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2015年全国高中数学联赛模拟试题10


2015 年全国高中数学联赛模拟试题 10 第一试 (时间:8:00-9:20 满分:120) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1.若实数 x, ?,? 满足 x ? log3 tan? ? ? log3 tan? ,且 ? ? ? ?

?
6

,则 x 的值是
b

/>2. 已知集合 M ? {(a, b) | a ? ?1 ,且 b ? m} ,其中 m ? R .若任意 (a, b) ? M ,均有 a ? 2 ? b ? 3a ? 0 , 则实数 m 的最大值为 3. 复数 z 满足 z ?3z ? 2i ? ? 2(iz ? 6) ,则 z 等于

4. 已知 (1 ? 3) n ? an ? bn 3 ,其中 a n , bn 为整数,则 lim

an ? n ??? b n



5. min ?a, b? 表示 a 、 b 中较小的数,不等式 min ? x ?

? ?

4 ? ? 1? , 4 ? ? 8 ? min ? x, ? 的解集是 x ? ? x?

.

6. 在四面体 ABCD 中,AD⊥平面 BCD,∠ABD=∠BDC= ? ? 45? .已知 E 是 BD 上一点,满足 CE⊥BD 且 BE=AD=1.点 D 到平面 ABC 的距离为

4 ,则 cos ? 的值为 13
2 2

.

7.设 A, B 为抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上相异两点,则 OA ? OB ? AB 的最小值为
2

8.电脑每秒钟以相同的概率输出一个数字 1 或 2 .则输出的前 n 个数字之和被 3 整除的概率为 P n ?

.

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 9.在矩形 ABCD 中, AB ? a, AD ? b(a ? 0, b ? 0) , E 为 BC 边的中点,设 P 、 Q 分别 BC 、 CD 是上的 动点,且满足

DQ CP ? ,连接 AQ 与 DP 交于点 M ,求动点 M 轨迹方程,并指出它的形状。 QC PE
2 a1 ? 1, a n ?1 ? 2a n ? 3a n ? 1, n ? 1.

10.设数列 ?an ? 定义为

(1)证明:当 n ? 1 时, an?1 ? an?1 ? 4an ; (2)证明:

1 1 1 3 ?1 ? ??? ? a1 a2 an 2
2 2

11. 已知 a, b, c ? R ,对任意实数 x 均有 | ax ? bx ? c |?| x ? 3x ? 2 | ,求使 | b ? 4ac | 取最小值的所有实数
2

对 ? a, b, c ? .

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 10 加试 (时间:9:40-12:10 满分:180) 一、 (本小题满分 40 分) 如图,四边形 ABCD 内接于圆, AB, DC 延长线交于 E , AD, BC 延长线交于 F , P 为圆上任一点,

PE , PF 分别交圆于 R, S ,若对角线 AC , BD 交于 T , 求证: R, S , T 三点共线

二、 (本小题满分 40 分)

给定实数 r ? ? 0,1? , n 个复数 z1 , z2 , 证明: z1 ? z2 ?

, zn 满足 zk ?1 ? r ? k ? 1,2,

, n?

? zn

1 1 ? ? z1 z2

?

1 ? n 2 ?1 ? r 2 ? zn

三、 (本题满分 50 分)
n 求具有下述性质的所有整数 k :存在无穷多个正整数 n 使得 n ? k 不整除 C2 n

四、 (本题满分 50 分) 给定整数 n ? 5 ,求最小的整数 m ,使得存在两个由整数构成的集合 A, B ,同时满足以下条件: (1) A ? n, B ? m ,且 A ? B ; (2)对 B 中任意两个不同元素 x, y 有: x ? y ? B 当且仅当 x, y ? A

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 10 第一试参考解答 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1.若实数 x, ?,? 满足 x ? log3 tan? ? ? log3 tan? ,且 ? ? ? ?

