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湖南省南县一中2014-2015学年高一下学期五月月考数学试题


南县一中 2014-2015 学年下学期五月高一月考

数 学 试 卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将答案填涂在答题卡上相应位置) 。 1. sin 50? sin 70? ? cos50? sin 20? 的值等于 A. ( D. C )

1 4

B.

3 2

C.

1 2

3 4

2.函数 f(x)=sinxcosx+

3 cos2x 的最小正周期和振幅分别是( A ) 2

A.π,1 B.π,2 C.2π,1 D.2π,2 3.已知某次期中考试中,甲、乙两组学生的 数学成绩如下: 甲:88 100 95 乙:93 89 81 86 77 95 91 84 74 92 96 78 77 83

85 89 86

则下列结论正确的是( A )

A.- x 甲>- x 乙,s 甲>s 乙 C.- x 甲<- x 乙,s 甲>s 乙

B.- x 甲>- x 乙,s 甲<s 乙 D.- x 甲<- x 乙,s 甲<s 乙

[来源:Z#xx#k.C

4.运行如图的程序框图,设输出数据构成的 集合为 A,从集合 A 中任取一 个元素 α,则函数 y=xα x∈[0,+∞)是增函数的概率为( C ) 3 4 3 3 A. B. C. D. 7 5 5 4 5. 某初级中学有学生300人,其中一年级120人,二,三年级各90人,现要 利用抽样方法取10人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案, 使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一,二,三年级依次统一编号为1,2,…300;使 用系统抽样时,将学生统一编号为1,2,…300,并将整个编号依次分为10段.如果抽得的号 码有下列四种情况: ①7,37,67,97,127,157,187,217,247,277; ②5,9,100,107,121,180,195,221,265,299; ③11,41,71,101,131,161,191,221,251,281; ④31,61,91,121,151,181,211,241,271,300 关于上述样本的下列结论中,正确的是( D ) A.②③都不能为系统抽样 B.②④都不能为分层抽样 C.①④都可能为系统抽样 D.①③都可能为分层抽样
[来源:学科网 ZXX ] [来源:Zxxk.Com][来源:学.科.网]

6.设 a ? b ? 4 ,若 a 在 b 方向上的投影为 ( A ) A.

?

?

? ? ? ? 2 , 且 b 在 a 方向上的投影为 3, 则 a 和 b 的夹角等于 3
C.

? 3

B.

? 6

2? 3

D.

?
3



2? 3

7.已知函数 f(x)= 3sinωx(ω>0)的部分图象如图所示,A,B 分别是这部分图象上的

(第 7 题)

→ → 最高点、最低点,O 为坐标原点,若OA· OB=0,则函数 f(x+1)是( B ) A.周期为 4 的奇函数 C.周期为 2π 的奇函数 B.周期为 4 的偶函数 D.周期为 2π 的偶函数

8.如图所示,下列结论正确的是( C ) 3 3 → 3 3 → ①PQ= a+ b; ②PT=- a- b; 2 2 2 2 → 3 1 ③PS= a- b; 2 2 A.①② B.③④ → 3 ④PR= a+b. 2 C.①③ D.②④ ( D )

9.已知 A, B 均为锐角, sin A ? A.

5 10 , sin B ? ,则 A ? B 的值为 5 10
C.

?? 4

B.

?? 4

?? 4

D.

? 4

10.若函数 f(x) =2sin ?

?? ?? 过点 A 的直线 l 与函数 x ? ? (-2<x<10)的图像与 x 轴交于点 A, 3? ?6
??? ?

的图像交于 B,C 两点,则( OB + OC )· OA =( D ) A.-32 B.-16 C.16 D.32

??? ?

??? ?

二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.化简

sin(k? ? ? ) cos(k? ? ? ) = sin[(k ? 1)? ? ? ]cos[(k ? 1)? ? ? ]

( ? ?1 )

12.已知 sin(

?
4

? x) ?

5 ? ,0 ? x ? , 则 13 4

cos 2 x cos( ? x) 4

?

