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江西省上高县第二中学2016届高三数学考前热身试题 文


上高二中 2016 届高三年级热身考试数学试卷文科
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的 A、 B、C、D 的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的,请将正确答案的 字母代号涂到答题卷相应位置. 1、 若集合 M ? x | y ? ln( 则 M ? N ?( 1 ? x 2 ) ,N ? y | y ? 2 x , A.

? B. M C. N D.

?

?

?

?

?x | 0 ? x ? 1?
5 2


) . ) .

2、 已知 i 是虚数单位, 若 (a ? 2i) ? i ? b ? i , ( a , b ? R) , 则 a 2 ? b 2 ?( A. 0 B. 2 C.5 D.

3、命题 ?m ? [0,1] ,则 x ? A. ?m ? [0,1] ,则 x ?

1 ? 2m 的否定形式是( x
B.

1 ? 2m x

?m ? [0,1]





x?

1 ? 2m x 1 ? 2m x
D.

C. ?m ? (??, 0) ? (1, ??) ,则 x ?

?m ? [0,1]





x?

4、抛物线 y 2 ? mx 的焦点为 ? ?1,0? ,则 m ? (

1 ? 2m x

) )

A. ?4 B. 4 C. ?2 D. 2 5、在等差数列{an}中,a7=8,前 7 项和 S7=42,则其公差是( A.﹣ B.﹣ C. D.

? ? x,x ? 0 ,若 f (a) ? f (?1) ? 4 ,则 a ? ( ) . ? ? x , x ? 0 ? A. ? 1 B. 9 C. -9 D. ? 9 ? x ? 2 y ? 3 ? 0, ? 7、设实数 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0, 则 z ? ?2 x ? 3 y 的取值范围 ? x ? ?3, ?
6、 设函数 f ( x) ? ? 是( A. ??6,17? ) B. ??5,15? C. ??6,15? D. ??5,17?

8、 已知两个非零向量 a,b 满足 a·(a-b)=0,且 2|a|=|b|,则向量 a,b 的夹 角为( )[Z-XK] A. 30
?

B. 60

?

C. 120

?

D. 150

?

1

9、 执行如图所示的程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果 为( ) .

A. 7

B. 9

C. 10

D. 11

? 10、将函数 f ( x) ? cos( ?x ? ? )(? ? 0,

?
2

?? ?

?
2

) 图像上每一点的横坐

标伸长为原来的 2 倍 (纵坐标不变) , 再向右平移 的图像,则函数 f ( x) 的单调递增区间为( A. ?k? ? , k? ? ? ?k ? Z ? 3 3? ? B. ?k? ? , k? ? ? ?k ? Z ? 12 12? ?

? 个单位长度得到 y ? cos x 6
2 2

) .
2

?

2?

??

2 1
正(主)视图 侧(左)视图

?

7?

??

7? ?? ? C. ?4k? ? , k? ? ? ?k ? Z ? 3 3? ? ? 5? ? ? ?k ? Z ? D. ?4k? ? , k? ? 3 3? ? ?
8 B. 3

2 2

2
俯视图

2

第 11 题图 ) .

11、一个空间几何体的三视图如右图所示,则几何体的体积为(

10 A. 2 C. 3 D. 3 3 1 2 12.已知变量 a, b 满足 b ? 2a ? ,若点 (m,n) 在函数 y ? ? x ? 3 ln x 2 2
上,则 . (a ? m)2 ? (b ? n)2 的最小值为( ) A.

16 5

B.

4 5 5

C. 16

D. 4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填在答题卷 相应横线上. 13.一个总体中有 60 个个体,随机编号 0,1,2,?,59,依编号顺序平均 分成 6 个小组,组号依次为 1,2,3,?,6.现用系统抽样方法抽取一个容 量为 6 的样本,若在第 1 组随机抽取的号码为 3,则在第 5 组中抽取的号码

2



14. 已知数列 ?an ? 为等比数列,若 a2014 和 a2015 是方程 4 x 2 ? 8 x ? 3 ? 0 的两 根,则



a2016 ? a2017 的值是_____________.
15、球面上过 A 、 B 、 C 三点的截面和球心的距离等于半径的一半,且

AB ? BC ,

AB ? 1, BC ? 2 ,则球的表面积为
16. 已知两定点 A(?2,0) 和 B(2,0) ,动点 P( x, y ) 在直线 l : y ? x ? 3 上移 动,椭圆 C 以 A , B 为焦点且经过点 P ,则椭圆 C 的离心率的最大值为 _____________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答须写出说明、证明过程和演算 步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
6

) ? cos 2 x . , ] 时 f ( x) 的值域; 12 3

(I)求 f ( x ) 的最小正周期及 x ? [

? 2?

