当前位置:首页 >> 数学 >>

【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.5 与圆有关的比例线段教案 新人教A版选修4-1




与圆有关的比例线段

1.会论证相交弦、割线、切割线、切线长定 课标解读 理.

2.能运用相交弦、割线、切割线、切线长定 理进行计算与证明.

1.相交弦定理 (1)文字语言 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等. (2)图形语言 如图 2-5-1,弦 AB 与 CD 相交于 P 点,则 PA·PB=PC·PD.

图 2-5-1 2.割线定理 (1)文字语言 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等. (2)图形语言

图 2-5-2 如图 2-5-2,⊙O 的割线 PAB 与 PCD,则有:PA·PB=PC·PD. 3.切割线定理
1

(1)文字语言 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中 项. (2)图形语言 如图 2-5-3,⊙O 的切线 PA,切点为 A,割线 PBC,则有 PA =PB·PC.
2

图 2-5-3 4.切线长定理 (1)文字叙述 从圆外一点引圆的两条切线, 它们的切线长相等, 圆心和这一点的连线平分两条切线的 夹角. (2)图形表示 如图 2-5-4,⊙O 的切线 PA、PB,则 PA=PB,∠OPA=∠OPB.

图 2-5-4

1.能否用三角形相似证明相交弦定理?

【提示】 能.如图,⊙O 的弦 AB、CD 相交于 P 点,连接 AD、BC,则△APD∽△CPB. 故有 =

PA PD ,即 PA·PB=PC·PD. PC PB
2.垂径定理、切线长定理、射影定理、相交弦定理、切割线定理之间有何关系?

2

【提示】 如图,PA,PB 为⊙O 的两条切线,A,B 为切点,PCD 为过圆心 O 的割线,连 接 AB,交 PD 于点 E,则有下列结论:

(1)PA =PB =PC·PD=PE·PO; (2)AE =BE =DE·CE=OE·PE; (3)若 AC 平分∠BAP,则 C 为△PAB 的内心; (4)OA =OC =OE·OP=OD ; (5) AC = BC , AD = DB ,PD⊥AB; (6)∠AOP=∠BOP,∠APD=∠BPD. 3.应用切割线定理应注意什么? 【提示】 应用切割线定理应记清关系式,防止做题时出错. (1)如图所示,把 PC =PA·PB 错写成 PC =PO·PB;
2 2 2 2 2 2 2

2

2

(2)如图所示,把关系式 PT =PB·PA 错写成 PT =PB·BA,把关系式 PB·PA=PD·PC 错写成 PB·BA=PD·DC.

2

2

相交弦定理

图 2-5-5

3

如图 2-5-5,AC 为⊙O 的直径,弦 BD⊥AC 于点 P,PC=2,PA=8,则 tan∠

ACD 的值为________.
【思路探究】 由垂径定理知,点 P 是 BD 的中点,先用相交弦定理求 PD,再用射影定 理或勾股定理求 AD、CD,最后求 tan∠ACD. 【自主解答】 ∵BD⊥AC,∴BP=PD, ∴PD =PA·PC=2×8=16, ∴PD=4. 连接 AD,则∠ADC=90°, ∴tan∠ACD= . 又 AD= PA +PD = 8 +4 =4 5,
2 2 2 2 2

AD CD

CD= PC2+PD2= 22+42=2 5,
4 5 ∴tan∠ACD= =2. 2 5 【答案】 2

1.解答本题的关键是先用相交弦定理求 PD,再用勾股定理或射影定理求 AD、CD. 2.相交弦定理的运用往往与相似形联系密切,也经常与垂径定理、射影定理等相结合 进行某些计算与证明.

(2013·湖南高考)如图 2-5-6,在半径为 7的⊙O 中,弦 AB,CD 相交于点 P,PA=PB =2,PD=1,则圆心 O 到弦 CD 的距离为________.

