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河南数学理精校版-2014普通高等学校招生统一考试


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2014 年普通高等学校招生全国统一考试 全国课标 1 理科数学
注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前,考生务必将 自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑,如需改动,用橡皮搽干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,答在本试题上无效. 4. 考试结束,将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的一项。 1. 已知集合 A={ x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 },B={ x |-2≤ x <2},则 A ? B =( A.[-2,-1] 2.
(1 ? i )3 =( (1 ? i ) 2



B.[-1,2) )

C.[-1,1]

D.[1,2)

A . 1 ? i B . 1 ? i C . ?1 ? i D . ?1 ? i

3. 设函数 f ( x) , g ( x) 的定义域都为 R,且 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,则下列结论 正确的是( ) B.| f ( x) | g ( x) 是奇函数

A. f ( x) g ( x) 是偶函数

C. f ( x) | g ( x) |是奇函数 D.| f ( x) g ( x) |是奇函数 4. 已知 F 为双曲线 C : x2 ? my2 ? 3m(m ? 0) 的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距
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离为( A. 3 B.3

) C. 3m D. 3m

5. 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同 学参加公益活动的概率为( A. B. C. D.
1 8 3 8 5 8 7 8



6. 如图, 圆 O 的半径为 1, A 是圆上的定点, P 是圆上的动点, 角 x 的始边为射线 OA , 终边为射线 OP ,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M ,将点 M 到直线 OP 的距离表示 成 x 的函数 f ( x) ,则 y = f ( x) 在[0, ? ]的图像大致为( )

7. 执行右面的程序框图,若输入的 a, b, k 分别为 1,2,3,则输出 的 M =( A. )

20 16 7 15 B. C. D. 3 5 2 8

8. 设 ? ? (0, ) , ? ? (0, ) ,且 tan ? ?
2 2

?

?

1 ? sin ? ,则( cos ?

)
?
2

A. 3? ? ? ?

?
2

B. 2? ? ? ?

?
2

C. 3? ? ? ?

?
2

D. 2? ? ? ?

9. 不等式组 ?

?x ? y ? 1 的解集记为 D .有下面四个命题: ?x ? 2 y ? 4

p1 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?2 , p2 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? 2 , p3 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? 3 , p4 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?1 .
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其中真命题是(



A. p2 , p3 B. p1 , p4 C. p1 , p2 D. p1 , p3 10. 已知抛物线 C : y2 ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上一点, Q 是直线 PF 与 C 的 一个交点,若 FP ? 4FQ ,则 | QF | =( A. B. C.3
7 2 5 2

??? ?

??? ?



D.2

11. 已知函数 f ( x) = ax3 ? 3x 2 ? 1 ,若 f ( x) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 >0,则 a 的取值范围 是( ) B.(-∞,-2) C.(1,+∞) D.(-∞,-1)

A.(2,+∞)

12. 如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面 体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( A. 6 2 B. 4 2 C.6 D.4 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。 第13题-第21题为必考题, 每个考生都必须做答。 第22题-第24题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。 13. ( x ? y)( x ? y)8 的展开式中 x2 y 2 的系数为.(用数字填写答案) 14. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时,甲说:我去过的城 市比乙多,但没去过 B 城市;乙说:我没去过 C 城市;丙说:我们三人去过同一个 城市.由此可判断乙去过的城市为. 15. 已知 A,B,C 为圆 O 上的三点,若 AO ? ( AB ? AC ) ,则 AB 与 AC 的夹角为. 16. 已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, a =2,且
(2 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C ,则 ?ABC 面积的最大值为.
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????

? ???? 1 ??? 2

??? ?

??? ?

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三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分)已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn , a1 =1, an ? 0 , an an?1 ? ? Sn ?1, 其中 ? 为常数. (Ⅰ)证明: an?2 ? an ? ? ; (Ⅱ)是否存在 ? ,使得{ an }为等差数列?并说明理由.

