一道高中联赛加试题的别证

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２ ０ ０ ４ 年 ４月上　

中学生数学　

中学生习作　

一

道高巾联赛棚试叠的潮证　
指导教 师 姚 先伟　
即 　Ｑ Ａ ｌ Ｄ＋ 　Ｑ Ｄ Ａ： 　 ＤＢ Ｑ ＋　 Ｑ Ｄ Ｂ， 　

又　
‘ ． ．　

四川 省绵 阳东辰 国际学校初三 （ １ ０ ） 班（ ６ ２ １ ０ ０ ０ ） 　方 　 源　 赵 俊钦　 王衣鞠　

２ ０ ０ ３年全 国高 中数 学联赛 加试题第 一　
题： 　

ＰＢＣ＝　 ＢＤＣ， 　 Ｐ ＢＣ＝　 ＤＡＱ， 　 Ｂ ＤＣ一　 ＤＡＱ， 　 ＱＤＡ一　 ＤＢＱ， 　

过圆外 一点 Ｐ 作 圆 　 的两 条切 线 和一 条 割 线 ， 　 切 点 为 Ａ、 Ｂ， 所 作割 线 交　
圆于 Ｃ 、 Ｄ． Ｃ在 Ｐ、 Ｄ 之　

‘ ． ．　

而　
。 ． ．　

Ｑ ＤＡ一 　Ｐ ＡＣ， 　
ＤＢＱ一　 Ｐ ＡＣ ． 　

间， 在弦 Ｃ Ｄ 上取 一点 Ｑ， 　

证 法 ３ 连结 Ａ＿ Ｂ ． 　
‘
．

使　Ｄ ＡＱ一 　Ｐ Ｂ Ｃ ． 　
求证 ： 　
／ ＰＡＣ。 　

‘ 　Ｐ Ａ、 Ｐ Ｂ是圆的切线 ， Ｐ Ｃ Ｄ 是 圆的 割　
ＰＡ
—

ＤＢ Ｑ 一 　
Ｄ　

线， 则Ｐ Ａ—Ｐ Ｂ且　
ＡＣ　 ＰＢ
—

ＢＣ　

经研 究 探 讨 ， 现给 出 　

而 一 　 ’ 而 一面 ’ 　
? ．

有别 于参考解答 的三种简捷证法 ． 　
证法 １ 连结 Ａ＿ Ｂ ， 　
’ ．

． 　

一 　

一 　

①　

‘ 　

ＢＡＤ 一　 ＤＣＢ， 　

又　
‘ ． ．　

ＤＡＱ一　 Ｐ Ｂ Ｃ＝　 Ｐ ＤＢ＝　 Ｃ ＡＢ， 　
ＣＢＡ 一　 ＣＤＡ ， 　

而　

ＤＣ Ｂ一 　Ｃ Ｐ Ｂ＋ 　Ｐ Ｂ Ｃ， 　
Ｂ ＡＤ一　 ＤＡＱ＋　 Ｂ ＡＱ， 　

△ ＡＣ Ｂ ｃ ｏ △ＡＱＤ， 　
—

于是 由已知　 Ｄ Ａ Ｑ一 　Ｐ Ｂ Ｃ ， 　
得　
‘ ． ．　 ‘ ． ．　

ＡＣ ＡＱ　 一　 Ｃ Ｂ 　 ＱＤ　
．　

‘ Ｃ Ｐ Ｂ 一 　Ｂ Ａ Ｑ， 　

Ａ、 Ｐ、 Ｂ、 Ｑ 四点共 圆 ， 　
Ｐ ＡＢ一 　 ＰＱＢ． 　

由① 、 ②得　

一 　 ， 　

即　

Ｐ Ａ Ｃ ＋　 Ｃ ＡＢ ＝ 　Ｐ Ｄ Ｂ ＋ 　Ｄ Ｂ Ｑ ． 　

即 　一 器， 　
‘ ． ．　

又　 Ｃ Ａ Ｂ 一 　Ｂ Ｄ Ｑ， 故　 ＤＢ Ｑ 一 　Ｐ Ａ ｌ Ｃ 　 证法 ２ 　 由法 １证 得 Ａ、 Ｐ、 Ｂ、 Ｑ 四点 共　
圆． 　

△ＡＤＱ＊ ｏ △ ＤＢＱ， 　 ＡＤＱ一　 ＤＢＱ， 　

‘ ．

． 　

由 　

ＡＤ Ｑ一 　Ｐ ＡＣ得　
ＤＢ Ｑ一　 Ｐ ＡＣ ． 　

由Ｐ Ａ—Ｐ Ｂ得　 ＡＱ Ｐ一 　Ｂ ＱＰ， 　

（ 责审 　 余炯 沛） 　 这种构造 联系 了几何 与代数 ， 较 代数而言　
原式　
ｃ ｏ ｓ ３ ×１ ０ 。 ＋３ ｃ ｏ ｓ １ ０ 。． ｃ ｏ ｓ ３ ×５ ０ 。 ＋３ ｃ ｏ ｓ ５ ０ 。 　
４ 　 。 　 ｃ ｏ ｓ ｌ Ｏ 。 上ｃ ｏ ｓ ５ ０ 。 　
一

几何更为直观， 使解题思路清晰． 　
解 法六　 （ 利用 三角公式 ） 　
原式 一Ｃ Ｏ Ｓ 。 １ ０ 。 ＋Ｃ Ｏ Ｓ 。 ５ ０ 。 一ｃ ｏ ｓ ｌ Ｏ 。 ｃ ｏ ｓ ５ ０ 。 ． 　

４ 　

观察得出其为立方差公式的一部分， 于是　
化 为　 ｃ ｏ ｓ 　 ３ 　 １ ０ 　 ￣ ＋ 丽 ｃ ｏ ｓ ３ ５ ０ ￣ 　

１ 　 ｃ ｏ ｓ ３ ０ 。 ＋３ ｃ ｏ ｓ １ ０ 。 ＋ｃ ｏ ｓ ｌ ５ ０ 。 ＋３ ｃ ｏ ｓ ５ ０ 。 　
　 — — — — — 　 — — 一 　

一

１、 ， ３ （ ｃ ｏ ｓ ｌ Ｏ 。 ＋ｃ ｏ ｓ ５ ０ 。 ） 　 ３ 　 ４一 ｃ ｏ ｓ ｌ Ｏ 。 ＋ｃ ｏ ｓ ５ ０ 。 ４。 　

利用三倍角公式 的变形　
ｃ。 ｓ ３ ｚ 一 　
．　

三角公式 的变化很 多 ， 巧妙地运 用它 解题　

可以事半功倍． 　

（ 责审 　 李延林） 　

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