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一道高中联赛加试题的别证


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2 0 0 4 年 4月上 

中学生数学 

中学生习作 



道高巾联赛棚试叠的潮证 
指导教 师 姚 先伟 
即  Q A l D+  Q D A:   DB Q +  Q D B,  
又 
‘ . . 

四川 省绵 阳东辰 国际学校初三 ( 1 0 ) 班( 6 2 1 0 0 0 )  方   源  赵 俊钦  王衣鞠 

2 0 0 3年全 国高 中数 学联赛 加试题第 一 
题:  

PBC=  BDC,   P BC=  DAQ,   B DC一  DAQ,   QDA一  DBQ,  

过圆外 一点 P 作 圆   的两 条切 线 和一 条 割 线 ,   切 点 为 A、 B, 所 作割 线 交 
圆于 C 、 D. C在 P、 D 之 

‘ . . 

而 
。 . . 

Q DA一  P AC,  
DBQ一  P AC .  

间, 在弦 C D 上取 一点 Q,  

证 法 3 连结 A_ B .  



使 D AQ一  P B C .  
求证 :  
/ PAC。  

‘  P A、 P B是圆的切线 , P C D 是 圆的 割 
PA


DB Q 一  
D 

线, 则P A—P B且 
AC  PB


BC 

经研 究 探 讨 , 现给 出  

而 一   ’ 而 一面 ’  
? .

有别 于参考解答 的三种简捷证法 .  
证法 1 连结 A_ B ,  
’ .

.  

一  

一  

① 

‘  

BAD 一  DCB,  

又 
‘ . . 

DAQ一  P B C=  P DB=  C AB,  
CBA 一  CDA ,  

而 

DC B一  C P B+  P B C,  
B AD一  DAQ+  B AQ,  

△ AC B c o △AQD,  


于是 由已知  D A Q一  P B C ,  
得 
‘ . .  ‘ . . 

AC AQ  一  C B   QD 
. 

‘ C P B 一  B A Q,  

A、 P、 B、 Q 四点共 圆 ,  
P AB一   PQB.  

由① 、 ②得 

一   ,  

即 

P A C +  C AB =  P D B +  D B Q .  

即  一 器,  
‘ . . 

又  C A B 一  B D Q, 故  DB Q 一  P A l C   证法 2   由法 1证 得 A、 P、 B、 Q 四点 共 
圆.  

△ADQ* o △ DBQ,   ADQ一  DBQ,  

‘ .

.  

由  

AD Q一  P AC得 
DB Q一  P AC .  

由P A—P B得  AQ P一  B QP,  

( 责审   余炯 沛)   这种构造 联系 了几何 与代数 , 较 代数而言 
原式 
c o s 3 ×1 0 。 +3 c o s 1 0 。. c o s 3 ×5 0 。 +3 c o s 5 0 。  
4   。   c o s l O 。 上c o s 5 0 。  


几何更为直观, 使解题思路清晰.  
解 法六  ( 利用 三角公式 )  
原式 一C O S 。 1 0 。 +C O S 。 5 0 。 一c o s l O 。 c o s 5 0 。 .  

4  

观察得出其为立方差公式的一部分, 于是 
化 为  c o s   3   1 0    ̄ + 丽 c o s 3 5 0  ̄  

1   c o s 3 0 。 +3 c o s 1 0 。 +c o s l 5 0 。 +3 c o s 5 0 。  
  — — — — —   — — 一  



1、 , 3 ( c o s l O 。 +c o s 5 0 。 )   3   4一 c o s l O 。 +c o s 5 0 。 4。  

利用三倍角公式 的变形 
c。 s 3 z 一  
. 

三角公式 的变化很 多 , 巧妙地运 用它 解题 

可以事半功倍.  

( 责审   李延林)  

■ 


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