18. (本小题满分 12 分)从某企业生产的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的 一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:

(Ⅰ)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s2 (同一组数据用该区 间的中点值作代表) ; (Ⅱ) 由直方图可以认为, 这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N (?, ? 2 ) , 其中 ? 近 似为样本平均数 x , ? 2 近似为样本方差 s2 . (i)利用该正态分布,求 P(187.8 ? Z ? 212.2) ; (ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 X 表示这 100 件产品中质量指标 值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求 EX .
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附: 150 ≈12.2. 若 Z ~ N (?, ? 2 ) ,则 P(? ? ? ? Z ? ? ? ? ) =0.6826, P(? ? 2? ? Z ? ? ? 2? ) =0.9544. 19. (本小题满分 12 分)如图三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形, AB ? B1C . (Ⅰ) 证明: AC ? AB1 ; (Ⅱ)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60o ,AB=Bc,求二面角 A ? A1B1 ? C1 的余弦值.

20. (本小题满分 12 分) 已知点 A(0, -2) , 椭圆 E : 2 ?
F

x2 a

y2 3 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 2 b 2

是椭圆 E 的右焦点,直线 AF 的斜率为

2 3 , O 为坐标原点. 3

(Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点,当 ?OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

21.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ae x ln x ? 切线方程为 y ? e( x ?1) ? 2 . (Ⅰ)求 a , b ; (Ⅱ)证明: f ( x) ? 1 .

be x ?1 ,曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) 处的 x

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请考生从第 22、23、24 题中任选一题做答。并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应 的题号右侧方框涂黑,按所涂的题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评 分,不涂,按本选考题的首题进行评分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB=CE. (Ⅰ)证明:∠D=∠E; (Ⅱ)设 AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ADE 为等边三角形.

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
?x ? 2 ? t x2 y 2 已知曲线 C : ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数). 4 9 ? y ? 2 ? 2t

(Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30o 的直线,交 l 于点 A ,求 | PA | 的最大值与 最小值.

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24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 若 a ? 0, b ? 0 ,且 ? ? ab . (Ⅰ)求 a3 ? b3 的最小值; (Ⅱ)是否存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由. 参考答案 一、 选择题 1.A 2.D 3.C 二、填空题 13.-20 14.A 15. 90° 16. 3 4.A 5.D 6.C 7.D 8.C 9.B 10.B 11.C 12.B
1 a 1 b

三、解答题 17.解: (Ⅰ)由题设 anan?1 ? ?Sn ?1, an?1an?2 ? ? Sn?1 ?1 ,两式相减
an?1 ? an?2 ? an ? ? ?an?1 ,由于 an ? 0 ,所以 an?2 ? an ? ?

…………6 分

(Ⅱ)由题设 a1 =1, a1a2 ? ? S1 ?1 ,可得 a2 ? ?1 ?1 ,由(Ⅰ)知 a3 ? ? ? 1 假设{ an }为等差数列,则 a1 , a2 , a3 成等差数列,∴ a1 ? a3 ? 2a2 ,解得 ? ? 4 ; 证明 ? ? 4 时,{ an }为等差数列:由 an?2 ? an ? 4 知 数列奇数项构成的数列 ?a2m?1? 是首项为 1,公差为 4 的等差数列 a2m?1 ? 4m ? 3 令 n ? 2m ? 1, 则 m ?
n ?1 ,∴ an ? 2n ?1 (n ? 2m ? 1) 2

数列偶数项构成的数列 ?a2m? 是首项为 3,公差为 4 的等差数列 a2m ? 4m ?1 令 n ? 2m, 则 m ? ,∴ an ? 2n ?1 (n ? 2m) ∴ an ? 2n ?1( n ? N * ) , an?1 ? an ? 2 因此,存在存在 ? ? 4 ,使得{ an }为等差数列………12 分
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n 2

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18.解: (Ⅰ) 抽取产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s2 分别为
x ? 170 ? 0.02 ? 180 ? 0.09 ? 190 ? 0.22 ? 200 ? 0.33 ? 210 ? 0.24 ? 220 ? 0.08 ? 230 ? 0.02 ? 200

s 2 ? ? ?30 ? ? 0.02 ? ? ?20 ? ? 0.09 ? ? ?10 ? ? 0.22 ? 0 ? 0.33
2 2 2

? ?10 ? ? 0.24 ? ? 20 ? ? 0.08 ? ? 30 ? ? 0.02
2 2 2

? 150

…………6 分

(Ⅱ) (ⅰ)由(Ⅰ)知 Z ~ N (200,150) ,从而
P(187.8 ? Z ? 212.2) ? P(200 ?12.2 ? Z ? 200 ? 12.2) ? 0.6826