?
6

,则 x 的值是

2. 已知集合 M ? {(a, b) | a ? ?1 ,且 b ? m} ,其中 m ? R .若任意 (a, b) ? M ,均有 a ? 2 ? b ? 3a ? 0 , 则实数 m 的最大值为
b

b 解:令 a ? ?1 得 2 ? b ? 3 ? 0 , f ?b? ? 2 ? b ? 3 在 R 上单调递增,
b

故 f ?b?max ? f ? m? ? 2m ? m ? 3 ? 0 ? f ?1? ,故 m ? 1 ,当 m ? 1 时 2 ? b ? 3 ? 0 ,故对任意 a ? ?1, b ? 1
b
b b b b 都有 a 2 ? b ? 3a ? a 2 ? 2 ? 3 ? 3a ? ? a ? 1? 2 ? 3 ? 0 成立,所以实数 m 的最大值为1

3. 复数 z 满足 z ?3z ? 2i ? ? 2(iz ? 6) ,则 z 等于

?

?

4. 已知 (1 ? 3) n ? an ? bn 3 ,其中 a n , bn 为整数,则 lim

an ? n ??? b n



解:由条件 (1 ? 3) n ? an ? bn 3 知 (1 ? 3) n ? an ? bn 3 ,

1 1 [(1 ? 3 ) n ? (1 ? 3 ) n ], bn ? [(1 ? 3 ) n ? (1 ? 3 ) n ] , 2 2 3 1? 3 n 1? ( ) n n an (1 ? 3 ) ? (1 ? 3 ) 1 ? 3 故 lim ? lim 3 ? ? 3. ? lim 3 ? n ??? b n ??? 1? 3 n (1 ? 3 ) n ? (1 ? 3 ) n n??? n 1? ( ) 1? 3 4 ? ? ? 1? 5. min ?a, b? 表示 a 、 b 中较小的数,不等式 min ? x ? , 4 ? ? 8 ? min ? x, ? 的解集是 x ? ? ? x? x ? 0; ? 4, 4 4 4 4 ? 解:当 x ? 0 时, x ? ? 2 x ? ? 4, 当 x ? 0 时, x ? ? ?4 ? 4, 故 min ? x ? , 4? = ? 4 x x x x x ? , x ? 0. ? x ?
于是 a n ?

.

?1 8 ? 1 ? ? , ?1 ? x ? 0或x ? 1; 又 min ? x, ? = ? x 所以有以下四种情形 : 当 x ? 1 时 , 原不等式为 4 ? , x ? 2 . 此 x ? x ? ? x, x ? ?1或0<x ? 1. ? 1 1 时 , x ??2, ??? . 当 0 ? x ? 1 时 , 原不等式为 4 ? 8 x, x ? . 此时 , x ? (0, ] . 当 ?1 ? x ? 0 时 , 原不等式为 2 2

4 8 4 4 ? ? x 2 ? 4. 此时, x ? (?1, 0) .当 x ? ?1 时, 原不等式为 x ? ? 8 x ? x 2 ? .此时, x ? (??, ?1] . x x x 7 1 综上所述,满足题意的 x 的取值范围为 (??, 0) ? (0, ] ? [2, ??). 2 6. 在四面体 ABCD 中,AD⊥平面 BCD,∠ABD=∠BDC= ? ? 45? .已知 E 是 BD 上一点,满足 CE⊥BD 且 4 BE=AD=1.点 D 到平面 ABC 的距离为 ,则 cos ? 的值为 . 13 x?

7.设 A, B 为抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上相异两点,则 OA ? OB ? AB 的最小值为
2 2 2 yA y2 y 2 ? y2 y2 ? y2B 2 B 2 , y A ), B( B , yB ) ,则 OA ? OB ? ( A ) ? ( y A ? yB )2 , AB ? ( A ) ? ( y A ? yB )2. 2p 2p 2p 2p 2 2 y2 ? y2 y ?y 2 2 2 所以 OA ? OB ? AB ? 4( A 2 B ? y A ? yB ) ? 4[( A B ? p) ? p ] ? ?4 p . 4p 2p

2

2

解: 设 A(

当 yA yB ? ?2 p2 时,
n

OA ? OB ? AB 取最小值 ?4 p 2 .
.
n

2

2

8.电脑每秒钟以相同的概率输出一个数字 1 或 2 .则输出的前 n 个数字之和被 3 整除的概率为 P n ?