?

24 13

4 sin α+cos α 13. 若 =3,tan(α-β)=2,则 tan( β-2α)=________3. sin α-cos α → → 14. 如图, 在矩形 ABCD 中, AB= 2, BC=2, 点 E 为 BC 的中点, 点 F 在边 CD 上, 若AB· AF → → = 2,则AE· BF的值是____________. 2 15.函数 f ( x) ? 3sin ? 2 x ?

? ?

11 π? ? 的图象为 C ,则 ①图象 C 关于直线 x ? 12 π 对称;②图 象 C 3?

关于点 ?

? 2π ? ? π 5π ? , 0 ? 对称; ③函数 f ( x) 在区间 ? ? , ? 内是增函数;④由 y ? 3sin 2 x 的图象 ? 3 ? ? 12 12 ?
π 个单位长度可以得到图象 C .以上结论中正确的序号是 3
①②③

向右平移

三、解答题(本小题共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题共12分) 已知 cos? ?

? 5 ? ? (0, ) . 2 5

(I)求 sin ? 的值; (Ⅱ)求 cos 2? 的值; (III)若 sin(? ? ? ) ?

10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值. 10 2

解: (Ⅰ)由 cos? ?

? 5 ? ? (0, ) . 2 5
2 5 5

得 sin ? ? 1 ? cos

2

??

…………………2分 ( Ⅱ ) …………………4

1 3 cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 2 ? ? 1 ? ? 5 5
分 ( Ⅲ ) ∵

0 ?? ?

?
2



0?? ?

?
2





?

?
2

? ? ?? ?

?
2

…………………6 分

∵ sin ?? ? ? ? ? 分

10 3 10 ,∴ cos?? ? ? ? ? 10 10

……………8

∴ cos? ? cos?? ? ?? ? ? ??

? cos? cos?? ? ? ? ? sin ? sin?? ? ? ?
? 5 3 10 2 5 10 ? ? ? 5 10 5 10
2 2

…………………10 分

?

…………………12 分

17.已知点 A?1,1?, B?1,?1?, C (Ⅰ)若 BC ? BA ?

?

2 cos? , 2 sin ? , O 为坐标原点。

?

2 ,求 sin 2? 的值;
2

(Ⅱ)若实数 m, n 满足 mOA ? nOB ? OC ,求 ?m ? 3? ? n 2 的最大值。

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? BC ? BA ? AC ? | BC ? BA | ? | AC |? 2 …………………………………………2 分 解: (1) ??? ? ? AC ? ( 2 cos? ?1, 2 sin ? ?1) ?( 2 cos? ?1)2 ? ( 2 sin ? ?1)2 ? 2 ……………………
…4 分 即 sin ? ? cos ? ? 2 两边平方可得:

2

1 1 ? sin 2? ? ? ………………………6 分 2 2 ??? ? ??? ? ???? ? ?m ? n ? 2 cos ? (2) mOA ? nOB ? OC ? ? ………………………8 分 ? ?m ? n ? 2 sin ? 1 ? sin 2? ?
两式平方相加可得: m ? n ? 1…………………………………………10 分
2 2

由几何意义可知 ?m ? 3? ? n 2 表示单位圆上的点到定点(3,0)距离的平方
2 2

故 ?m ? 3? ? n 2 =16…………………………………………………………………………12 分

??? ? ? ???? ? 2 18. 如图所示, □ ABCD 中, AB = a , AD = b , BM ? BC , 3 1 AN ? AB , 4 ? ? ???? ???? ? (1)试用向量 a , b 来表示 DN , AM .

(2)AM 交 DN 于 O 点,求 AO∶OM 的值. 1? 解: (1)因为 AN= AB,所以 = = a ,所以 4
分 因为 BM= BC,所以 所以 ZXXK] (2)因为 A,O,M 三点共线,所以 设 =λ ,则 = =λ ∥ ∥ = + = =

=

-

=

1? ? a ? b .………………………2 4

= b ,……………………………………………4 分

?

