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函数图象对称平移


1.掌握基本函数的图象的特征,能熟练

考纲

运用基本函数的图象解决问题. 换法.
图象是函数刻画变量之间的函数关系的 一个重要途径,是研究函数性质的一 种常用方法,是数形结合的基础和依 据,预测在今后的高考中将会加大对

要求 2.掌握图象的作法、描点法和图象变

? 1.作图 ?

(1)列表描点法 ? 其基本步骤是列表、描点、连线,首先: 定义域 解析式 ①确定函数的 ;②化简函数 奇偶性 ;③讨论函数的性质 单调性 周期性 ( 对称性 、 、 、 等);其次: 列表(尤其注意特殊点、零点、最高点、 最低点、与坐标轴的交点),描点,连

? (2)图象变换法 ? 平移变换 ? ①水平平移:y=f(x±a)(a>0)的图象, 右 a 可由y左 =f(x)的图象向 (个 +)或向 (-)平 移 单位而得到. 上 ? ②竖直平移: ± 下 y=f(x)b 个b(b>0)的图象, 可由y=f(x)的图象向 (+)或向 (-) 平移 单位而得到.

? 对称变换 y轴 ? ①y=f(-x)与y=f(x)的图象关于 对称. x轴 原点 ? ②y=-f(x)与y=f(x)的图象关于 对称. y=x ? ③y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于 对称. ? ④y=f-1(x)与y=f(x)的图象关于直线 对称. ? ⑤要得到y=|f(x)|的图象,可将y=f(x) 的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻

? ⑥要得到y=f(|x|)的图象,可将y=f(x), x≥0的部分作出,再利用偶函数的图象关 y轴 于 的对称性,作出x<0的图象.

? 伸缩变换 ? ①y=Af(x)(A>0)的图象,可将y=f(x)图 横坐标 象上所有点的纵坐标变为 , 原来的A倍 不变而得到. 纵坐标 ? ②y=原来的 f(ax)(a>0)的图象,可将 y=f(x)图 象上所有点的横坐标变为 的倍, 不变而得到. ? 2.识图 定义域 ? 值域 对于给定的函数的图象,要能从图象的 单调性 奇偶性 周期性 左右、上下分布范围、变化趋势、对称性 等方面研究函数的 、 、 、

? 3.用图 ? 函数图象形象地显示了函数的性质,为 研究数量关系提供了“形”的直观性,它 是探求解题途径,获得问题结果的重要工 具.要重视数形结合解题的思想方法. ? 4.图象对称性的证明 ? 证明函数图象的对称性,即证明其图象 上的任意一点关于对称中心(对称轴)的对 称点仍在图象上.

①若 f(a+x)=f(b-x),x∈R 恒成立,则 y=f(x)的图象 a+b 关于 x= 成轴对称图形,若 f(a+x)=-f(b-x),x∈R,则 2 a+b y=f(x)的图象关于点( ,0)成中心对称图形. 2 1 ②函数 y=f(a+x)与函数 y=f(b-x)的图象关于直线 x= 2 (b-a)对称.

1 1.函数 y=5 与函数 y=- x的图象关于 5
x

(

)

A.x 轴对称 C.原点对称
解析:因y=- 答案:C

B.y 轴对称 D.直线 y=x 对称
=-5-x,所以关于原点对称.

1x 1x 2.为了得到函数 y=3×( ) 的图象,可以把函数 y=( ) 3 3 的图象 A.向左平移 3 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度 C.向左平移 1 个单位长度 D.向右平移 1 个单位长度 ( )

1 x 1 x-1 解析:函数 y=3×( ) =( ) , 3 3 1x ∴把函数 y=( ) 的图象向右平移一个单位便得到 3 1 x-1 1x y=( ) ,即 y=3×( ) . 3 3

? 答案:D

? 3.为了得到函数f(x)=log2x的图象,只 需将函数g(x)=log2 的图象________.
x 解析:g(x)=log28=log2x-3=f(x)-3,因此只需将函数 g(x)的图象向上平移 3 个单位即可得到函数 f(x)=log2x 的图 象.

