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9.2 矩阵的运算


9.2 矩阵的运算
1、矩阵加减法 矩阵与实数的乘积

定义1 由m ? n个数aij (i ? 1,2,?m; j ? 1,2,?, n)
排列成一个 m行n列的矩形表,称为一个 m ? n矩阵
? a11 ? a21 ? 记为 ? ... ? ?a ? m1 a12 a22 ... am 2 ... a1n ? ? ...

a2 n ? ... ... ? ? ... amn ? ?

一 、 复 习

其中aij称为矩阵的第 i行第j列元素。
一般的记为大写字母A、B、C、…等。

必要时可记为Am?n , Bm?n等,或者A=(aij )。
如果行数与列数相等的矩阵,称为m阶方阵,记为Am 所有元素均为0的矩阵,称为零矩阵,记作O或Om?n
对角线元素为1,其余元素均为0的方矩阵,称为单位矩阵

定义2 若两个矩阵A,B有相同的行数与相同的列数,并且对 应的位置上的元素相等 a ij ? bij (i ? 1, 2,3,...; j ? 1, 2,3 ...) ,则称矩阵A与矩阵B相等。记为:A=B

即如果A ? (aij )m?n , B ? (bij )m?n
且aij ? bij ,(i ? 1, 2,..., m; j ? 1, 2,..., n)
例1,已知A2?3 求a, b, c, d
则a ? 3,
b ? ?1,

则 A=B。

?1 2 a? ? 1 c 3? ?? ?,B2?3 ? ? ?,且A2?3 ? B2?3 ?b 0 5? ? ?1 0 d ?

c ? 2,

d ?5

二 、 矩阵的运算
(一)矩阵的加(减)法和数与矩阵的乘法
定义3 两个m行n列矩阵A ? (aij ), B ? (bij )对应 位置元素相加(或相减)得到的m行n列矩阵, 称为矩阵A与矩阵B的和(差)。 记为 A ? B或( A ? B)。
即 A ? B ? (aij )m?n ? (bij )m?n ? (aij ? bij )m?n

? 3 5 7 2? ? 1 3 2 0? ? ? ? ? 例如A ? ? 2 0 4 3 ?,B ? ? 2 1 5 7 ? ? 0 1 2 3? ? 0 6 4 8? ? ? ? ?
?4 8 9 2 ? ? ? 则A+B ? ? 4 1 9 10? ? 0 7 6 11? ? ?

请同学们求A-B

定义4 以实数 ? 乘矩阵A ? (aij ) 中的每一个元素所得 到的矩阵,称为实数? 与矩阵A的乘积矩阵.记做 ? A


? A ? ? (aij )m?n ? (? aij )m?n
则 ? 9 15 21 6 ? ? ? 3 A ? ? 6 0 12 9 ? ? 0 3 6 9? ? ?

? 3 5 7 2? ? ? 例2 A ? ? 2 0 4 3 ? ?0 1 2 3? ? ?

? 1与A的乘积使A的元素变号,称为 A的负矩阵 记作 ? A 即

? A ? (?aij )m?n

注意: 1、矩阵A与实数? 相乘满足如下交换率和分配律: (1)? A ? A? (2)? (A ? B) ? ? A ??B

2、设A、B、C、O都是m×n矩阵,l、k是实数,则
(1) A ? B ? B ? A (2) ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ) (3) A ? O ? A (4) A ? (? A) ? O (5) k ( A ? B) ? kA ? kB (6) (k ? l ) A ? kA ? lA (7) (kl) A ? k (lA) ? l (kA) (8) 1?A ? A

三 、 例 题 选 讲

? 1 2 ?1 1 ? ? 4 3 2 ?1? ? ? ? ? 例3 已知A ? ? 2 4 3 0 ? , B ? ? 5 ?3 0 1 ? ? 2 0 2 3? ? 1 2 ?5 0 ? ? ? ? ? 求3A-2B
4 ? 2? ? 3 6 ? 3 3? ? 8 6 ? ? ? ? 解: 3A-2B ? ? 6 12 9 0 ? ? ?10 ? 6 0 2 ? ? 6 0 6 9 ? ? 2 4 ? 10 0 ? ? ? ? ?
??5 0 ?7 5 ? ? ? ? ? ? 4 18 9 ? 2 ? ? 4 ? 4 16 9 ? ? ?

