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【创新设计】2014高考数学一轮复习 限时集训(三十四)数列的综合问题 理 新人教A版


限时集训(三十四)

数列的综合问题

(限时:45 分钟 满分:81 分)

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1. 等差数列{an}中,a3+a11=8,数列{bn}是等比数列,且 b7=a7,则 b6·b8 的值( A.2 C.8 B.4 D.16 )

2.数列{an}是公差不为 0 的等差数列,且 a1,a3,a7 为等比数列{bn}中连续的三项,则 数列{bn}的公比为( A. 2 C. 2 ) B.4 D. 1 2
*

3.(2013·泉州模拟)满足 a1=1,log2an+1=log2an+1(n∈N ),它的前 n 项和为 Sn,则 满足 Sn>1 025 的最小 n 值是( A.9 C.11 ) B.10 D.12

4. 根据市场调查结果, 预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需求量 Sn(万件) 近似地满足关系式 Sn= (21n-n -5)(n=1,2,?,12),按此预测,在本年度内,需求量 90 超过 1.5 万件的月份是( A.5、6 月 C.7、8 月 5.数列{an}的通项 an=n ?cos
2

n

2

) B.6、7 月 D.8、9 月

? ?

2


3

-sin

2

nπ ?

,其前 n 项和为 Sn,则 S30 为( 3 ? ? B.490 D.510
*

)

A.470 C.495

6.(2013·株州模拟)在数列{an}中,对任意 n∈N ,都有 称{an}为“等差比数列”.下面对“等差比数列”的判断: ①k 不可能为 0; ②等差数列一定是等差 比数列; ③等比数列一定是等差比数列;

an+2-an+1 =k(k 为常数),则 an+1-an

④通项公式为 an=a·b +c(a≠0,b≠0,1)的数列一定是等差比数列. 其中正确的判断为( )
1

n

A.①② C.③④

B.②③ D.①④

二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.(2013·安庆模拟)设关于 x 的不等式 x -x<2nx(n∈N )的解集中整数的个数为 an, 数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S100 的值为________. 8.函数 y=x (x>0)的图象在点(ak,ak)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正整 数,a1=16,则 a1+a3+a5=________. 9.气象学院用 3.2 万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续 使用, 第 n 天 的维修保养费为
2 2 2 *

n+49
10

(n∈N )元,使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是

*

指使用的这台仪器的平均耗资最少),一共使用了________天. 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 10. 设同时满足条件: ①

bn+bn+2
2

≥bn+1; bn≤M(n∈N , 是常数)的无穷数列{bn}叫“嘉 ② M

*

文”数列.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn= (1)求数列{an}的通项公式;

a (an-1)(a 为常数,且 a≠0,a≠1). a-1

?1? 2Sn (2)设 bn= +1,若数列{bn}为等比数列, a 的值,并证明数列? ?为“嘉文”数列. 求

an

?bn?

11.已知正项数列{an},{bn}满足:a1=3 ,a2=6,{bn}是等差数列,且对任意正整数 n, 都有 bn, an,bn+1 成等比数列. (1)求数列{bn}的通项公式; 1 1 1 bn+1 (2)设 Sn= + +?+ ,试比较 2Sn 与 2- 的大小.
2

a1 a2

an

an+1

12.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,对一切正整数 n,点 Pn(n,Sn)都在函数 f(x)=x +2x 的图象上,且过点 Pn(n,Sn)的切线的斜 率为 kn. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=2knan,求数列{bn}的前 n 项和 Tn;

2

(3)设 Q={x|x=kn,n∈N },R={x|x=2an,n∈N },等差数列{cn}的任一项 cn∈Q∩R, 其中 c1 是 Q∩R 中的最小数,110<c10<115,求{cn}的通项公式.

*

*





限时集训(三十四) 数列的综合问题 1.D 2.C 3.C 4.C 5.A 6.D

2

7.10 100 8.21 9.800 10.解:(1)因为 S1=

a

a-1

(a1- 1)=a1,所以 a1=a.