………………9 分

(ⅱ) 由 (ⅰ) 知, 一件产品中质量指标值为于区间 (187.8,212.2) 的概率为 0.6826 依题意知 X ? B(100,0.6826) ,所以 EX ? 100 ? 0.6826 ? 68.26 ………12 分

19. (Ⅰ)连结 BC1 ,交 B1C 于 O,连结 AO.因为侧面 BB1C1C 为菱形,所以 B1C ? BC1 ?, 且 O 为 B1C 与 BC1 的中点. 又 AB ? B1C , 所以 B1C ? 平面 ABO , 故B C O ? 1 A 故 AC ? AB1 ………6 分 ?又
B1O ? CO ,

(Ⅱ)因为 AC ? AB1 且 O 为 B1C 的中点,所以 AO=CO? 又 因为 AB=BC?,所以 ?BOA ? ?BOC 故 OA⊥OB?,从而 OA,OB, OB1 两两互相垂直. 以 O 为坐标原点,OB 的方向为 x 轴正方向,OB 为单位长, 建立如图所示空间直角坐标系 O- xyz . 因为 ?CBB1 ? 600 , 所以 ?CBB1 为等边三角形.又 AB=BC?,则
? ? ? 3 ? 3 ? 3? A? ? 0, 3 , 0 ? ? ,C ? ? 0, ? 3 , 0 ? ? ? 0, 0, 3 ? ? , B ?1,0,0 ? , B1 ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ???? ? ??? ? ? ? ??? ? ? 3 3? 3 ? ???? 3 ? AB1 ? ? 0, , ? A B ? AB ? 1, 0, ? , B C ? BC ? ? 1, ? ,0? , ? ? ? ? 1 1 1 1 ? 3 ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? ? ? ?
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设 n ? ? x, y, z ? 是平面的法向量,则
? 3 3 ? ???? y? z?0 ? ? ? n ? AB ? 0 ? ? 3 1 3 ,即 所以可取 n ? 1, 3, 3 ? ? ? ???? ? ? ?x ? 3 z ? 0 ?n?A1 B1 ? 0 ? 3 ? ?? ???? ? ?? ?? ? ?m?A1 B1 ? 0 设 m 是平面的法向量,则 ? ? ????? ,同理可取 m ? 1, ? 3, 3 ? ?n?B1C1 ? 0 ? ?? ? ?? n?m 1 1 则 cos n, m ? ? ?? ? ,所以二面角 A ? A1B1 ? C1 的余弦值为 . 7 n ?m 7

?

?

?

?

?

20. (Ⅰ)设 F ? c,0? ,由条件知 ? 所以
2 2 2

2 c

c 3 2 3 ,得 c ? 3 ? 又 ? , a 2 3

a=2?, b ? a ? c ? 1 ,故 E 的方程

x2 ? y 2 ? 1……….6 分 4

(Ⅱ)依题意当 l ? x 轴不合题意,故设直线 l: y ? kx ? 2 ,设 P ? x1, y1 ? , Q ? x2 , y2 ? 将 y ? kx ? 2 代入
x2 ? y 2 ? 1,得 ?1 ? 4k 2 ? x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 , 4
3 4

当 ? ? 16(4k 2 ? 3) ? 0 ,即 k 2 ? 时, x1,2 ?
2

8k ? 2 4k 2 ? 3 1 ? 4k 2

4 k 2 ? 1? 4k 2 ? 3 从而 PQ ? k ? 1 x1 ? x2 ? ? ? 1 ? 4k 2

又点 O 到直线 PQ 的距离 d ?
1 4 4k 2 ? 3 S?OPQ ? d PQ ? , 2 1 ? 4k 2

2 k 2 ?1

,所以 ? OPQ 的面积

设 4k 2 ? 3 ? t ,则 t ? 0 , S?OPQ ?

