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虹口区2013届一模数学(文理)


虹口区 2012 学年度第一学期高三年级数学学科 期终教学质量监控测试卷
(时间 120 分钟,满分 150 分)
一、填空题: (每小题 4 分,满分 56 分) 1.已知集合 A ? x x2 ? 2x ? 3 ? 0 , B ? x x ? 1 ? 2 ,则 A ? B ? 2.已知向量 a ? (1, 2013.1

?


?

?

?



? 2) , b ? (1, 1) , m ? a ? b , n ? a ? ? b ,如果 m ? n ,则实数


. 3.从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者,则甲被选中的概率是 4.双曲线

??

x2 ? y 2 ? 1 的两条渐近线的夹角大小等于 3
cos 2? ? 1 ? sin 2?




5.已知 sin ? ? 3 cos ? ,则

6.在下面的程序框图中,输出的 y 是 x 的函数,记为 y ? f (x) ,则 f
否 是

?1

1 ( )? 2



开始

输入实数

输出

结束

1? i
7.关于 z 的方程 ? i

1? i

0 1 2 0

z
, i ? 2 ? i 2013(其中 i 是虚数单位) 则方程的解 z ? .

z
x ? a 恒成立,则实数 a 的取值范围是 x ? 3x ? 1
2
n??

8.若对于任意 x ? 0 ,不等式

. . .

9.在等比数列 ?an ? 中,已知 a1a2 ? 32 , a3a4 ? 2 ,则 lim ( a1 ? a2 ? ? ? an ) ? 10.在 ?ABC 中, AB ? 2 3 , AC ? 2 且 ?B ? 30? ,则 ?ABC 的面积等于 11.已知正实数 x 、 y 满足 x ? 2 y ? xy ,则 2 x ? y 的最小值等于 .

2 12. 等 差 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 若 am?1 ? am?1 ? am ? 0 , S2m ?1 ? 38 , 则

m?



13. 设 定 义 在 R 上 的 函 数 f (x) 是 最 小 正 周 期 为 2? 的 偶 函 数 , 当 x ?[0, ? ] 时 ,
1

且在 [0, 0 ? f ( x) ? 1,

?

] 上单调递减, [ , ? ] 上单调递增, 在 则函数 y ? f ( x) ? sin x 在 2 2


?

[? 10? , 10? ] 上的零点个数为

14. 设 点 P 在 曲 线 y ? x 2 ? 2 上 , 点 Q 在 曲 线 y ? 于 .

x ? 2 上 , 则 PQ 的 最 小 值 等

二、选择题: (每小题 5 分,满分 20 分) 15.若 2 ? i 是关于 x 的实系数方程 x ? ax ? b ? 0 的一根,则该方程两根的模的和为(
2



A.

5;

B .2 5;

C .5;

D .10.


16.已知 l1 、 l 2 、 l3 是空间三条不同的直线,下列命题中正确的是(

A .如果 l1 ? l2 , l2 // l3 .则 l1 ? l3 ;

B .如果 l1 // l2 , l2 // l3 .则 l1 、l2 、l3 共面. D .如果 l1 、l2 、l3 共点.则 l1 、l2 、l3 共面.

C .如果 l1 ? l2 ,l2 ? l3 .则 l1 ? l3 ;

17.定义域为 R 的函数 f ( x) ? ax2 ? b x ? c ( a ? 0) 有四个单调区间,则实数 a, b, c 满足
( )

A . b 2 ? 4ac ? 0且a ? 0 ;

B . b 2 ? 4ac ? 0 ; D .? b ? 0.
2a

C .? b ? 0;
2a

n, 当n ? 2k ? 1 18.数列 {an } 满足 an ? ? ,其中 k ? N ? ,设 f (n) ? a1 ? a2 ? ? ? a2n ?1 ? a2n , ? ?ak , 当n ? 2k

) ) 则 f (2013 ? f (2012 等于(
A . 22012 ;



B . 22013 ;

C . 4 2012 ;

D . 42013 .