(Ⅱ)在△ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边为 a, b, c, 且角 C 为锐角,S?ABC ? 3 , c=2, f (C ?

?
4

)?

3 1 ? ,求 a,b 的值. 4 2

18. (本小题满分 12 分)某工人生产合格零售的产量逐月增长,前 5 个月的 产量如表所示: 月份 x 1 2 3 4 5 合格零件 y(件) 50 60 70 80 100 (1)若从这 5 组数据中抽出两组,求抽出的 2 组数据恰好是相邻的两个月数 据的概率; ? ? bx ? ? a ;并根 (2)请根据所给 5 组数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 y 据线性回归 方程预测该工人第 6 个月生产的合格零件的件数.[Z-XK] 附:对于一组数据 ( x1 , y1 ) ,( x2 , y2 ) ,??,( xn , yn ) 其回归线 y ? bx ? a 的

3

斜率和截距的最小二乘估计分别为: b =

? x y ? nx ? y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

, a =y ? bx .

2

i

? nx

2

19、(本小题满分 12 分) 如 图 , 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 , 侧 面

AAC 1 1C

? 侧 面

ABB1 A1 , AC ? AA1 ? 2 AB , H 为棱 CC1 的中点, D 为 BB1 的中点. ?AAC 1 1 ? 60? , AB ? AA 1, (Ⅰ) 求证: A1D ? 平面 AB1H ;
(Ⅱ) 若 AB ? 2 , 求 三 棱 柱 ABC? A 1 B 1 C 1的 体 积.

20. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 2 2 2 2 给定椭圆C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0),称圆C1:x +y =a +b 为椭圆C的“伴 a b
3 随圆”.已知椭圆C的离心率为2,且经过点(0,1). (Ⅰ)求实数a,b的值; (Ⅱ)若过点P(0,m)(m>0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点,且l被椭 圆C的伴随圆C1 所截得的弦长为 2,求实数m的值.

21、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? 2) ln x ? 1

( 1,2) (I) 判断 f ( x) 的导函数 f ' ( x ) 在 上零点的个数; (II) 求证 f ( x) ? 0 : .
请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题 记分.答题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22、(本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲:如图,⊙ O 的直径 AB 的 延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P , E 为⊙ O 上一点, AE ? AC , DE 交 AB 于点 F ,且 AB ? 2 BP ? 4 .

4

(1)求 PF 的长度; (2)若圆 F 与圆 O 内切,直线 PT 与圆 F 切于点 T ,求线段 PT 的长度.

23. (本小题满分 10 分) 选修 4-4 坐标系与参数方程: 已知在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程是 ? 极点, x 轴正半轴为 极轴建立极坐标系,曲线 C 极坐标方程为 ? ? a sin(? ? 为 ( 4,

? x ? ?3t , ? y ? m ? 3t ,

( t 是参数, m 是常数) ,以原点 O 为

?
3

) ,点 M 的极坐标

), 6 且点 M 在曲线 C 上. (1)求 a 的值及曲线 C 直角坐标方程; (2)若点 M 关于直线 l 的对称点 N 在曲线 C 上,求 MN 的长.

?

24.(本小题满分 12 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 3 (I)求不等式 f ( x) ? 2 ? x ? 1 的解集; (II)已知 m, n ? R 且
*

1 1 ? ? 2mn ,求证: m f (n) ? nf (-m) ? 6 . m n

2016 届高三年级数学热身卷答题卡(文科) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)[Z-xk.Com] 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 号 答 案 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13、 14、 15、

11

12

16、

三、解答题(共 6 个小题,共 70 分) 17、 (12 分)

5

[Z-XK]

18、 (12 分)

19、 (12 分)

6

20、 (12 分)

[Z-xk.Com]

21、 (12 分)

7

[Z-xk.Com]

8

选做题 22□ 23□ 24□(10 分)

22 题图

上高二中 2016 届高三年级热身考试数学试卷文科答案

9

1-12 DCDAD 13、 43

DCBBB

DA 15、 4? 16、

14、18 或

2 9

2 26 13

10

18、解: (1)由题意知本题是一个古典概型,设抽到相邻两个月的数据为事 件 A 试验发生 2 包含的事件是从 5 组数据中选取 2 组数据共有 C5 =10 种情况,每种情况都是 等可能出现的其中,满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有 4 种 ∴P(A)= = ; (4 分)