? 答案:向上平移3个单位

4.已知下列曲线: 以及编号为①②③④的四个方程: ① x- y=0; ③x-|y|=0; 程的编号________. ②|x|-|y|=0; ④|x|-y=0.

请按曲线 A、B、C、D 的顺序,依次写出与之对应的方

? 解析:按图象逐个分析,注意x、y的取值 范围. ? 答案:④②①③

? 5.作出下列函数的图象: ? (1)y=10|lgx|; ? (2)y=x-|x-1|.
? ?lgx,x≥1, 解:(1)因|lgx|=? ? ?-lgx,0<x<1,

于是

当 x≥1 时,10|lgx|=10lgx=x; 当 0<x<1 时,y=10
- lgx

1 = x

? x,x≥1, ? 故 y=10|lgx|=?1 ,0<x<1. ? x ?

? 根据直线与反比例函数直接作出该分段函 数的图象,如下图(1)所示.

(2)根据绝对值的意义,可将函数式化为分段函数
? ?1,x≥1, y=? ? ?2x-1,x<1.

可见其图象是由两条射线组成,如上图(2)所示.

? ? ? ?

【例1】 分别画出下列函数的图象: (1)y=|lgx|; (2)y=2x+2; (3)y=x2-2|x|-1.

? ?lgx (x≥1) 解:(1)y=? ? ?-lgx (0<x<1)

.图象如下图(1).

(2)将 y=2x 的图象向左平移 2 个单位.图象如下图(2).
2 ? ?x -2x-1 (3)y=? 2 ? ?x +2x-1

(x≥0) .图象如下图(3). (x<0)

? 本题先将函数化简,转化为作基本函数的 图象的问题.作分段函数的图象时要注意 各段间的“触点”.同时也可利用图象变 换得出.

变式迁移 1 1 |x| (2)y=( ) ; 2

作出下列函数的图象:

(1)y=|x-2|· (x+1);

(3)y=|log2(x+1)|.

解:(1)先化简,再作图.
2 ? ?x -x-2 (x≥2) y=? 2 ? ?-x +x+2 (x<2)

.(如下图(1)).

(2)此函数为偶函数, 1x 利用 y=( ) (x≥0)的图象进行变换.(如下图(2)). 2 (3)利用 y=log2x 的图象进行平移和翻折变换. 如下图(3).

? 【例2】 回答下述关于图象的问题: ? (1)向形状如右图,高为H的水瓶注水,注 满为止,若将注水量V看作水深h的函数, 则函数V=f(h)的图象是下图中的 ( )

? (2)某学生一天早晨离家去学校,开始骑 自行车,中途自行车胎破,他只好推着自 行车赶到学校.若将这天早晨他从家里出 来后离学校的距离d表示为他出发后的时 间t的函数d=f(t),则函数f(t)的大致的图 象是下图中的( )

思路分析:判断函数图象的依据:①图象从左向右的升 降情况;②图象升降的快慢程度;③利用图象中的特殊点(如 起点、终点等);④先求函数解析式再判断函数图象.

? 解:(1)水量V显然是h的增函数,将容器 的高等分成n段,每一段记为Δh,从开始 注水起(即从下到上)计算,每段Δh对应的 水量分别记为ΔV1,ΔV2,?,ΔVn,由于 容器上小下大,∴ΔV1>ΔV2>?>ΔVn,即 当h愈大时,相等高度增加的水量愈少, ∴其图象呈“上凸”形状,故选A. ? (2)∵时间t愈大,该学生离学校的距离d愈

变式迁移 2

(2009· 广东高考)已知甲、 乙两车由同一起点

同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速 度曲线分别为 v 甲和 v 乙(如右图所示).那么对于图中给定的 t0 和 t1,下列判断中一定正确的是 A.在 t1 时刻,甲车在乙车前面 B.t1 时刻后,甲车在乙车后面 C.在 t0 时刻,两车的位置相同 D.t0 时刻后,乙车在甲车前面 ( )

? 解析:由图知甲车在(0,t1)段的曲边梯形 面积大于乙车在(0,t1)段的曲边梯形的面 积,面积表示路程,因此甲车在乙车的前 面. ? 答案:A

? 【例3】 已知y=f(2x+1)是偶函数,则 函数y=f(2x)的图象关于直线________对 称,函数y=f(x)的图象关于直线 ________对称.