三、解答题: (满分 74 分) 19.(本题满分 12 分) 在正四棱锥 P ? ABCD 中,侧棱 PA 的长为 2 5 , PA 与 CD 所成的角的大小等于

2

arccos

10 . 5

(1)求正四棱锥 P ? ABCD 的体积; (2)若正四棱锥 P ? ABCD 的五个顶点都在球 O 的表面上,求此球 O 的半径.
P

D

C

A

20.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin x ? sin(

B

?
3

? x) ? 3 sin x ? cos x ? cos 2 x .

(1)求函数 f (x) 的最小正周期,最大值及取最大值时相应的 x 值; (2)如果 0 ? x ?

?
2

,求 f (x) 的取值范围.

21.(本题满分 14 分) 已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 . (1)直线 l1 : 3x ? y ? 2 3 ? 0 与圆 O 相交于 A 、 B 两点,求 AB ; (2) 如图, M ( x1, 设

y1 ) 、 ( x2 , P

点 y2 ) 是圆 O 上的两个动点, M 关于原点的对称点为 M 1 ,

点 M 关于 x 轴的对称点为 M 2 ,如果直线 PM1 、 PM 2 与 y 轴分别交于 (0, 问 m? n 是否为定值?若是求出该定值;若不是,请说明理由.

m) 和 (0, n) ,
y

M P

22.(本题满分 16 分) 数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn ,且满足 Sn ? 2an ? 1 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求和 S1 ? Cn ? S2 ? Cn ? S3 ? Cn ? ? ? Sn ?1 ? Cn ;
0 1 2 n

x O

(3)设有 m 项的数列 ?bn ?是连续的正整数数列,并且满足:

3

lg 2 ? lg(1 ?

1 1 1 ) ? lg(1 ? ) ? ? ? lg(1 ? ) ? lg(log2 am ) . b1 b2 bm

问数列 ?bn ?最多有几项?并求这些项的和. 23.(本题满分 18 分) 如 果 函 数 y ? f (x) 的 定 义 域 为 R , 对 于 定 义 域 内 的 任 意 x , 存 在 实 数 a 使 得

f ( x ? a) ? f (? x) 成立,则称此函数具有“ P (a ) 性质”.
(1)判断函数 y ? sin x 是否具有“ P (a ) 性质”,若具有“ P (a ) 性质”求出所有 a 的值;若不具 有“ P (a ) 性质”,请说明理由. (2)已知 y ? f (x) 具有“ P (0) 性质”,且当 x ? 0 时 f ( x) ? ( x ? m)2 ,求 y ? f (x) 在 [0, 1] 上的最大值. (3)设函数 y ? g (x) 具有“ P(?1) 性质”,且当 ?

y ? mx 交点个数为 2013 个,求 m 的值.

1 1 ? x ? 时, g( x) ? x .若 y ? g (x) 与 2 2

4

虹口区 2012 学年度第一学期高三年级数学学科 期终教学质量监控测试卷答案
一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1、 (? 1, 1) ; 6、 ? 1 ; 2、2; 7、 1 ? 2i ;

1 ; 2 1 8、 a ? ; 5
3、 13、20; 14、

4、

? ; 3

5、 ?

1 ; 2

9、 ? 16 ;

10、 2 3 或 3 ;

11、9;

12、10;

7 2 ; 4

二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15、B; 16、A; 17、C; 18、C; 三、解答题(满分 74 分) 19、(12 分) 解: (1)取 AB 的中点 M ,记正方形 ABCD 对角线的交点为 O? ,连 PM ,PO? , AC ,则 AC 过 O? .

?

PA ? PB

, ? PM ? AB

, 又

cos?PAM ?