= a + b .[………………………………………………………6 分来源:学科网

?

?

.……………………8 分 = ? (a ?

因为 D, O, N 三点共线, 所以

? 2 ? 2? ? b) ? b ? ? a ? ( ? ? 1)b …………9 分 3 3 ? 2 ? 1? ? ? a ? ( ? ? 1)b ? ? ( a ? b) . , 存在实数μ 使 =μ , 3 4

?

由于 向量 a,b 不共线,

解得

………………………………11 分

所以

=



=

,…………………………12 分

所以 AO∶OM=3∶11. 19. (本小题满分 12 分) 从高一年级中抽出 50 名学生参加数学竞赛,由成绩得到如下的频率分布直方图. 利用频率分布直 方图估计: (1)这 50 名学生的众数 P 与中位数 M(精确到 0.1) ; (2)若在第 3、5 组的学生中 ,用分层抽样抽取 11 名学生参加 心理测试,请问:在第 3、5 组各应抽取多少名学生参加测试; (3)为了进一步获得研究资料,学校决定再从第 1 组和第 2 组 的学生中,随机抽取 3 名学生进行心理测试,列出所有基本事 件,并求: (ⅰ)第 1 组中的甲同学和第 2 组中的 A 同学都没有被抽到的 概率; (ⅱ)第 1 组中至多有一个同学 入选的概率. 解: (1)由频率分布直方图与众数、中位数的定义求出 P=75,M=76.7;………………………2 分 (2)第 3 组共有学生 50×0.02×10=10(人) ;第 5 组共有学生 50×0.024×10=12(人) 抽取比例为

11 1 = ,∴第 3 组抽 5 人;第 5 组抽 6 人.………………………4 分 22 2

(3)第 1 组共 50×0.004×10=2 人,用甲、乙表示;第 2 组共 50×0.006×10=3 人用 A、B、C 表 示,则从这 5 名学生中随机抽取 3 名的所有可能为: (甲,乙,A) (甲,乙,B) (甲,乙,C) (甲,A,B) (甲,A,C) (甲,B,C) (乙,A,B) (乙,A,C) (乙,B,C) (A、B、C)共 10 个.…………………6 分 (ⅰ)事件 S={第 1 组中的甲同学和第 2 组中的 A 同学都没有被抽到}其有(乙,B,C)共 1 个,所以 P(S)=

1 .…………………8 分 10 7 .…………………12 10

(Ⅱ)事件 T={第 1 组中至多有一个同学入选}其有(甲,A,B) (甲,A,C) (甲,B,C) (乙, A,B) (乙, A,C) (乙,B,C) (A、B、C)共有 7 个,所以 P(T)= 分

20(本小题满分 13 分)
已知函数 f ( x) ? 称轴间的距离为

3 sin(?x ? ? ) ? 2 sin 2

?x ? ?
2

? 1 (? ? 0,0 ? ? ? ? ) 为奇函数, 且相邻两对

? . 2 ? ? (1)当 x ? (? , ) 时,求 f ( x) 的单调递减区间; 2 4 ? 1 (2) 将函数 y ? f ( x) 的图象 沿 x 轴方向向右平移 个单位长度, 再把横坐标缩短到原来的 6 2

倍(纵坐标不变) ,得到函数 y ? g ( x) 的图象.当 x ? ?? .

? ? ?? , ? 时,求函数 g ( x) 的值域. ? 12 6 ?

………………………………… 4 分

………………………………… 7 分

………………………………10 分

…………………………………13 分 21.(本小题满分 14 分)已知 a ? 1 ,函数 f ( x) ? (sin x ? a)(a ? cos x) ? 2a . (1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的值域; (2)若函数 f ( x) 在 [0, ? ] 内有且只有一个零点,求 a 的取值范围. 解: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? (sin x ? 1)(1 ? cos x) ? 2

? ? sin x cos x ? sin x ? cos x ? 1 ? 2
令 t ? sin x ? cos x ,则 t ? [? 2 , 2 ], sin x cos x ?

