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陕西省西安市第七十中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 文


高二年级数学(文科)
分值: 150 分 时间: 120 分钟

一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.设数列 2, 5,2 2, 11,?, 则 2 5 是这个数列的( ) A.第六项 B.第七项 C.第八项 D.第九项

2.等差数列{an}的

公差 d= A.55 B.60

1 ,且 S100=145,则 a1+a3+a5+?+a99 等于( ) 2
C.70 D.85

3.两等差数列 ?an ? 、 ?bn ? 的前 n 项和的比 A.

Sn 5n ? 3 a ,则 5 的值是( ) ? ' S n 2n ? 7 b5
C.

48 25

B.

28 17

53 27

D.

23 15

4.设
2

1 1 ? ? 0 ,则( ) a b
2

A. a ? b

B. a ? b ? 2 ab

C. ab ? b

2

D. a ? b ? a ? b
2 2

5.已知数列{an}的首项为 1,并且对任意 n∈N+都有 an>0.设其前 n 项和为 Sn,若以(an,

Sn)(n∈N+)为坐标的点在曲线 y=
A.an=n +1
2

1 x(x+1)上运动,则数列{an}的通项公式为( 2
C.an=n+1 D.an=n

)

B.an=n

2

6.在 ?ABC 中,若 a cos B ? b cos A ,则 ?ABC 的形状一定是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形

7.若 a、b 都是正数,则关于 x 的不等式-b< A.(-

1 1 ,0)∪(0, ) b a 1 1 C.(-∞,- )∪( ,+∞) b a 8.某人向正东方向走 x km 后,向右转 150°,然后朝新方向走 3 km,结果他离出发点
恰好是 3 km,那么 x 的值为( A. 3 B.2 3 ) C. 3 或 2 3 D.3 ) D.12

1 <a 的解集是( ) x 1 1 B.(- ,0)∪(0, ) a b 1 1 D.(- , ) a b

9.等差数列 ?an ? 中,前 n 项的和为 Sn ,若 S13=39,那么 a7=( A.3 B.6 C.9

-1-

10.在 ?ABC中,已知 A ? 30? , C ? 45? , a ? 2 ,则 ?ABC的面积等于( ) A. 2 B. 2 2 C. 3 +1 D.

3 ?1 2

11.已知 a>0,b>0,则 A.2 B.2 2

1 1 + +2 ab 的最小值是( a b
C.4

) D.5

12. 如果函数 f(x)对任意 a, b 满足 f(a+b)=f(a)· f(b), 且 f(1)=2, 则

f ( 2) f ( 4) + f (1) f (3)



f ( 6) f ( 2014) +?+ =( f ( 5) f ( 2013 )
A.4 018

) C.2 010 D.2 014

B.1 006

二、填空题(本题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 13.在等比数列{bn}中,S4=4,S8=20,那么 S12= .

? x ? y ≥ 0, ? 14.若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ≥ 0, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?0 ≤ x ≤ 3, ?
15.在△ABC 中,cosA=



5 3 ,sinB= ,则 cosC 的值为 13 5
n

. .

2 2 2 2 16.如果数列{an}的前 n 项之和为 Sn=3+2 ,那么 a1 = ? a2 ? a3 ? ? ? an

17.若正数 a , b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,则 ab 的取值范围是 三.解答题(共 65 分) 18. (12 分)解关于 x 的不等式 a
3 x - +1 x



1 ≤ (其中 a>0 且 a≠1).

a

19. (12 分)已知等差数列{an}满足 a2=2,a5=8. (1)求{an}的通项公式; (2)各项均为正数的等比数列{bn}中,b1=1,b2+b3=a4,求{bn}的前 n 项和 Tn.

-2-

20. (13 分)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b) sin C. (1)求 A 的大小; (2)若 sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状.

21. (14 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且向量 a=(n,Sn),b=(4,n+3)共线. (1)求证:数列{an}是等差数列; ? 1 ? (2)求数列? ?的前 n 项和 Tn.
?nan?

22. (14 分)某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至少 10 层,每 层 2000 平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费 用为 560+48x(单位:元). (1)写出楼房平均综合费用 y 关于建造层数 x 的函数关系式; (2)该楼房应建造多少层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少?最少值是多少? 购地总费用 (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= ) 建筑总面积

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高二年级数学(文科)答案 客观题:每小题 5 分,共 60 题号 答案 题号 答案 1 B 11 C 2 B 12 D 主观题答案 13.84 14.9 15. 3 A 4 C 5 D 6 D

分。 7 C 8 C 9 A 10 C

16 65

16.

4n ? 71 3

17. ?9, ?? ?

3 18.解 ①当 a>1 时,有 x- +1≤-1, x 2 3 x +2x-3 ∴x- +2≤0,∴ ≤0. x x ?x+3??x-1? ∴ ≤0,∴x≤-3 或 0<x≤1.(6 分) x 3 ②当 0<a<1 时,有 x- +1≥-1, x 2 x +2x-3 ∴ ≥0.∴-3≤x<0 或 x≥1.(8 分) x 综上,当 a>1 时,x∈(-∞,-3]∪(0,1]; 当 0<a<1 时,x∈[-3,0)∪[1,+∞).(10 分 19.解 (1)设等差数列{an}的公差为 d, 则由已知得?
?a1+d=2, ? ? ?a1+4d=8.

∴a1=0,d=2.

∴an=a1+(n-1)d=2n-2. (2)设等比数列{bn}的公比为 q,则由已知得 q+q =a4, ∵a4=6,∴q=2 或 q=-3. ∵等比数列{bn}的各项均为正数,∴q=2. ∴{bn}的前 n 项和 Tn= =2 -1.
n
2

b1(1-qn) 1×(1-2n) = 1-q 1-2

20.解 (1)由已知,根据正弦定理得 2 2a =(2b+c)b+(2c+b)c, 2 2 2 即 a =b +c +bc. 2 2 2 由余弦定理得 a =b +c -2bccos A, 1 故 cos A=- ,∵A∈(0°,180°) 2 ∴A=120°. 2 2 2 (2)由(1)得 sin A=sin B+sin C+sin Bsin C.

-4-

1 又 sin B+sin C=1,得 sin B=sin C= . 2 因为 0°<B<90°,0°<C<90°,故 B=C=30°. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形. 21.(1)证明 ∵a=(n,Sn),b=(4,n+3)共线, n?n+3? ∴n(n+3)-4Sn=0,∴Sn= . 4 ∴a1=S1=1, n+1 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= , 2 n+1 又 a1=1 满足此式,∴an= . 2 1 ∴an+1-an= 为常数, 2 1 ∴数列{an}为首项为 1,公差为 的等差数列。 2 1 ? 1 2 ?1 (2)解 ∵ = =2? - ? nan n?n+1? ?n n+1? 1 1 1 ∴Tn= + +?+ . a1 2a2 nan 1 ? 2n ? 1? ?1 1? ?1 =2?1- ?+2? - ?+?+2? - . ?= ? 2? ?2 3? ?n n+1? n+1 22.(1)依题意得 2160×10000 2000x 10800 * =560+48x+ (x≥10,x∈N ).

y=(560+48x)+ x

10800 (2)∵x>0,∴48x+

x

≥2 48×10800=1440, 10800 当且仅当 48x= ,即 x=15 时取到“=” ,

x

此时,平均综合费用的最小值为 560+1440=2000(元). 答 当该楼房建造 15 层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少,最少值为 2000 元.

-5-


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