10 5



PA ? 2 5

, 得

AM ? 2 2 .??????4 分
AO? ? 4 , PO? ? 2 1 1 64 VP ? ABCD ? S底 ? PO? ? ? (4 2 ) 2 ? 2 ? 3 3 3
的 ? 正 四 棱 锥 P?ABC D 体 积 等 于

64 (立方单 3

位) .??????8 分 ( 2 ) 连 AO , OO? , 设 球 的 半 径 为 R , 则 OA ? R , OO? ? R ? PO? ? R ? 2 , 在 Rt ?OO?A 中 有

R2 ? ( R ? 2)2 ? 42 ,得 R ? 5 。????12 分
20、14 分) f ( x) ? 2 sin x( ( 解:

3 1 cos x ? sin x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? cos2 x ? sin 2 x 2 2

? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ????????6 分

f (x) 的最小正周期等于 ? .
当 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

, x ? k? ?

?
6

(k ? z ) 时, f (x) 取得最大值 2.??????10 分

5

(2)由 0 ? x ?

?
2

,得

?
6

? 2x ?

?
6

?

7? 1 ? , ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 , 6 2 6

f (x) 的值域为 [? 1, 2] ??????14 分

21、 (14 分)解: (1)圆心 O(0,

0) 到直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 的距离 d ? 3 .

2 2 圆的半径 r ? 2 ,? AB ? 2 r ? d ? 2 .??????4 分

(2) M ( x1 ,

y1 ) , P( x2 ,

2 2 y2 ) ,则 M1 (? x1, ? y1 ) , M 2 ( x1 , ? y1 ) , x1 ? y1 ? 4 ,

2 2 x2 ? y2 ? 4 .??????8 分

PM1 : ( y2 ? y1 )( x ? x2 ) ? ( x2 ? x1 )( y ? y2 ) ,得 m ?
PM 2 : ( y2 ? y1 )(x ? x2 ) ? ( x2 ? x1 )( y ? y2 ) ,得 n ?

x1 y2 ? x2 y1 . x2 ? x1

? x1 y2 ? x2 y1 .????12 分 x2 ? x1

? m?n ?

2 2 2 2 x2 y12 ? x12 y2 x2 (4 ? x12 ) ? x12 (4 ? x2 ) ? ? 4 ??????14 分 2 2 x2 ? x12 x2 ? x12

22、 (16 分)解: (1)由 Sn ? 2an ? 1 得 Sn ?1 ? 2an ?1 ? 1 ,相减得 an ?1 ? 2an ?1 ? 2an ,即

an ?1 ? 2an .
又 S1 ? 2a1 ? 1 ,得 a1 ? 1 ? 0 ,? 数列 ?an ? 是以 1 为首项 2 为公比的等比数列,? an ? 2n ?1 . ??????????????????5 分 (2)由(1)知 Sn ? 2n ? 1 .
0 1 0 1 ? S1 ? Cn ? S2 ? Cn ? S3 ? Cn2 ? ?? Sn?1 ? Cnn ? (21 ? 1) ? Cn ? (22 ? 1) ? Cn ? (23 ? 1) ? Cn2 ?? (2n?1 ? 1) ? Cnn 0 1 2 n 0 1 2 n ? 2(Cn ? 2Cn ? 22 Cn ? ?? 2n Cn ) ? (Cn ? Cn ? Cn ? ?? Cn ) ? 2(1 ? 2)n ? 2n ? 2 ? 3n ? 2n

??????????????????10 分 (3)由已知得 2 ?

b1 ? 1 b2 ? 1 b ?1 ? ??? m ? m ?1. b1 b2 bm 2(bm ? 1) ? m ? 1 .?? b1

又 ?bn ?是连续的正整数数列,? bn ? bn ?1 ? 1 .? 上式化为

6

又 bm ? b1 ? (m ? 1) ,消 bm 得 mb ? 3b1 ? 2m ? 0 . 1

m?

