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(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)4.3


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课前自主研习
温故而知新 可以为师矣

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知 识 导 读 1.两角和的正弦、余弦、正切公式 sinαcosβ+cosαsinβ (1)sin(α+β)=________________________. (2)cos(α+β)=________________________. cosαcosβ-sinαsinβ tanα+tanβ (3)tan(α+β)=________________________. 1-tanαtanβ

a2+b2sin(x+φ) (4)asinx+bcosx=__________________. 2.两角差的正弦、余弦、正切公式 sin(α-β) (1)sinαcosβ-cosαsinβ=____________________. cos(α-β) (2)cosαcosβ+sinαsinβ=____________________. tanα-tanβ tan(α-β) (3) =________________________. 1+tanα tanβ

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3.二倍角的正弦、余弦、正切公式 2sinαcosα (1)sin2α=____________________. 1-2sin2α (2)cos2α=___________=___________=______________ cos2α-sin2α 2cos2α-1

2tanα 1-tan2α (3)tan2α=____________________.

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4.常用公式的变形 1+cos2α 1-cos2α (1)cos2α=____________,sin2α=______________. 2 2
?π ? ?π ? ? ? ? 1+tanα tan? +α? 1-tanα tan?4-α? ? (2) =__________, =__________. ?4 ? ? ?

1-tanα

1+tanα

? ?π ?? ? ? 2 (3)(1+tanα)?1+tan?4-α??=________________. ?? ? ?? ? α? α? α ? 2cos ?sin2+cos2? ? (4)1+cosα+sinα 化成积的形式为________________. 2? ? α? α? α ? 2sin ?sin2+cos2? ? 2? (5)1-cosα+sinα 化成积的形式为________________. ?

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基 础 热 身 1.sin163° sin223° +sin253° sin313° =( 1 1 A.- B. 2 2 3 3 C.- D. 2 2

)

解析:sin163° sin223° +sin253° sin313° =sin17° (-sin43° )+cos17° sin47° =sin17° (-cos47° )+cos17° sin47° 1 =sin(47° -17° )=sin30° . = 2 答案:B

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2.已知

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?π ? 3 ? ? α∈?2,π?,sinα= ,则 5 ? ? ? π? ? tan?α+4?等于( ? ? ?

)

1 1 A. B.7 C.- 7 7

D.-7

?π ? 3 ? 解析:∵sinα= ,α∈?2,π?, ? 5 ? ? 4 3 2 ∴cosα=- 1-sin α=- ,tanα=- ,于是 5 4 3 1- ? 4 1 π? tanα+1 ? ? tan?α+4?= = = . 3 7 ? ? 1-tanα 1+ 4 答案:A

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3.在△ABC 中,下列结论正确的个数是( ) ①A>B ? cosA<cosB ; ②A>B ? sinA>sinB ; ③A>B ? cos2A<cos2B A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

解析:对于①,y=cosx 在(0,π)上为减函数,则 A>B? a cosA<cosB,①正确;对于②,在△ABC 内,A>B?a>b.又 = sinA b ,∴sinA>sinB.则②正确;对于③,根据②,A>B?sinA>sinB sinB ?sin2A>sin2B?1-2sin2A<1-2sin2B?cos2A<cos2B,则③正确; 综上所述,结论正确的个数是 3 个. 答案:D

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(

α 3 α 4 4.已知 sin = ,cos =- ,则角 α 的终边所在的象限为 2 5 2 5 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

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α α 24 2α 解法一: 由已知 sinα=2sin cos =- <0, cosα=1-2sin 2 2 25 2 7 = >0, 25

∴α 为第四象限角. α 解法二: 位于第二象限,在如图所示的区域内.由 α 所在 2 α 象限对应 处位置知,α 为第四象限角. 2 答案:D

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? π? 1 ? sin?α-6?= ,则 ? 3 ? ?

5.若 α 是锐角,且

cosα 的值是(

)

2 6+1 2 6-1 A. B. 6 6 2 3+1 2 3-1 C. D. 4 3 π π π 解析:∵α 为锐角,∴- <α- < . 6 6 3 ? π? 1 π π ? ? 又∵sin?α-6?= ,∴0<α- < , 6 3 ? ? 3 ? π? 2 2 ? ∴cos?α-6?= . ? 3 ? ? ?? π? π? 2 2 3 1 1 2 6-1 ?? ? ? cosα=cos??α-6?+ ?= × - × = . 3 2 3 2 6 ? ? 6? ? 答案:B
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思维互动启迪
博学而笃志 切问而近思

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疑难精讲 1.本节特点是公式多,应用灵活多变,要求理清公式的来龙 去脉,把握公式的结构特征.这样才能准确地运用公式,用时要 注意公式的逆用、变形使用. 2.公式 Sα±β,Cα±β 具有一般性,即 α、β 为任意角,公式 Tα π π +β 也具有一般性,但应明确:公式 Tα+β 在 α≠kπ+ ,β≠kπ+ , 2 2 π α± β≠kπ+ , k∈Z 时成立, 否则不成立. tanα, 当 tanβ 或 tan(α± β) 2 不存在时,Tα+β 不可用,可改用诱导公式或其他方法. 3. 转化的思想是实施三角变换的主导思想, 变换主要包括: 函数名称变换、角的变换、1 的变换、积的变换和升降幂变换等.

