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江苏省泰州中学2011-2012学年度第二学期高一下学期期中考试(数学)


江苏省泰州中学 2011—2012 学年度第二学期期中考试试卷

高一数学
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. ) 1.已知数列 1,

2012-4-18

3 5 7 , , ,…的一个通项公式是 an=__________________. 4 9 16

/>2.在等差数列{an}中,若 a3=-1,a7=1,则 a11=_________________. 3.若直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距分别为-1 和 2,则直线 l 的斜率为________. 4.一元二次不等式(x-2)(x+2)<5 的解集为_______________. 5.在△ABC 中,sinA:sinB:sinC=2:3:4,那么 cosC=_______________. 6.在等比数列{an}中,a1+a2=3,a2+a3=6,则此数列的前 10 项之和为________. 7.已知直线 l 1:2x-y=10 与直线 l 2:x+ay-2a-1=0,若 l 1⊥ l 2,则垂足的坐标为 ________________. 8.已知不等式 ax2-5x+b>0 的解集为{x|-3<x<2},则不等式 bx2-5x+a>0 的解集 为______________. 9.经过点 M(-2,3)且到原点距离为 2 的直线方程为_______________. 10.在△ABC 中,A=75°,B=45°,c=3 2 ,则 a=________________. 11.已知数列{an}的通项公式为 an=23-4n,Sn 是其前 n 项之和,则使数列{ 前 n 项和最大的正整数 n 的值为________________. 12. 设点 A(1,0)在 x 轴上,点 B(0,3)在 y 轴上,P 是直线 x+y=4 上的动点,则 PA+PB 的最小值为_________________. 13.在△ABC 中,a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边,若 a,b,c 成等差数列, 则∠B 的范围是_________________. 14.已知 an=2n,把数列{an}的各项排成如右侧三角形状,记 A(i,j)表示第 i 行中 第 j 个数,则结论 ①A(2,3)=16; ②A(i,3)=2A(i,2)( i≥2); ③[A(i, i)]2=A(i,1)·A(i,2i-1)( i≥1); ④A(i+1,1)=A(i,1)· 2
2 i?1

Sn }的 n

a1 a2 a5 a10 a11 a6 a12 a3 a7 a13 …… a4 a8 a14 a9 a15 a16

( i≥1).

其中正确的是________________(写出所有正确结论的序号).

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答 时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) (1)解不等式:
9 ≤2 x?4

(2)已知不等式 x 2 ? 2 x ? k 2 ? 1 ? 0 对一切实数 x 恒成立, 求实数 k 的取值范围. 16. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边长.已知 a=2, cos B ? . (1)若 b ? 4 ,求 sin A 的值; (2)若 ?ABC 的面积 S?ABC ? 4 ,求 b , c 的值. 17. (本小题满分 14 分) 已知 A(0,3) 、B(-1,0) 、C(3,0) ,求 D 点的坐标,使四边形 ABCD 为 直角梯形 (A、B、C、D 按逆时针方向排列).
3 5

A

B

C

18. (本小题满分 16 分) 已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且其第二项、第五项、第十四 项分别是等比数列{bn}的第二、三、四项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
?an ? (2)令数列{cn}满足:cn=? ? ?bn

(n为奇数) ,求数列{cn}的前 101 项之和 T101; (n为偶数) c1 c2 cn (3)设数列{cn}对任意 n∈N*,均有b +b +…+b =an+1 成立,求 c1+c2 1 2 n +…+c2012 的值.

