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高三数学一轮单元练习卷-等差数列试题


高三第一轮复习单元检测卷 13 等差数列试题(自我检测) 班级_________姓名____________
一、填空题: 1.等差数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,若 a2 ? 1, a3 ? 3, 则S 4=_______________. 2 已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则 a5 等于________________. 3.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S7 ? 35 ,则 a4 ? ________________.

4 记等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S 2 ? 4 , S 4 ? 20 ,则该数列的公差 d=_______. 5.等差数列 {an } 中,已知 a 1 ?

1 , a 2 ? a 5 ? 4 , a n ? 33 ,则 n 为______________. 3

6.等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其前 n 项和 Sn=100,则 n=______________. 7.设 Sn 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,若

a5 5 S ? , 则 9 ? ______________. a3 9 S5

8.已知等差数列{an}满足 α1+α2+α3+…+α101=0 则有___________. ①α1+α101>0 ②α2+α100<0 ③α3+α99=0 ④α51=51 9.如果 a1 , a2 ,…, a8 为各项都大于零的等差数列,公差 d ? 0 ,则__________. ① a1 a8 ? a4 a5 ② a8 a1 ? a4 a5 ③ a1 + a8 ? a4 + a5 ④ a1 a8 = a4 a5 10.若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这个数 列有__________项. 11 设数列 ?a n ?的首项 a 1 ? ?7, 且满足a n ?1 ? a n ? 2 (n ? N) ,则

a 1 ? a 2 ? ? ? a 17 ? _____________.
12.已知{an}为等差数列,a3 + a8 = 22,a6 = 7,则 a5 = __________ 13.已知数列的通项an= -5n+2,则其前n项和为Sn= . 14.设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S4 =14, S10 ? S7 ? 30 ,则 S9 = 二、解答题: 15.等差数列{ an }的前 n 项和记为 Sn.已知 a10 ? 30, a20 ? 50. (Ⅰ)求通项 an ; (Ⅱ)若 Sn=242,求 n.

.

16.已知数列 {an } 是一个等差数列,且 a2 ? 1 , a5 ? ?5 。 (1)求 {an } 的通项 an ; (2)求 {an } 前 n 项和 Sn 的最大值。

17.设 ?a n ?为等差数列, S n 为数列 ?a n ?的前 n 项和,已知 S 7 ? 7 ,

S15 ? 75 , Tn 为数列 ?

?Sn ? ? 的前 n 项和,求 Tn 。 ?n?

18.已知 ?an ? 是等差数列, a1 ? 2 , a3 ? 18 ; ?bn ? 也是等差数列,

a 2 ? b2 ? 4 , b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? a1 ? a2 ? a3 。

(1)求数列 ?bn ? 的通项公式及前 n 项和 S n 的公式; 理由。

(2)数列 ?an ? 与 ?bn ? 是否有相同的项? 若有,在 100 以内有几个相同项?若没有,请说明

19.设等差数列{an}的首项 a1 及公差 d 都为整数,前 n 项和为 Sn. (Ⅰ)若 a11=0,S14=98,求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 a1≥6,a11>0,S14≤77,求所有可能的数列{an}的通项公式.

' 20.已知二次函数 y ? f ( x) 的图像经过坐标原点,其导函数为 f ( x) ? 6 x ? 2 ,数列 {an } 的

前 n 项和为 Sn ,点 (n, S n)( n ?N ?) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公 式;

(Ⅱ)设 b n ? 正整数 m;

m 3 ? , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和, 求使得 Tn ? 对所有 n ? N 都成立的最小 20 a n a n ?1

13.等差数列试题(自我测试)参考答案 一、填空题: 1. 8 2. 6 3. 5 11. 153 12. 15 4.3 5. 50
2

6. 10 7. 1 8. α3+α99=0 14. 54

9. a8 a1 ? a4 a5 10. 13 项

13.

? 5n ? n 2

二、解答题: 15.解: (Ⅰ)由 an ? a1 ? (n ? 1)d , a10 ? 30, a20 ? 50, 得方程组

?a1 ? 9d ? 30, ? ?a1 ? 19 d ? 50 .
(Ⅱ)由 S n ? na1 ?

……4 分 解得 a1 ? 12, d ? 2.

