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2 0 0 4 年 4月上
中学生数学
中学生习作
一
道高巾联赛棚试叠的潮证
指导教 师 姚 先伟
即 Q A l D+ Q D A: DB Q + Q D B,
又
‘ . .
四川 省绵 阳东辰 国际学校初三 ( 1 0 ) 班( 6 2 1 0 0 0 ) 方 源 赵 俊钦 王衣鞠
2 0 0 3年全 国高 中数 学联赛 加试题第 一
题:
PBC= BDC, P BC= DAQ, B DC一 DAQ, QDA一 DBQ,
过圆外 一点 P 作 圆 的两 条切 线 和一 条 割 线 , 切 点 为 A、 B, 所 作割 线 交
圆于 C 、 D. C在 P、 D 之
‘ . .
而
。 . .
Q DA一 P AC,
DBQ一 P AC .
间, 在弦 C D 上取 一点 Q,
证 法 3 连结 A_ B .
‘
.
使 D AQ一 P B C .
求证 :
/ PAC。
‘ P A、 P B是圆的切线 , P C D 是 圆的 割
PA
—
DB Q 一
D
线, 则P A—P B且
AC PB
—
BC
经研 究 探 讨 , 现给 出
而 一 ’ 而 一面 ’
? .
有别 于参考解答 的三种简捷证法 .
证法 1 连结 A_ B ,
’ .
.
一
一
①
‘
BAD 一 DCB,
又
‘ . .
DAQ一 P B C= P DB= C AB,
CBA 一 CDA ,
而
DC B一 C P B+ P B C,
B AD一 DAQ+ B AQ,
△ AC B c o △AQD,
—
于是 由已知 D A Q一 P B C ,
得
‘ . . ‘ . .
AC AQ 一 C B QD
.
‘ C P B 一 B A Q,
A、 P、 B、 Q 四点共 圆 ,
P AB一 PQB.
由① 、 ②得
一 ,
即
P A C + C AB = P D B + D B Q .
即 一 器,
‘ . .
又 C A B 一 B D Q, 故 DB Q 一 P A l C 证法 2 由法 1证 得 A、 P、 B、 Q 四点 共
圆.
△ADQ* o △ DBQ, ADQ一 DBQ,
‘ .
.
由
AD Q一 P AC得
DB Q一 P AC .
由P A—P B得 AQ P一 B QP,
( 责审 余炯 沛) 这种构造 联系 了几何 与代数 , 较 代数而言
原式
c o s 3 ×1 0 。 +3 c o s 1 0 。. c o s 3 ×5 0 。 +3 c o s 5 0 。
4 。 c o s l O 。 上c o s 5 0 。
一
几何更为直观, 使解题思路清晰.
解 法六 ( 利用 三角公式 )
原式 一C O S 。 1 0 。 +C O S 。 5 0 。 一c o s l O 。 c o s 5 0 。 .
4
观察得出其为立方差公式的一部分, 于是
化 为 c o s 3 1 0  ̄ + 丽 c o s 3 5 0  ̄
1 c o s 3 0 。 +3 c o s 1 0 。 +c o s l 5 0 。 +3 c o s 5 0 。
— — — — — — — 一
一
1、 , 3 ( c o s l O 。 +c o s 5 0 。 ) 3 4一 c o s l O 。 +c o s 5 0 。 4。
利用三倍角公式 的变形
c。 s 3 z 一
.
三角公式 的变化很 多 , 巧妙地运 用它 解题
可以事半功倍.
( 责审 李延林)
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