图 2-5-6

【解析】 由相交弦定理得 PA·PB=PC·PD. 又 PA=PB=2,PD=1,则 PC=4, ∴CD=PC+PD=5. 过 O 作 CD 的垂线 OE 交 CD 于 E,则 E 为 CD 中点,

4

∴OE= 【答案】

CD r2-? ?2=
2 3 2

25 3 7- = . 4 2

切割线定理

图 2-5-7 已知如图 2-5-7 所示,AD 为⊙O 的直径,AB 为⊙O 的切线,割线 BMN 交 AD 的延长线于 C,且 BM=MN=NC,若 AB=2.求: (1)BC 的长; (2)⊙O 的半径 r. 【思路探究】 由 AB =BM·BN 求得 BC→由 CD·AC=CN·CM 求得 CD→结果 【自主解答】 (1)不妨设 BM=MN=NC=x. 根据切割线定理,得 AB =BM·BN, 即 2 =x(x+x). 解得 x= 2,∴BC=3x=3 2. (2)在 Rt△ABC 中,
2 2 2

AC= BC2-AB2= 14,
由割线定理,得

CD·AC=CN·CM,由(1)可知, CN= 2,BC=3 2, CM=BC-BM=3 2- 2=2 2, AC= 14,
∴CD=

CN·CM 2 14 = , AC 7

1 ∴r= (AC-CD) 2

5

1 2 14 5 14 = ( 14- )= . 2 7 14

1.解答本题的关键是先根据切割线定理求 BC. 2.切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、平行线分线段成比例定理、相似三角 形结合在一起解决数学问题,有时切割线定理利用方程进行计算、求值等.

图 2-5-8 (2013 天津高考)如图 2-5-8, 在圆内接梯形 ABCD 中, AB∥DC.过点 A 作圆的切线与

CB 的延长线交于点 E.若 AB=AD=5,BE=4,则弦 BD 的长为________.
【解析】 因为 AB∥DC,所以四边形 ABCD 是等腰梯形,所以 BC=AD=AB=5.又 AE 是 切线,所以 AE∥BD,AE =BE·EC=4(4+5)=36,所以 AE=6.因为∠CDB=∠BAE,∠BCD=
2

AE BE 5×6 15 ∠ABE,所以△ABE∽△DCB,所以 = ,于是 BD= = . DB BC 4 2
【答案】 15 2 切线长定理 如图 2-5-9,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,过点 C 的切线与过 A、B 两 点的切线分别交于点 E、F,AF 与 BE 交于点 P.

图 2-5-9

求证:∠EPC=∠EBF. 【思路探究】 由切线→EA=EC,

EC EP FC=FB→ = →CP∥FB→结论 FC PB
6

【自主解答】 ∵EA,EF,FB 是⊙O 的切线, ∴EA=EC,FC=FB, ∵EA,FB 切⊙O 于 A,B,AB 是直径, ∴EA⊥AB,FB⊥AB, ∴EA∥FB, ∴ ∴

EA EP = , BF BP EC EP = , FC PB

∴CP∥FB, ∴∠EPC=∠EBF.

1.解答本题的关键是利用对应线段成比例得到 CP∥FB. 2.运用切线长定理时,注意分析其中的等量关系,即(1)切线长相等,(2)圆外点与圆 心的连线平分两条切线的夹角,然后结合三角形等图形的有关性质进行计算与证明.

图 2-5-10 如图 2-5-10 所示,已知⊙O 的外切等腰梯形 ABCD,AD∥BC,AB=DC,梯形中位线 为 EF. (1)求证:EF=AB; (2)若 EF=5,AD∶BC=1∶4,求此梯形 ABCD 的面积. 【解】 (1)证明:∵⊙O 为等腰梯形 ABCD 的内切圆, ∴AD+BC=AB+CD. ∵EF 为梯形的中位线,∴AD+BC=2EF. 又∵AB=DC,∴2EF=2AB,∴EF=AB. (2)∵EF=5,∴AB=5,AD+BC=10. ∵AD∶BC=1∶4,∴AD=2,BC=8. 作 AH⊥BC 于 H, 1 1 则 BH= (BC-AD)= (8-2)=3. 2 2 在 Rt△ABH 中,
7

AH= AB2-BH2= 52-32=4.
∴S 梯 ABCD=EF·AH=5×4=20.