解: 这 n 个数字共有 2 种可能情形。 设其中数字和被 3 整除的有 xn 种。 则不被 3 整除的有 2 ? xn 种。 对于 n ? 1 各数字的情形,若其和被 3 整除,则前 n 个数字之和不被 3 整除;反之,对于前 n 个数字之和不被 3 整除的 每种情形,有唯一的第 n ? 1 个数字可使前 n ? 1 个数字之和被 3 整除。因此, xn?1 ? 2n ? xn 。这表明,概率

xn 1 1? 1 n? 满足递推关系式 pn ?1 ? (1 ? pn ) 。所以 pn ? ?1 ? 2(? ) ? n 2 2 3? 2 ? 法二:若输出的前 n 个数字之和被 3 整除的概率为 pn ,则不被 3 整除的概率为 1 ? pn 。要使输出的前 n ? 1 个 数字之和被 3 整除,则必须使前 n 个数字之和不被 3 整除,且此时第 n ? 1 个数字也随之确定。所以,由条件 1 概率的公式得 pn ?1 ? (1 ? pn ) ,余下同法一。 2 n 2 n 法三:n 个数字共有 2 种可能情形。下面计算其和被 3 整除的种数,这等于多项式 f ( x) ? ( x ? x ) 的展开式 pn ?

1 3 ? i 为三次单位根, ? 是其共 2 2 1 1 n 1? 1 n? 2 ? 2( ?1) n ? 轭复数。故 ( f (1) ? f (? ) ? f (? )) ? ? 。因此,所求的概率为 pn ? ?1 ? 2(? ) ? . ? ? 3 3 3? 2 ?
种x ,x ,
3 6

等项的系数之和,即 ( f (1) ? f (? ) ? f (? )) 。其中, ? ? ?

1 3

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 9.在矩形 ABCD 中, AB ? a, AD ? b(a ? 0, b ? 0) , E 为 BC 边的中点,设 P 、 Q 分别 BC 、 CD 是上的

DQ CP ,连接 AQ 与 DP 交于点 M ,求动点 M 轨迹方程,并指出它的形状。 ? QC PE 解:以 AD 中点为原点, AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系 b? ? b? ? b? ? b? ? ? b? 则 A ? 0, ? ? , D ? 0, ? , B ? a, ? ? , C ? a, ? 设 Q ? x1 , ? , P ? a, y2 ? , M ? x, y ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? ? ? 2? b b b y? y? y2 ? b 2 ? ①,由 D, M , P 共线得 2? 2 ②, 则由 A, M , Q 共线得 x x1 x a b b y2 ? ?y DQ CP DQ CP x1 2 2 2 ?? b ? (1)当 P 在 CE 上时由 得 即 ? 即 ? b x1 2a QC PE CD CE a 2 2 b b y2 ? y2 ? 2 2 2 4 ? 2 b ? ? b ,化简得 x ? y ? 1 易知此时 x ? 0, y ? 0 ①×②得 1 2 1 2 x2 x1 a 2a 2 a b 2 4
动点,且满足 轨迹形状是椭圆的一部分

b b ? y2 y2 ? CP DQ CP DQ x1 2 ? ? (2)当 P 在 BE 上时由 得 即 ? 2 ? b b? QC PE CD CP ? PE a b ? ? 2 y2 ? 2 ? y2 ? ? 2 2 2? ? b? ? a? y ? ? 2? ? bx 2 2 2 2 2 2 2 x 即 化简得 2b x ? 4a y ? 8abxy ? 4ab x ? a b ? 0 ? b? b? ? ? a? y ? ? ? y ? ?a b 2? 2? ? ?2 ? 2 x 易知此时 x ? 0, y ? 0 ,轨迹形状是双曲线的一部分
10.设数列 ?an ? 定义为
2 a1 ? 1, a n ?1 ? 2a n ? 3a n ? 1, n ? 1.

