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陕西省西工大附中2012届高三第五次适应性训练题数学理


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陕西省西工大附中 2012 届高三第五次适应性训练题数学理 第Ⅰ卷 选择题(共 50 分) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本 大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.已知集合 A A. ?1, ? ? ?
?

?y

y ? 2

?x

,x ? 0

? ,集合 B

?

? x y ? x ? ,则 A ? B ? (
1 2



B. ? 1, ? ? ?

C. ? 0 , ? ? ?

D. ? 0 , ? ? ?

2.在用二分法求方程 x 3 ? 2 x ? 1 ? 0 的一个近似解时, 现在已经将一根锁定在 (1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为( ) A.(1.4,2) B.(1,1.4) C.(1,1.5) D.(1.5,2) 3.如图是容量为 150 的样本的频率分布直方图, 则样本数据落在 ? 6 ,1 0 ? 内的频数为( ) A.12 B.48 C.60 D.80 4. 双 曲 线
y ?
4 3
y2 a2
2 ? x2 ? 1

b

的一条渐近线方程为 ) D.
? x
a

x

,则双曲线的离心率为( B. 4 3 C. 5 4

A. 5 3

7

4

5.设 a ? ?1, 2 , 3, ? 1 ? ,则使函数 y 3 3 且为奇函数的所有 a 的值为( A.1,3 C.1,3, 2 3

的定义域为 R
1 3

) B.1,3, ?

D.1, 2 ,3, ? 3

1 3

6.阅读右侧的算法流程图,输出的结果 B 为( A. 7 B. 1 5 C.31 D.63



7.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单 位: m ) ,则该几何体的体积为( ) 3 3 3 7 9 7 A. 3 m B. 2 m C. 2 m D. 9 m 3 4 8.设 a ? R ,函数 f ( x ) ? e x ? a ? e ? x 的导函数是 f ' ( x ) ,且 ' f ( x ) 是奇函数。若曲线 y ? f ( x ) 的一条切线的斜率是 3 ,则切点的横坐标为( ) 2 A. ln 2 B. ? ln 2
a
10

C. ln22

D. ? ln 2 2

9.数列 ? a n ? 是等差数列,若 a 1 1 的最小正值时, n
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?

? ? 1 ,且它的前

n 项和 S n 有最大值,那么当 S n 取





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A.11 B.17 C.19 D.21 ? 10.已知二面角 ? ? l ? ? 的大小为 5 0 , P 为空间中任意一点,则过点 P 且与平面 ? ? 和平面 ? 所成的角都是 3 5 的直线的条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 第Ⅱ卷 非选择题(共 100 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分. ? ? ? ? 11.已知向量 a ? (1, ? 2 ) , b ? ( 2 , ? ) ,且 a 与 b 的夹角为锐角,则实数 ? 的取值范围 是 .
? x? y ? 2 ? 0 ? 12.已知实数满足 ? x ? 2 y ? 5 ? 0 ? y ? 2 ? 0 ?

,则 b

? x

y

的取值范围是

13.若将 ( x ? a )( x ? b ) 逐项展开得 x 2 的概率为 1 ,如果将 ( x ? 2 率为 14.已知函数 .

? ax ? bx ? ab

,则 x 2 出现的概率为 1 , x 出现 4
3

a ) ( x ? b ) ( x ? c ) ( x ? d ) ( x ? e ) 逐项展开,那么 x

出现的概

y ? A s in ( ? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? ? ? ? , ? ? )



像的一部分如图所示,则该函数的解析式 为 . 15.选做题(请考生在以下三个小题中任选一题做答,如 果多做,则按所做的第一题评阅记分) (1) 选修 4—4 坐标系与参数方程) . ( 已知直线的极坐标方程为 ? 则极点到该直线的距离是 .
lg a ? lg b ? 0

s in (? ?

?
4

) ?

2 2



(2) (选修 4—5 不等式选讲)已知 .
a a ?1
2

,则满足不等式

?

b b ?1
2

? ?