(教材第 40 页习题 2.5 第 3 题)如图 2-5-11, 点 P 为⊙O 的弦 AB 上的任意点, 连接 PO,PC⊥OP,PC 交圆于 C,求证:PA·PB=PC .
2

图 2-5-11

(2012·湖南高考)

图 2-5-12 如图 2-5-12 所示,过点 P 的直线与⊙O 相交于 A,B 两点.若 PA=1,AB=2,PO=3, 则⊙O 的半径等于________. 【命题意图】 本小题考查圆的割线定理的应用及计算能力. 【解析】 设⊙O 的半径为 r(r>0),∵PA=1,AB=2, ∴PB=PA+AB=3. 延长 PO 交⊙O 于点 C,则 PC=PO+r=3+r. 设 PO 交⊙O 于点 D,则 PD=3-r. 由圆的割线定理知,PA·PB=PD·PC, ∴1×3=(3-r)(3+r),∴9-r =3,∴r= 6.
2









6

8

1.如图 2-5-13,⊙O 的两条弦 AB 与 CD 相交于点 E,EC=1,DE=4,AE=2,则 BE =( )

图 2-5-13

A.1 C.3 D.4

B.2

【解析】 由相交弦定理得 AE·EB=DE·EC,即 2EB=4×1,∴BE=2. 【答案】 B 2.如图 2-5-14,P 是⊙O 外一点,PA 与⊙O 相切于点 A,过点 P 的直线 l 交⊙O 于 B,

C,且 PB=4,PC=9,则 PA 等于(

)

图 2-5-14

A.4 B.6 C.9 D.36 【解析】 由切割线定理知,PA =PB·PC=4×9=36, ∴PA=6. 【答案】 B 3.如图 2-5-15,PA、PB 分别为⊙O 的切线,切点分别为 A,B,∠P=80°,则∠C =________.
2

图 2-5-15

【解析】 ∵PA、PB 分别为⊙O 的切线,

9

∴PA=PB. 又∠P=80°,∴∠PAB=∠PBA=50°. ∴∠ACB=∠PAB=50°. 【答案】 50° 4.(2013·重庆高考)如图 2-5-16,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=60°,AB=20, 过 C 作△ABC 的外接圆的切线 CD,BD⊥CD,BD 与外接圆交于点 E,则 DE 的长为______.

图 2-5-16 【解析】 在 Rt△ACB 中,∠ACB=90°,∠A=60°, ∴∠ABC=30°. ∵AB=20,∴AC=10,BC=10 3. ∵CD 为切线,∴∠BCD=∠A=60°. ∵∠BDC=90°,∴BD=15,CD=5 3. 由切割线定理得

DC2=DE·DB,即(5 3)2=15DE,∴DE=5.
【答案】 5

一、选择题 1.PT 切⊙O 于 T,割线 PAB 经过点 O 交⊙O 于 A、B,若 PT=4,PA=2,则 cos∠BPT= ( ) A. C. 4 5 3 3 D. 8 4 1 B. 2

【解析】 如图所示,连接 OT,根据切割线定理,可得

PT2=PA·PB,
10

即 4 =2×PB, ∴PB=8,∴AB=PB-PA=6, ∴OT=r=3,PO=PA+r=5,

2

PT 4 ∴cos∠BPT= = . PO 5
【答案】 A

图 2-5-17 2.如图 2-5-17,⊙O 的直径 CD 与弦 AB 交于 P 点,若 AP=4,BP=6,CP=3,则⊙O 半径为( A.5.5 C.6 D.6.5 【解析】 由相交弦定理知 AP·PB=CP·PD, ∵AP=4,BP=6,CP=3, ∴PD= ) B.5