19.(本题满分 16 分) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下, 大桥上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆 /千米)的函 数,当桥上的车流密度达到 200 辆 /千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当 车流密度不超过 20 辆 /千米时,车流速度为 60 千米/小时,研究表明:当
2 ? ? 0 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数。 0 x 20

(1)当 0 x? 0 时,求函数v(x)的表达式; ? 20 (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车 辆数,单位:辆/小时) f(x ?x vx 可以达到最大,并求出最大值。 ) ? () (精确到 1 辆/小时) 。 20. (本题满分 16 分) 如图 1,在 y 轴的正半轴上依次有点 A1,A2,…,An,…,A1,A2 的坐标分别为 (0,1),(0,10), |An-1An |= 3|An An+1 |(n=2,3,4,…). 在射线 y=x(x≥0)上依次有 且 点 B1,B2,…,Bn,…,点 B1 的坐标为(3,3),且|OBn |=|OBn-1 |+2 2 (n=2,3,4,…). (1)用含 n 的式子表示|An An+1 |;
y

(2)用含 n 的式子分别表示点 An、Bn 的坐标; A (3)求四边形 An An+1Bn+1Bn 面积的最大值.

3

A2

B3 B2 B1 A1 x

江苏省泰州中学 2011—2012 学年度第二学期期中考试试卷

高一数学(答案)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位 ....... 置上. ..

1.已知数列 1,

3 5 7 2n -1 , , ,…的一个通项公式是 an= 2 . 4 9 16 n

2.在等差数列{an}中,若 a3=-1,a7=1,则 a11= 4.一元二次不等式(x-2)(x+2)<5 的解集为

3

. 2 .

3.若直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距分别为-1 和 2,则直线 l 的斜率为 {x|-3<x<3} .
1 . 4

5.在△ABC 中,sinA:sinB:sinC=2:3:4,那么 cosC= ?

6.在等比数列{an}中,a1+a2=3,a2+a3=6,则此数列的前 10 项之和为 1023 . 7.已知直线 l 1:2x-y=10 与直线 l 2:x+ay-2a-1=0,若 l 1⊥ l 2,则垂足的坐标为 (5,0). 8.已知不等式 ax2-5x+b>0 的解集为{x|-3<x<2},则不等式 bx2-5x+a>0 的解集 1 1 为{x|x> 或 x< ? } . 2 3 5 9.经过点 M(-2,3)且到原点距离为 2 的直线方程为 x=2 或 y= ? x. 12 10.在△ABC 中,A=75°,B=45°,c=3 2 ,则 a= 3 ? 3 . 11.已知数列{an}的通项公式为 an=23-4n,Sn 是其前 n 项之和,则使数列{ 前 n 项和最大的正整数 n 的值为 PA+PB 的最小值为 4 . 10 .
Sn }的 n

12. 设点 A(1,0)在 x 轴上,点 B(0,3)在 y 轴上,P 是直线 x+y=4 上的动点,则 13.在△ABC 中,a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边,若 a,b,c 成等差数列, ? 则∠B 的范围是 (0, ] . 3 n 14.已知 an=2 ,把数列{an}的各项排成如右侧三角形状,记 A(i,j)表示第 i 行中 第 j 个数,则结论 ①A(2,3)=16; ②A(i,3)=2A(i,2)( i≥2); ③[A(i, i)] =A(i,1)·A(i,2i-1)( i≥1); ④A(i+1,1)=A(i,1)· 22i?1 ( i≥1). a10
2

a1 a2 a5 a11 a6 a12 a3 a7 a13 …… a4 a8 a14 a9 a15 a16

其中正确的是

①②③④ (写出所有正确结论的序号).

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤. 15. (1)解不等式:

9 ?2 x?4
2 2

(见课本 71 页)

(2)已知不等式 x ? 2 x ? k ? 1 ? 0 对一切实数 x 恒成立,求实数 k 的取值范围. 15. (1) (??, ?4] ? [ , ??) ; (2) k ?

1 2

…………………………………………………2 分

2 或k ? ? 2

………………………………………2 分

16.在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边长.已知 a=2, cos B ?

3 . 5

(1)若 b ? 4 ,求 sin A 的值; (2)若 ?ABC 的面积 S?ABC ? 4 ,求 b , c 的值.

