面截 7π 球 O 的表面得到圆 C,若圆 C 的面积等于 ,则球 O 的表面积等于________. 4 【突破训练 3】 解析

如图,设 O′为截面圆的圆心,设球的半径为 R,则 OM= ,又∠O′MO=45°,∴OO′ 2 = 2 R 7 R.在 Rt△O′OB 中,OB2=O′O2+O′B2,∴R2= + ,∴R2=2,∴S 球=4π R2=8π . 4 8 4 答案 8π
2

R

等价与转化在求几何体体积中的应用 1.求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,若几何体的底不规则,也需采用

7

同样的方法,将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形,易于求解. 2.求几何体的体积问题,有时使用转换底面的方法使其高易求. 【示例】?

如图,在三棱锥 P ?ABC 中,△PAB 是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90°. (1)证明:AB⊥PC; (2)若 PC=4,且平面 PAC⊥平面 PBC,求三棱锥 P ?ABC 的体积. [满分解答] (1)因为△PAB 是等边三角形, 所以 PB=PA. 因为∠PAC=∠PBC=90°,

PC=PC,
所以 Rt△PBC≌Rt△PAC, 所以 AC=BC. 如图,取 AB 中点 D,连接 PD、CD, 则 PD⊥AB,CD⊥AB,又 PD∩CD=D, 所以 AB⊥平面 PDC,PC? 平面 PDC, 所以 AB⊥PC.(6 分) (2)作 BE⊥PC,垂足为 E,连接 AE. 因为 Rt△PBC≌Rt△PAC,所以 AE⊥PC,AE=BE. 由已知,平面 PAC⊥平面 PBC, 故∠AEB=90°.(8 分) 因为∠AEB=90°,∠PEB=90°,AE=BE,AB=PB, 所以 Rt△AEB≌Rt△BEP, 所以△AEB、△PEB、△CEB 都是等腰直角三角形.

由已知 PC=4,得 AE=BE=2,△AEB 的面积 S=2. 因为 PC⊥平面 AEB. 所以三棱锥 P ?ABC 的体积
8

V= ·S·PC= .(12 分)
老师叮咛:本题难度中档,第? 1? 问要证线线垂直,则需转化为证线面垂直;第? 2? 问求三棱锥 P ?ABC 的体积,可转化为求以△ABE 为底,PC 为高的两个三棱锥的体积. 【试一试】 (2011·辽宁)

1 3

8 3

1 如图,四边形 ABCD 为正方形,QA⊥平面 ABCD,PD∥QA,QA=AB= PD. 2 (1)证明:PQ⊥平面 DCQ; (2)求棱锥 Q ?ABCD 的体积与棱锥 P ?DCQ 的体积的比值. (1)证明 由条件知四边形 PDAQ 为直角梯形. 因为 QA⊥平面 ABCD, 所以平面 PDAQ⊥平面 ABCD,交线为 AD. 又四边形 ABCD 为正方形,DC⊥AD, 所以 DC⊥平面 PDAQ,可得 PQ⊥DC. 在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ=PQ= 2 PD,则 PQ⊥QD. 2

又 DQ∩DC=D,所以 PQ⊥平面 DCQ. (2)解 设 AB=a. 由题设知 AQ 为棱锥 QABCD 的高, 1 3 所以棱锥 QABCD 的体积 V1= a . 3 由(1)知 PQ 为棱锥 PDCQ 的高, 而 PQ= 2a,△DCQ 的面积为 2 2 a, 2

1 3 所以棱锥 PDCQ 的体积 V2= a . 3 故棱锥 QABCD 的体积与棱锥 PDCQ 的体积的比值为 1.

9

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