? 1 3 2 0? ?3 5 0 2 ? ? ? ? ? 例4 已知 A ? ? ?1 5 7 3 ? B ? ? 1 3 3 ?1 ? ? 2 4 6 8? ? 2 0 4 ?6 ? ? ? ? ? 且A ? 2 X ? B,求X。
解:在A+2X=B两边同时加上-A,得到
左边 ? (? A) ? (A ? 2X) ? (?A ? A) ? 2X ? O ? 2X ? 2 X

右边 ? (? A) ? B ? B ? (? A) ? B ? A 1 两边乘以 , 故可得2 X ? B ? A, 2
则X ?
1 ( B ? A) 2

2 ? ?2 2 ? 2 ? 1? ? ?2 ? 2 ? 4 ? 4 ? 2? ? 0 ? 4 ? 2 ? 14 ? ?

? 1 1 ?1 1 ? ? ? ? ? 1 ?1 ? 2 ? 2? ? 0 ? 2 ?1 ? 7 ? ? ?

例5、某公司有三家分厂一月份的水费、电费和燃料费 如表所示(单位:元)
水费 电费 燃料费

一分厂
二分厂 三分厂

10000
8000 9000

12000
11000 12000

15000
14000 16000

现在公司限定各分厂的水、电和燃料费都至少要节约 20% ,用矩阵表示这三家分厂各项费用的限定额。

解:一月份三家分厂各项费用对应的矩阵为:
?10000 12000 15000 ? ? ? A ? ? 8000 11000 14000 ? ? 9000 12000 16000 ? ? ?

按公司规定,三家分厂各项费用的限定额对应的矩阵为:

? 0.8 ?10000 0.8 ?12000 0.8 ?15000 ? ? ? 0.8A ? ? 0.8 ? 8000 0.8 ?11000 0.8 ?14000 ? ? 0.8 ? 9000 0.8 ?12000 0.8 ?16000 ? 各分厂各费用的限定额 ? ? 如下表所示(单位:元) ? 8000 9600 12000 ? 水费 电费 燃料费 ? ? ? ? 6400 8800 11200 ? 一分厂 8000 9600 12000 ? 7200 9600 12800 ? ? ?
二分厂 6400 三分厂 7200
8800 9600 11200 12800

例6、给出二元一次方程组 { 存在唯一解的条件。 a 2 x ? b2 y ? c2
a1 b1 ) ……① 解:原方程组的系数矩阵为 A ? ( a 2 b2 ? a1 ? ? b1 ? ? ? , ? ?是矩阵A的两个列向量,原方程组可以表示为: ? a2 ? ? b2 ? ? a1 ? ? b1 ? ? c1 ? x? ?a ? ? ? y? ?b ? ??? ?c ? ? ……② ? 2? ? 2? ? 2?

a1x ? b1y ? c1

由平面向量的分解定理可知:

? a1 ? ? b1 ? (1)当向量 ? ? 与 ? ? 不平行时,存在唯一一对实数x、y使 ②成立 ? a2 ? ? b2 ?

? a1 ? ? b1 ? (2)当向量 ? ? 与 ? ? 平行时,对任意实数x、y, ? a 2 ? ? b2 ? ? ? ? a1 ? ? b1 ? ? a1 ? ? b1 ? ? ? x ? ? ? y ? ? 都与 ? ? 或 ? ? 平行,所以 ? a2 ? ? b2 ? ? a 2 ? ? b2 ? ? ? c1 ? ? ? 若c ? ? ? 与?平行,则原方程组有无穷多个解; ? c2 ? ? ? c1 ? ? ? 若c ? ? ? 与?不平行,则原方程组无解。 ? c2 ?

? a1 ? ? b1 ? ?? 唯一解的条件。 ?a ? ?与? ?b ? ?不平行是原方程组存在 ? 2? ? 2?

四、学生练习
x, y, z ? R

? 3 ?4 ? ?15 ?20 ? y? ??? ? 2 x z 5 ? ? ? ?

2.讨论下列方程组解的情况:

?3 x ? 2 y ? 6 ? 2 ? x? y ?2 ? 3 ?

