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第一讲不等式的基本性质


题型一 绝对值三角不等式定理的应用

第一讲

不等式的基本性质、含有绝对值的不等式

ε ε 例 1 “|x-A|< 且|y-A|< ”是“|x-y|<ε”(x,y,A,ε∈R)的________条件. 2 2 (1)设 a,b 是满足 ab<0 的实数,则下列不等式正确的是________.<

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1.两个实数大小关系的基本事实 a>b?________ a=b?________ a<b?________ 2.不等式的基本性质 (1)对称性:如果 a>b,那么______;如果______,那么 a>b. 即 a>b?______. (2)传递性:如果 a>b,b>c,那么______.即 a>b,b>c?______. (3)可加性:如果______,那么 a+c>b+c. (4)可乘性:如果 a>b,c>0,那么______;如果 a>b,c<0,那么______. (5)乘方:如果 a>b>0,那么 a ____b (n∈N,n>1). n n (6)开方:如果 a>b>0,那么 a____ b(n∈N,n>1). 3.绝对值三角不等式 (1)性质 1:|a+b|≤________. (2)性质 2:|a|-|b|≤________. (3)性质 3:________≤|a-b|≤________. 4.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集 不等式 |x|<a |x|>a (2)|ax+b|≤c (c>0)和|ax+b|≥c (c>0)型不等式的解法 ①|ax+b|≤c?______________; ②|ax+b|≥c?______________. (3)|x-a|+|x-b|≥c 和|x-a|+|x-b|≤c 型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; ②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; ③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想. a>0 a= 0 a<0
n n

①|a+b|>|a-b| ②|a+b|<|a-b| ③|a-b|<||a|-|b|| ④|a-b|<|a|+|b| (2)已知命题 p:|a|<1,且|b|<2,命题 q:|a+b|<3,则 p 是 q 的________条件. 题型二 含绝对值的不等式的解法 例2 (2012· 课标全国改编)已知函数 f(x)=|x+a|+|x-2|.

(1)当 a=-3 时,不等式 f(x)≥3 的解集为________; (2)若 f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],则 a 的取值范围为________. (1)不等式|x+1|-|x-3|≥0 的解集是__________. (2)不等式|x+3|-|x-2|≥3 的解集为________. 题型三 含参数的绝对值不等式问题 例 3 已知不等式|x+1|-|x-3|>a. 若不等式有解,则实数 a 的取值范围为__________. 若不等式的解集为 R,则实数 a 的取值范围为___________________________________. 若不等式的解集为?,则实数 a 的取值范围为_____________________________________. 已知函数 f(x)=|x-a|. (1)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-1≤x≤5},求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若 f(x)+f(x+5)≥m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围. 绝对值不等式的解法

典例:不等式|x+1|+|x-1|≥3 的解集为________________________________.

方法与技巧 1.解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求解. 含有多个绝对值符号的不等式,一般可用零点分段法求解,对于形如|x-a|+|x-b|>m 或|x-a|+|x-b|<m (m 为 正常数),利用实数绝对值的几何意义求解较简便. 2.含绝对值不等式的证明,可考虑去掉绝对值符号,也可利用重要不等式|a+b|≤|a|+|b|及推广形式|a1+a2+? +an|≤|a1|+|a2|+?+|an|进行放缩. 3.应用绝对值不等式性质求函数的最值时,一定要注意等号成立的条件. 失误与防范 1.理解绝对值不等式的几何意义. 2.掌握分类讨论的标准,做到不重不漏. A 组 专项基础训练 1.不等式|2x-1|<3 的解集为________. 2.已知全集 U=R,集合 M={x||x-1|≤2},则?UM=______________. 3.(2013· 江西)在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1 的解集为________. 4.(2013· 山东)在区间[-3,3]上随机取一个数 x 使得|x+1|-|x-2|≥1 成立的概率为________. 5.不等式|x+1|+|2x-4|>6 的解集为____________. 6.不等式|x+1|-|x-2|>k 的解集为 R,则实数 k 的取值范围为__________. 7.如果关于 x 的不等式|x-a|+|x+4|≥1 的解集是 R,则实数 a 的取值范围是______________________. 8.(2013· 重庆)若关于实数 x 的不等式|x-5|+|x+3|<a 无解,则实数 a 的取值范围是________. 9.(2012· 湖南)不等式|2x+1|-2|x-1|>0 的解集为____________. 10.若不等式|3x-b|<4 的解集中的整数有且仅有 1、2、3,则 b 的取值范围为________.

B 组 专项能力提升 1.(2012· 陕西)若存在实数 x 使|x-a|+|x-1|≤3 成立,则实数 a 的取值范围是________. 2.若不等式|x+1|+|x-3|≥|m-1|恒成立,则 m 的取值范围为________. 1 3.已知集合 A={x∈R||x+3|+|x-4|≤9},B={x∈R|x=4t+ -6,t∈(0,+∞)},则集合 A∩B=________. t 4.若关于 x 的不等式|x-1|+|x-3|≤a2-2a-1 在 R 上的解集为?,则实数 a 的取值范围是____________. 5.不等式 log3(|x-4|+|x+5|)>a 对于一切 x∈R 恒成立,则实数 a 的取值范围是________. 6.对于实数 x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x-2y+1|的最大值为________. 7.设函数 f(x)=|x-3|+|x-a|,如果对任意 x∈R,f(x)≥4,则 a 的取值范围是________.


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