AP·BP 4×6 = =8, CP 3

∴CD=3+8=11, ∴⊙O 的半径为 5.5. 【答案】 A

图 2-5-18 3.如图 2-5-18,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=4,BC=3.以 BC 上一点 O 为圆心 作⊙O 与 AC、AB 都相切,又⊙O 与 BC 的另一个交点为 D,则线段 BD 的长为( A.1 1 B. 2 1 C. 3 D. 1 4 )

【解析】 观察图形,AC 与⊙O 切于点 C,AB 与⊙O 切于点 E,

则 AB= AC +BC =5.
11

2

2

如图,连接 OE,由切线长定理得 AE=AC=4, 故 BE=AB-AE=5-4=1. 根据切割线定理得 BD·BC=BE , 1 即 3BD=1,故 BD= . 3 【答案】 C 4.
2

图 2-5-19 (2011·北京高考)如图 2-5-19,AD,AE,BC 分别与圆 O 切于点 D,E,F,延长 AF 与 圆 O 交于另一点 G.给出下列三个结论: ①AD+AE=AB+BC+CA;②AF·AG=AD·AE;③△AFB∽△ADG. 其中正确结论的序号是( A.①② C.①③ 【解析】 B.②③ D.①②③ ①项,∵BD=BF,CE=CF,∴AD+AE=AC+CE+AB+BD=AC+AB+CF+BF )

=AC+AB+BC,故①正确;

②项,∵AD=AE,AD =AF·AG,∴AF·AG=AD·AE,故②正确; ③项,延长 AD 于 M,连结 FD,∵AD 与圆 O 切于点 D,则∠GDM=∠GFD, ∴∠ADG=∠AFD≠∠AFB,则△AFB 与△ADG 不相似,故③错误,故选 A. 【答案】 A 二、填空题

2

图 2-5-20 5.(2012·天津高考)如图 2-5-20,已知 AB 和 AC 是圆的两条弦,过点 B 作圆的切线 与 AC 的延长线相交 wEw.

12

3 2 8 【解析】 因为 AF·BF=EF·CF,解得 CF=2,所以 = ,即 BD= .设 CD=x,AD= 4 BD 3 64 4 2 4x,所以 4x = ,所以 x= . 9 3 【答案】 4 3

6.(2013·北京高考)如图 2-5-21,AB 为圆 O 的直径,PA 为圆 O 的切线,PB 与圆 O 相交于 D,若 PA=3,PD∶DB=9∶16,则 PD=________,AB=________.

图 2-5-21

【解析】 由于 PD∶DB=9∶16,设 PD=9a,则 DB=16a. 根据切割线定理有 PA =PD·PB.又 PA=3,PB=25a, 1 9 ∴9=9a·25a,∴a= ,∴PD= ,PB=5. 5 5 在 Rt△PAB 中,AB =PB -AP =25-9=16,故 AB=4. 【答案】 9 4 5
2 2 2 2

三、解答题

图 2-5-22 7.如图 2-5-22 所示,已知 PA 与⊙O 相切,A 为切点,PBC 为割线,D 为⊙O 上的点, 且 AD=AC,AD,BC 相交于点 E. (1)求证:AP∥CD; (2)设 F 为 CE 上的一点,且∠EDF=∠P,求证:CE·EB=FE·EP. 【证明】 (1)∵AD=AC,∴∠ACD=∠ADC. 又∵PA 与⊙O 相切于点 A,∴∠ACD=∠PAD. ∴∠PAD=∠ADC,∴AP∥CD. (2)∵∠EDF=∠P,且∠FED=∠AEP,

13

∴△FED∽△AEP. ∴FE·EP=AE·ED. 又∵A、B、D、C 四点均在⊙O 上, ∴CE·EB=AE·ED, ∴CE·EB=FE·EP. 8.如图 2-5-23,圆的两弦 AB、CD 交于点 F,从 F 点引 BC 的平行线和直线 AD 交于 P, 再从 P 引这个圆的切线,切点是 Q,求证:PF=PQ.

