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【原创精品资料】3.5《解三角形及三角函数的应用》错误解题分析


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3.5《解三角形及三角函数的应用》错误解题分析
一、知识导学 1、解三角形的的常用定理: (1) 内角和定理: A ? B ? C ? ? 结合诱导公式可减少角的个数。 (2) 正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R ( R 指△ABC 外接圆的半径) sin A sin B sin C 1 1 1 ( S ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B) 2 2 2
a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ? c 2 及其变形。

(3) 余弦定理: (4) 勾股定理:

Rt?ABC中a 2 ? b 2 ? c 2

2、解三角形是指已知三角形中的部分元素运用边角的关系求得其他的边角的问题。 三角函数的应用是指用三角函数的理论解答生产、 科研和日常生活中的实际应用问题。 他的 显著特点是(1)意义反映在三角形的边、角关系上,有直角三角形,也有斜三角形。(2) 函数模型多种多样,有三角函数,有代数函数,有时一个问题中三角函数与代数函数并存。 解三角函数应用题一般首先审题, 三角函数应用题多以 “文字语言, 图形语言” 并用的方式, 要通过审题领会其中的数的本质, 将问题中的边角关系与三角形联系起来, 确定以什么样的 三角形为模型,需要哪些定理或边角关系列出等量或不等量关系的解题思路;其次,寻求变 量之间的关系,也即抽象出数学问题,要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言等 方式来思考解决问题;再次,讨论对数学模型的性质对照讨论变量的性质,从而得到的是数 学参数值;最后,按题目要求作出相应的部分问题的结论。 二、疑难知识导析 1、对各类定理的应用要注意使用其变形逆用。同时充分利用方程的思想知道其中的部分量 可求出其他量。 2、三角函数的应用主要是图像和性质的应用。 3、三角形中元素关系的应用与实际问题中的应用关键是如何建立数模结构。 三、经典例题导讲
2 [例 1]已知方程 x ? 4ax ? 3a ? 1 ? 0 (a 为大于 1 的常数)的两根为 tan ? , t an ? ,且 ? 、

? ?? ? ? ?? 的值是_________________。 ? ? ? ? , ? ,则 tan 2 ? 2 2?
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【错解】

? tan? , tan ? 是方程 x 2 ? 4ax ? 3a ? 1 ? 0 的两个根 ? tan? ? tan ? ? ?4a , tan? ? tan ? ? 3a ? 1
由 tan

?? ? ? ? =

? ?? tan? ? tan ? ? 4a 4 ? ?2. = = 可得 tan 2 1 ? tan? ? tan ? 1 ? ?3a ? 1? 3

【错因】忽略了隐含限制 tan? , tan? 是方程 x 2 ? 4ax ? 3a ? 1 ? 0 的两个负根,从而导致 错误。 【正解】

? a ? 1 ? t a n ? t a n ? ?4a ? 0 , tan? ? tan? ? 3a ? 1 ? o ? ?
? tan? , tan? 是方程 x 2 ? 4ax ? 3a ? 1 ? 0 的两个负根
又? , ? ? ? ?

? ? ?? , ? ? 2 2?

? ?? ? ? ? ? ? ? ?? , ? ? ? ? ,0 ? 即 ? ? ? ,0 ? 2 ? 2 ? ? 2 ?

由 tan

?? ? ? ? =

tan? ? tan ? ? 4a 4 ? ?? ? ?2. = = 可得 tan 2 1 ? tan? ? tan ? 1 ? ?3a ? 1? 3

【答案】 -2 。 [例 2]在 ?ABC 中,已知 a ,b,c 是角 A、B、C 的对应边,则 ①若 a ? b ,则 f ( x) ? (sin A ? sin B) ? x 在 R 上是增函数; ②若 a ? b ? (a cos B ? b cos A) ,则 ? ABC 是 Rt ? ;
2 2 2

③ cos C ? sin C 的最小值为 ? 2 ; ④若 cos A ? cos 2 B ,则 A=B; ⑤若 (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2 ,则 A ? B ? 【错解】③④⑤中未考虑 0 ? C ? ? 。 【错因】④中未检验。 【正解】错误命题③⑤。 ① a ? b ? sin A ? sin B,? sin A ? sin B ? 0

3 ? ,其中错误命题的序号是_____。 4

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? f ( x) ? (sin A ? sin B) x在R上是增函数。
② a 2 ? b 2 ? c 2 , a 2 ? b 2 ? c 2 , 则?ABC是Rt? 。 ③ sin c ? cos c ?

2 sin( c ?

?
4

), 当sin( c ?

?
4

) ? ?1, 时最小值为 ? 2 。

显然 0 ? c ? ? , 。得不到最小值为 ?

2。

④ cos2 A ? cos2B ? i ? 2 A ? 2B , A ? B 或 2 A ? 2? ? 2B, A ? ? ? B, A ? B ? ? (舍) ,? A ? B 。 ⑤ 1 ? tan A ? tan B ? tan A ? tan B ? 2,1 ? tan A ? tan B ? tan A ? tan B

?

tan A ? tan B ? ? 1,即 tan( A ? B) ? 1, A ? B ? ? 1 ? tan A ? tan B 4 sin x cos x 的值域为______________。 1 ? sin x ? cos x

? 错误命题是③⑤。
[例 3]函数 f(x)= 【错解】 ??

