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专题一第五讲 导数及其应用配套限时规范训练


第五讲
一、选择题

导数及其应用

(推荐时间:50 分钟) π 1. 已知函数 f(x)=kcos x 的图象经过点 P( , 则函数图象上在点 P 的切线斜率等于( 1), 3 A.1 C.- 3 B. 3 D.-1

)

2.(2012·重庆)设函数 f(x)在 R 上可导,其导函

数为 f′(x),且函数 y=(1-x)f′(x)的图 象如图所示,则下列结论中一定成立的是 ( )

A.函数 f (x)有极大值 f (2)和极小值 f (1) B.函数 f (x)有极大值 f (-2)和极小值 f (1) C.函数 f (x)有极大值 f (2)和极小值 f (-2) D.函数 f (x)有极大值 f (-2)和极小值 f (2) 3.设函数 f(x)是 R 上以 5 为周期的可导偶函数,则曲线 y=f(x)在 x=5 处的切线的斜率为 ( ) 1 A.- 5 1 C. 5
3

B.0 D.5
2

4.设 a 为实数,函数 f (x)=x +ax +(a-2)x 的导函数是 f′(x),且 f′(x)是偶函数,则 曲线 y=f (x)在原点处的切线方程为 ( ) B.y=3x A.y=-2x C.y=-3x

D.y=4x 3 5. 函数 y=f(x)在定义域(- , 3)内可导, 其图象如图所示, y=f(x)的导函数为 y=f′(x), 记 2 则不等式 f′(x)≤0 的解集为 ( )

1 A.[- ,1]∪[2,3) 3

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1 4 8 B.[-1, ]∪[ , ] 2 3 3 3 1 C.[- , ]∪[1,2] 2 2 3 1 1 4 D.[- ,- ]∪[ , ] 2 3 2 3 6.(2011·福建)若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x -ax -2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最 大值等于 A.2 C.6
2 3 2

( B.3 D.9

)

7.(2011·江西)若 f(x)=x -2x-4ln x,则 f′(x)>0 的解集为 ( ) A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞) C.(2,+∞) D.(-1,0) 8.已知函数 f(x)=x -ax+3 在(0,1)上为减函数,函数 g(x)=x -aln x 在(1,2)上为增函 数,则 a 的值等于 ( A.1 C.0 二、填空题 9.(2012·广东)曲线 y=x -x+3 在点(1,3)处的切线方程为________. 10.设函数 f(x)=cos( 3x+φ )(0<φ <π ),若 f(x)+f′(x)是奇函数,则 φ =________. ?1 ? 11.(2012·上海)已知函数 y=f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A(0,0)、B? ,5?、C(1,0).函 ?2 ? 数 y=xf(x) (0≤x≤1)的图象与 x 轴围成的图形的面积为________.
3 2 2

) B.2 D. 2

1 3 39 2 12.某名牌电动自行车的耗电量 y 与速度 x 之间有如下关系:y= x - x -40x(x>0),为使 3 2 耗电量最小,则速度应定为________. 三、解答题 13.(2011·福建)某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:千克)与销 售价格 x(单位:元/千克)满足关系式 y=

a 2 +10(x-6) ,其中 3<x<6,a 为常数.已知 x-3

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销售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获 得的利润最大. 14.(2012·北京)已知函数 f(x)=ax +1(a>0),g(x)=x +bx. (1)若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a,b 的值; (2)当 a =4b 时,求函数 f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1]上的最大值.
2 2 3

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答案 1.C 2.D 3.B 4.A 5.A 6.D 7.C 8.B 9.2x-y+1=0 π 10. 6 5 11. 4 12.40 13.解 (1)因为 x=5 时,y=11,所以 +10=11,所以 a=2. 2 2 2 (2)由(1)可知,该商品每日的销售量 y= +10(x-6) , x-3 所以商场每日销售该商品所获得的利润 2 2 2 f(x)=(x-3)[ +10(x-6) ]=2+10(x-3)(x-6) , x-3 3<x<6. 从而,f′(x)=10[(x-6) +2(x-3)(x-6)] =30(x-4)(x-6). 于是,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
2

a

x f′(x) f(x)

(3,4) + 单调递增

4 0 极大值 42

(4,6) - 单调递减

由上表可得,x=4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点. 所以,当 x=4 时,函数 f(x)取得最大值,且最大值等于 42. 答 当销售价格为 4 元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.
2

14.解 (1)f′(x)=2ax,g′(x)=3x +b, 因为曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1, )处具有公共切线, c 所以 f(1)=g(1), 且 f′(1)=g′(1). 即 a+1=1+b,且 2a=3+b.解得 a=3,b=3. 1 2 (2)记 h(x)=f(x)+g(x).当 b= a 时, 4 1 1 h(x)=x3+ax2+ a2x+1,h′(x)=3x2+2ax+ a2. 4 4 令 h′(x)=0,得 x1=- ,x2=- . 2 6

a

a

a>0 时,h(x)与 h′(x)的变化情况如下: a ?-∞,-a? ?-a,-a? - ? ? ? 2 x 2? 2 6? ? ? ? H′(x) h(x)
+ ? 0 - ?

- 0

a
6

?-a,+∞? ? 6 ? ? ?
+ ?

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所 以 函 数 h(x) 的 单 调 递 增 区 间 为 ?-∞,- ? 和 ?- ,+∞? ; 单 调 递 减 区 间 为 2? ? 6 ? ?

?

a?

? a

?

?-a,-a?. ? 2 ? 6? ?
当- ≥-1,即 0<a≤2 时, 2 函数 h(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为 h(-1) 1 2 =a- a . 4 当- <-1,且- ≥-1,即 2<a≤6 时, 2 6 函数 h(x)在区间?-∞,- ?上单调递增, 在区间?- ,-1?上单调递减, (x)在区间(- h 2? ? ? 2 ? ∞,-1]上的最大值为 h?- ?=1. ? 2? 当- <-1,即 a>6 时, 6 函 数 h(x) 在 区 间 ?-∞,- ? 上 单 调 递 增 , 在 区 间 ?- ,- ? 上 单 调 递 减 , 在 区 间 2? 6? ? ? 2

a

a

a

?

a?

? a

?

? a?

a

?

a?

? a

a?

?-a,-1?上单调递增, ? 6 ? ? ? 1 2 1 ? a? 2 又因为 h?- ?-h(-1)=1-a+ a = (a-2) >0, 4 4 ? 2? ? a? 所以 h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为 h?- ?=1. ? 2? a? ? a a? ? ? ? a 综上所述:f(x)+g(x)的增区间为?-∞,- ?和?- ,+∞?;减区间为?- ,- ?. 2? ? 6 6? ? ? ? 2
1 2 当 0<a≤2 时,f(x)+g(x)在(-∞,-1]上的最大值为 a- a ; 4 当 a>2 时,f(x)+g(x)在(-∞,-1]上的最大值为 1.

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