(2)由数据求得 =3, =72,

xiyi=1200,

=55,

故 ∴

= = ﹣ =36,

=

=12,

∴y 关于 x 的线性回归方程为 =12x+36, (10 分) 当 x=6, =108(件) , 即预测该工人第 6 个月生产的合格零件的件数为 108 件. (12 分) 19、解:(Ⅰ)连结 AC1 ,因为 ?ACC1 为正三角形, H 为棱 CC1 的中点,

? 面 ABB1 A1 , 所以 AH ? CC1 ,从而 AH ? AA1 ,又面 AAC 1 1C

AH ? 面 AAC 面 AAC 1 1C ? 面 ABB 1A 1 ? AA 1, 1 1C ,
所 以 AH ? 面 ABB1 A 1 , 又 A 1 D ? 面 ABB 1A 1 , 所 以

AH ? A1D ?①,??2 分


AB ? 2a

,



AC ? AA1 ? 2 AB

,





, DB1 ? a A ? C 1? A2 A a, DB1 AB 1 ? ? 1 1 , 又 ?DB1 A1 ? ?B1 A1 A ? 90? , 所 以 B1 A1 2 AA1 , 1A ?A1 D B A 1B 1? ? 所以 ?B1 AA 1 ? ?B 1A 1D ,又 ?B 1A 1D ? ?AA 1D ? 90? , 所以 ?B1 AA 1 ? ?AA 1 D ? 90? ,

11

设 AB1 ? A 1D ? O ,则 A 1 D ? AB 1 ?②,???????5 分 由①②及 AB1 ? AH ? A ,可得 A1D ? 平面 AB1H .???????6 分 (Ⅱ)方法一 : 取 AA1 中点 M , 连结 C1M , 则 C1M // AH , 所以 C1M ? 面

ABB1 A1 .????7 分
1 1 6 ,???????10 分 S?AB1 A1 ? C1M ? ? 2 ? 3 ? 3 3 3 所以三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积为 3VC ? AB A ? 6 .???????12 分 1 1 1
所以 VC1 ? AB1 A1 ? 方 法 二 : 取 AC 1 1 中 点 G , 连 结 AG , 因 为 ?AA 1C1 为 正 三 角 形 , 所 以

AG ? AC 1 1, ? 面 ABB1 A1 , 面 AAC 因 为 面 AAC 1 B1 ? 1 1C 1 1C ? 面 ABB 1A 1 ? AA 1 , A 面[Z-xk.Com] ABB1 A 1, A1B1 ? AA1 , 所 以 A1B1 ? 面 AAC 1 1C , 又 AG ? 面 AAC 1 1C , 所 以 A1B1 ? AG , 又 AC , 所 以 AG 为 三 棱 柱 1 1?A 1B 1 ? A 1 , 所 以 AG ? 平 面 A 1 B 1 C1 ABC ? A1B1C1 的高,?9 分
经 计 算

1 1 AG ? 3 , S?A1B1C1 ? A1 B1 ? A1C1 ? ? 2 ? 2 ? 2 ,??????11 分 2 2 所 以 三 棱 柱 的 体 积 ABC ? A1B1C1

V ? S?A1B1C1 ? AG ? 2 ? 3 ? 6 .??????12 分
20、解: (Ⅰ)记椭圆 C 的半焦距为 c.由题意得,





??????? 4 分 x2 2 2 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,椭圆 C 的方程为 4 +y =1,圆 C1 的方程为 x +y =5. 显然直线 l 的斜率存在.设直线 l 的方程为 ??? 6 分

y=k,即

因直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,故方程组 有一组解. 由(*)得 .

(*)有且只

12

从 而 . 化 简 , 得 ① ???? 8 分 2 2 因为直线 l 被圆 x +y =5 所截得的弦长为 2,

所以圆心到直线 l 的距离 ② ???? 10 分 由 ①② , 解 得 . ????? 12 分

. 因 为

即 , 所 以

21.解: (Ⅰ)函数 f ( x ) 定义域为 (0 , +?)f '( x) ? ln x ? 分 ?) ? 因 为 f'(1

x?2 ,????1 x

? 1 ,0 f '(2) ? ln 2 ? 0 , 所 以 存 在 x0 ? (1, 2 ) 使 得

f'x (0 ? )

0??4 分

令 g ( x) ? ln x ? 则

x?2 ( x ? 0) x 1 2 g'( x) ? ? 2 ? 0 , 所 以 x x

g ( x)



(0 , ? ?) 上 单 调 递

增, ??????5 分 f '( x ) 在 区 间 (1, 2 ) 有 且 仅 有 一 个 零 故 点. ???????????????6 分 (Ⅱ)由(1)可知当 0 ? x ? x0 时, g ( x) ? 0 即 f '( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 单调 递减; 当 x ? x0 时, g ( x) ? 0 即 f '( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 单调递增; 所 以 f ( x)? f (0x ) ??8 分 由 f '( x0 ) ? 0 得 ln x0 ?