3 4 2 >0,且 0<B<π,∴sinB= 1 ? cos B ? . …………2 分 5 5 4 2? a b asinB 5 ? 2 . ………………6 分 ? 由正弦定理得 , sinA ? ? sinA sinB b 4 5 1 (2) ∵S△ABC= acsinB=4, ……………………………………………………8 分 2 1 4 ∴ ? 2 ? c ? ? 4 , ∴c=5. …………………………………………………10 分 2 5
16. 解:(1) ∵cosB= 由余弦定理得 b2=a2+c -2accosB, ∴ b ? a + c ? 2accosB ?
2 2
2

22 + 52 ? 2 ? 2 ? 5 ?

3 ? 17 .………………14 分 5

17.已知 A(0,3) 、B(-1,0) 、C(3,0) ,求 D 点的坐标,使四边形 ABCD 为直角梯形(A、 B、C、D 按逆时针方向排列). 解 设所求点 D 的坐标为(x,y) ,如图所示,由于 kAB=3,kBC=0, ∴kAB·kBC=0≠-1, 即 AB 与 BC 不垂直,故 AB、BC 都不可作为直角梯形的直角边. …………2 分 ①若 CD 是直角梯形的直角边,则 BC⊥CD,AD⊥CD, ∵kBC=0,∴CD 的斜率不存在,从而有 x=3. 又 kAD=kBC,∴ 故 3). 所 求
y ?3 =0,即 y=3. x

此时 AB 与 CD 不平行. 坐 标 为 ( 3 , ………………7 分



D



②若 AD 是直角梯形的直角边, 则 AD⊥AB,AD⊥CD, kAD=
y ?3 y ,kCD= . x x?3 y ?3 ·3=-1. x

由于 AD⊥AB,∴ 又 AB∥CD,∴

y =3. x?3

18 ? ?x ? 5 , ? 解上述两式可得 ? ?y ? 9 , ? 5 ?

此时 AD 与 BC 不平行. 故所求点 D 的坐标为 ? ?
18 9 ? , ?, ? 5 5?

…………………………………………12 分
18 9 ? , ? .………14 分 ? 5 5?

综上可知,使 ABCD 为直角梯形的点 D 的坐标可以为(3,3)或 ? ?

18. (本小题满分 16 分) 已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数 列{bn}的第二、三、四项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; ?an (n为奇数) (2)令数列{cn}满足:cn=? ,求数列{cn}的前 101 项之和 T101; ?bn (n为偶数) c1 c2 cn (3)设数列{cn}对任意 n∈N*,均有b +b +…+b =an+1 成立,求 c1+c2+…+c2012 的值. 1 2 n 18.解: (1)由题意得:(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2 (d>0), 解得 d=2,∴an=2n-1. …………………………………………2 分 ∴b2=a2=3, b3=a5=9∴bn=3n?1 …………………………………………4 分 (2)∵a101=201,b2=3 51(a1+a101) 3(950-1) ∴T101=(a1+a3+…+a101)+(b2+b4+…+b100)= + 2 2 50 3(9 -1) =5151+ …………………………………………10 分 2 cn-1 cn c1 c2 cn c1 c2 (3)当 n≥2 时,由b =b +b +…+b -(b +b +…+ )=an+1-an=2 bn-1 n 1 2 n 1 2 得 cn=2bn=2· n?1, 3 ?3 (n=1) 当 n=1 时,c1=3.故 cn=? …………………………………………13 分 n?1 (n≥2) ?2×3 2 故 c1+c2+…+c2012=3+2×3+2×3 +…+2×32011=32012. ………………16 分 19、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的 车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆 /千米)的函数,当桥上的车流密 度达到 200 辆 /千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆 /千米时, 0 x 20 车流速度为 60 千米/小时,研究表明:当 2 ? ? 0 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一 次函数。

(1)当 0 x 2 0 ? ? 0 时,求函数v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆 /小时) f( )?x vx 可以达到最大,并求出最大值。 (精确到 1 辆/小时) 。 x ? ()