解法一: 函数 y=f(2x+1)的图象是由函数 y=f(2x)的图象 1 沿 x 轴方向,向左平移 个单位得到的,而 y=f(2x+1)是偶函 2 数,其图象关于 y 轴对称,所以函数 y=f(2x)的图象关于直线 1 x= 对称.又函数 y=f(2x)的图象是由函数 y=f(x)的图象上所 2 1 有点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 得到的,故函数 y 2 =f(x)的图象关于直线 x=1 对称.

解法二: ∵y=f(2x+1)是偶函数, ∴f(-2x+1)=f(2x+1), ∴f(1-x)=f(1+x), 故函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称, 1 函数 y=f(2x)的图象关于直线 x= 对称. 2

? 变式迁移 3 (1)已知函数y=f(x)的定义域 为R,且当x∈R时,f(m+x)=f(m-x)恒 成立,求证:y=f(x)的图象关于直线x= m对称; ? (2)若函数y=log2|ax-1|的图象的对称轴 是x=2,求非零实数a的值.

(1)证明:设 P(x0,y0)是 y=f(x)图象上任意一点, 则 y0=f(x0). 又 P 点关于 x=m 的对称点为 P′,则 P′的坐标为(2m -x0,y0).由已知 f(x+m)=f(m-x),得 f(2m-x0)=f[m+(m-x0)] =f[m-(m-x0)]=f(x0)=y0.即 P′(2m-x0,y0)在 y=f(x)的图象上. ∴y=f(x)的图象关于直线 x=m 对称.

? (2)解:对定义域内的任意x,有f(2-x)= f(2+x)恒成立. ? ∴|a(2-x)-1|=|a(2+x)-1|恒成立, ? 即|-ax+(2a-1)|=|ax+(2a-1)|恒成 立. ? 又∵a≠0,∴2a-1=0,得a= .

【例4】 已知函数f(x)=|x2-4x+3|.
(1)求函数f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)求集合M={m|使方程f(x)=mx有四个不相等的实根}.

解:f(x)=
2 ? ( x - 2) -1,x∈(-∞,1]∪[3,+∞) ? ? 2 ? - ( x - 2) +1,x∈(1,3) ?

作出图象如右图所示. (1)递增区间为[1,2],[3,+∞),递减区间为(-∞,1], [2,3]. (2)由图象可知 y=f(x)与 y=mx 图象有四个不同的交点, 直线 y=mx 应介于 x 轴与切线 l1 之间.

? ?y=mx ? 2 ? y =- ( x - 2) +1 ?

?x2+(m-4)x+3=0.

由 Δ=0 得 m=4± 2 3.m=4+2 3时, x=- 3?(1,3)舍去. ∴m=4-2 3,l1 方程为 y=(4-2 3)x. ∴m∈(0,4-2 3). ∴集合 M={m|0<m<4-2 3}.

方程的解的个数?方程等号两边所对应的曲线公共点个 数,因此,可利用曲线(或函数图象)公共点个数来研究方程的 解的个数.

? 变式迁移 4 (2009·广东调考题)若不等 式|2x-m|≤|3x+6|恒成立,求实数m的取 值.

解:在同一坐标系中分别画出函数 y=|2x-m|及 y=|3x+

6|(如右图),由于不等式|2x-m|≤|3x+6|恒成立,所以函数 y =|2x-m|的图象应总在函数 y=|3x+6|图象的下方,因此函数 y=|2x-m|的图象也必经过点(-2,0),故 m=-4.

? 1.列表描点法是作函数图象的最基本的 方法,要作函数图象一般首先要明确函数 图象的位置和形状; ? (1)可通过研究函数的性质如定义域、值 域、奇偶性、周期性、单调性、凸凹性等 等; ? (2)可通过函数图象的变换如平移变换、 对称变换、伸缩变换等;

(3)可通过方程的同解变形,如作函数 y= 1-x2的图象.

? 2.利用函数的图象可研究函数的性质, 可判断方程解的个数,可通过解方程,根 据函数的图象观察对应不等式的解等. ? 3.数形结合的思想方法也是高考中重点 考查的内容.


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