图 2-5-23

【证明】 ∵A,B,C,D 四点共圆, ∴∠ADF=∠ABC. ∵PF∥BC,∴∠AFP=∠ABC. ∴∠AFP=∠FDP. ∵∠APF=∠FPD,∴△APF∽△FPD. ∴

PF PD = . PA PF
2

∴PF =PA·PD. ∵PQ 与圆相切,∴PQ =PA·PD. ∴PF =PQ ,∴PF=PQ. 9.如图 2-5-24,已知 PA、PB 切⊙O 于 A、B 两点,PO=4cm,∠APB=60°,求阴影 部分的周长.
2 2 2

图 2-5-24

【解】 如下图所示,连接 OA,OB.

14

∵PA、PB 是⊙O 的切线,A、B 为切点, ∴PA=PB,∠PAO=∠PBO= 1 π ∠APO= ∠APB= , 2 6 在 Rt△PAO 中, π , 2

AP=PO·cos =4× OA= PO=2 (cm), PB=2 3(cm).
1 2

π 6

3 =2 3 (cm), 2

π π ∵∠APO= ,∠PAO=∠PBO= , 6 2 2π ∴∠AOB= , 3 ∴l
AB

2π 4 =∠AOB·R= ×2= π (cm), 3 3

∴阴影部分的周长为

PA+PB+l AB =2 3+2 3+ π
4π ? ? =?4 3+ ?cm. 3 ? ?

4 3

10.

如图,已知 AD 是⊙O 的切线,D 为切点,割线 ABC 交⊙O 于 B、C 两点,若 DE⊥AO 于 E. 求证:∠AEB=∠ACO. 【证明】 连接 DO. ∵AD 为切线,

15

∴AD⊥DO.

∴△ADE∽△AOD. ∴

AD AO = . AE AD
2

即 AD =AE·AO. 又∵AD 为切线,∴AD =AB·AC. ∴AE·AO=AB·AC,即 =
2

AE AC . AB AO

∵∠EAB=∠CAO,∴△EAB∽△CAO. ∴∠AEB=∠ACO.

16


相关文章:
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.2.2...
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.2.2 椭圆的几何性质课后知能检测 苏教版选修2-1_数学_高中教育_教育专区。【课堂坐标】 (教师用书)2013...
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.5 ...
【课堂新坐标】 (教师用书)2013-2014 学年高中数学 2.5 直线与圆 锥曲线课后...若 线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该拋物线的准线方程为( A.x=1 C.x=2...
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.1 ...
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.1 圆周角定理教案 人教A版选修4-1_数学_高中教育_教育专区。一 圆周角定理 课标解读 2.理解圆周角定理...
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 3.4 ...
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 3.4 生活中的优化问题举例教案 人教A版选修1-1_数学_高中教育_教育专区。3.4 生活中的优化问题举例 (教师...
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 1.4 ...
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 1.4 直角三角形的射影定理教案 人教A版选修4-1_数学_高中教育_教育专区。四 直角三角形的射影定理 课标解读...
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.2.2...
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.2.2 椭圆的几何性质课后知能检测 苏教版选修1-1_数学_高中教育_教育专区。【课堂坐标】 (教师用书)2013...
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.1 ...
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.1 圆锥曲线课后知能检测 ...到线段 AB 的距离即为这个圆 柱的底面半径,故轨迹为椭圆. 【答案】 椭圆 ...
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 3.3 ...
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 3.3 几何概型课后知能检测 苏教版必修3_数学_高中教育_教育专区。【课堂坐标】 (教师用书)2013-2014 学年...
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.1 ...
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.1 曲线与方程课后知能检测 人教B版选修2-1_数学_高中教育_教育专区。【课堂坐标】 (教师用书)2013-201...
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.1 ...
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.1 数列课后知能检测 苏教版必修5_数学_高中教育_教育专区。【课堂坐标】 (教师用书)2013-2014 学年高中...
更多相关标签:

相关文章