t 2 ?1 ,………………2′ 2

g (t ) ? ?

t 2 ?1 1 ? t ? 1 ? 2 ? ? (t ? 1) 2 ? 2 2 2

………………4′

3 2 ,当 t ? ? 2 时, g (t ) min ? ? . 2 3 所以: f ( x) 的值域为 [? , 2 ] . ………………6′ 2
当 t ? 1 时, g (t ) max ? ( 2) f ( x) ? (sin x ? a)(a ? cos x) ? 2a ? ? sin x cos x ? a(sin x ? cos x) ? a 2 ? 2a

u 2 ?1 令 u ? sin x ? cos x ,则当 x ? [0, ? ] 时, u ? [?1, 2 ], sin x cos x ? , 2 h(u ) ? ? u 2 ?1 1 1 1 ? au ? a 2 ? 2a ? ? (u ? a) 2 ? a 2 ? ? 2a …………8′ 2 2 2 2

[来源:学科网 ZXXK]

f ( x) 在 [0, ? ] 内有且只有一个零点等价于 h(u ) 在 [?1,1) U { 2} 内有且只有一个零点 [1, 2 )
无 零点. 因为 a ? 1 ,所以 h(u ) 在 [?1,1) 内为增函数, ①若 h(u ) 在 [?1,1) 内有且只有一个零点, [1, 2 ] 内无零点。故只需 …………10′

? ? a 2 ? ( 2 ? 1)a ? 0 ? h(1) ? 0 ?? a 2 ? ( 2 ? 1)a ? 0 ?h(?1) ? 0 ? 即? 得 1 ? a ? 2 ? 1; ? ?h( 2 ) ? 0 ?? a 2 ? 2 2a ? 1 ? 0 ? ? 2 ?
②若 2 为 h(u ) 的零点, [?1, 2 ) 内无零点,则 ? a ? 2 2a ?
2

………………11′

1 6 ? 0得a ? 2 ? 2 2

经检验, a ?

2?

6 符合题意。 2 6 2
………………13′

综上: 1 ? a ?

2 ? 1或 a ? 2 ?

?? ? 1 1 (本小题满分 12 分)已知向量 m = (sin x,1) , n = (4 3 cos x, 2 cosx) ,设函数 2 2 ?? ? f (x) ? m? n
(1)求函数 f (x) 的解析式; (2)求函数 f (x) ,x∈ ? ?? , ? ? 的单调递增区间; (3)设函数 h(x) ? f(x) ? k ( k ? R )在区间 ? ?? , ? ? 上的零点的个数为 n,试探求 n 的 值及对应的 k 的取值范围。 解: (12 分)(1)f(x)=m·n=4 (2)由(1),知 f(x)=4sin sin xcos x+2cosx=2 sinx+2cosx=4sin , . .

,x∈[-π ,π ],所以 x+ ∈

由- ≤x+ ≤ ,解得- ≤x≤ ,所以函数 f(x)的单调递增区间为 (3)当 x∈[-π ,π ]时,函数 h(x)=f(x)-k 的零点讨论如下: 当 k>4 或 k<-4 时,h(x)无零点,n=0;[来源:学§科§网] 当 k=4 或 k=-4 时,h(x)有一个零点,n=1; 当-4<k<-2 或-2<k<4 时, h(x)有两个零点,n=2; 当 k=-2 时,h(x)有三个零点,n=3.

19. (本小题共 9 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x . (I)求 f ( x) 的最小正周期; (II)求 f ( x) 的单调递减区间; (III)若函数 g ( x) ? f ( x) ? k 在 [0,

?
6

] 上有两个不同的零点,求实数 k 的取值范围.

解: (Ⅰ) 由 f ( x) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2( sin 2 x ? 分 得

1 2

3 ? cos 2 x) ? 2sin(2 x ? ) …………2 2 3
小 正 周 期 为

f ( x)





?.
(Ⅱ)由 2k? ? 分

…………………3 分

?
2

? 2x ?

?
3

? 2k? ?