?4 x ? 3 y ? 5 ? ?8 x ? 6 y ? 22 ?4 x ? 6 y ? 3 ? ?6 x ? 9 y ? 5

五、小结
? 同阶矩阵加减法
? a11 ? ? a21 ? ... ? ? am1 a12 a22 ... am 2 ... a1n ? ? b11 b12 ... b1n ? ? a11 ? b11 ? ? ? ? ... a2 n ? ? b21 b22 ... b2 n ? ? a21 ? b21 ? ? ? ? ? ? ... ... ... ... ... ... ... ? ? ? ? ... amn ? ? bm1 bm 2 ... bmn ? ? am1 ? bm1 a12 ? b12 a22 ? b22 ... am 2 ? bm 2 a1n ? b1n ? ? ... a2n ? b2n ? ... ... ? ? ... amn ? bmn ? ...

? 实数和矩阵的乘积
? a11 ? a21 ? ?? ? ... ? ? am1 a12 a22 ... am 2 ... a1n ? ? ? a11 ? a12 ... ? a1n ? ? ? ? ... a2 n ? ? ? a21 ? a22 ... ? a2n ? ? ? ? ... ... ... ... ... ... ? ? ? ? ... amn ? ? ? am1 ? am 2 ... ? amn ?

1、填空

回家作业(共6题)
? 0 1? ?1 0? (2) 2 ? ? ? 3? ?? ?1 0? ? 0 1?

? 1 2 ? ? ?1 2 ? (1) ? ??? ?? ? ?1 ?1? ? 2 1 ?

? 0 1 2? ?3 0 3 ? 2、已知 A ? ? ?, B ? ? ?, ? ?1 2 0 ? ? 0 ?2 5 ?
则 A ? B ? ___________; B ? A ? _____________; 3 A =_____________

? 3 ?4 ? ?15 ?20 ? 3、已知 x, y, z ? R 且 y ? ??? ? ,则 x ? ____ 5 ? ?2 x ? ? z

y ? ____

z ? ____

?3 1 4 ? ?0 1 2? ? ? ? ? 4、已知矩阵 A ? ? 2 ?1 ?2 ? , B ? ? 3 4 ?1 ? ,求 2 A ? 3B 和 5 A ? 2 B ?2 4 1 ? ? ?2 1 1 ? ? ? ? ?

5、设 A ? ? ?

? 1 2 3? ? ? 1 2 ? 3? ? ? ? , B ? , 如果矩阵 Y 满足 2(Y ? A) ? B ? Y ,求矩阵 Y ? ? ? ? 4 3 2? ?? 4 3 0 ?
第一季度 甲产品 张城 李亮 王华 3 4 6 乙产品 7 5 4 4 3 5 第二季度 甲产品 乙产品 9 8 5

6.某公司张城、李亮、王华三名销售员销售甲、乙两种产品的业绩如下:

(1)用矩阵 A, B 表示三名销售员的各季度的销售业绩; (2)计算 A ? B ,说出 A ? B 中各个元素的意义; (3)计算 B ? A ,说出 B ? A 中各个元素的意义。

7、讨论下列方程组解的情况:

?3 x ? 2 y ? 6 4 x ? 3 y ? 5 4 x ? 6 y ? 3 ? ? ? (1) ? (2) ? (3) ? 2 x? y ?2 ?8 x ? 6 y ? 22 ?6 x ? 9 y ? 5 ? 3 ?

9.2 矩阵的运算
2矩阵与矩阵的乘法

一 矩阵的乘法
? a11 a12 ? 设A ? ? ? a a ? 21 22 ? ? b11 b12 ? ? c11 c12 ? B?? ? C ?? ? b b c c ? 21 22 ? ? 21 22 ?

若它们元素间的关系可以用下列等式表示

cij ? ai1b1 j ? ai 2b2 j (i ? 1,2; j ? 1,2)
? a11 a12 ?? b11 b12 ? ? a11b11 ? a12b21 a11b12 ? a12b22 ? AB ? ? ?? ??? ? a a b b a b ? a b a b ? a b ? 21 22 ?? 21 22 ? ? 21 11 22 21 21 12 22 22 ? ? c11 c12 ? ?? ? c c ? 21 22 ?
那么矩阵C叫做矩阵A和B的乘积,记作C=AB

注1:(1)cij是A的第i行的行向量与B的第j列的列向量的数量积
(i ? 1, 2;j ? 1,2)

? a11 ? ? a21 设A ? ? a31 ? ?a ? 41

a12 a22 a32 a42

a13 ? ? a23 ? a33 ? ? a43 ? ?