? ?

2 1 2 1? ? , ? ? 2 2 2 2?
2

t ?1 ? ?1 【错因】令 t ? sin x ? cos x 后忽视 t ? ?1 ,从而 g (t ) ?
【正解】 ??

? ?

? ? 2 1 2 1? ? ,?1? ? ? ? 1, ? ? ? ? 2 2 2 2? ? ?

[例 4] (高考江苏卷) cot 20? cos10? ? 3 sin10? tan 70? ? 2 cos 40? = 【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值。 解: cot 20? cos10? ? 3 sin10? tan 70? ? 2 cos 40?



cot 200 cos100 3 sin 100 sin 700 ? ? 2 cos400 0 0 sin 20 cos70 cos200 cos100 ? 3 sin 100 cos200 ? 2 cos400 0 sin 20



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cos 200 (cos100 ? 3 sin100 ) ? 2 cos 400 0 sin 20 0 2 cos 20 (cos100 sin 300 ? sin100 cos 300 ) ? ? 2 cos 400 0 sin 20 0 0 2 cos 20 sin 40 ? 2sin 200 cos 400 ? sin 200 ?2 ?
【解后反思】方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这样的口决“三看” 即(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化,(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称 或相近的名称,例如把所有的切都转化为相应的弦,或把所有的弦转化为相应的切,(3)看 式子,看式子是否满足三角函数的公式。如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换 一下名称,就可以使用。 [例 5] 在锐角△ABC 中,A<B<C,且 B=60°,

(1 ? cos2 A)(1 ? cos2C) =

3 ?1 ,求证:a+ 2b ? 2c. 2
1 2

解:∵B=60° ∴A+C=120° cos(A+C)=又由已知 2 cos A ? 2 cos C =
2 2

3 ?1 2

∵锐角△ABC 中,cosA>0,cosC>0,

∴cosAcosC=

3 ?1 4 3 2
B=60°

sinAsinC=

3 ?1 4

∴cos(C-A)= ∴A=45°

即 C-A=30° C=75°

∴a+ 2 b=2R(sin45°+ 2 sin60°)=2·2R

2? 6 =2·2Rsin75°=2c 4

[例 6]如图,在平面有点 A、B、P、Q,其中 AB ? △PQB 面积为 S、T,求 S2+T2 的取值范围。 解:设∠BAP=α α ∈[0,

3 , AP ? PQ ? QB ? 1, 设△APB 与

л ] 2

∠BQP=β ,在△PAB,△PBQ 中
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由余弦定理 cosβ =cosα -1 ∴S +T =(
2 2

1 3 2 2 sinα ) +( sinβ ) 2 2

=-

1 2 7 3 (cos ? - )+ 2 8 2 3
2 2

∴当 cosα =1 时,S +T 有最小值

2 3 ?3 4
7 8

当 cosα =

1 2 3

时,S +T 有最大值

2

2

[例 7]已知函数 f(x)=sin(?x+?), x?R, (其中 ?>0)的图像与 x 轴在原点右侧的第一个交点为 N (6,0),又 f(2+x)=f(2-x),f(0)<0,求这个函数的解析式。 【解】

?f(2+x)=f(2-x) ?f(x)关于 x=2 对称,又 x 轴在原点右侧的第一个交点为 N(6,0) ?

2? ? T =6-2=4,即 T=16,? ? ? = 。 T 8 4

3? ? x+?)得:sin( +?)=0 4 8 5? ? 得:?=2k ? + 或 ?=2k ? + (k?Z), 4 4 5? 5? (k?Z),满足条件的最小正数 ?= , ?f(0)<0,? ?=2k ? + 4 4 5? ? )。 ?所求解析式 f(x)=sin( x+ 8 4 ??? ??? ??? ? ? ? [例 8] 已知△ABC 的周长为 6, BC , CA , AB 成等比数列,求
将 N(6,0)代入 f(x)=sin( (1)△ABC 的面积 S 的最大值; (2) BA? BC 的取值范围。 解 设 BC , CA , AB 依次为 a,b,c,则 a+b+c=6,b?=ac,

??? ??? ??? ? ? ?

由余弦定理得 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ? , 2ac 2ac 2ac 2
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a ?c 6?b ? , 从而 0 ? b ? 2 3 2 2 1 1 2 1 2 ? (1)所以 S ? ac sin B ? b sin B ? ? 2 ? sin ? 3 ,即 Smax ? 3 2 2 2 3
故有 0 ? B ? ,又 b ?

?

ac ?

(2)所以 BA ? BC ? ac cos B ?

a 2 ? c 2 ? b 2 (a ? c) 2 ? 2ac ? b 2 ? 2 2

(6 ? b) 2 ? 3b 2 ? ? ?(b ? 3)2 ? 27 2

? 0 ? b ? 2,? 2 ? BA? BC ? 18。

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