3? (k ? Z ) 得 2

…………………4

k? ?

?
12

? x ? k? ?

7? (k ? Z ) 12

…………………5 分

所以函数 f ( x) 的递减区间为 [ k? ? 分 ( Ⅲ)由 x ? ?0, 而函数 f ( x) 在 ? 分 在

?
12

, k? ?

7? ](k ? Z ) . 12

…………………6

? ? ? 2? ? ? ?? ,得 2 x ? ? ? , , ? 3 ?3 3 ? ? 6? ?
?? ? ? 上单调递增,f ( x) ?[ 3, 2] , , ?3 2? ?
? ? 2? ? ? , ? ?2 3 ?
…………………7













f ( x) ?[ 3, 2) ,
) 所 以 若 函 数 g ( x?

…………………8 分

? ?? f (? x) 在 k ?0, ? 上 有 两 个 不 同 的 零 点 , 则 ? 6?

k ?[

9分 3 ,. 2………………… )

20.(本小题共 9 分) 已知函数 f ( x ) ? 2sin(? x ?

?
3

) ,且 ? ? 0 , ? ? R .

(I)若函数 f ( x) 的图象经过点 (

?
3

, 2) ,且 0 ? ? ? 3 ,求 ? 的值;

, ? ] 时,函数 g ( x) (II) 在 (I) 的条件下, 若函数 g ( x) ? mf ( x) ? n ? m ? 0? , 当 x ? [?2 ? 3
的值域为 [?2 ,1] ,求 m , n 的值; (III)若函 数 h( x ) ? f ( x ?

?

? ? ? ) 在 [ ? , ] 上是减函数,求 ? 的取值范围. 3 3 3?
? ?

[来源:学科网]

20.解: (Ⅰ ) 因为函数 f ? x ? ? 2sin ? ? x ? 所

??

?? ? ? 的图象经过点 ? , 2 ? , 3? ?3 ?


2

?? ?? ? ?? ?? 3? ?3
?
3

……………… s

…1 分 所 ………………2 分 所以 ? ? 以

??

?
3

?

?
2

? 2 k? , k ? Z

1 ? 6k , k ? Z 2 1 ? 6k ? 3 , k ? Z . 2
………………

因为 0 ? ? ? 3 ,所以 0 ? 所以 k ? 0 所以 ? ? 3分 (Ⅱ)因为 ? ?

1 2

1 , 2

所以 g ( x) ? m ? 2sin ? , 所以 ?

?? ?1 x ? ? ? n. ,:Z# 3? ?2

因为 ?2? ? x ? ? 所

?
3

2? 1 ? ? ? x? ? . 3 2 3 6
以 ………………

?? 1 ?1 ?1 ? sin ? x ? ? ? . 3? 2 ?2
4分 所以 ?2m ? n ? g ? x ? ? m ? n. 因 为 函 数

g ? x?
,









??2 ,1?







??2m ? n ? ? ? ?m ? n ? 1.


2

……………… 5 分 得

m ? 1, n ? 0.
6分 ( Ⅲ ) 因 为

………………

h?

??

? ? ? x? ? ?f 3? ? ?
………… 2

,x





h ? x? ? 2

? ? ? ? ?? s? x ? i ? ? n ? ? ?? 3? ? 3 ? ? ?

?x

7 s 分

[ 来 源 : 学 科 网

i 因为 n函 数 h ?x .? 在
ZXXK]

? ? ?? 上是减函数, ? , ? ? 3 3? ?
所以函数 h ? x ? ? 2sin ?x. 的图象过原点,且减区间是 ? 所

?? ? ? , ,? ? 0. 2? ? ? 2? ?


? ?? ? 0 , ? ?? ? ? ? 2 ? ? ? ? ?? 2? ? ?
… 8分 解得 ? 所

? , 3 ? . 3

……………

3 ?? ?0 2


?













?