2 ?1 , x0


x0 ? (1, 2 )


f ( x) ? f ( x0 ) ? ( x ? 2) ln x ? 1 ? ( x ? 2)(
??10 分

2 4 ? 1) ? 1 ? 5 ? ( x ? ) x0 x0

?

0

4 4 ( x ? 2)( x ? 2) (1 ? x ? 2) ,则 h '( x) ? 1 ? 2 ? ?0 x x x2 所 以 h( x) 在 区 间 (1, 2) 内 单 调 递 减 , 所 以 h( x0 ) ? h(1) ? 5 ??????????11 分
令 h( x ) ? x ? 所以 f ( x) ? 5 ? h( x0 ) ? 5 ? 5 ? 0 . ??????? 22、解: (1)连接 OC,OD,OE,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系

13

结合题中条件弧长 AE 等于弧长 AC 可得∠CDE=∠AOC, 又∠CDE=∠P+∠PFD,∠AOC=∠P+∠OCP, 从而∠PFD=∠OCP,故△PFD∽△PCO,∴ 由割线定理知 PC? PD=PA? PB=12,故 分) ; (5

(2)若圆 F 与圆 O 内切,设圆 F 的半径为 r,因为 OF=2﹣r=1 即 r=1 所以 OB 是圆 F 的直径,且过 P 点圆 F 的切线为 PT 则 PT =PB? PO=2×4=8, 即
2

.

(10 分)

23 、解: ( 1 )将点 M 的极坐标 ( 4,

?
6

4 ? a sin(


?

? ), 6 3
, 由

?

) 代入方程 ? ? a sin(? ? ) ,得, 3

?

a?4

? ? ? 4 s i? ? n ) (
3



? ? 2 sin ? ? 2 3 cos?



∴ ? 2 ? 2? sin ? ? 2 3? cos? 将?

? x ? ? cos? 代入化简得 x2 ? y 2 ? 2 3x ? 2 y ? 0 , ? y ? ? sin ?

∴曲线 C 直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 3x ? 2 y ? 0 ; (5 分) (2) 由 x2 ? y 2 ? 2 3x ? 2 y ? 0 配方得 x ? 3 圆,且圆心坐标为

? 3,1?,由点 M 关于直线 l 的对称点 N 在圆 C 上得,直线

?

? ? ? y ? 1?
2

2

?4, ∴曲线 C 是

l 经过圆 C 的圆心, ? ? 3 ? ?3t , ∴? ,∴ m ? 2 , ? 1 ? m ? 3 t ? ? x ? ?3t , 这是直线 l 的参数方程是 ? ,消去参数 t 得 x ? 3 y ? 2 3 ? 0 , y ? 2 ? 3 t ? ∴ 点 M 的 直 角 坐 标 为 2 3,2 , ∴ 点 M 到 直 线 l 的 距 离 为 3 ,

?

?

∴ MN ? 2 3 . 24.解:(Ⅰ)依题意得 x ? 3 ? x ? 1 ? 2 , ·················· 1 分 当 x ? 3 时, x ? 3 ? ( x ? 1) ? 2 ,? ? 4 ? 2 ,满足题意, ··········· 2 分 当 ? 1 ? x ? 3 时, 3 ? x ? ( x ? 1) ? 2 ,即 x ? 0 ? 0 ? x ? 3 , ········· 3 分 当 x ? ?1 时, 3 ? x ? ( x ? 1) ? 2 ,? 4 ? 2 ,无解, ·············· 4 分[Z-xk.Com]

14

综上所述,不等式的解集为 x x ? 0? . ···················· 5 分 (Ⅱ)因为 m, n ? ? 0, ??? ,所以 则 2mn ?

?

1 1 1 1 2 , ········· 6 分 ? ?2 ? ? m n m n mn

2 ,即 mn ? 1 , ························ 7 分 mn 所以 mf ? n? ? nf ? ?m? ? m n ? 3 ? n ?m ? 3 ? mn ? 3n ? mn ? 3m

? (mn ? 3n) ? (mn ? 3m) ························· 9 分
? 3 m ? n ? 6 mn ? 6 . ························· 10 分

15


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