3b1 6 ? ,由于 m ? N ,? b1 ? 2 ,? b1 ? 3 时, m 的最大值为 9. ? 3? b1 ? 2 b1 ? 2

此时数列的所有项的和为 3 ? 4 ? 5 ? ? ? 11 ? 63 ????????16 分 23 、 18 分 ) 解 : 1 ) 由 sin ( ? a) ? sin ( x) 得 sin(x ? a) ? ? sin x , 根 据 诱 导 公 式 得 ( ( x ?

a ? 2k? ? ? (k ? Z ) .? y ? sin x 具有“ P (a ) 性质” ,其中 a ? 2k? ? ? (k ? Z ) .
??????4 分 (2)? y ? f (x) 具有“ P (0) 性质” ? f ( x) ? f (? x) . , 设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 ,? f ( x) ? f (? x) ? (? x ? m)2 ? ( x ? m)2

?( x ? m) 2 ? ? f ( x) ? ? ?( x ? m) 2 ?

x?0 x?0

????????6 分

当 m ? 0 时,? y ? f (x) 在 [0, 1] 递增,? x ? 1 时 ymax ? (1 ? m)2 当 0?m?

1 时 , ? y ? f (x) 在 [0, m] 上 递 减 , 在 [m, 1] 上 递 增 , 且 2

f (0) ? m2 ? f (1) ? (1 ? m)2 , ? x ? 1 时 ymax ? (1 ? m)2
当 m?

1 时 , ? y ? f (x) 在 [0, m] 上 递 减 , 在 [m, 1] 上 递 增 , 且 2

f (0) ? m2 ? f (1) ? (1 ? m)2 ,? x ? 0 时 ymax ? m2
综上所述:当 m ?

1 1 时, ymax ? f (1) ? (1 ? m)2 ;当 m ? 时, ymax ? f (0) ? m2 2 2

????????????11 分 (3)? y ? g (x) 具有“ P(?1) 性质” ? g (1 ? x) ? g (? x) , g (?1 ? x) ? g (? x) , ,

? g ( x ? 2) ? g (1 ? 1 ? x) ? g (?1 ? x) ? g ( x) ,从而得到 y ? g (x) 是以 2 为周期的函数.
又设

1 3 1 1 ? x ? ,则 ? ? 1 ? x ? , 2 2 2 2

g( x) ? g( x ? 2) ? g(?1 ? x ? 1) ? g(?x ? 1) ? ? x ? 1 ? x ? 1 ? g( x ? 1) .

7

1 1 ? x ? n ? ( n? z ) , 2 2 1 1 1 1 当 n ? 2 k ( k ? z ) 2k ? ? x ? 2k ? 则 ? ? x ? 2 k ? , , 2 2 2 2
再设 n ?

g( x) ? g( x ? 2k ) ? x ? 2k ? x ? n ;


n ? 2k ? 1



k?z

) ,

2k ? 1 ?

1 1 ? x ? 2k ? 1 ? 2 2



1 3 ? x ? 2k ? 2 2



g( x) ? g( x ? 2k ) ? x ? 2k ?1 ? x ? n ;
? 对于, n ?
1 1 1 1 ? x ? n ? ( n? z ) ,都有 g ( x) ? x ? n ,而 n ? 1 ? ? x ? 1 ? n ? 1 ? , 2 2 2 2

? g( x ? 1) ? ( x ? 1) ? (n ? 1) ? x ? n ? g( x) ,? y ? g (x) 是周期为 1 的函数.
①当 m ? 0 时,要使得 y ? mx 与 y ? g (x) 有 2013 个交点,只要 y ? mx 与 y ? g (x) 在

[0, 1006 有 2012 个交点,而在 [1006 1007] 有一个交点.? y ? mx 过 ( ) ,
而得 m ?

2013 , 2

1 ) ,从 2

1 2013 1 2013

②当 m ? 0 时,同理可得 m ? ? ③当 m ? 0 时,不合题意. 综上所述 m ? ?

1 ??????????18 分 2013

8


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