? b11 b12 ? ? ? B ? ? b21 b22 ? ?b ? b 31 32 ? ? a11b12 ? a12b22 ? a13b32 ? ? a21b12 ? a22b22 ? a23b32 ? a31b12 ? a32b22 ? a33b32 ? ? a41b12 ? a42b22 ? a43b32 ? ?

? a11b11 ? a12b21 ? a13b31 ? ? a21b11 ? a22b21 ? a23b31 AB ? ? a b ?a b ?a b ? 31 11 32 21 33 31 ?a b ? a b a ? a b 43 31 ? 41 11 42 21

n行、k列的矩阵与k行、m列的 注2:(2)定义可以推广到任意 矩阵的乘积( m, n, k ? N? )

定义

设矩阵A ? (a jk) m?l的列数与B ? (bkj )l ?n的行数相同, 则由元素

cij ? ai1b1 j ? ai 2b2 j ? ... ? ail blj ? ? aik bkj
k ?1

l

(i ? 1, 2,..., m, j ? 1, 2,..., n)
构成的m行n列的矩阵

C ? (cij ) m?n ? (? aik bkj ) m?n
k ?1

l

称为矩阵A与B的积。 记为 C=AB

记忆法:"左行右列”
AB的行数为左边矩阵A的行数,AB的列数为右边矩阵B的列数。

AB的第i行第j列元素为A的第i个行向量与B的第j个列向量的数量积。 所以只有A的列数与B的行数相同时,AB 才有意义。

二 矩 阵 乘 法 运 算 法 则

?2 3 ? ? 1 3? ? ? 例1 若A ? ? 1 ?2 ? , B ? ? ? , 求AB。 ? ?1 1 ? ?3 1 ? ? ?

?2 3 ? 2 ? 3 ? 3 ?1 ? ? 2 ?1 ? 3 ? (?1) ? ?? 1 3 ? ? ? 解: AB ? ? 1 ? 2 ?? ? ?1 1? ?? ?1?1 ? (?2) ? (?1) 1? 3 ? (?2) ?1? ? ? ? 3 ?1 ? 1? (?1) ? 3 1 ?? 3 ? 3 ? 1 ? 1 ? ? ? ?
? ?1 9 ? ? ? ?? 3 1 ? ? 2 10? ? ?

注意:此例中BA是没有定义的。

只有当矩阵A的列数与矩阵B的行数相等时,矩阵之积 AB才有意义。

?2 3 ? ? 1 ?2 ?3 ? ? ? 例2 若A ? ? 1 ?2 ? , B ? ? ?,求AB与BA。 ? 2 ?1 0 ? ?3 1 ? ? ? ?2 3 ? ? ?? 1 ? 2 ? 3? 解: AB ? ? 1 ? 2 ?? ? 2 ?1 0 ? ? ? ? 3 1 ?? ? ?
2 ? (?2) ? 3 ? (?1) 2 ? (?3) ? 3 ? 0 ? ? 2 ?1 ? 3 ? 2 ? ? ? ?1?1 ? (?2) ? 2 1? (?2) ? (?2) ? (?1) 1? (?3) ? (?2) ? 0 ? ? 3 ? 1 ? 1? 2 3 ? (?2) ? 1? (?1) 3 ? (?3) ? 1? 0 ? ? ?
? 8 ? 7 ? 6? ? ? ? ? ? 3 0 ? 3? ? 5 ? 7 ? 9? ? ?

?2 3 ? ? ? 1 ? 2 ? 3?? BA ? ? ? 2 ?1 0 ? ?? 1 ? 2 ? ? ?? 3 1 ? ? ?

?1? 2 ? (?2) ?1 ? (?3) ? 3 1? 3 ? (?2) ? (?2) ? (?3) ?1? ? ?? ? 2 ? 2 ? (?1) ?1 ? 0 ? 3 ? 2 ? 3 ? ( ? 1 ) ? ( ? 2 ) ? 0 ? 1 ? ?