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=

a an (an-an-1),整理得 =a,即数列{an}是以 a 为首项, a-1 an-1

a 为公比的等比数列.所以 an=a· an-1=an.
(2)由(1)知, 2× ? an-1? a-1 bn= +1

a

an



?

3a-1? an-2a ,(*) ? a-1? an
2

由数列{bn}是等比数列,则 b2=b1·b3,故? 1 解得 a= , 3

?3a+2?2=3·3a +2a+2, ? a2 ? a ?

2

1 1 n 再将 a= 代入(*)式得 bn=3 ,故数列{bn}为等比数列,所以 a= . 3 3 1 由于

bn bn+2 3n 3n+2
2 = 2



1

1



1 >

2

1 1 n· n+2 3 3 1 1 1 1 1 = n+1= ,满足条件①;由于 = n≤ ,故存 2 3 bn+1 bn 3 3

?1? 1 在 M≥ 满足条件②.故数列? ?为“嘉文”数列. 3 ?bn?

11.解:(1)∵对任意正整数 n,都有 bn, an,bn+1 成等比数列,且数列{an},{bn}均为 正项数列, ∴an=bnbn+1(n∈N ). 由 a1=3,a2=6 得?
? ?a1=b1b2=3, ? ?a2=b2b3=6,
*

又{bn}为等差数列,即有 b1+b3=2b2,

3 2 解得 b1= 2,b2= , 2 ∴数列{bn}是首项为 2, 公差为 ∴数列{bn}的通项公式为 bn= 2? 2 的等差数列. 2

n+1?
2

(n∈N ). ?

*

(2) 由 (1) 得 , 对 任 意 n ∈ N , an = bnbn + 1 = 2 ? 1 - 1 ?, =2? ? ? n+1? ? n+2? ?n+1 n+2?

*

n+1? ? n+2?
2

,从而有

1

an



3

1 1 1 1 1 1 2 ∴Sn=2 - + - +?+ - =1- . 2 3 3 4 n+1 n+2 n+2 ∴2Sn=2- 4 bn+1 n+2 .又 2- =2- , n+2 an+1 n+3
2 2 2

n -8 ? bn+1?=n+2- 4 = ∴2Sn-?2- . ? ? an+1? n+3 n+2 ? n+2? ? n+3?
∴当 n=1,n=2 时,2Sn<2- 当 n≥3 时,2Sn>2-

b2+1 n ; an+1

b2+1 n . an+1
2

12.解:(1)∵点 Pn(n,Sn)都在函数 f(x)=x +2x 的图象上, ∴Sn=n +2n(n∈N ). 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n+1, 当 n=1 时,a1=S1=3 满足上式,所以数列{an}的通项公式为 an=2n+1. (2)由 f(x)=x +2x 求导可得
2 2 *

f′(x) =2x+2.
∵过点 Pn(n,Sn)的切线的斜率为 kn, ∴k n=2n+2. ∴bn=2knan=4·(2n+1)·4 . ∴ Tn=4×3×4 +4×5×4 +4×7×4 +?+4×(2n+1)×4 .① 由①×4,得 4Tn=4×3×4 +4×5×4 +4×7×4 +?+4×(2n+1)×4 ①-②得 -3Tn=4[3×4+2×(4 +4 +?+4 )-(2n+1)×4 4? =43×4+2×
2 2 3 2 3 4 1 2 3

n

n

n+1

.②

n

n+1

]

1-4 ? n+1 -2n+1×4 , 1-4

n-1

6n+1 n+2 16 ∴Tn= ·4 - . 9 9 (3)∵Q={x|x=2n+2,n∈N },R={x|x=4n+2,n∈N },∴Q∩R= R. 又∵cn∈Q∩R,其中 c1 是 Q∩R 中的最小数,∴c1=6. ∵{cn}的公差是 4 的倍数,∴c10=4m+6(m∈N ). 又∵110<c10<115,
? ?110<4m+6<115, ∴? * ?m∈N , ?
* * *

解得 m=27.∴c10=114. 设等差数列的公差为 d,
4

则 d=

c10-c1 114-6
10-1 = 9

=12,

∴cn=6+(n-1)×12=12n-6. ∴{cn}的通项公式为 cn=12n-6.

5


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