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高一数学《对数与对数运算》PPT课件


对数与对数运算

对数及其运算
1.对数的定义.

学 2.对数的基本性质. 习 3.对数恒等式. 目 4.常用对数、自然对数的概念. 标
5.对数的基本运算

引入:
问题:设 2005 年我国的国民生产总 值为 a亿元,如每年平均增长8%,那么 经过多少年国民生产总值是2005年的2

倍? 设:经过 x 年国民生产总值是 2005 年的 2 x 倍,则有 a 1 ? 8% ? 2a x 即 1.08 ? 2 x??

?

?

这是已知底数和幂的值,求指数的问题。 b 能否用一个式子 即指数式 a ? N 中,已知a 和N.求b的 把表示出来吗 问题。(这里 a ? 0且a ?? 1)

? ? ? ? ? ?

引入:
22 = 4 25 = 32 2x = 26

X=

定义:一般地,如果 的b次幂等于N, 就是

a?a ? 0, a ? 1?
,那么数 b叫做

a ?N
b

以a为底 N的对数,记作 loga N ? b a叫做对数的底数,N叫做真数。

抢答:
1.将下列指数式写成对数式

(1)54=625
1 (2)2-6= 64

4=log5625
-6=log2(1/64) a =log327

(3)3a =27
1 m (4)( ) =5.73 3

m=log(1/3) 5.73

2.将下列对数式写成指数式
(1)log 16=4
1 2

16=

1 4 ( ) 2

(2)log2128=7 (3)log100.01= -2

128=27

0.01=10-2 10=e 2.303

(4)loge10=2.303

应用1:计算下列各式的值
1 1. log3 3 ? ___

2. log5 1 ? ___ 0

思考:

loga 1 ? ? loga a ? ?
a
loga N

??

log2 (?1), log3 0, log1 1, log( ?2) 16 有意义吗?

对数的基本性质:
①零和负数没有对数.

(在 log a N ? b中, a ? 0, a ? 1, N ? 0)
②loga1=0
③logaa=1
④a
loga N

?N

下面介绍两种特殊对数: 1.常用对数:我们将以10为底的对数 log 10 N 叫 做常用对数,并记做 lg N .

2.自然对数:无理数e=2.71828…,以e为底的对 数 log N 称为自然对数,并记做 ln N .
e

例1 计算下列各式:

1 (1) log5 25 (2) log 2 16 2 (1) 解: ? 5 ? 25

(3) log 15 15

? log5 25 ? 2
1 (2) 解: ? 2 ? 16 1 ? log2 ? ?4 16
?4

(3) 解: log15 15 ? 1

例2 求下列各式中x的值:
2 (1) log64 x ? ? (2)logx 8 ? 6 3 (3) lg100 ? x (4) - lne2 ? x

(5) logx (3 ? 2 2 ) ? ?2
(6) log5 (log2 x) ? 0

对于幂的运算我们有三条运算法则.现在我们学习 了对数,那么对于对数之间的运算,又会有什么样的运 算性质呢? 幂的运算的三条法则: (1) a r a s ? a r ? s (a ? 0, r , s ? R)

(2) (a r ) s ? a rs (a ? 0, r , s ? R) (3) (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? R)
r r r

,M ? 0, N ? 0, 那么 如果 a ? 0, 且a ? 1
(1) loga ( M ? N ) ? loga M ? loga N M (2) loga ? loga M ? loga N N (3) loga M n ? n loga M

对数运算的三条运算法则:

如果 a ? 0, 且a ? 1 ,M ? 0, N ? 0, 那么

(1) loga ( M ? N ) ? loga M ? loga N M (2) loga ? loga M ? loga N N (3) loga M n ? n loga M
对于上面的每一条运算法则,都要注意只有当式子 中所有的对数符号都有意义时,等式才成立.

请问: log2 [(?3) ? (?5)] ? log2 (?3) ? log2 (?5)对吗?

1.(1) log3 (3 ? 9) (2) log3 3 ? log3 9 4 2.(1) log2 2 2 3.(1) log2 4 (2) log2 4 ? log2 2 (2)2 log2 4

不要产生下列的错误:
(1).loga ( M ? N ) ? loga M ? loga N M loga M (2).loga ? N loga N (3).loga ( MN ) ? loga M ? loga N (4).loga M ? (loga M )
n n

例3用 loga x, loga y, loga z 表示下列各式:

xy (1) loga z
例4计算下列各式:

(2) loga

x

2 3

y z

(1) log2 (4 ? 2 );
7 5

(2) lg 5 100

探究

换底公式:
logc b logc a

log a b ?

(a ? 0, 且a ? 1; c ? 0, 且c ? 1; b ? 0)

如何推导?

log a b ?

logc b logc a

(a ? 0, 且a ? 1; c ? 0, 且c ? 1; b ? 0)

证明: 令p ? loga b,则

a p ? b, 两边取以c为底的对数, 有 logc a p ? logc b, 则 p logc a ? logc b, logc b 所以 p ? , logc a logc b 即 loga b ? . logc a

例5 利用换底公式可得: log3 3 1 log2 3 ? ? log3 2 log3 2 请利用同样的方法证明:

1 loga b ? logb a
例6 证明 logam N m ? loga N . 计算: 例8

(请记住) (请记住)

log

2

16
bye!

例7 计算 log2 3 ? log3 7 ? log7 8

log9 27

例9

log8 9 ? log27 32

小结:
1°对数的定义 2°互换(对数与指数会互换) 3°求值(已知对数、底数、真 数 其中两个,会求第三个)

(1) log3 (27 ? 9 )
2

(2) lg100

2

1 (3) log5 3 ? log5 3 (5) lg 0.000001 (7) lg 5 ? lg 2

(4) log2 6 ? log2 3 (6) log3 5 ? log3 15

练习、求下列各式的值:
7 (1) lg 14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg 18 3 2 (2) 2 lg 5 ? lg 8 ? lg 5 ? lg 20 ? lg 2 2 3 1 lg 0.7 lg 20 ? lg( ) (3) lg 7
(4)

7

lg 20

1 lg 0.7 ?( ) 2

2


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