? ? 9 4? ?? ? 3 8? ? ? ?
由于AB是3×3矩阵,BA是2×2矩阵

故AB≠BA 一般的,AB≠BA

?1? ? ? 例3 若A ? ? 2 ?,B ? ? 2 4 ?1?,求AB与BA。 ? ?3 ? ? ? ? 1 ? ? ? 解:AB ? ? 2 ??2 4 ? 1? ? ? 3? ? ?
1? 4 1? (?1) ? ? 1? 2 ? ? ? ? 2? 2 2? 4 2 ? (?1) ? ? (?3) ? 2 (?3) ? 4 (?3) ? (?1) ? ? ?

4 ?1 ? ? 2 ? ? ?? 4 8 ? 2? ? ? 6 ? 12 3 ? ? ?

? 1 ? ? ? BA ? ?2 4 ? 1?? 2 ? ? (2 ?1 ? 4 ? 2 ? (?1) ? (?3))? (13) ? ? 3? ? ?
此例中,也有AB≠BA。

? ?2 4 ? ? 2 6? 例4 若A ? ? ?, B ? ? ?,求AB与BA。 ? 1 ?2 ? ? 1 3?

? ? 2 4 ?? 2 6 ? ? 0 解:AB ? ? ? 1 ? 2? ?? ? 1 3? ? ?? ?0 ? ?? ? ? ? 2 6 ?? ? 2 4 ? ? 2 BA ? ? ? 1 3? ?? ? 1 ? 2? ? ?? ?1 ? ?? ? ?
故 AB≠BA

0? ? 0? ? ? 4? ? ? 2? ?

矩阵乘法不满足交换律。
此例也说明AB=0不能推出A=0或B=0

?1 例5 若A ? ? ?0 ?1 解:AB ? ? ?0 ?

2? ? 1 3? ?,B ? ? ?,求AB与BA。 1? ? 0 1? 2 ?? 1 3? ? 1 5? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 1 ?? 0 1 ? ? 0 1 ? ?

? 1 3?? 1 2 ? ? 1 5? BA ? ? ? 0 1? ? ? 0 1? ?? ? 0 1? ? ?? ? ? ?? ? ?
可见 AB=BA 如果两矩阵A与B相乘,有AB=BA,称为A与B可交换。 由矩阵乘法的要求可知,A与B可交换的必要条件是A与 B是同阶方阵。

?1 2 ? ? 1 ?1? ?1 2? ? ? ? ? 例6 若A ? ? 0 3 ?,B ? ? 0 2 ? , C ? ? ? 0 0 ? ? ? 2 ?1? ?2 3 ? ? ? ? ? 求AC与BC。
? 1 2? ?1 2 ? ? ? ?? 1 2 ? ? 解:AC ? ? 0 3 ?? ? 0 0? ? ? ? 0 0? ? ? 2 4? ? 2 ? 1?? ? ? ? ? ? 1 2? ? 1 ? 1? ? ? ?? 1 2 ? ? BC ? ? 0 2 ?? ? 0 0? ? ? ? 0 0? ? ? 2 4? ? 2 3 ?? ? ? ? ?
即AC=BC,但A≠B 矩阵乘法不满足消去律。

矩阵乘法运算法则
矩阵乘法满足 ? 乘法对加法的(左)分配律:(右)分配律:

? B ? C ? A ? BA ? CA

A? B ? C ? ? AB ? AC

?

乘法对实数的结合律:

r ? AB? ? ? rA? B ? A? rB ?

? 结合律: ? AB ? C ? A ? BC ? 不满足: ? 交换律: AB ? BA ? 消去律: AC ? BC ??

A? B

三 矩阵乘法的应用
?0 1? ?1? 1、已知矩阵A ? ? ? 1 0? ?,矩阵B ? ? ? 2? ?, 求AB。 ? ? ? ?

? 0 1 ?? 1 ? ? 2 ? 解:AB= ? ?? ? ? ? ? ? 1 0 ?? 2 ? ? 1 ?
?1? ? 2? ?向量? ? 2? ?经过矩阵A变换为向量? ?1? ?, ? ? ? ? 变换后的向量与原向量 关于y ? x对称。

2、现有赵强、钱明、孙军、李宾、周浩等5位同学,他们 的某学科实践成绩、平时测验成绩和期终统考成绩(单位: 元)分别列于下表:

姓名
赵强 钱明 孙军 李宾 周浩

实践成绩
70 80 70 60 80

平时成绩
75 75 80 70 90

期终成绩
80 70 60 80 90

如果计算该学科总评成绩时,实践成绩、平时测验成绩和 期终统考成绩分别占总评成绩的30%、20%和50%,求各 学生的总评成绩。

解:把学生们的成绩和在总评成绩中所占的百分比分别写成 下列两个矩阵:
? 70 ? ? 80 A ? ? 70 ? ? 60 ? 80 ? ? 70 ? ? 80 A ? ? 70 ? ? 60 ? 80 ? 75 80? ? 75 70? 80 60? ? 70 80? 90 90 ? ? 75 80? ? 75 70? 80 60? ? 70 80? 90 90 ? ?