3 ?? ?0 2

……………… 9 分

18、(本小题满分 12 分)已知点 A(4,0) 、B(0,4) 、C( 3 cos? ,3 sin ? )
(1)若 ? ? (0, ? ) ,且 AC ? BC , ,求 ? 的大小; (2) AC ? BC ,求 值. 解 : ( 1 ) 由 题 意 可 得 ? A C? ( 3 c o ?s ?

2 sin 2 ? ? sin 2? 的 1 ? tan?

? ? ??

? ? ?? 4, 3 ?s i B n C? ),

?( 3 c o ?s? ,, 3又 sin

4)

? ? ?? ? A C?

? ? ?? BC ,?

(3 cos ? ? 4) 2 ? 9 sin 2 ? ? 9 cos 2 ? ? (3 sin ? ? 4) 2 , 两 边 平 方 得

sin ? ? cos ? , 又 ? ? ? (0, ? ) ,?? ?

?
4



(II)? AC ? BC ,? (3cos ? ? 4) ? 3cos ? ? 3sin ? (3sin ? ? 4) ? 0 ,整理得 sin ? ? cos ? ? 平方得 sin 2? ? ?

??? ?

??? ?

3 , 4

7 , 16

化简所求式:

2 sin 2 ? ? sin 2? 2 sin 2 ? cos? ? 2 sin ? cos2 ? 7 ? ? 2 sin ? ? cos? ? sin 2? ? ? . 1 ? tan? sin ? ? cos? 16

20、 (本小题满分 13 分)
设函数 f(x)=sin ? ? x ?

? ?

??

?? ? ? +sin ? ? x ? ? + 3 cos ? x (其中 ω >0),且函数 f(x)的 3? 3? ?
? . 2

图象的两条相邻的对称轴间的距离为

(1)求 ω 的值; (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍, 纵坐标不变, 得到函数 y=g(x) 的图象,求函数 g(x)在区间 [0,

?
2

] 上的最大值和最小值.

【解析】(1)f(x)=sin ω x+ 3 cos ω x=2sin ? ? x ? ∵函数 f(x)图象的两条相邻的对称轴间的距离为 ∴T=

? ?

??

?. 3?

2? =π ,∴ω =2. ?

? , 2

(2)由(1)得 f(x)=2sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? ?? ? ? ?? ∴g(x)=2sin ? x ? ? .由 x∈ ? 0, ? , 可得 ≤x+ ≤ ?, 3 3 3? 3? ? ? 2?

5 π, 6
∴当 x+

? ? ? ? ?? ? = ,即 x= 时,g(x)取得最大值 g ? ? =2sin =2; 3 2 6 2 ?6?

当 x+

? 5? ? 5? ?? ? = ,即 x= 时,g(x)取得最小值 g ? ? =2sin =1 3 6 2 6 ?2?

21、 (本小题满分 12 分)
函数 f (x) ? (1)若 x∈ [

3 1 ? cos 2 x 1 sin 2 x ? ? 2 2 2

? ?

, ] 求函数 f(x)的最值及对应的 x 的值; 4 2
2

(2)若不等式 [ f (x) ? m] ? 1 在 x∈ [ 解:(1)f(x)= sin 2x-

? ?

, ] 上恒成立,求实数 m 的取值范围. 4 2

- = sin 2x- cos 2x-1=sin(2x- )-1,

∵x∈[ , ],∴ ≤2x- ≤ ,

当 2x- = ,即 x= 时,f(x)max=0,当 2x- = ,即 x= 时,f(x)min=- . (2)方法一:∵[f(x)-m] <1(x∈[ , ])?f(x)-1<m<f(x)+1(x∈[ , ]), ∴m>f(x)max-1 且 m<f(x)min+1, 故 m 的取值范围为(-1, ). 方法二:∵[f(x)-m] <1?m-1<f(x)<m+1, ∴m-1<- 且 m+1>0,故-1<m< ,故 m 的取值范围是(-1, ).
2 2

(12 分)已知向量 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),0<β<α<π. (1)若|a-b|= 2,求证:a⊥b; (2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求 α,β 的值. 解:(1)证明:由题意得|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2a· b+b2=2,又因为 a2=b2=|a|2=|b|2 =1.所以 2-2a· b=2,即 a· b=0,故 a⊥b. (2)因为 a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1),
?cosα+cosβ=0, ? 所以? ? ?sinα+sinβ=1. ?cosα=-cosβ, ? 即? ?sinα=1-sinβ. ?