4t 4 ? ? 1, t ?4 t? 4 t
2

当且仅当 t ? 2 , k ? ?

7 等号成立,且满足 ? ? 0 ,所以当 ? OPQ 的面积最大时, l 的方 2

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7 7 x ? 2. x?2 或 y ? ? 2 2

程为: y ?

…………………………12 分
a x b x ?1 b x ?1 e ? e x2 x

21. (Ⅰ) 函数 f ( x) 的定义域为 ? 0, ??? , f ?( x) ? ae x ln x ? e x ? 由题意可得 f (1) ? 2, f ?(1) ? e ,故 a ? 1, b ? 2 ……………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? e x ln x ?

2e x ?1 2 ,从而 f ( x) ? 1 等价于 x ln x ? xe ? x ? e x

1? ?1 ? 设函数 g ( x) ? x ln x ,则 g ?( x) ? x ? ln x ,所以当 x ? ? ? 0, ? 时, g ?( x) ? 0 ,当 x ? ? , ?? ? 时, ? e? ?e ?

? 1? ?1 ? g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 ? 0, ? 单调递减,在 ? , ?? ? 单调递增,从而?? g ( x) 在 ? 0, ??? 的最 ? e? ?e ?

小值为? g ( ) ? ? ……………8 分 设函数 h( x) ? xe? x ? ,则 h?( x) ? e? x ?1 ? x ? ,所以当 x ? ? 0,1? 时, h?( x) ? 0 ,当 x ? ?1, ??? 时,
h?( x) ? 0 ,故 h( x) 在 ? 0,1? 单调递增,在 ?1, ?? ? 单调递减,从而 h( x) g ( x) 在 ? 0, ??? 的最小值

1 e

1 e

2 e

为? h(1) ? ? . 综上:当 x ? 0 时, g ( x) ? h( x) ,即 f ( x) ? 1 ……………12 分 22.解: (Ⅰ) 由题设知得 A、 B、 C、 D 四点共圆, 所以 ? D= ? CBE,
N

1 e

由已知得, ? CBE= ? E ,所以 ? D= ? E……………5 分 (Ⅱ)设 BCN 中点为,连接 MN,则由 MB=MC?,知 MN⊥BC 所以 O 在 MN 上,又 AD 不是 O 的直径,M 为 AD 中点,故 OM⊥AD,即 MN⊥AD,所以 AD//BC, 故 ? A= ? CBE,又 ? CBE= ? E,故 ? A= ? E??? 由(Ⅰ)知 ? D= ? E,所以△ADE 为等边三角形……………10 分 23. 解:(Ⅰ) 曲线 C 的参数方程为: ? 直线 l 的普通方程为: 2 x ? y ? 6 ? 0
? x ? 2cos ? ? y ? 3sin ?

( ? 为参数) ,

………5 分

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(Ⅱ)在曲线 C 上任意取一点 P (2cos ? ,3sin ? )到 l 的距离为
d? 5 4cos ? ? 3sin ? ? 6 , 5
4 d 2 5 ? 5sin ?? ? ? ? ? 6 ??,其中 ? 为锐角.且 tan ? ? . 0 3 sin 30 5

则 | PA |?

当 sin ?? ? ? ? ? ?1时, | PA | 取得最大值,最大值为 当 sin ?? ? ? ? ? 1时, | PA | 取得最小值,最小值为 24.解: (Ⅰ) 由 ab ? ? ?
1 a 1 b

22 5 ; 5

2 5 .…………10 分 5

2 ,得 ab ? 2 ,且当 a ? b ? 2 时等号成立, ab

故 a3 ? b3 ? 3 a3 ? b3 ? 4 2 ,且当 a ? b ? 2 时等号成立, ∴ a3 ? b3 的最小值为 4 2 . ………5 分 (Ⅱ)由 6 ? 2a ? 3b ? 2 6 ab ,得 ab ? ,又由(Ⅰ)知 ab ? 2 ,二者矛盾, 所以不存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 成立.……………10 分
3 2

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