? 0 .3 ? ? ? B ? ? 0 .2 ? ? 0 .5 ? ? ?

利用矩阵乘法求各学生的总评成绩,得
? 76 ? ? ? ? 0.3 ? ? 74 ? ? ? ? ? ? 0.2 ? ? ? 67 ? ? 0.5 ? 72 ? ? ? ? ? 87 ? ? ?

答:…….

四 学生练习

P82练习

五 课堂小结
? 矩阵A列=矩阵B行 矩阵积AB才有 意义; ? 矩阵的乘积运算不满足交换律、消去律; ? 即使AB=0,也不能推出A(或B)=0。

1、计算下列矩阵的乘积

回家作业
b v y

?0 0 1?? a ? x y ?? ?1 0 ? ? ?? 1 0 0 u (1) ? ( 2 ) ?? ? ? ? ? ? u v ?? 0 1 ? ?0 1 0?? x ? ??

?1? c? ? ? 2 ? w ? (3) ?1 2 3 4 ? ? ? ? 3? ? z? ? ? ? 4?

?? 1 2 ? ? 2 3?? ? ? 1 0 ? ? 0 1 ? ? ? 1 ?1? ?? ? ? ? ? ? 2 ?1? ? 2 3 ? 2 4 (4) ? ? ( 5 ) ? ? 2? ??? ? ?? ? ? ???1 3 ? 0 1 1 0 ? 1 1 ? ? ? ??? ? ?? ? ? 3 ?5 ? ? ?1 0 ? ? ? ? ? ?? ??
? 15 ? 5 8 5 3 4 ? ? ? ? ? ? , B ? 2、已知矩阵 A ? ? ? ? ? , C ? ?10 ? ?6 7? ? 2 2 4? ?6? ? ?
求(1) AB (2) ? AB? C (3) BC (4) A? BC ? 3、已知矩阵 A ? ?

? 1 1? ? 2? ,求向量 ? ? ? 经过矩阵 A 变换后得到的向量。 ? 1 1? ? 3?

4、某水果批发部向 A、B、C、D 四家水果店分别批发的苹果、橘子和香蕉的数量 如下(单位 kg) : 已知苹果、橘子和香蕉的批发价分别为每千克 1.5 元、1.8 元和 2.2 元 (1)使用矩阵表示批发部批发苹果橘子和香蕉各位多少千克 (2)使用矩阵表示并计算,A、B、C、D 四家水果店应支付的金额各为多少?
苹果 水果店 A 水果店 B 水果店 C 水果店 D 100 60 60 50 橘子 40 35 30 45 香蕉 60 50 60 30

5、已知 n 阶方阵 A ? B ,矩阵 C 也为 n 阶方阵, 则“ AC ? BC ”是“矩阵 C 中的元素都为 0”的___________条件;

? a ?b ?? 0 ? ? u ? ? a ?b ? ? 3 ? ? 0 ? 6、已知矩阵 ? ?? ? ? ? ? , ? b a ? ? ? ? ? 4 ? ,求实数 a, b, u, v 的值。 ?? 1 ? ? ? ? b a ?? 4 ? ? v ? ?
7、用矩阵变换的方法解方程组:

?3 x ? 2 y ? z ? 0 ?3 x ? 2 y ? z ? 0 ? ?a x ? b y ? c ? 7、用矩阵变换的方法解方程组: ? x ?1 y ? z1 ? 10 1 , a b ? a b ? 0 (1) ? x ? y ? z ? 10 ; (2) ? 1 2 2 1 ?2 a x ? b y ? c ? 3y ? 2 z ? 12 ?2 x ? 3 y ? z ? 1 ? ?x 2 ?


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