(1)证明:当 n ? 1 时, an?1 ? an?1 ? 4an ; (2)证明:

1 1 1 3 ?1 ? ??? ? a1 a2 an 2

11. 已知 a, b, c ? R ,对任意实数 x 均有 | ax2 ? bx ? c |?| x2 ? 3x ? 2 | ,求使 | b2 ? 4ac | 取最小值的所有实数 对 ? a, b, c ? .
2 解:若 a ? 0 ,则不等式 | ax2 ? bx ? c |?| x2 ? 3x ? 2 | 可化为 bx ? c ? x ? 3 x ? 2 ,易知 b ? 0

c 2 ,则有 0 ? x0 ? 3 x0 ? 2 ,故 x0 ? 1 或 x0 ? 2 ,即 c ? ?2b 或 c ? ?b , b 2 (1)当 c ? ?2b 时若 x ? 2 ,则由 bx ? c ? x ? 3 x ? 2 得 b ? x ?1 恒成立,这显然不可能
则令 x0 ? ?
2 (2)当 c ? ?b 时若 x ? 1 ,则由 bx ? c ? x ? 3 x ? 2 得 b ? x ? 2 恒成立,这显然不可能;所以 a ? 0 2 2 2 2 (1)当 b ? 4ac ? 0 时 ax ? bx ? c ? 0 的两根为 x1 ? x2 则 0 ? x1 ? 3 x1 ? 2 且 0 ? x2 ? 3 x2 ? 2 ,

2 2 因此 x1 ? 1, x2 ? 2 此时 a ? 1, b ? ?3a, c ? 2a, b ? 4ac ? a ? 1 ,等号当 a ? 1, b ? ?3a, c ? 2a 时成立

( 2 ) 当 b ? 4ac ? 0 时 ,
2

若 a ? 0 , 则 不 等 式 | ax2 ? bx ? c |?| x2 ? 3x ? 2 | 恒 成 立 可 化 为

ax 2 ? bx ? c ? x 2 ? 3x ? 2 ,所以当 x ? 2 或 x ? 1 时 ax 2 ? bx ? c ? x 2 ? 3x ? 2
即 ? a ?1? x2 ? ?b ? 3? x ? c ? 2 ? 0 ,令 f ? x ? ? ? a ?1? x2 ? ?b ? 3? x ? c ? 2 则 a ? 1 ? 0
2 2 当 1 ? x ? 2 时 ax ? bx ? c ? ? x ? 3x ? 2 即 ? a ? 1? x2 ? ?b ? 3? x ? c ? 2 ? 0 。

令 g ? x ? ? ? a ? 1? x2 ? ?b ? 3? x ? c ? 2 若 a ? 1 则

?b ? 3? x ? c ? 2 ? 0
?c?

,? 恒 成 立 , 故 b ? ?3 c

2 ,

5 5 ? 0 ,所以 c ? , min 2 2 5 2 2 ? 1 ,此时 a ? 1, b ? ?3, c ? , 此时 b ? 4ac ? 9 ? 4c ? ?1 ,所以 b ? 4ac min 2 当 a ? 1 时 f ?1? ? a ? b ? c ? 0, f ? 2? ? 4a ? 2b ? c ? 0, (*)

2 x 2 ? 6 x ? c ? 2 ? 0 对 1 ? x ? 2 恒成立,所以 ? 2 x 2 ? 6 x ? c ? 2 ?