19、解: (1)由题意: 当 0≤x≤20 时,v(x)=60;………………………………………………2 分 当 20≤x≤200 时,v(x)= a x + b;

1 ? ?a ? ? 3 ?200a ? b ? 0 ? 再由已知得: ? ,解得 ? ,……………………………………6 分 ?20a ? 6 ? 60 ?b ? 200 ? 3 ?
故 函 数 v(x) 的 解 析 式 为

0 ? x ? 20 ?60, ? v(x)= ? 1 ; ? 3 (200 ? x), 20 ? x ? 200 ?
( 2 ) 依 题 意 并

………………………………………8 分





1









0 ? x ? 20 ?60x, ? f(x)= ? 1 , ? 3 x(200 ? x), 20 ? x ? 200 ?

…………………………………………10 分

当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1200;

1 1 x ? (200 ? x) 2 10000 x ( 200 ? x ) ? [ ] ? ,……………12 分 3 3 2 3 10000 ? 1200 ,……………14 分 当且仅当 x ? 200 ? x ,即 x=100 时,等号成立。因为 3 10000 所以,当 x=100 时,f(x)在区间[0, 200]上的最大值为 ≈3333, 3
当 20≤x≤200 时,f(x)= 答:当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆 /小 时。 ……………16 分 20. (本题满分 16 分) 如图 1, y 轴的正半轴上依次有点 A1,A2,…,An,…, 1,A2 的坐标分别为(0,1),(0,10), 在 A 且|An-1An |= 3|An An+1 |(n=2,3,4,…). 在射线 y=x(x≥0)上依次有点 B1,B2,…,Bn,…, 点 B1 的坐标为(3,3),且|OBn |=|OBn-1 |+2 2 (n=2,3,4,…). (1)用含 n 的式子表示|An An+1 |; (2)用含 n 的式子分别表示点 An、Bn 的坐标; (3)求四边形 An An+1Bn+1Bn 面积的最大值.
B2 B1 B3 y A3

A2

A1

x

解: (1)∵

An?1An

1 ? , A1 A2 ? 10 ? 1 ? 9 , An?1An 3
n?1

?1? ∴ |An An+1 |= 9 ? ? ? ? 3?

……………………………………4 分

(2)由(1)得 OA ? 1 ? 9 ? 3 ?? ??9 ? ? 1 ? ? n ? ? ? 3? ∴点 An 的坐标 ? 0,

n?2

? ? 1 ?n ?1 ? 9 ?1 ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 29 1 1 n ?4 ? ? ?? ? 1? ? ? ? ? ? 1 2 2 ? 3? 1? 3

? ? ?

29 1 ? 1 ? ? ? ? ? 2 2 ?3?

n? 4

? ? , ……………………………………6 分 ? ?

∵ OBn ? OBn?1 ? 2 2 , OB1 ? 3 2 ∵{|OBn|}是以 3 2 为首项, 2 2 为公差的等差数列 ∴ OBn ? 3 2 ? 2 2(n ? 1) ? ? 2n ? 1? 2 ∴Bn 的坐标为(2n+1,2n+1) ……………………………………10 分 (3)连接 An+1Bn+1,设四边形 AnAn+1Bn+1Bn 的面积为 Sn,

? Sn ? S ?OAn?1Bn?1 ? S ?OAn Bn
n ?3 n?4 1 ? 29 1 ? 1 ? ? 1 ? 29 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ?? 2n ? 3? ? ? ? ? ? ?? 2n ? 1? ? ? ? ? 2? 2 2 ?3? ? 2? 2 2 ?3? ? ? ? ? ? 29 n = ? n ?3 2 3

……………………………………13 分 ∴ S n ?1 ? S n ?

3 ? 6n ? 0 ,即 Sn+1<Sn, 3n ?1
29 47 ?9 ? . 2 2
………………………16 分

∴ {Sn} 单调递减数列 ∴ Sn 的最大值为 S1 ?


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