?







是 . (3) .(选修 4—1 几何证明选讲)如图,两个等圆 ⊙ O 与⊙ O' 外切,过 O 作⊙ O' 的两条切线 ' O A , O B , A , B 是切点, C 在圆 O 上且不与点 A , B 重 点 合,则 ? A C B = . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本答题共 6 小题,共 75 分) 16. (本小题 12 分)设函数 期为
2? 3
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f ( x ) ? ( s in ? x ? c o s ? x ) ? 2 c o s ? x ( ? ? 0 )
2 2

的最小正周



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(Ⅰ)求 ? 的值. (Ⅱ)若函数 y 求y
? g (x) ? g (x)

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?
2

的图像是由 y

? f (x)

的图像向右平移

个单位长度得到,

的单调增区间.

17.(本小题 12 分)某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各 2 株.设甲、 乙两种大树移栽的成活率分别为 和
6 5 4 5

,且各株大树是否成活互不影响.求移栽

的 4 株大树中: (Ⅰ)至少有 1 株成活的概率; (Ⅱ)两种大树各成活 1 株的概率.

M 18. 本小题 12 分) ( 如图, 四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形, D NB ? 平 面 ABCD

? 平 面 ABCD



,且 MD=NB=1,E 为 BC 的中点

M

(Ⅰ)求异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值 (Ⅱ) 在线段 AN 上是否存在点 S, 使得 ES ? 平面 AMN? 若存在,求线段 AS 的长;若不存在,请说明理由
D E N

C

19. ( 本 小 题 12 分 ) 在 数 列
a 1 ? 1, a n ? 1 ? (1 ? 1 n )an ? n ?1 2
n

{an }

中 ,

A

B

(I)设 b n

?

an n

,求数列 { b n } 的通项公式

(II)求数列 { a n } 的前 n 项和 S n

20. (本小题 12 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,以两个焦点和 短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为 8 的正方形(记为 Q). (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设点 P 是椭圆 C 的左准线与 x 轴的交点,过点 P 的直线 l 与椭圆 C 相交于
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M,N 两点,当线段 MN 的中点落在正方形 Q 内(包括边界)时,求直线 l 的斜率 的取值范围。

21.(本小题 15 分)已知函数

f ( x ) ? ln ( a x ? 1) ?

1? x 1? x

,x ? 0

,其中 a

? 0

??? 若 ? ?? ? 求

f (x)

在 x=1 处取得极值,求 a 的值; 的单调区间; 的最小值为 1,求 a 的取值范围。

f (x)

(Ⅲ)若

f (x)

2012 年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第五次适应性训练 数学(理科)参考答案与评分标准 一、选择题: 题号 答案 1 B 2 D 3 B 4 C 5 A 6 D 7 C 8 A 9 C 1 0 B

二、填空题: 11. ? ? ? , ? 4 ? ? ? ? 4 ,1 ? ; 12. ? 1 , 2 ? ; 13. 156 ; 14. y ?3 ? 15.(选做题)(1) 三、解答题: 16.解析:
2 2

? 2 sin ( 5 x ? 2

5? 6

).



(2) ?1, ? ? ? ;

(3)

60

?



f ( x ) ? (s in ? x ? c o s ? x ) ? 2 c o s ? x ? s in ? x ? c o s ? x ? s in 2 ? x ? 1 ? 2 c o s 2 ? x
2 2 2 2

? s in 2 ? x ? c o s 2 ? x ? 2 ?

2 s in ( 2 ? x ?

?
4

)?2

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依题意得
2? 2? ? 2? 3
g (x) ?

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3 2

,故 ? 的最小正周期为

.
2 s in ( 3 x ? 5? 4 )? 2

(Ⅱ)依题意得: 由 2k? 解得 故y
2 3
? g (x)

? ? ? ? 2 s in 3 ( x ? ) ? ? 2 ? ? 2 4 ? ? ?

?

?
2

≤ 3x ?