1 1 5π 两边分别平方再相加得 1=2-2sinβ,∴sinβ= ,sinα= ,又∵0<β<α<π,∴α= ,β 2 2 6 π = . 6

? ? 21.已知函数 ( ,其最小正周期为 . f x) ? sin (2? x ? ) 2 6
(Ⅰ)求 f ( x) 的表达式; (Ⅱ)将函数 f ( x) 的图象向右平移

? 个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 8

? ?? (纵坐标不变) , 得到函数 y ? g ( x) 的图象, 若关于 x 的方程 g ( x) ? k ? 0 , 在区间 ?0, ? ? 2?

上有且只有一个实数解,求实数 k 的取值范围. (本小题 14 分) 解:答案: (1)由题意知 f ( x) 的最小正周期 T ?

?
2

,T ?

2? ? ? ? ? 2? ? 2

所以 ? ? 2

…………………3 分

所以 f ? x ? ? sin ? 4 x ?

? ?

??
? 6?

…………………6 分

(Ⅱ)将 f ( x) 的图象向右平移个

?
8

个单位后,得到 y ? sin( 4 x ?

?
3

) 的图象,再将所得图象所 3 ) 的图象.

有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到 y ? sin( 2 x ? 所以 g ( x) ? sin( 2 x ? 因为 0 ? x ?

?

?
3

) …………………8 分

?
2

,所以 ?

?
3

? 2x ?

?
3

?

2? ………………10 分 3

? ?? g ( x) ? k ? 0 在区间 ?0, ? 上有且只有一个实数解 , 即函数 y ? g ( x) 与 y ? ?k 在区间 ? 2?

? ?? 0, ? 上 有 且 只 有 一 个 交 点 , 由 正 弦 函 数 的 图 象 可 知 ? 3 ? ? k ? 3 或 ? ? 2? 2 2

?k ? 1 ……………………12 分
所以 ?

3 3 或 k ? ?1 ………………………14 分 ?k? 2 2

19. 20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 称轴间的距离为

3 sin(?x ? ? ) ? 2 sin 2

?x ? ?
2

? 1 (? ? 0,0 ? ? ? ? ) 为奇函数, 且相邻两对

? . 2 ? ? (1)当 x ? (? , ) 时,求 f ( x) 的单调递减区间; 2 4 ? 1 (2) 将函数 y ? f ( x) 的图象 沿 x 轴方向向右平移 个单位长度, 再把横坐标缩短到原来的 6 2
倍(纵坐标不变) ,得到函数 y ? g ( x) 的图象.当 x ? ?? .

? ? ?? , ? 时,求函数 g ( x) 的值域. ? 12 6 ?

………………………………… 4 分

………………………………… 7 分

………………………………10 分

…………………………………13 分

17. (本小题满分 10 分)设两个非零向量 a 、 b 不共线
(1)若 AB ? a ? b, BC ? 2a ? 8b, CD ? 3(a ? b) ,求证:A、B、D 三点共线; (2)试确定实数 k 的值,使 k a ? b 和 a ? k b 共线. 【解析】(1)因为, AB ? a ? b, BC ? 2a ? 8b, CD ? 3(a ? b) , 所以, AD ? AB ? BC ? CD ? a ? b ? 2a ? 8b ? 3(a ? b) ? 6(a ? b) ? 6 AB ,即 AB , AD 共 线 ,又它们有公共点,所以,A、B、D 三点共线。 (2)因为, k a ? b 和 a ? k b 共线.所以,存在唯一实数 ? ,使 k a ? b = ? ( a ? k b ) , 即?

??? ? ??? ?

?k ?? ,解得,k=±1。 ?? k ? 1

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