△1 ? ? b ? 3? ? 4 ? a ? 1?? c ? 2 ? ? b 2 ? 4ac ? 8a ? 6b ? 4c ? 1
2

△2 ? ? b ? 3? ? 4 ? a ? 1?? c ? 2 ? ? b 2 ? 4ac ? 8a ? 6b ? 4c ? 1
2

①若 △1 ? 0 ,则因为 b ? 4ac ? 0 故 f ? x ? 的两根 x1 , x2 满足 x1 ? 1, x2 ? 2 且两个等号不能同时成立,则当
2

x1 ? 1 时若 x1 ? x ? 1 则 f ? x ? ? 0 与 f ? x ? ? 0 恒成立矛盾,
当 x2 ? 2 时若 2 ? x ? x2 则 f ? x ? ? 0 与 f ? x ? ? 0 恒成立矛盾,因此不合题意 ②若 △2 ? 0 ,则因为 b ? 4ac ? 0 故 g ? x ? 的两根 x1 , x2 满足 1 ? x1 ? x2 ? 2 且两个等号不能同时成立,则若
2

x1 ? x ? x2 则 f ? x ? ? 0 与 f ? x ? ? 0 恒成立矛盾,因此不合题意
③ △1 ? 0, △2 ? 0 即 b ? 4ac ? ?8a ? 6b ? 4c ? 1 且 b ? 4ac ? 8a ? 6b ? 4c ? 1 时
2 2

b 2 ? 4ac ?

?8a ? 6b ? 4c ? 1 8a ? 6b ? 4c ? 1 ? ? ?1 ,等号当 8a ? 6b ? 4c ? 0 且 △1 ? △2 ? 0 时成立,由 2 2 4c 2 ? 20ac ? 16a 2 2 ? ?1 得 f ?1? ? a ? b ? c ? 0, f ? 2? ? 4a ? 2b ? c ? 0, 可知, a ? c ? 4 a ,由 b ? 4ac ? 9

5a ? 3 a 2 ? 1 ? ? a, 4a ? 因为 a ? 1 时也符合上述表达式, 2 5a ? 3 a 2 ? 1 4a ? 2c 2 ? 1, 因此当 a ? 1, c ? 时 b ? 4ac ,b ? ? min 2 3 5a ? 3 a 2 ? 1 4a ? 2c 2 ?1 同理可得当 a ? ?1, c ? 时 b ? 4ac ,b ? ? min 2 3 5a ? 3 a 2 ? 1 4a ? 2c 2 综上,当 a ? 1, c ? 或 a ? 1, b ? ?3a, c ? 2a 时 | b ? 4ac | 取得最小值 1 ,b ? ? 2 3 c?

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 10 加试参考解答 (时间:9:40-12:10 满分:180) 一、 (本小题满分 40 分) 如图,四边形 ABCD 内接于圆, AB, DC 延长线交于 E , AD, BC 延长线交于 F , P 为圆上任一点,

PE , PF 分别交圆于 R, S ,若对角线 AC , BD 交于 T ,求证: R, S , T 三点共线

二、 (本小题满分 40 分)

给定实数 r ? ? 0,1? , n 个复数 z1 , z2 , 证明: z1 ? z2 ?

, zn 满足 zk ?1 ? r ? k ? 1,2,

, n?

? zn

1 1 ? ? z1 z2

?

1 ? n 2 ?1 ? r 2 ? zn

三、 (本题满分 50 分)
n 求具有下述性质的所有整数 k :存在无穷多个正整数 n 使得 n ? k 不整除 C2 n

法二:所求整数为除 1 以外的所有整数.

四、 (本题满分 50 分) 给定整数 n ? 5 ,求最小的整数 m ,使得存在两个由整数构成的集合 A, B ,同时满足以下条件: (1) A ? n, B ? m ,且 A ? B ; (2)对 B 中任意两个不同元素 x, y 有: x ? y ? B 当且仅当 x, y ? A 解:最小的整数 m 为 3n ? 3 ,我们首先给出一个例子


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