5? 4

≤ 2k? ?
2 3 k? ? 7? 12 [ 2 3

?
2

(k ? Z )
(k ? Z ) \

k? ?

?
4

≤ x≤

的单调增区间为:

k? ?

?
4

,

2 3

k? ?

7? 12

]

(k ? Z )

17. (本小题 12 分) 解: 设 A k 表示第 k 株甲种大树成活,
l ? 1, 2 k ? 1, 2

; 设 B l 表示第 l 株乙种大树成活,
, P ( B1 ) ? P ( B 2 ) ? 4 5

则 A1 , A 2 , B 1 , B 2 独立,且 P ( A1 )

? P ( A2 ) ?

5 6

(Ⅰ)至少有 1 株成活的概率为:
1 2 1 2 899 1 ? P ( A1 ? A 2 ? B 1 ? B 2 ) ? 1 ? P ( A1 ) ? P ( A 2 ) ? P ( B 1 ) ? P ( B 2 ) ? 1 ? ( ) ( ) ? 6 5 900

(Ⅱ)由独立重复试验中事件发生的概率公式知,两种大树各成活 1 株的概率为:
P ? C2
1

5 1 6 6

?C2

1

4 1 5 5

?

10 36

?

8 25

?

4 45

18. (本小题 12 分) 解析: (Ⅰ)在如图,以 D 为坐标原点,建立空间直角坐标 D 依题意,得 D ( 0 , 0 , 0 ) A (1, 0 , 0 ) M
? xyz

( 0 , 0 ,1), C ( 0 ,1, 0 ), B (1,1, 0 ), N (1,1,1), E (

1 2

,1, 0 )



???? ???? ? 1 ? N E ? ( ? , 0 , ? 1), A M ? ( ? 1, 0 ,1) 2 ???? ???? ? ???? ???? ? N E ?A M 10 ? ???? ? ? ? ? c o s ? N E , A M ? ? ???? 10 | NE | ? | AM |



所以异面直线 N E 与 A M 所成角的余弦值为 (Ⅱ)假设在线段 AM N.
???? ? A N ? ( 0 , 1, 1)

10 10

.
?

AN

上存在点 S ,使得 E S

平面

??? ?

,可设 A S

???? ? ? A N ? (0 , ? , ? ),

又 EA

??? ?

? (

1

??? ? ??? ? ??? ? 1 , ? 1, 0 ), ? E S ? E A ? A S ? ( , ? ? 1, ? ) 2 2

.

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? 1 ? ? ? ? ? 0, 即? 2 ? ( ? ? 1) ? ? ? 0 . ?
2 2

由 ES

?

平面

??? ???? ? ? ? E S ?A M ? 0 , ? A M N ,得 ? ??? ???? ? ? E S ?A N ? 0 , ?

故?

?

1 2

,此时 A S

??? ?

? (0,

1 2

,

1 2

??? ? ) , | A S |?

.

经检验,当 A S

?

2 2

时, E S

?

平面 A M N .

故线段 A N 上存在点 S ,使得 E S

?

平面 A M N ,此时 A S

?

2 2

.

19. (本小题 12 分) (I)由已知有
a n ?1 n ?1 ? an n ? 1 2
n

? bn ?1 ? bn ?

1 2
n

利用累差迭加即可求出数列 { b n } 的通项公式: (II)由(I)知 a n
n

bn ? 2 ?
n

1 2
n ?1

(n ?
n

N

*

)

? 2n ? 2
n

n
n ?1

n

,?

Sn

=?
k ?1

(2k ? 2

k

) ? k ?1

?
k ?1

(2 k ) ?

?
k ?1

k 2
k ?1

而?
k ?1

( 2 k ) ? n ( n ? 1)

,又 ?
k ?1

k 2
k ?1

是一个典型的错位相减法模型,
n? 2 2
n ?1

n

易得 ?
k ?1

k 2
k ?1

? 4?

n ? 2 2
n ?1

? Sn

= n ( n ? 1)

?