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互动探究 题型 1 利用公式化简三角式

θ θ ?1+sinθ+cosθ??sin -cos ? 2 2 例 1 化简 (0<θ<π). 2+2cosθ

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【解析】 原式 θ θ θ θ 2θ ?2sin cos +2cos ??sin -cos ? 2 2 2 2 2 = 2θ 4cos 2 θ θ 2θ 2θ cos ?sin -cos ? -cos cosθ 2 2 2 2 = = θ θ |cos | |cos | 2 2 θ π θ 因为 0<θ<π,所以 0< < ,所以 cos >0, 2 2 2 所以原式=-cosθ.

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题型 2 利用公式求解给角求值问题 sin?60° +θ?+cos120° sinθ 例 2 化简 的结果为________. cosθ

【解析】 本题的解题思路是利用三角公式进行化简变形. sin?60° +θ?+cos120° sinθ 由 cosθ sinθcos60° +cosθsin60° +cos120° sinθ = cosθ cosθsin60° 3 = = . cosθ 2 3 【答案】 2
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题型 3 利用公式求解给值求值问题 π 3π 12 3 已知 <β<α< , cos(α-β)= , sin(α+β)=- , sin2α 求 2 4 13 5 的值. π 3π π 3π 【解析】 ∵ <β<α< ,∴0<α-β< ,π<α+β< , 2 4 4 2 5 2 ∴sin(α-β)= 1-cos ?α-β?= , 13 4 2 cos(α+β)=- 1-sin ?α+β?=- , 5 ∴sin2α=sin[(α-β)+(α+β)] =sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β) 5 ? 4? 12 ? 3? 56 ? ? ? ? = ×?-5?+ ×?-5?=- . 13 ? ? 13 ? ? 65
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题型 4 三角公式的综合运用 π 3 π 3π π 例 4 已知 cos(α+ )= ,( ≤α< ),求 cos(2α+ )的值. 4 5 2 2 4

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3π π 7π π 3 3π π 【解法一】 ∵ ≤α+ < ,cos(α+ )= >0,∴ <α+ 4 4 4 4 5 2 4 7π < , 4 π π 4 2 sin(α+ )=- 1-cos ?α+ ?=- . 4 4 5 π 2 ∵sin(α+ )= (sinα+cosα), 4 2 π 2 cos(α+ )= (cosα-sinα), 4 2 4 2 3 2 ∴sinα+cosα=- ,cosα-sinα= . 5 5

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因此 cos2α=(cos2α-sin2α) 24 =(cosα-sinα)(cosα+sinα)=- . 25 32 sin2α=2sinαcosα=(sinα+cosα) -(sin α+cos α)= -1= 25
2 2 2

7 . 25 从而得 π π π 2 cos(2α+ )=cos2αcos -sin2αsin = (cos2α-sin2α)=- 4 4 4 2 31 2 . 50

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【解法二】 同解法一得 π π 4 2 sin(α+ )=- 1-cos ?α+ ?=- . 4 4 5 π π π ∴cos2α=sin(2α+ )=2sin(α+ )cos(α+ ) 2 4 4 4 3 24 =2×(- )× =- . 5 5 25 π π 32 7 2 sin2α=-cos(2α+ )=1-2cos (α+ )=1-2×( ) = . 2 4 5 25 从而得 π π π cos(2α+ )=cos2αcos -sin2αsin 4 4 4 2 31 2 = (cos2α-sin2α)=- . 2 50
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错解辨析 5 10 例 5 若 sinα= ,sinβ= 且 α、β 为锐角,求 α+β 的值. 5 10 2 5 2 【错解】 ∵α 为锐角,∴cosα= 1-sin α= 5 3 10 2 又 β 为锐角,∴cosβ= 1-sin β= , 10 2 且 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ= . 2 由于 0<α<90° ,0<β<90° ,∴0<α+β<180° . 故 α+β=45° 135° 或 .

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2 【错因】 上述解法欠严密,仅由 sin(α+β)= ,0° <α+ 2 5 β<180° 而得到 α+β=45° 135° 或 是正确的, 但题设中 sinα= < 5 1 10 1 ,sinβ= < ,使得 0° <α+β<60° ,故上述结论是错误的. 2 10 2

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5 10 【正解】 ∵α、β 为锐角, sinα= ,sinβ= ,∴cosα 5 10 2 5 3 10 2 = ,cosβ= ,且 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ= . 5 10 2 又∵0° <α+β<60° ,∴α+β=45° .

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