所以

an ? 2n ? 10.

n(n ? 1) d , S n ? 242 得方程 2 n(n ? 1) 12 n ? ?2 ? 242 . ……10 分 解得 n ? 11 或n ? ?22(舍去). 2 ? a1 ? d ? 1 16.解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,由已知条件,得 ? , ? a1 ? 4d ? ?5 解出 a1 ? 3 , d ? ?2 .
所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? ?2n ? 5 . (Ⅱ) S n ? na1 ?

n(n ? 1) d ? ?n 2 ? 4n ? 4 ? (n ? 2)2 . 2 所以 n ? 2 时, Sn 取到最大值 4 .
1 2

17.解:设等差数列 ?a n ?的公差为 d ,则 Sn ? na1 ? n?n ? 1?d ∵

S 7 ? 7 , S15 ? 75 ,

?7a1 ? 21d ? 7 , ?a1 ? 3d ? 1 , ∴ ? 即 ? ?15a1 ? 105d ? 75 , ?a1 ? 7d ? 5 , a1 ? ?2 , d ? 1 。 解得
∴ ∵

Sn 1 1 ? a1 ? ?n ? 1?d ? ?2 ? ?n ? 1? , n 2 2 Sn?1 Sn 1 ? ? , n ?1 n 2

∴ 数列 ? ∴

? Sn ? 1 ? 是等差数列,其首项为 ? 2 ,公差为 , 2 ?n?

1 9 Tn ? n 2 ? n 。 4 4

18.解: (1)设{an}的公差为 d1,{bn}的公差为 d2 由 a3=a1+2d1 得 所以 a n ? 2 ? 8(n ? 1) ? 8n ? 6 , 所以 a2=10, a1+a2+a3=30

d1 ?

a3 ? a 1 ?8 2

?b1 ? d 2 ? 6 ?b 1 ? 3 ? 依题意,得 ? 解得 ? , 4?3 4b1 ? d 2 ? 30 ?d 2 ? 3 ? 2 ?
所以 bn=3+3(n-1)=3n

3 2 3 n ? n. 2 2 2 3(m ? 2) (2)设 an=bm,则 8n-6=3m, 既 n ? ①,要是①式对非零自然数 m、n 成立,只需 8 m+2=8k, k ? N ? ,所以 m=8k-2 , k ? N ? ② ②代入①得,n=3k, k ? N ? ,所以 a3k=b8k-2=24k-6,对一切 k ? N ? 都成立。 所以,数列 ?an ? 与 ?bn ? 有无数个相同的项。 53 , 又 k ? N ? ,所以 k=1,2,3,4.即 100 以内有 4 个相同项。 令 24k-6<100,得 k ? 12 S ?
n 1 n

n(b ? b )

?

19.解: (Ⅰ)由 S14=98 得 2a1+13d=14, 又 a11=a1+10d=0, 故解得 d=-2,a1=20. 因此,{an}的通项公式是 an=22-2n,n=1,2,3…

? S14 ? 77, ? (Ⅱ)由 ?a11 ? 0, ?a ? 6 ? 1

?2a1 ? 13d ? 11, ? 得 ?a1 ? 10d ? 0, ?a ? 6 ? 1
11 。 7 1 即 d≤- 13

?2a1 ? 13d ? 11, ? 即 ?? 2a1 ? 20d ? 0, ?? 2a ? ?12 1 ?

由①+②得-7d<11。即 d>- 由①+③得 13d≤-1 于是-

11 1 <d≤- 7 13

又 d∈Z, 故 d=-1 将④代入①②得 10<a1≤12. 又 a1∈Z,故 a1=11 或 a1=12.

所以,所有可能的数列{an}的通项公式是

an=12-n 和 an=13-n,n=1,2,3,…

20.解: (Ⅰ)设这二次函数 f(x)=ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x-2,得 a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x. 又因为点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上,所以 Sn =3n2-2n. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)- ( 3 n ? 1) 2 ? 2(n ? 1) =6n-5. 当 n=1 时,a1=S1=3×1 -2=6×1-5,所以,an=6n-5 ( n ? N )
2
?

?

?

1 1 1 3 3 ? ), = = ( a n a n ?1 (6n ? 5)?6(n ? 1) ? 5? 2 6n ? 5 6n ? 1 n 1 ? 1 1 1 1 1 1 ? 1 故 Tn= ? bi = ?(1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ). ? ) ? = (1 - 2 ? 6n ? 1 7 7 13 6n ? 5 6 n ? 1 ? 2 i ?1 1 1 m 1 m 因此,要使 (1- )< ( n ? N ? )成立的 m,必须且仅须满足 ≤ ,即 2 6n ? 1 20 2 20
(Ⅱ)由(Ⅰ)得知 bn ? m≥10,所以满足要求的最小正整数 m 为 10.


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