? 4

20. (本小题 12 分) 解: (Ⅰ)依题意,设椭圆 C 的方程为 由题设条件知, a 2 故椭圆 C 的方程为
? 8, b ? c,
2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) ,

焦距为 2 c ,

所以 b 2 .

?

1 2

a

2

? 4.

x

?

y

?1

8

4

(Ⅱ)椭圆 C 的左准线方程为 x

? ? 4 , 所以点

P 的坐标 ( ? 4 , 0 ) ,
? k ( x ? 4)

显然直线 l 的斜率 k 存在,所以直线 l 的方程为 y 如图,设点 M,N 的坐标分别为



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( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , 线段

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MN 的中点为 G ( x 0 , y 0 ) ,

? y ? k ( x ? 4 ), ? 由? x2 y2 得 (1 ? 2 k 2 ) x 2 ? 1 6 k 2 x ? 3 2 k ? ?1 ? 4 ? 8

2

?8 ? 0

.

……①

由?

? (1 6 k ) ? 4 (1 ? 2 k )(3 2 k
2 2 2

2

? 8) ? 0

解得 ?

2 2

? k ?

2 2

.
2 2

……②

因为 x 1 , x 2 是方程①的两根,所以 x 1 ?
x1 ? x 2 2
8k
2 2

x2 ? ?

16k

1 ? 2k

,于是

x0 ?

=?

8k

2 2

1 ? 2k

, y0

? k ( x0 ? 4 ) ?

4k 1 ? 2k
2

.

因为 x 0

? ?

1 ? 2k

? 0

,所以点 G 不可能在 y 轴的右边,
? x ? 2, y ? ? x ? 2,
?
2

又直线 F1 B 2 , F1 B 1 方程分别为 y

所以点 G 在正方形 Q 内(包括边界)的充要条件为即 ? 1 ? 2 k ?

? 2, 2 1 ? 2k ? 2 8k ? 4k ? ? 2, 2 ?1 ? 2k 2 1 ? 2k ?
2

4k

? ?

8k

亦即 ?

?2k ? ?2k ?

2

? 2 k ? 1 ? 0, ? 2k ? 1 ? 0.

2

解得 ?

3 ?1 2
3 ?1 2

? k ?

3 ?1 2

,此时②也成立.

故直线 l 斜

率的取值范围是 [ ?

3 ?1 2

,

].

21. (本小题 14 分) 解(Ⅰ) ∵
f '( x ) ? a ax ? 1 ? 2 (1 ? x )
2

?

ax ? a ? 2
2

( a x ? 1) (1 ? x )
2

2

,

f (x)

在 x=1 处取得极值,∴
f '( x ) ? ax ? a ? 2
2

f '(1) ? 0 , 即 a ? ? a ? 2 ? 0 , 1

解得 a

? 1.

(Ⅱ) ∵x

( a x ? 1) (1 ? x )

2

,

? 0, a ? 0,

∴ ax ? 1 ?

0.

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①当 a
? 2

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'( x ) ? 0 ,

时,在区间 ( 0 , ? ? ) 上 , f 时,
2? a a 2-a a



f (x)

的单调增区间为 ( 0 , ? ? ).

②当 0 ? 由

a ? 2

f '( x ) ? 0 解 得 x ?

, 由 f '( x ) ? 0 解 得 x ?

2? a a

,



f ( x )的 单 调 减 区 间 为 ( 0 ,

), 单 调 增 区 间 为 (

2-a a

, ?) . ?

(Ⅲ)当 a 当
0? a ? 2

? 2

时,由(Ⅱ)①知,

f ( x )的 最 小 值 为 f ( 0 ) ? 1;
2? a a

时,由(Ⅱ)②知,

f (x)



x ?

处取得最小值

f (

2? a a

)? f

( 0? )

1 ,

综上可知,若

f (x)

得最小值为 1,则 a 的取值范围是 [ 2 , ? ? ).

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